【文档说明】北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，783.436 KB，由小赞的店铺上传

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怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级10月月考数学试卷命题人：高三数学组考试时间：120分钟考试分值：150分第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,0,1,2A=−，集合|11Bxx=−，

则AB=（）A.0,1B.1,0,1−C.1,0,1,2−D.0【答案】A【解析】【分析】利用交集的概念计算即可.【详解】根据题意可得，0,1AB=，故选：A2.在复平面内，复数()i1iz=−−对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限

D.第四象限【答案】C【解析】【分析】直接计算出负数，找到实部虚部即可得到在复平面对应的点的坐标，得出对应象限。【详解】∵()2i1iii1iz=−−=−+=−−，∴该复数在复平面内对应的点为()1,1−−，位于第三象限.故选：C.3.已知角

的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则34,55A−−，则tan=（）A.34B.43C.34−D.43−【答案】B【解析】【分析】由三角函数的

定义即可求解.【详解】由题意可得：角的终边与单位圆的交点为34,55A−−，所以35x=−，45y=−，所以445tan335yx−===−，故选：B.4.在等差数列na中，241,5aa==，则8a=（）A.9B.11C.13D.15【答案】C【解析】【分析】根据等差数列

的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知2141135aadaad=+==+=，解得121da==−，所以12(1)23nann=−+−=−，所以816313a=−=.故选：C.5.下列函

数中，在区间（0，+）上单调递增的是A.12yx=B.y=2x−C.12logyx=D.1yx=【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,logxyyx−==，

1yx=在区间(0,+∞)上单调递减，函数12yx=在区间(0,+∞)上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6.在△ABC中，角,,ABC的对边

分别为,,abc，若30,1,3Bac===，则b=（）A.1B.3C.2D.7【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理得，22232cos132312bacacB=+−=+−=，则1b=.故选：A.7.已知61axx−的展开

式中，常数项为60，则a的值为（）A.2B.2，2−C.3D.3，3−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再确定常数项即得.【详解】61axx−展开式的通项为366621661C()C(1)kkkkkkkkT

axaxx−−−+=−=−，令3602k−=，可得4k=，因此，展开式中的常数项为44256C(1)60Ta=−=.则24a=，2a=.故选：B.8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述

.两颗星的星等与亮度满足221152–lgEmmE=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.

10.1C.lg10.1D.10.110−【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,EE的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE−=,令211.45,26.7mm=−=−,()10.111212222lg(1.4526.7)10

.1,1055EEmmEE=−=−+==.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.9.已知等差数列na的公差为π3，且集合*sin,NnMxxan==中有且只有4个元素，则M中的所有元素之积为（）A.14B.

14−C.116D.34【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可得na，进而可得1ππsin33nxa=+−的周期为6，故只需研究前6项的值，进而可得解.【详解】有等差数列可知133ππnnaa=+−，1ππsin33nxa=+−，周期6

T=，故只需考虑前6项的值：1sina，1πsin3a+，12πsin3a+，()11sinπsinaa+=−，114ππsinsin33aa+=−+，115π2πsinsin33aa+=−+，由题意知，这6个式

子只能取到4个不同值.借助三角函数的定义，即在单位圆上有6个点均分圆周，且这6个点的纵坐标只能取到4个不同的值（如图所示），于是集合111,,,122M=−−，的即所有元素乘积()11111224−−=，故选：A.10.已知1122(,

),(,)xyxy是函数lnyx=的图象上的两个不同的点，则（）A.1212e2yyxx++B.1212e2yyxx++C.122212e2yyxx++D.122212e2yyxx++【答案】D【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及lnyx=的图象上纵坐标为122yy+的点

，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，AB的中点为1212(,)22xxyyM++，点N在lnyx=的图象上，且//MNx轴，则12122(e,)2yyyyN++，由图知点N在M的左侧，即1212

2e2yyxx++，所以122122222121212()e4422yyxxxxxxxx++++=+故选：D第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数20242025i−的虚部是______.【答案】2025−【解析】

【分析】根据虚部的概念直接求解即可.为.【详解】复数20242025i−的虚部是2025−.故答案为：2025−.12.已知扇形AOB的面积为2π3，圆心角为60，则该扇形的半径为______，弧长为______.【答案】①.2②.2π3##2π3【

解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，进而求出弧长.【详解】设扇形所在圆的半径为r，由扇形AOB的面积为2π3，圆心角为π603==，得21π2π233r=，解得2r=，所以扇形的弧长2π3lr==.故答案：2；2π313.在ABCV中，sin:sin:sin2:3

:4ABC=，则最大角的正弦值为______.【答案】154##1154【解析】【分析】由条件结合正弦定理可得::2:3:4abc=，再利用余弦定理求角cosC，利用同角关系求结论.【详解】∵sin:sin:sin2:3:4

ABC=，∴由正弦定理化简得::2:3:4abc=，分别设2,3,4akbkck===，则最大角为C，∴22222249161cos22234abckkkCabkk+−+−===−，所以π,π2C，所

