【文档说明】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(14)页，875.643 KB，由管理员店铺上传

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2024年5月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考数学班级：_________姓名：_________准考证号：_________（本试卷19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡

上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的

非答题区域均无效．4．考试结束后，将答题卡上交．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得．1．已知集合2340,01xAxxBxx−=−=+，则AB=（

）A．21xx−−B．23xx−C．22xx−D．12xx−2．已知i为虚数单位，若2ii1a−+为纯虚数，则实数a=（）A．1B．2C．3D．43．根据x与y之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为1.50.8xy=+，已知数据

x的平均值为1.2，则数据y的平均值为（）A．2.6B．2.3C．1.8D．1.54．已知,ab为正实数，且满足21ab+=，则21ab+的最小值为（）A．42B．422+C．8D．65．P是圆22:(1)(1)2Cxy+++=上的动点，则点P到直线:330lykxk−

−+=的距离最大值为（）A．2B．22C．22+D．326．井字棋起源于古希腊，是一种在33格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行

井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（）A．144B．120C．96D．907．双曲线2222:1xyCab−=的左、右焦点分别为12,,FFO为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接1PF交

左支于点Q．若2PFPQ=且1216PFFOFQSS=△△，则双曲线的离心率为（）A．2B．7C．3D．238．已知()2,Ptt，过点P可作曲线()lnfxxx=−的两条切线，切点为()()11,xfx，()()22,xfx．求()()12

12121fxfxxxxx−−−的取值范围（）A．()1,0−B．)1,0−C．()2,1−−D．)2,1−−二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部

分选对得部分分，有选错的得0分．9．已知数列na的前n项和为nS，下列说法正确的有（）A．等差数列na，若mnpq+=+，则mnpqaaaa+=+，其中*,,,mnpqNB．等比数列na，若mnpqaaaa=，则mnpq+=+，其中*,,,mnpqNC．若

na等差数列，则51051510,,SSSSS−−成等差数列D．若na等比数列，则484128,,SSSSS−−成等比数列10．已知()8280128(12)fxxaaxaxax=−=++++，则下列描述正确的是（）A．1281aaa+++=B．()1f−除以5所得的余数是1C．0128,

,,,aaaa中最小为5aD．123823816aaaa++++=−11．正方体1111ABCDABCD−，棱长为2，点P满足1BPBCBB=+，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A

．当1+=时，AP的最小值为6B．当1DP与面11BCCB所成角为4时，则点P的轨迹长度为C．当=时，1CPDP+的最小值为62+D．当12=时，过1,,BPD三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为26,42三、填空题：本题共3小题

，每小题5分，共15分．12．已知随机变量()22,XN，且(4)0.9PX=，则(02)PX=_________．13．长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有40%的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有40%的教师平均每天没有超

过两节课，这些人当中只有10%的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为_________．14．已知na是正项数列，其前n项的和为nS，且满足12,nnnSaxa=+表示不超过x的最大整数，若nntS

S恒成立，则t的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，已知BC为圆柱底面圆的直径，A为下圆周上的动点，,ADCE为圆柱母线．（1）证明：平面BDE⊥平面ABD；（2）若点D到平面B

CE的距离为3,3ACAB=，四棱雉BACDE−的体积为1633，求平面BDE与平面BCE夹角的余弦值．16．（15分）已知()()()2cos,sin2,3cos,1,,0axfxxbxx=−=−R．且ab⊥，函数()fx的最小正

周期为．（1）求函数()fx的解析式与单调递增区间；（2）在锐角ABC△中，内角,,ABC的对边分别是(),,,3abcfA=，点D在BC上，且AD平分,3,2BACaAD==，求ABC△的周长．17．（15分）如图，点P在圆22

9xy+=上运动且满足DPx⊥轴，垂足为点D，点M在线段DP上，且53DMDP=，动点M的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）已知()()3,0,3,0AB−，过()1,0C的动直线L交曲线于,EF两点（点E在x轴上方）,

,GH分别为直线,AEBF与y轴的交点，是否存在实数使得OGOH=？说明理由．18．（17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量(),XBnp．（1）证明：（ⅰ）11CC,kknnkn−−=

（*,nkN，且kn），其中Ckn为组合数；（ⅱ）随机变量X的数学期望()EXnp=；（2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量Y表示事件

A发生的次数，试探求()EY的值与随机变量Y最有可能发生次数的大小关系．19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()fx在0x=处的()*nnN阶导数都存在时，()()()()()()()(

)323000002!3!!nnffffxffxxxxn=++++++．注：n阶导数指对一个函数进行n次求导，()fx表示()fx的2阶导数，即为()fx的导数，()()()3nfxn表示()fx的n阶导数，!1234,enn=为自然对数的底数，e2.71

828=，该公式也称麦克劳林公式．设()()eeee,22xxxxfxgx−−−+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：（1）利用泰勒公式求0.5e的近似值；（精确到小数点后两位）（2）设()0,x+，证明：

