【文档说明】专题05 三角形-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(58)页，5.287 MB，由管理员店铺上传

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考点目录59.直线与线段.................................................................860.角的相关计算....................................................

...........861.垂线及其性质...............................................................962.平行线的判定及其性质.........

.............................................1163.三角形的分类..............................................................

1264.三角形的三边关系..........................................................1765.三角形的内角和与内外角关系....................

............................1766.三角形的重要线段及其计算..................................................1867.全等三角形的性质...................

.......................................2168.全等三角形的判定..........................................................2269.等腰三角形

及其计算........................................................2570.等边三角形及其计算........................................................2771.角平分线及垂直平分线...

...................................................3272.直角三角形及其计算........................................................3673.平

行线分线段成比例........................................................3874.相似三角形的判定.........................................

.................4575.相似三角形的性质..........................................................4876.与相似有关的证明与计算.......................................

.............5077.锐角三角形的计算..........................................................5278.解直角三角形................................

..............................5279.解直角三角形的实际应用....................................................53聚焦1几何初步知识及相交线、平行线考点一

直线、射线、线段1．直线的基本性质(1)两条直线相交，只有一个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．2．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短．3．把一条线段分成两条相等线段的点

，叫做这条线段的中点．4．直线、射线、线段的区别与联系：有几个端点向几个方向延伸表示图形直线02两个大写字母或一个小写字母____射线11两个大写字母线段20两个大写字母或一个小写字母考点二角的有关概念及性质1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两

条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．3．余角与补角：如果两个角的

和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．考

点三垂线的性质与判定1．垂线及其性质：垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

．(简说成：垂线段最短)2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．考点四平行线的性质与判定1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫

平行线．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内

角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．聚焦2三角形与全等三角形考点一三角形的概念及性质1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角

形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(

2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．考点二三角形中的重要线段1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线

交于一点，这点叫做三角形的内心．2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于

一点．4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．考点三全等三角形的性质与判定1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．性质：全

等三角形的对应边、对应角分别相等．3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角

形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．考点四定义、命题、定理、公理1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．2．命题：判断一件事情的语句．(1)命题由题设和结论两部

分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那

么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题

叫公理．考点五证明1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画

出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．3．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从

而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．聚焦3等腰三角形考点一等腰三角形1．等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相

等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．2．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．3．等腰

三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．考点二等边三角形的性质与判定1．等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角相等，且都等于60°；(2)等边三角形的三条边都相等．2．等边三角形的判定：(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)

三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．考点三线段的垂直平分线1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．考点四角平分线的性质及判定1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．2．判定：角的内部到角的两边

距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合．聚焦4直角三角形考点一直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和

等于斜边的平方．考点二直角三角形的判定1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三

角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．聚焦5图形的相似考点一比例线段1．比例线段的定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即acbd=(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例线段的性质：(1)基本性质：ab＝cdad＝bc；(2)合比性质：ab＝cda＋bb＝c＋dd；(3)等比性质：若ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.3．*黄金分割：点C把线段A

B分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．考点二相似多边形1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个

多边形全等．2．性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比；(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．考点三相似三角形1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交

，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3．性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的

比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方考点四图形的位似1．定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称

为位似比．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．3．画位似图形的步骤(1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．聚焦6解直角三角形考点一锐

角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．sinA=∠A的对边斜边=ac；cosA＝∠A的邻边斜边＝bc；tanA＝∠A的对边邻边＝ab.考点二特殊角的三角函数值考点三解直角三角形1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠

A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.2．解直角三角形的几种类型及解法：

(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝asinA，b＝atanA(或b＝c2－a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝

c·cosA(或b＝c2－a2)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝a2＋b2，由tanA＝ab，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝c2－a2，由sinA＝ac，求出∠A，∠B＝90°－∠A．考点四解直角三角形的应用1．仰角

与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常

用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．59.直线与线段【例题1】（2020•凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段12ABcm=，则线段BD的长为()A．10cmB．8cmC．10cm或

8cmD．2cm或4cm【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．【解答】解：C是线段AB的中点，12ABcm=，11126()22ACBCABcm====，点D是线段AC的三等分点，①当13ADAC=时，如图，26410()3BD

BCCDBCACcm=+=+=+=；②当23ADAC=时，如图，1628()3BDBCCDBCACcm=+=+=+=．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．【例题2】（2019•瓯海区一模）

已知线段6ABcm=，P是线段AB的中点，C是直线AB上一点，且13ACAB=，则CP=1或5cm【分析】此题分两种情况：①若点C是线段AB上一点，②若点C是线段BA延长线上一点，然后根据中点定义可得12APAB=，再根据13ACAB=结合图形进行计算即可

．【解答】解：6ABcm=，P是线段AB的中点，13ACAB=，132APABcm==，123ACABcm==，①若点C是线段AB上一点，如图1，321()CPAPACcm=−=−=；②若点C是线段BA延长线上一点，如图2，325()CPAPACcm=+=+=．故答案为：1或5．【

点评】此题主要考查两点之间的距离，关键是正确画出图形，分类讨论．【例题3】（2003•郴州）如图，已知B是AC的中点，C是BD的中点，若2BCcm=，则AD=6cm．【分析】理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．根据题意及图示即AB，