以15sin4C=，故答案为：154.为14.已知函数1()22.xxafxxxa=，，，①当0a=时，()fx的值域为_______；②若关于x的方程()()fxfx−=恰有2个正实数解，则a的取值范围是_______．【答案】①.(0)+，②.[11

)−，【解析】【分析】①当0a=时，分别判断两段的值域，取并集得()fx的值域；②方程()()fxfx−=恰有2个正实数解，则y轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断a的取值范围.详解】

①当0a=时，10()220.xxfxxx=，，，，0x时，1()2xfx=，函数单调递减，011()2fx=；0x时，()2fxx=，函数单调递增，()0fx，所以(

)fx的值域为(0)+，；②函数1()22.xxafxxxa=，，，关于x的方程()()fxfx−=恰有2个正实数解，则y轴左边的函数图像翻折到右边，与y轴右边的图像有两个交点，分别作出函

数12,,22xxyxyy===的图像，其中函数2yx=与2xy=的图像相交于点()1,2和()2,4【结合图像可知方程()()fxfx−=恰有2个正实数解，为1x=和2x=，需要11a−，所以a

的取值范围为[11)−，.故答案为：(0)+，；[11)−，.15.已知函数sincos()sin2xxfxx+=，则下列说法正确的有______.①函数()fx的图象关于直线πx=对称；②2π是函数()fx的周期③函数()fx在区间π,02

−上单调递减；④当π0,2x时，()2fx【答案】②③④【解析】【分析】结合特殊角的三角函数值代入验证π7π44ff可得①错误；验证(2)()fxfx+=可得②正确；设sincostxx=+结合二倍角

的正弦公式，辅助角公式，求导分析可得③④正确；【详解】因为sincos4424sin24f+==，77sincos744074sin24f+==，所以744ff，故①错误；因为sin(2)cos(

2)sincos(2)()sin2(2)sin2xxxxfxfxxx+++++===+，所以2π是函数()fx的周期，故②正确；设sincostxx=+，所以22sincossin21xxxt==−，所以2sincos()()sin21xxtfxgtxt+===−，当

π,02x−时，可得,444x+−，则sincos2sin(1,1)4txxx=+=+−，又()gt=()()()()22222222211210111tttttttt−+−−−−==−−−

，所以函数()gt在(1,1)−上单调递减，又π2sin4tx=+在π,02−上单调递增，所以由复合函数的单调性，可得函数()fx在区间π,02−上单调递减，故③正确；当π0,2x

时，可得ππ3π,444x+，则2sin(1,2]4tx=+，又由()0gt，()gt在(1,2]上单调递减，当πππ,442+x，即π0,4x时，函数π2si

n4tx=+单调递增；当34π4,2x+，即,42x时，函数π2sin4tx=+单调递减，由复合函数的单调性，可得函数()fx在π0,4上单调递减，在ππ,4

2上单调递增，所以()24fxf=，故④正确.故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABCV中，sin23sinbAaB=．（1）求

A；（2）当ABCV的面积为33，334bc=，求a的值．【答案】（1）π6（2）7【解析】【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，利用二倍角公式化简可得3cos2A=，结合角的范围可得结论；（2）由条件结合三角形面

积公式可求bc，结合334bc=，求,bc，再由余弦定理求a.【小问1详解】因为sin23sinbAaB=，由正弦定理得，sinsin23sinsinBAAB=，又𝐵∈(0,π)，所以sin0B，得到sin23sinAA=，又sin22sincosA

AA=，所以2sincos3sinAAA=，又()0,πA，所以sin0A，得到3cos2A=，所以π6A=.【小问2详解】因为11π1sinsin332264ABCSbcAbcbc====，所以12

3bc=，又334bc=，得到334bc=，代入123bc=，得到2331234c=，解得4c=，所以33b=，由余弦定理得，2222232cos(33)4233427163672abcbcA=+−=+−=+−=，所以7a=

.17.已知{}na是等差数列，nb是等比数列，且11=2ab=，3522aa+=，246bbb=.（1）数列{}na和nb的通项公式；（2）设nnncab=−，求数列nc前n项和.【答案】（1）31,2,*nnnanbnN=−=；（2）21322*2nnnnN++−+，

．【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q．因为354222aaa+==，所以41123ad==+．解得d=3．又因为241565bbbbbqb===，所以

12qb==，即可以得出数列na和nb的通项公式；（2）由（1）知，31,2,*nnnanbnN=−=．因此=312nnnncabn=−−−，由等差数列，等比数列的前n项和即可得出数列nc前n项和.试题解析：（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q

．因为354222aaa+==，所以41123ad==+．解得d=3．又因为241565bbbbbqb===，所以12qb==．所以31,2,*nnnanbnN=−=．（2）由（1）知，31,2,*nnnanbnN=−=．因

此=312nnnncabn=−−−数列na前n项和为()2231322nnnn+−+=．数列nb的前n项和为()12122212nn+−=−−．所以，数列nc前n项和为21322,*2nnnnN++−+．18.在ABCV中，D是边AC上