()()fxgxx；（3）证明：()()()()()()35246121111(1)141636,1112141636(1)nnggggnggggn+++++++（n为奇数）．参考答案1

．【答案】D【解析】由题可知22,13AxxBxx=−=−，所以有12ABxx=−．2．【答案】B【解析】()()()()()2i1i22i2ii1i11i2aaaa−−−−+−==++−为纯虚数，故20a−=，所以2a=．3．【答案】A【解析】将1.2x=代入回归直线方

程1.50.8xy=+可得1.21.50.82.6y=+=．4．【答案】C【解析】因为21ab+=，所以有：()2144222428ababababbaba++=++++=．5．【答案】D【解析】由题可知圆心C的坐标为()1,1−−，半径为2，直线l恒过定点(

)1,1A．故圆心到直线的最大距离为22CA=，圆上的动点P到直线的最大距离为22232+=．6．【答案】B【解析】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明小明的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三

种，斜两种），棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放小红的白棋，共有26C种．故此时棋子的分布情况共有268C120=种．7．【答案】B【解析】如图所示，由双曲线的定义可知：1212||2PFPFPQQFPFa−=+−=，所以12QFa=，又有2124QFaQFa=+=，因为1216PFFOFQ

SS=△△，即手121121112111sin2261sin2PFFPFFFPFQFPFFQFOF==，所以1224,PQQFaPQF==△为等边三角形，123FPF=由余弦定理可得：22222212122121361642248PFPFFFaacPFPFa+−+−==，

解得7e=．8．【答案】A【解析】因为()11fxx=−，设切点坐标为()000,lnxxx−，则切线过P点：200111lnttxx=−+−，方程21lntttxx+−=+有两不同解12

,xx，令()()()2ln,,0,txtgxxgxxxx−=+=+，易知0t时，()gx单调递增不合理，故0t．当0t时，()0gt=，当()0,xt时，()gx单调递减，(),xt+时，()gx单调递增，故()gt为极小值；

要使21lntttxx+−=+有两解，则()21ttgt+−，即2ln0ttt−+，令()()()21ln,210,htttthtthtt=−+=+−在()0,+上单调递增，又因为()10h=，所以()()122112121212ln

ln01.1fxfxxxtxxxxxxxx−−−=−−，又因为12,xx为方程21lntttxx+−=+的解，故有1212lnlnttxxxx+=+，代入可得211212lnlnxxxxtxx−=−−，取值范围为()

1,0−．9．【答案】AC【解析】对于A，易知正确；对于B，当mnpq+=+时，mnpqaaaa=成立；但当na为常数列时，反之不成立；对于15105151413121112345C,SSSaaaaaaaaaa−+=

+++++++++，故()()1510567891010522SSSaaaaaSS−+=++++=−，所以成立；对于D，当(1)nna=−时，40S=，故不正确．10．【答案】BC【解析】对于A，当1x=时，01281aaaa++++=，而01

a=，故1280aaa+++=；对于B，()8404132231404444413(101)C10C10C10C10C10f−==−=−+−+，除最后一项外，其余项都可以被5整除，故余数为1；对于C，二项式系数8C(2)nnna=−，可知奇数项小于零，偶数项大于零，则最小必然在奇数项

中产生，3355385853C(2),C(2),aaaa=−=−，所以最小的为5a；对于D，()727123816(12)238fxxaaxaxax=−−=++++，则有()1238123816faaaa=++++=．11．【答案】ABD【解析】对于A，如图1所示，当1+

=时，P点在1CB上运动，在等边1ABC△中，AP的最小值为1BC边上的高，故最小值为22sin63=；对于B，如图2所示，当1DP与平面11BCCB所成角为4时，易知111DCCP⊥，所以11DPC为1DP与平面11BCCB所成角，所以12CP=

，故P的轨迹为1CB，故长度为1224=；图1图2对于C，如图3，当=时，P在线段1BC上运动，对于1CPDP+，将平面11ADCB与平面1CBC展开并绕1BC旋转到同一平面，如图4所示：此时1CPDP+在三点共线时取最小值，P为1DC与1BC的交点，过点C作1AD的垂线，垂

足为点E，此时2222111||(2)(22)842CPDPCDEDEC+==+=++=+；图3图4图5对于D，如图5所示，P点在正方形11BCCB的边BC与11BC中点连线上运动，将截面补充完整，则截面为面

1BMDN，由对称性可得四边形1BMDN为平行四边形，故112BNDSSBDh==△，其中h为N到1BD的距离．当N在C或1C处时，此时N到1BD的距离最大为263；当N在1CC中点或11BC中点时，有最小距离2，故截面面积的取值范围是26,42．12．【答案】0.4【解析】(

)()041(4)0.1,(02)0.50.10.4pXpXpXPX==−==−=．13．【答案】0.6【解析】设所求的概率为a，由全概率公式得，0.40.40.10.6a=+，得0.6a=．14．【答案】)3,+【解析】1