BC，CD三线段相等．【解答】解：已知B是AC的中点，若2BCcm=，则4ACcm=，同理4BDcm=，则826ADACBDBCcm=+−=−=．故答案为6cm．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用

它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．60.角的相关计算【例题4】（2019•重庆模拟）如图所示，已知70AOCBOD==，30BOC=，则

AOD的度数为()A．100B．110C．130D．140【分析】根据图形和题目中的条件，可以求得AOB的度数和COD的度数，从而可以求得AOD的度数．【解答】解：70AOC=，30BOC=，

40AOB=；同理可得，40COD=．403040110AODAOBBOCCOD=++=++=，故选：B．【点评】本题考查角的计算，解答本题的关键是明确角之间的关系，利用数形结合的思想解答．【例题5】（2018•莲

湖区模拟）如图，已知2BODAOB=，OC平分AOD，且18BOC=，则(AOD=)A．108B．98C．72D．135【分析】设6AODx=，根据题意得到4BODx=，2AOBx=，根据角平分线的定义得到3AO

CDOCx==，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：设6AODx=，2BODAOB=，4BODx=，2AOBx=，OC平分AOD，3AOCDOCx==，由题意得，3218xx−=，解得，18x=，6108AODx==，故选：A．【点评

】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，正确进行角的计算、掌握角平分线的定义是解题的关键．【例题6】（2019•广元一模）若一个角的补角是它的余角的5倍，则这个角的度数为67.5．【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的5倍”作为相等关系列方

程求解即可．【解答】解：设这个角的度数是x，则1805(90)xx−=−，解得67.5x=．故答案为：67.5．【点评】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角

叫做另一个角的补角．61.垂线及其性质【例题7】（2022•信阳一模）如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OGAD⊥，且35BOC=，30FOG=，则DOE的度数为()A．30B．35C．15D．25【分析】根据对顶角相等，以及垂

直的定义求出所求角度数即可．【解答】解：35BOC=，30FOG=，35EOFBOC==，65GOEGOFFOE=+=，OGAD⊥，90GOD=，25DOE=，故选：D．【点评】此题考查了垂线，以及对顶角、邻补角，熟练掌握各自的性质是解

本题的关键．【例题8】（2021•广州模拟）如图，90C=，线段10ABcm=，线段8ADcm=，线段6ACcm=，则点A到BC的距离为6cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解答】解：因为

90C=，所以ACBC⊥，所以A到BC的距离是AC，因为线段6ACcm=，所以点A到BC的距离为6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了点到直线的距离．解题的关键是掌握点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．62.平行线的判定及

其性质【例题9】（2021•渌口区模拟）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是()A．145+B．235=+C．12=D．25【分析】根据对顶角的性质，三角形的外角性质判断即可．【解答】解：A．1是OBC的外角，145=+，

故本选项不符合题意；B．2是AOD的外角，23A=+，故本选项不符合题意；C．1与2是对顶角，12=，正确．D．2是OBC的外角，25，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】【点评】本题主要考查了对

顶角的性质，三角形的外角性质，熟记相关知识点的解答本题的关键．【例题10】（2021•商河县校级模拟）如图所示，1与2不是同位角的是()A．B．C．D．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【解答】解

：A．1与2是同位角，不合题意；B．1与2不是同位角，符合题意；C．1与2是同位角，不合题意；D．1与2是同位角，不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成

“U”形．【例题11】（2022•河南模拟）如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明//ab的是()A．12=B．24180+=C．34=D．14180+=【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：3

4=，//ab（同位角相等，两直线平行），故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．【例题12】（2021•靖西市模拟）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断//ab的是()A．23180+=B．56180+=C．1

4=D．26=【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可得解．【解答】解：23180+=，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定//ab，故A正确，不符合题意；56180+=不能判定//ab，故B错误

，符合题意；14=，46=，16=，根据“同位角相等，两直线平行”可判定//ab，故C正确，不符合题意；26=，根据“内错角相等，两直线平行”可判定//ab，故D正确，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键

．【例题13】（2022•河南一模）如图，已知//ABDE，82B=，38C=，则D等于()A．136B．130C．120D．112【分析】过点C作//CMAB，则////ABDECM，根据平行线的性质得到82BBCM==，180DDCM+

=，根据角的和差得到44DCM=，据此即可得解．【解答】解：过点C作//CMAB，//ABDE，////ABDECM，BBCM=，180DDCM+=，82B=，82BCM=，38BCD=，823844DCMBCMBCD=−=−=，1804

4136D=−=，故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．【例题14】（2022•郑州模拟）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C、D．若DEF=，用含的式子可以将CFG表

示为()A．2B．90+C．180−D．1802−【分析】由折叠的性质可得：2DEG=，//CFDE，由//ADBC可得2DGFDEG==，从而有180CFGDGF=−，即可得出结果．【解答】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可

得：DEFDEF==，//CFDE，22DEGDEF==，180CFGDGF=−，//ADBC，2DGFDEG==，1802CFG=−．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的

性质，解答的关键是熟记折叠的性质．【例题15】（2020•铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于7或17cm．【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．

【解答】解：分两种情况：①当EF在AB，CD之间时，如图：AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，EF与AB的距离为1257()cm−=．②当AB，CD在EF同侧时，如图：AB与CD的距离是12cm，EF与C