一点，1CD=，2BD=，3AB=，1cos8BDC=.（1）求AD的长；（2）求ABCV的面积.【答案】（1）2（2）978【解析】【分析】（1）ABD△中，根据余弦定理求AD的长；（2）ABD△中，根据余弦定理求cosA，即可求sinA，再

根据三角形的面积公式求解.【小问1详解】因为1cos8BDC=，则()1coscosπcos8ADBBDCBDC=−=−=−，2BD=，3AB=，ABD△中，2222cosABADBDADBDADB=+

−,即2194228ADAD=+−−，解得：2AD=或52AD=−（舍），所以2AD=；【小问2详解】2229443cos22324ABADBDAABAD+−+−===，因为0π,A所

以27sin1cos4AA=−=，213ACADDC=+=+=，所以11797sin332248ABCSABACA===.19.设函数π()sincoscossin0,||2fxxx=+．（1）若3(0)2f=−，求

的值．（2）已知()fx在区间π2π,33−上单调递增，2π13f=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在，求,的值．条件①：π23f=；条件②：π13f−=−

；条件③：()fx在区间ππ,23−−上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3=−.（2）条件①不能使函数()fx存在；条件②或

条件③可解得1=，π6=−.【解析】【分析】（1）把0x=代入()fx的解析式求出sin，再由π||2即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()fx的解析式化简，根据()fx在π2π,33−

上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出的值；把的值代入()fx的解析式，由π13f−=−和π||2即可求出的值；若选条件③：由()fx的单调性可知()fx在π3x=−处取得最小值1−，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()si

ncoscossin,0,||2fxxx=+所以()()3(0)sin0coscos0sinsin2f=+==−，因为π||2，所以π3=−.【小问2详解】因为π()sinc

oscossin,0,||2fxxx=+，所以()π()sin,0,||2fxx=+，所以()fx的最大值为1，最小值为1−.若选条件①：因为()()sinfxx=+的最大值为1，最小值为1−，所以π23f=无解，故条件①不能使函数()fx存在

；若选条件②：因为()fx在π2π,33−上单调递增，且2π13f=，π13f−=−所以2πππ233T=−−=,所以2πT=,2π1T==,所以()()sinfxx=+，又因为π13f−=−

，所以πsin13−+=−，所以ππ2π,Z32kk−+=−+，所以π2π,Z6kk=−+，因为||2，所以π6=−.所以1=，π6=−；若选条件③：因为()fx在π2π,33−上单调递增，在ππ,23−−上单调递减

，所以()fx在π3x=−处取得最小值1−，即π13f−=−.以下与条件②相同．20.函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示．（1）求函数()fx的解析式；（2）将函数()fx的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为

原来的12（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，求()gx在,126−ππx上的最大值和最小值；（3）若关于x的方程()0gxm−=在,126−ππx上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【答案】（

1）()π2sin26fxx=+；（2）()max3gx=，()min2gx=−；（3）23m−−．【解析】【分析】（1）利用函数图象的顶点求出2A=，利用周期求出2=，由特殊点求出π6=，即可求出解析式；（2）利用三

角函数图象变换求得()π2sin43gxx=−，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.【小问1详解】由函数()()πsin0,0,2fxAxA

=+的部分图象可知2A=，1113ππ1264T−=，πT=，2π2T==，又π26f=，ππ22π,62kk+=+Z，解得π2π,6kk=+Z，由π2可得π6=，()π2sin26fxx=+；【小问2详解】将()fx

向右平移π4个单位，得到πππ2sin22sin2463yxx=−+=−，再将所有点的横坐标缩短为原来的12，得到()π2sin43gxx=−，令3π4tx=−，由,126−ππx，可得2ππ,33t−，因为函数2

sinyt=在2ππ,32−−上单调递减，在ππ,23−上单调递增，又π2sin22−=−，π2sin33=，2π2sin33−=−，可得()max3gx=，()min2gx=−；【小问3详解】因为关于x的方程()0g

xm−=在,126−ππx上有两个不等实根，即ym=与()ygx=的图象在,126−ππx有两个交点.由图象可知符合题意的m的取值范围为23m−−.21.已知函数()232xfxxa−=+．（1）若0a=，求

曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()fx在1x=−处取得极值，求()fx的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450xy+−=；（2）函数()fx的增区间为(),1−−、(4,+∞)，

单调递减区间为()1,4−，最大值为1，最小值为14−.【解析】【分析】（1）求出()1f、()1f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f−=可求得实数a的值，然后利用导数分析函数()fx的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当0a=时，()232xfx

x−=，则()()323xfxx−=，()11f=，()14f=−，此时，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()141yx−=−−，即450xy+−=；（2）因为()232xfxxa−=+，则()()()()()()

222222223223xaxxxxafxxaxa−+−−−−==++，由题意可得()()()224101afa−−==+，解得4a=，故()2324xfxx−=+，()()()()222144xxfxx+−=+，列表如下：x(),1−−1−

()1,4−4(4,+∞)()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的增区间为(),1−−、(4,+∞)，单调递减区间为()1,4−.当32x时，()0fx；当32x时，()0

fx.所以，()()max11fxf=−=，()()min144fxf==−.