1111,2nSaa==+，得11;2an=时，1112nnnnnSSSSS−−=−+−，变形得2211,nnnSSSn−=+=，所以有nnSntSn=；①当2,nkk=为正整数时，

nnSS=，此时1t；②当2(1),nkaa=+−为正整数时，nSk=，此时2(1)katk+−恒成立；当1a=时，2(1)kak+−有最大值，此时21tk+恒成立，k为正整数，故3t，综上t的取值范围是)3,+．1

5．【答案】见解析【解析】（1）因为BC为直径，所以ABAC⊥，因为,ADCE为母线，所以,ACADAC⊥⊥平面ABD，又因为//DEAC，所以DE⊥平面ABD，而DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABD（2）作AFBC⊥，因为D点到平面BCE的距离为3，所以

A到BC的距离为3，即3AF=，因为3,2ACABBAC==，所以在ABC△中，易知3ABC=，在RTABC△中，sin3AFABABC==，所以2,23ABAC==，设圆柱的母线长为h，则四棱锥体积1631

23233Vh==，得4h=，在底面内以A为原点，,,ABACAD分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系．则()()()0,23,0,2,23,4,0,0,4DEBECE==−=，设平面BDE的法向量为()1111,,nxyz=，则1100nDEnBE==

，即111123022340yxyz=−++=，故1n可以为()2,0,1，设平面BCE的法向量为()2222,,nxyz=，则2200nCEnBE==，即22224022340zxyz=−++=，故2

n可以为()3,1,0，因此，12122315cos552nnnn===，所以平面BDE与平面BCE夹角的余弦值为155．16．【答案】见解析【解析】（1）由题可得()223cossin20xfxx−+=，所以()3cos2sin232sin233fxxxx=++=++

，因为()fx的周期为2,2T==，故()1,2sin233fxx==++，单调递增区间：222,232kxkk−+++Z，故单调递增区间为5,,1212kkk−++Z；（2）因为()3fA=且A为三角形内角，故3A=或5

6，又因为三角形为锐角三角形，故3A=，因为ABCABDACDSSS=+△△△，所以()11sinsin222AbcAADbc=+，即()32bcbc=+，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc+−==，即229bcbc+−=，代入()32bcbc=

+，可得()2()2390bcbc+−+−=，解得33bc+=或3−（舍去），故ABC△的周长为333+．17．【答案】见解析【解析】（1）设点M的坐标为(),xy，点()00,Pxy，由题意可知00y，则由题可得0053xxyy==，即0035xxyy==，点

P在圆229xy+=上运动，22395xy+=，即的轨迹方程为()221095xyy+=，（2）易知直线L的斜率不为0，设L方程为1xmy=+，由221195xmyxy=++=，得()225910400mymy++−=，设()(

)1122,,,ExyFxy，则1212221040,5959myyyymm−−+==++，直线AE的方程()1133yyxx=++，得1G133yyx=+，直线BF的方程()2233yyxx=−−，得2233Hyy

x−=−，由此得，12112224GHOGymyyyOHymyyy−==−+，又因为12124yyyym=+，所以121211222124214842OGmyyyyyOHmyyyyy−+===++，所以存在实数12=，使得OGOH=．18．【答案】见解析【解析】（1）（ⅰ）(

)()()!!C!!!1!knnnkknkknkk==−−−，()()()()()()111!!C!1!11!1!knnnnnnkknkk−−−==−−−−−−，11CCkknnkn−−=（ⅱ）(),XBnp

，0()C(1)nkknknkEXkpp−==−111C(1)nkknknknpp−−−==−111(1)11C(1)nkknknknppp−−−−−−==−令1km−=，则11110()C()nmmnmnnmEXnppqnppq−−−−−===+np=（2）易知(

)432767PA==，又因为随机变量210,7YB，所以()2201077EY==，()101025C77kkkPYk−==，若Yk=时，其概率最大，则1011

1110101019110102525CC77772525CC7777kkkkkkkkkkkk−−−−−+−+，得1522,77kkZ，得3k=，所以，其数学期望

小于最有可能发生得次数．19．【答案】见解析【解析】（1）由泰勒公式知2345e12!3!4!5!!nxxxxxxxn=++++++++，①于是有2340.50.50.50.5e10.51.652!3!

4!=+++++；（2）由上得2345e1(1)2!3!4!5!!nxnxxxxxxn−=−+−+−++−+，②由①②得()()3521ee23!5!21!xxnxxxfxxn−−−==+++++−，()()2422ee122!

4!22!xxnxxxgxn−−+==+++++−，所以()()()()24222422113!5!21!2!4!22!nnfxxxxxxxgxxnn−−=++++++++++=−−，即()()fxgxx；（3）

当k为偶数时，()()();kgxgxk=为奇数时，()()()kgxfx=．故原式可化为221111(1)41636:111141636(1)ffffnggggn+++++

+，③由上题可知()2221(1)11111(1)2221(1)fnnnnnngn+=−++++，故有，③式1111111111111213355722

22nnn−+−+−++−=−++．