D的距离是5cm，EF与AB的距离为12517()cm+=．综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．故答案为：7或17．【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从一条

平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【例题16】（2020•新昌县校级模拟）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，BECBC=+．求证：//ABCD．证明：延长BE交★于点F．则BE

C=■C+（三角形的外角等于它不相邻的内角之和）．又BECBC=+，得B=▲．故//(ABCD●相等，两直线平行）．则回答错误的是()A．★代表CDB．■代表EFCC．▲代表EFCD．●代表同位角【分析】延长BE交CD

于点F，利用三角形外角的性质可得出BECEFCC=+，结合BECBC=+可得出BEFC=，利用“内错角相等，两直线平行”可证出//ABCD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．【解答】证明：延长BE交CD于点F．则BECEFCC

=+（三角形的外角等于它不相邻的内角之和）．又BECBC=+，得BEFC=，故//ABCD（内错角相等，两直线平行）．故★代表CD，■代表EFC，▲代表EFC，●代表内错角．故选：D．【点

评】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出BEFC=是解题的关键．63.三角形的分类64.三角形的三边关系【例题17】（2020•靖江市一模）设ABC三边为a、b、c，其中a、b满足2|6|(4)0ab

ab+−+−+=，则第三边c的取值范围46c．【分析】首先根据非负数的性质计算出a、b的值，再根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得c的取值范围．【解答】解：由题意得：6040abab+−=−+=，解得15ab==，根据三角形的三边关系定理可得

5151c−+，即46c．故答案为：46c．【点评】此题主要考查了非负数的性质，以及三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．65.三角形的内角和与内外角关系【例题18】（2021•广水市模拟）如图，在ABC中，C

D平分ACBAB交于点D，过点D作//DEBC交AC于点E．若55A=，65B=，则CDE的大小为()A．30B．36C．55D．60【分析】先利用三角形的内角和定理、角平分线的性质求出BCD，再利用平行线

的性质得结论．【解答】解：180ABACB++=，180556560ACB=−−=．CD平分ACB，1302BCDACB==．//DEBC，30CDEBCD==．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行内错角相等”

是解决本题的关键．【例题19】（2021•南岗区校级模拟）如图，在ABC中，90ACB=，25A=，点D在AB边上，将ABC沿CD折叠，使得B点落在AC边上的B处，则ADB的度数为()A．25B．30

C．35D．40【分析】首先由三角形内角和定理得180902565B=−−=，再利用三角形外角的性质即可得出答案．【解答】解：在ABC中，90ACB=，25A=，180902565B=

−−=，将ABC沿CD折叠，65DBCB==，DBC是△ABD的外角，652540ADBDBCA=−=−=，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性

质，折叠的性质等知识，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．【例题20】（2021•商河县校级模拟）如图，60B=，40C=，3ADCA=，则A的度数为()A．80B．30C．50D．无法确定【分析】连接BD并延长，由三角形外角的

性质可知13A+=，24C+=，再由，60B=，40C=，3ADCA=即可得出结论．【解答】解：如图所示：连接BD并延长，3是ABD的外角，4是BCD的外角，13A+=①，24C+=②，①+②得

，(12)(34)AC+++=+，即ABCACADC++=，60B=，40C=，3ADCA=，60403AA++=，解得50A=．故选：C．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形的外角是解答此题的关键．【例题21】（20

21•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且A，B，E保持不变．为了舒适，需调整D的大小，使110EFD=，则图中D应减少（填“增加”或“减少”)度．【分析】延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角

和定理可求ACB，根据对顶角相等可得DCE，再由三角形内角和定理的推论得到DGF的度数；利用110EFD=，和三角形的外角的性质可得D的度数，从而得出结论．【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：180506070ACB=−−=，70ECDACB==．

DGFDCEE=+，7030100DGF=+=．110EFD=，EFDDGFD=+，10D=．而图中20D=，D应减少10．故答案为：减少，10．【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三

角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．66.三角形的重要线段及其计算【例题22】（2020•长安区二模）用三角板作ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是()A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：

B，C，D都不是ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．【例题23】（2021•栾川县三模）如图，点A、C在FBD的两条边BF、BD上，BE平分F

BD，CE平分ACD，连接AE，若35BEC=，则FAE的度数为()A．35B．45C．55D．65【分析】由三角形的角平分线可得AE平分FAC，结合三角形外角的性质可求得270BACBEC=

=，由补角的定义可求解FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．【解答】解：BE平分FBD，CE平分ACD，2ABCEBD=，2ACDECD=，AE平分FAC，ACDABCBAC=+，ECDEBCBEC=+，22ECDEBDBAC=+，222EC

DEBDBEC=+，2BACBEC=，35BEC=，23570BAC==，180BACFAC+=，18070110FAC=−=，AE平分FAC，1552FAEFAC=

=．故选：C．【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．67.全等三角形的性质【例题24】（2022•龙岗区模拟）如图，ABC△ABC，且点B在AB边上，点A恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是()A．BCBACA=B．2AC

BB=C．BCABAC=D．BC平分BBA【分析】根据全等三角形的性质得出BCBC=，ACBACB=，BABC=，再逐个判断即可．【解答】解：ABC△ABC，BCBC=，ACBACB=，BABC=

