【文档说明】《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》二十二 阅读探究创新（解析版）.docx，共(16)页，181.923 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题二十二阅读探究创新1．（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4√𝑥2+2𝑥−5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设√𝑥2+2𝑥=t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：

t2+4t﹣5＝0【续解】【分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程√𝑥2+2𝑥=−5和方程√𝑥2+2𝑥=1，然后进行检验确定原方程的解．【解析】（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0

，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，√𝑥2+2𝑥=−5，此方程无解；当t＝1时，√𝑥2+2𝑥=1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+√2，x2＝﹣1−√2；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+

√2，x2＝﹣1−√2．2．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之

间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+

|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|

的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；2③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；（3）①原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣（﹣2）＝6；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③

根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．【解析】（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是3；（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之

和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1

|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．3．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△

ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断𝑂𝐷𝑂𝐴、𝑆△𝑂𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．3（3）

性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明𝑂𝐷𝐴�

�=12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM，得𝐸𝑀𝐵𝑀=12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方

形ABCD的面积．【解析】（1）连接DE，如图，∵点O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC边上的中线，∴D，E为BC，AC边上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12AB，∴△ODE∽△OAB，∴𝑂𝐷𝑂𝐴=𝐷𝐸𝐴𝐵=12，∵AB

＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD=√3，OD=√33，∴𝑆△𝑂𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝑂𝐷2=2×√332=√33，𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷2=2×√32=√3；（2）由（1）可知，𝑂𝐷𝑂𝐴=12，是定值；点O到BC的

距离和点A到BC的距离之比为1：3，则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，故𝑆△𝑂𝐵𝐶𝑆△𝐴𝐵𝐶=13，是定值；（3）①∵四边形ABCD是正方形，∴

CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，∴△CME～△AMB，4∴𝐸𝑀𝐵𝑀=𝐶𝐸𝐴𝐵，∵E为CD的中点，∴𝐶𝐸=12𝐶𝐷=2，∴𝐵𝐸=√𝐵𝐶2+𝐶𝐸2=2√5，∴𝐸𝑀𝐵𝑀=12，∴

𝐸𝑀𝐵𝐸=13，即𝐸𝑀=23√5；②∴S△CME＝1，且𝑀𝐸𝐵𝑀=12，∴S△BMC＝2，∵𝑀𝐸𝐵𝑀=12，∴𝑆△𝐶𝑀𝐸𝑆△𝐴𝑀𝐵=(𝑀𝐸𝐵𝑀)2=14，∴S△AMB＝4，∴

S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，又S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6，∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．4．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．

5特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边

仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移

动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题．（2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可．（3）结论不变，证明方法类似（2）．【解

答】（1）证明：如图1中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，∴△FAB≌△GAC（AAS），∴FB＝CG．（2）解：结论：CG＝DE+DF．理由：如图2中，连接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，6∴12•AB•CG=

12•AB•DE+12•AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．理由：如图3中，连接AD．∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，∴

12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．5．（2020•齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许

多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不

是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）

如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．7求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片

，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝

BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'T

O，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；（4）先求出AT的范围，即可求解．【解析】（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°

，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，8∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（

2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝

∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A

'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．6．（2020•达州）（1）[阅读与证明]9如图1，在正△ABC的外角∠CAH

内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，

∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝°．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得

：①∠FEG＝°；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，

BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．②如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．证明△BCT≌△ACF（S

AS）可得结论．10（2）①如图2中，利用圆周角定理解决问题即可．②结论：BF=√2AF+√2FG．如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．证明△BCT∽△ACF，推出𝐵𝑇�

�𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶=√2，推出BT=√2AF可得结论．（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE

＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝

30°．故答案为60，30．②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵C，E关于AM对称，∴AM垂直平分线段EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，∴∠CFT＝∠F

EC+∠FCE＝60°，∵FC＝FT，∴△CFT是等边三角形，∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，∴∠BCT＝∠ACF，11∵CB＝CA，∴△BCT≌△ACF（SAS），∴BT＝AF，∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，∴

点A是△ECB的外接圆的圆心，∴∠BEC=12∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠FEG＝45°．故答案为45．②结论：BF=√2AF+√2FG．理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．∵AM⊥EC，C

G＝CE，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF=√2FG，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，∵CF＝CT，∴△CFT是等腰直角三角形，∴CT=√2CF，12∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=√2AC，∴𝐶𝑇𝐶𝐹=

𝐶𝐵𝐶𝐴，∵∠BCA＝∠TCF＝45°，∴∠BCT＝∠ACF，∴△BCT∽△ACF，∴𝐵𝑇𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶=√2，∴BT=√2AF，∴BF＝BT+TF=√2AF+√2FG．．（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF

．∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴12𝐵𝐶𝐴𝐶=sin12α，∴𝐵𝐶𝐴𝐶=2•sin12α，∵AB＝AC＝AE，∴∠BEC=12∠BAC=12α，EF=𝐹𝐺𝑠𝑖𝑛12𝛼，∵FC＝FE，∴∠FEC

＝∠FCE=12α，∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，同法可证，△BCT∽△ACF，∴𝐵𝑇𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐴𝐶=2•sin12α，13∴BT＝2AF•sin12α，∴BF＝BT+FT＝2AF•sin12α+EF．即BF＝2AF•sin12α+𝐹𝐺

𝑠𝑖𝑛12𝛼．故答案为：BF＝2AF•sin12α+𝐹𝐺𝑠𝑖𝑛12𝛼．7．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②

，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜

AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【分析】（1）由轴对称的性质可

得CA＝CA'，可得AC+BC＝A'C+BC＝A'B，AC'+C'B＝A'C'+BC'，由三角形的三边关系可得A'B＜A'C'+C'B，可得结论；（2）①由（1）的结论可求；②由（1）的结论可求解．【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，∵点A，点A'关于l对称，点C在l上

，14∴CA＝CA'，∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，∵A'B＜A'C'+C'B，∴AC+BC＜AC'+C'B；（2）如图③，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB，（其中点D是正方形的顶点）；如图④，在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是

ACD+𝐷𝐸̂+EB，（其中CD，BE都与圆相切）8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点）

，线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离

”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．15【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的

“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=√3x+2√3交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2√3），过点E作EH⊥MN于H，解直角

三角形求出EH即可判断．（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最

小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P

3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=√3x+2√3交x

轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2√3），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2√3，∴tan∠NMO=√3，16∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°=√32，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值

为√32．（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM

=52−1=32，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．由题意A′H=√32，AH=12+52=3，∴AA′的最大值=√(√32)2+32=√392，∴32≤d2≤√392．