，A．ACBACB=，ACBACBACBACB−=−，BCBACA=，故本选项不符合题意；B．BCBC=，BCBB=，2ACBBBBCB=+=，ACBACB=，2ACBB=，故本

选项不符合题意；C．不能推出BCABAC=，故本选项符合题意；D．BBBC=，BABC=，ABCBBC=，即BC平分BBA，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的

对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．【例题25】（2021秋•房县期末）如图，已知ABCCDA，4AB=，5BC=，6AC=，则AD的长为()A．4B．5C．6D．不确定【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．【解答】解：ABCCDA

，5BC=，5ADBC==．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AD的对应边是解题的关键．【例题26】（2021秋•宜城市期末）如图，已知ABCDCB

，10AB=，60A=，80ABC=，那么下列结论中正确的是()A．60D=B．50DBC=C．60ACD=D．10BE=【分析】由三角形的内角和定理得到40ACB=，根

据全等三角形的性质即可得到60D=，40DBC=，80DCB=，10CD=，再由角的和差得到40ACD=，即可得到结论．【解答】解：60A=，80ABC=，18040ACBAABC=−−=，DCBABC，

60DA==，40DBCACB==，80DCBABC==，10CDAB==，40ACDDCBACB=−=，A符合题意，B，C，D不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质

是解决问题的关键．【例题27】（2021秋•澄城县期末）如图．点D、E在BC上，ABEACD，10BC=，4DE=，则BD的长是()A．6B．5C．4D．3【分析】由全等三角形的性质可得BECD=，然后求得CD的长，从而求得B

D的长即可求解．【解答】解：ABEACD，BECD=，14BECDBCDE+=+=，214CD=，7CD=，1073BDBCDC=−=−=，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．【例题

28】（2021秋•民权县期末）如图，ABCADE，且//AEBD，94BAD=，则BAC的度数的值为()A．84B．60C．48D．43【分析】根据全等三角形的性质得出BACEAD=，ABAD=，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理

求出43ADBABD==，根据平行线的性质得出43EADADB==，再求出答案即可．【解答】解：ABCADE，BACEAD=，ABAD=，94BAD=，1(180)432ADBABDBAD==−=，//A

EBD，43EADADB==，43BACEAD==，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

68.全等三角形的判定【例题29】（2022•建湖县一模）如图，//AEDF，AEDF=．添加下列条件中的一个：①ABCD=；②ECBF=；③EF=；④//ECBF．其中能证明ACEDBF的是①③④．（只填序号）【分析】根据平行线的性质求出AD=，ECAFB

D=，根据ABDC=求出ACDB=，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：//AEDF，AD=，①ABCD=，ABBCDCBC+=+，即ACDB=，AEDF=，AD=，ACDB=，符合全等三角形的判定定理SAS

，能推出ACEDBF，故①正确；②根据AEDF=，AD=和ECBF=不能推出ACEDBF，故②错误；③AD=，AEDF=，EF=，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出ACEDBF，故③正确；④//ECBF，ECAFBD=，ECAFBD=，AD=，

AEDF=，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出ACEDBF，故④正确；即正确的有①③④，故答案为：①③④．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理

有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．【例题30】（2021•襄阳模拟）如图，//AEDF，AEDF=．添加下列条件中的一个：①ABCD=；②ECBF=；③EF=；④//ECBF．其中不能证明ACEDB

F的是②（只填序号）．【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：//AEDF，AD=，ABCD=，ABBCCDBC+=+，即ACDB=，AEDF=，()ACEDBFSAS，故①能证明ACEDBF；//AEDF，AD=，

AEDF=，ECFB=，而：SSA不能判定三角形全等，故②不能；//AEDF，AD=，EF=，()ACEDBFASA，故③能证明ACEDBF；//AEDF，AD=，//ECBF，ECAFBD=，()ACEDBFAAS，故④能证

明ACEDBF；不能证明ACEDBF的是②．故答案为：②．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．69.等腰三角形及其计算【例题31】（2021•本溪）如图，在ABC中，ABBC=，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与

AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若2BEAC==，则CEF的周长为()A．31+B．53+C．51+D．4【分析】由题意得BE是ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BEAC⊥，112AECEAC===

，由勾股定理得5BC=，然后由直角三角形斜边上的中线性质得12EFBCBFCF===，求解即可．【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是ABC的平分线，ABBC=，BEAC⊥，112AECEAC===，90BEC=，2222215BCBECE=+=+=，点F为BC的中点，12EF

BCBFCF===，CEF的周长51CFEFCECFBFCEBCCE=++=++=+=+，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性

质，证出12EFBCBFCF===是解题的关键．【例题32】（2021•陕西模拟）如图，ABC中，ABAC=，ADBC⊥于点D，DEAB⊥于点E，BFAC⊥于点F，2DE=，则BF的长为()A．3B．4C．5D．6【分

析】先得出AD是ABC的中线，得出12222ABCABDSSABDEABDEAB====，又12ABCSACBF=，将ACAB=代入即可求出BF．【解答】解：ABC中，ABAC=，ADBC⊥，AD是ABC的中线，122

22ABCABDSSABDEABDEAB====，12ABCSACBF=，122ACBFAB=，ACAB=，122BF=，4BF=，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的

面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题33】（2021•宜昌模拟）如图，以ABC的顶点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若50B=，35C=，则DAC的度数是()A．15B．30C．50D．65【分析】根据三角形的内角和得出180BA

CBC=−−，根据等腰三角形两底角相等得出(180)2BADADBB==−，进而根据角的和差得出30DACBACBAD=−=．【解答】解：50B=，35C=，18095BACBC=−−

=，ABBD=，(180)265BADADBB==−=，956530DACBACBAD=−=−=，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．【例题34】（2021•昆山市模拟）如图，ABC中，A

BAC=，BAC、ABC的角平分线相交于点D．若125ADB=，则BAC等于()A．70B．55C．45D．40【分析】设BACx=，根据已知可以分别表示出ABD和BAD，再根据三角形内角和定理即可求得BAC的度数．【解答】解：设BACx=，在ABC

中，ABAC=，1(180)2ABCCx==−，BD是ABC的角平分线，AD是BAC的角平分线，1(180)4ABDx=−，12DABx=，180ABDDABADB++=，11(180)1251

8042xx−++=，40x=．故选：D．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180【例题35】（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一

条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为36或45．【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图，ABC

中，ABAC=，BDAD=，ACCD=，求ABC的度数．ABAC=，BDAD=，ACCD=，ABCCBAD==，CDACAD=，2CDAABC=，3CABABC=，180BACBC++=，5180ABC

=，36ABC=，（2）如图，ABC中，ABAC=，ADBDCD==，求ABC的度数．ABAC=，ADBDCD==，BCDACDAB===2BACABC=，180BACBC++=，4180ABC=，45ABC=，故答案为：36

或45．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．【例题36】（2021•平房区一模）如图，在ABC中，25ABBC==，AEBC⊥，垂足为点E，延长AE至点D，使ADAB=，连接CD、

BD，若90ACD=，则BD的长为22．【分析】设BEm=，DEn=，则25AEn=−，25CEm=−，证明AECCED∽，根据相似三角形的性质可得AECEECDE=，可得22452520mnmn+−−=−①，由勾股定理得222AEBEAB+=，可得22

45mnn+=②，联立得152mn=+，代入②可求得255n=，即可得出655m=，根据勾股定理即可BD的长．【解答】解：设BEm=，DEn=，则25AEn=−，25CEm=−，AEBC⊥，90ACD=，90ACEEAC+=，90ACEDCE+=，EACDCE=，AEC

CED=，AECCED∽，AECEECDE=，即252525nmnm−−=−，22452520mnmn+−−=−①，AEBC⊥，222AEBEAB+=，即22(25)20nm−+=，2245mnn+

=②，联立①②得45452520nmn−−=−，152mn=+，代入②得221(5)452nnn++=，解得255n=或25（不合题意，舍去），655m=，在RtBED中，222222BDBEDEmn=+=+=．故答案为：22．【点评】本题是等腰三角形的性质的性质、相似三角形的判定

和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定性质定理是解题的关键．70.等边三角形及其计算【例题37】（2021•全椒县二模）如图，点D，E，F分别在等边ABC的三条边上，12ADDB=，CEFDEF，则CECF的值为()A．34B．45C．56D．67【分析】根

据等边三角形的性质及CEFDEF可证ADEBDF∽，可得AEADDEBDBFDF==，根据12ADDB=得到2DBAD=，3ACBCAD==，得到32ADCECEADCF−=，3ADCEADCFCF=−，变形整理即可得解．【解答】解：ABC为等边三

角形，60CAB===，ABBCAC==，CEFDEF，CEDE=，CFDF=，60EDFC==，120ADEFDB+=，在ADE中，180120AEDADEA+=−=，AEDFDB=，又AB=，ADEBD

F∽，AEADDEBDBFDF==，又CEDE=，CFDF=，ACCECEBDCF−=，ADCEBCCFCF=−，12ADDB=，2DBAD=，3ACBCAD==，32ADCECEADCF−=，3ADCEADCFCF=−，可得，23ADCEADCFCECF=−，

3ADCFADCECECF=−，32CECFADCFADCE=−，3CECFADCEADCF=−，323ADCFADCEADCEADCF−=−，45ADCFADCE=，4455CEADCFAD==，故选：B．【点评】此题考查了

全等三角形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟记全等三角形的性质、等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．【例题38】（2021•沂水县二模）如图，在ABC中，120B

AC=，点D为BC的中点，E是AC上的一点，且ABAEEC+=．若2DE=，则AB的长是()A．23B．4C．33D．6【分析】延长CA至F，使AFAB=，连接BF，证出DE是BCF的中位线，得出24BFDE==，

证明ABF是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．【解答】解：延长CA至F，使AFAB=，连接BF，ABAECE+=，FECE=，D为BC的中点，BDCD=，DE是BCF的中位线，24BFDE==，120BAC=，60BAF=，又ABA

F=，ABF是等边三角形，4ABBF==，故选：B．【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形中位线，证明DE是BDF的中位线是解题的关键．【例题39】（2019•南开区三模）如图，在ABC中，ABAC=，D，E是ABC内两点

，AD平分BAC，60EBCE==，若9BEcm=，3DEcm=，则BC=12cm．【分析】过点E作EFBC⊥，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DGEF⊥，垂足为G，由直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半可知4.5BF=，1.5DG=，然后由

等腰三角形三线合一可知AHBC⊥，BHCH=，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到1.5FHGD==，最后根据2BCBH=计算即可．【解答】解；过点E作EFBC⊥，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DGEF

⊥，垂足为G．EFBC⊥，60EBF=，30BEF=，1194.522BFBE===，60BED=，30BEF=，30DEG=．又DGEF⊥，1131.522GDEDcm===，ABAC=，AD平分BAC，AHBC⊥，且BHCH=

．AHBC⊥，EFBC⊥，DGEF⊥，四边形DGFH是矩形．1.5FHGDcm==．22(4.51.5)12BCBHcm==+=．解法二：延长ED交BC于M，延长AD交BC于点H，ABAC=，AD平分BAC，AHBC⊥，BHCH=，9

0DHM=，60EBEM==，BEM是等边三角形，9EMBEBMcm===，60DMH=，30MDH=，3EDcm=，936DMEMEDcm=−=−=，3HMcm=，936BHBCBMHMcm==−=−=，12BCcm=．故答案

为：12．【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30的直角三角形是解题的关键．71.角平分线及垂直平分线【例题40】（2020•张家口二模）如图，在AB

C中，90C=，50CAB=，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则ADC的度数为()A．4

0B．55C．65D．75【分析】根据角平分线的作法可得AG是CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得1252CADCAB==，然后再根据直角三角形的性质可得902565CDA=−=．【解答】解：根据作图方法可得AG是CAB的角平分线，

50CAB=，1252CADCAB==，90C=，902565CDA=−=，故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余．【例题

41】（2021•商城县校级模拟）如图，已知在四边形ABCD中，90BCD=，BD平分ABC，7AB=，8BC=，6CD=，则四边形ABCD的面积是()A．24B．32C．45D．56【分析】过点D

作DEBA⊥的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出6DEDC==，再利用三角形的面积公式结合ABDBCDABCDSSS=+四边形可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：过点D作DEBA⊥的延长线于点E，如图所示．BD平分ABC，6

DEDC==，ABDBCDABCDSSS=+四边形，1122ABDEBCCD=+，11768622=+，45=．故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出6DE=是解题的关键．

72.直角三角形及其计算【例题42】（2021•田林县模拟）如图，在ABC中，90C=，30A=，2AB=，以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，再以点A为圆心，AD为半径画弧交AC于点E，则CE的长等于()A．31−B．2C．3D．1【分析】解直角三角形求出AC，A

E，可得结论．【解答】解：90C=，30A=，2AB=，112BCAB==，2222213ACABBC=−=−=，1BCBDADAE====，31CEACAE=−=−，故选：A．【点评

】本题考查直角三角形30角的性质等知识，解题的关键是求出1BCBDADAE====，属于中考常考题型．【例题43】（2021•花都区一模）如图，在ABC中，8ABAC==，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为()A．3B．4C．5D．6【分析】由等腰三角形的性质推

出ADBC⊥，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得DE．【解答】解：8ABAC==，AD是角平分线，ADBC⊥，90ADC=，BE是中线，AECE=，118422DEAC===，故选：B．【点评】本题主要考查了等腰三

角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键．【例题44】（2021•柯城区三模）如图，在ABC中，ABAC=，BEAC⊥，D是AB的中点，且DEBE=，则C的度数是()A．65B．70C．75D．80【分析】根据直角三角形的性质得到12DE

ABBDAD===，得到BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到60ABE=，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：BEAC⊥，90AEB=，D是AB的中点，12DEAB

BDAD===，DEBE=，DEBEBD==，BDE为等边三角形，60ABE=，906030A=−=，ABAC=，1(18030)752C=−=，故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等

边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【例题45】（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，ABAC=，6BC=，三角形DEF的周长是7，AFBC⊥于F，BEAC⊥于E，且点D是AB的中点，则(AF

=)A．5B．7C．3D．7【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DEDFAB==，12EFBC=，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：AFBC⊥，BEAC⊥，D是AB的中点，12DEDFAB==，ABAC=，AFBC⊥，点F是BC的中点，3BFFC==，

BEAC⊥，132EFBC==，DEF的周长37DEDFEFAB=++=+=，4AB=，由勾股定理知227AFABBF=−=，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例题46】（202

1•安徽模拟）如图，C是半圆O上一点，AB是半圆O的直径，CDAB⊥，D是垂足，4CD=，以AD、BD为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A．4B．5C．6D．7【分析】连接AC、BC，证明ADCCD

B∽，根据相似三角形的性质得到216ADBDCD==，根据扇形面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC、BC，AB为圆O的直径，90ACB=，90ACDDCB+=，CDAB⊥，90ABCDCB+=

，ACDCBD=，90ADCCDB==，ADCCDB∽，ADCDCDBD=，216ADBDCD==，则222111()()()222222ABADBDS=−−阴影部分2221()8ABADBD=−−2221[()]

8ADBDADBD=+−−1328=4=，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积计算、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定的定理是解题的关键．【例题47】（2021•鼓楼区二模）如图，OAOBOCOD===，180BOCAO

D+=．若4BC=，6AD=，则OA的长为()A．10B．2C．13D．4【分析】过O作OFBC⊥于F，OEAD⊥于E，由等腰三角形的性质得到2BFCF==，3AEDE==，AOEDOE=，BOFCOF=，由180BOCAOD+=，得到90AOEBOF+=，进而得

到90ABOFAOE==−，根据全等三角形判定证得AOEOBF，得到2OEBF==，在RtAOE中，根据勾股定理即可求得OA．【解答】解：过O作OFBC⊥于F，OEAD⊥于E，90AEOOFB==，90AAOE+=，OAOBOCOD==

=，114222BFCFBC====，116322AEDEAD====，AOEDOE=，BOFCOF=，180BOCAOD+=，90AOEBOF+=，90ABOFAOE==−，在AOE和OBF中，AEO

OFBABOFOAOB===，()AOEOBFAAS，2OEBF==，在RtAOE中，90AEO=，2OE=，3AE=，22223213OAAEOE=+=+=，故选：C．

【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．【例题48】（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正

方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若13AB=，1EF=，则GM的长为()A．225B．223C．324D．425【分析】由大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一

个小正方形EFGH组成，在直角三角形AEB中使用勾股定理可求出2BFAEGCDH====，过点M作MNFC⊥于点N，由三角形EFG为等腰直角三角形可证得三角形GNM也为等腰直角三角形，设GNNMa==，则2NCGCGNa=−=−，由2tan32BFNMaFCBC

FCNa====−，可解得45a=．进而可得4225GMNM==．【解答】解：由图可知90AEB=，1EF=，13AB=，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AEBFGCDH===，设

AEx=，则在RtAEB中，有222ABAEBE=+，即2213(1)xx=++，解得：12x=，23x=−（舍去）．过点M作MNFC⊥于点N，如图所示．四边形EFGH为正方形，EG为对角线，EFG为等腰直角三角形，45EGFNGM==，故GNM为等腰直角三角形．设G

NNMa==，则2NCGCGNa=−=−，2tan32BFNMaFCBCFCNa====−，解得：45a=．22224442()()555GMGNNM=+=+=．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定

理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．【例题49】（2021•汇川区三模）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈10

=尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()A．229(20)xx−=−B．2229(20)xx−=−C．229(20)xx+=−D．2229(20)xx+=−【分析】

根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则(20)ABx=−尺，9BC=尺，在RtABC中，222ACBCAB+=，即2229(20)xx+=−．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实

际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．73.平行线分线段成比例【例题50】（2022•泉州模拟）如图，直线123////lll，直线AC分别交1l、2l、3l于点A、B、C，直线DF分别交1l

、2l、3l于点D、E、F，若3AB=，2BC=，则DEDF等于()A．23B．25C．35D．32【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：直线123////lll，33325DEABDFAC===+．故选：C．【点评】

本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．【例题51】（2021•沂水县二模）如图，在ABC中，D在AC边上，:1:2ADDC=，O是BD的中点，连接

AO并延长交BC于E，若1BE=，则(EC=)A．32B．2C．3D．4【分析】过D点作//DFCE交AE于F，如图，先由//DFBE，根据平行线分线段成比例得到3DFBE==，再由//DFCE得到比利式，然后利用比例的性质求CE的长．【解答】解：过

D点作//DFCE交AE于F，如图，//DFBE，DEDOBEBO=，O是BD的中点，OBOD=，3DFBE==，//DFCE，DEADCEDC=，:1:2ADDC=，:1:3ADAC=，13DFCE=，3313CEDF===．故选：C．【点评】本题考查了平行线分

线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．【例题52】（2021•平南县三模）如图，在ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，:2:

7BEBC=，则:(ADCD=)A．2:3B．2:5C．3:5D．3:7【分析】如图，过点D作//DHAE交BC于H．利用平行线的方向的定理解决问题即可．【解答】解：如图，过点D作//DHAE交BC于

H．BFDF=，//FEDH，BEEH=，:2:7BEBC=，:2:3EHCH=，//AEDH，23ADEHDCCH==，故选：A．【点评】本题考查平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加常用辅

助线，利用平行线分线段成比例定理解决问题．【例题53】（2022•开福区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若3BE=，2EC=，则BFDF=35．【分析】根据平行四边形的性质求出AD，证明DAF

BEF∽，求出相似比即可得出答案．【解答】解：在平行四边形ABCD中，//ADBC，5ADBCBECE==+=，DAFBEF=，ADFEBF=，DAFBEF∽，35BFBEDFAD

==，故答案为：35．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．74.相似三角形的判定【例题54】（2022•南山区模拟）如图，在ABC中，3

ABCA=，6AC=，4BC=，所以AB长为()A．22B．10C．13D．4【分析】在AC边上取点D，使13ABDA=，连接BD，由余弦定理列出代数式，求解即可解决问题．【解答】解：在AC边上取点D，使13ABDA=，连接BD，如图所示，3ABCA=，6AC=，2ADBD==

，4CD=，4BC=，aCBD=，由余弦定理知：2222222441cos22244BDCDBCaBDCD+−+−===，BDAa=−1coscos()cos4BDAaa=−=−=−，2222cosA

BADBDADBDBDA=+−22122222()4=+−−10=10AB=，故选：B．【点评】本题考查了三角形的性质，解题关键是作出辅助线，利用余弦定理计算．【例题55】（2022•碑林区校级三模）如图，在

ABC中，点D在AB边上，若4BC=，2BD=，且BCDA=，则线段AD的长为()A．9B．6C．5D．4【分析】利用相似三角形的判定与性质得出比例式求得AB，则ADABBD=−．【解答】解：BB

=，BCDA=，BCDBAC∽．BDBCBCAB=．244AB=．8AB=．6ADABBD=−=．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例求得AB的长度是解题的关键．75.相

似三角形的性质【例题56】（2022•福州模拟）如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，且1AD=，5BD=，2AE=，AEDB=，则AC的长是()A．2.4B．2.5C．3D．4.5【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明ADEACB∽，然后利用相似三角形的性质进行计算即可

解答．【解答】解：1AD=，5BD=，156ABADBD=+=+=，AEDB=，AA=，ADEACB∽，ADAEACAB=，126AC=，3AC=，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质

，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．76.与相似有关的证明与计算【例题57】（2022•石家庄模拟）如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.

6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为()A．1米B．2米C．3米D．4米【分析】依据CBFCAP∽，即可得到8AP=，再依据EDGEAP∽，即可得到DE长．【解答】解：//FBAP，CBFCAP∽，CBBFCAAP=，即11.641AP=+，解得8AP=，//GDA

P，EDGEAP∽，EDGDEAPA=，即1.6448EDED=++，解得2ED=，故选：B．【点评】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．【例题5

8】（2022•随州模拟）《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意

思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，MEAD⊥，NFAB⊥，EF过点A，且80ME=步，245NF=步，则正方形的边长为()A．280步B．140步C．300步D．150步【分析】根据题意，可知RtAENRtFAN

∽，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．【解答】解：设正方形的边长为x步，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，12AMAD=，12ANAB=，AMAN=，由题意可得，RtAEMRtFAN∽，MEA

MANFN=，即28024519600AM==，解得：140AM=，2280ADAM==步；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答

．77.锐角三角形的计算【例题59】（2021•揭西县模拟）RtABC中，90C=，若3ABBC=，则tanB的值是()A．22B．3C．24D．13【分析】根据勾股定理求出AC，解直角三角形求出即可．【解答】解：A、设BCx=，则3ABx=，由勾股定理得：22(

3)22ACxxx=−=，则22tan22ACxBBCx===，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，能够熟练地运用知识点进行计算是解此题的关键．【例题60】（2022•泗阳县一模）在锐角ABC

中，8AB=，60B=，7AC=，C=．则cos=17．【分析】过点A作ADBC⊥，垂足为D，在RtABD中，根据锐角三角函数的定义求出BD，AD的长，再在RtADC中，利用勾股定理求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作ADBC⊥

，垂足为D，在RtABD中，60B=，8AB=，3sin608432ADAB===，1cos60842BDAB===，在RtADC中，7AC=，22227(43)1CDACAD=−=−=，1cos7CDCA

C==，1cos7=，故答案为：17．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．78.解直角三角形【例题61】（2022•安庆一模）如图，在ABC中，45B=，ADBC

⊥交BC于点D，若42AB=，3tan4CAD=，则(BC=)A．6B．62C．7D．72【分析】在RtABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD，再在RtADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD，即可解答．【解答】解：ADBC

⊥，90ADBADC==，在RtABD中，42AB=，45B=，2sin454242ADAB===，2cos454242BDAB===，在RtADC中，3tan4CAD=，3tan434CDADCAD===，437BCBDDC=+=

+=，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．79.解直角三角形的实际应用【例题62】（2021•鄂州一模）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，//DCAB，

斜坡AD长为8米，坡角为30，斜坡BC的坡角为45，则斜坡BC的长为()A．6米B．62米C．4米D．42米【分析】过点D作DEAB⊥于E，过点C作CFAB⊥于F．首先证明DECF=，解直角三角形求出CF，再根据锐角三角函数关系即可解决问题．【解答】解：过点D作DEAB⊥于E，

过点C作CFAB⊥于F．//CDAB，DEAB⊥，CFAB⊥，DECF=，在RtADE中，30A=，90AED=，142DEAD==（米)，在RtCFB中，45B=，45CFB=，则sin454

2BCCF==（米)，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【例题63】（2021•花都区一模）如图，某地修建一座高5BCm=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:3，则斜坡AB的长度为()A．10mB．103m

C．5mD．53m【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：如图所示：1:3i=，5BCm=，513BCACAC==，解得：53()ACm=，则22225(53)10()ABBCACm=+=+=，故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三

角的应用，由坡度的定义正确得出AC的长是解题关键．【例题64】（2022•广西模拟）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米长的标杆CD，然后他在A处测得C点的俯角

为53．再测得D点的俯角为45，则两座楼房之间的水平距离大约为多少米．（参考数据：4sin535，3cos535，4tan53)(3)A．9B．9.25C．9.5D．9.75【分析】延长CD交水平线于点E，可得四边形ABCE是矩形，设AEBCx==m，在RtA

EC和RtAED中，利用锐角三角函数的定义分别表示出EC，ED，然后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长CD交水平线于点E，则四边形ABCE是矩形，AEBC=，设AEBCx==m，在RtAEC中，53EAC=，4tan533ECAEx=m，在RtAED中，

45EAD=，tan45EDAEx==m，3CDm=，3CEDE−=，433xx−=，解得：9x=，9()AEBCm==，两座楼房之间的水平距离大约为9米，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形

的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com