【文档说明】第6.1讲 圆的基本性质-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(解析版).docx，共(29)页，431.501 KB，由管理员店铺上传

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2022年中考数学专题复习第6.1讲圆的基本性质知识点一、圆的有关概念1．圆的定义：（1）形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径.（2）描述性定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，

定点称为圆心，定长称为半径.2．确定圆的条件：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.3．与圆有关的概念：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径.（

3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，根据弧的大小，弧可分为优弧、半圆、劣弧三类.（4）等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；能够完全重合的两条弧叫做等弧.（5）圆心角：顶点在圆心的角，叫做圆心角.（6）圆周角：顶点在圆周，两边分别与圆还有另一个交点，像这样

的角，叫做圆周角.知识点二、圆的有关性质1．圆的对称性：（1）轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，过圆心的的直线都是它的对称轴（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.温馨提醒：①同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆.②半圆不包含

直径；③等弧只在同圆或等圆中存在，大小不等的圆不存在等弧.④两条平行弦所夹的弧相等.温馨提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度，所得的圆都与原来的圆重合.2．圆心角、弧、弦之间的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对

的弦也相等.推论①：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.推论②：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.3．圆周角定理及其推论：定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的

圆心角的一半.推论①：半圆（或直弦）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论②：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.4．圆内接四边形：（1）定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.（2）性质：圆内接四

边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角.5．垂径定理及推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论①：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论②：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论③：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分

弦，并且平分另一条弧.根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.如果满足其中的两个结论，那么可推出其余三个结论，注意温馨提醒：在同圆或等

圆中，弧、弦、圆心角、弦心距（圆心到弦的垂线段的长）这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.温馨提醒：①圆中一条弦所对的圆心角有1个，它所对的圆周角有“2个”，这两个圆周角互补.②圆周角定理是转换圆心

角与圆周角的一种方法，连接半径是解决此类问题的常见作法.③一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，再利用直角三角形的性质进行计算或证明.解题过程中的灵活运用.温馨提醒：1.垂径定理与圆周角定理结合是圆中常见的题型，涉及求线段或角度，常见的辅助线有

：①连接半径；②过圆心作弦的垂线；③连接直径所对的圆周角.2.在直径、弦长、弦心距和弓高四个量中，已知其中两个量可求另外两个量.★★★中考典例剖析★★★考点一：圆周角定理及其推论例1（2021·荆州）如图，矩形OABC的边OA，O

C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【思路分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC

＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．【解析】如图，连接OB，则OB＝OD∵A（2，0），D（4，0）∴OA＝2，OB＝OD＝4∵四边形OABC为矩形∴在RT△AOB中，∴∠BOD＝60°∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°故选：C．【点评

】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°角的直角三角形的性质，解决问题的关键是连接OB构造弧BD所对的圆心角.【跟踪训练】2142cos===OBOAAOB21211.（2021·烟台）如图，在正方形网格中

，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是________．【解析】如图，连接AO并延长交⊙O于D，即AD为⊙O的直径在RT△ABD中，勾股定理得：∴在RT△ABC中，∵∠ACB＝∠AD

B∴sin∠ACB＝故答案为：．2.（2021·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点﹐点B是CD⌒的中点，则∠ABE＝________．【解析】如

图，连接CD∵∠ABC＝90°，即∠DBC＝90°524222=+=AD552524sin===ADABADB552552∴CD为⊙O的直径∵点B是CD⌒的中点∴∠BDC＝∠BCD＝45°∴∠BDC＝∠BEC＝45°∴∠ABE＝∠BEC－∠A＝45

°－32°＝13°故答案为：13°.3.（2021·遵义）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（）A.1B.C.D.【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H∵AB是直径∴∠ACB＝90°在R

T△ABC中，∴OC＝AB＝∵S△ABC＝AB·CH＝AC·BC∴∴在RT△OHC中，，即sin∠BOC＝故选：B．252425162595342222=+=+=BCACAB21252121512534==CH252425512sin===OCCHHOC2524考点二

：垂径定理及其推论例2（2021·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为________．【思路分析】设直线AB与y轴交于点C，过O作OD⊥A

B于点D，根据直线解析式可求OA＝2，OC＝，三角函数求得∠OAC＝30°，在RT△ADO中求出AD的长，根据垂径定理即可求解.【解析】如图，设直线AB与y轴交于点C，过O作OD⊥AB于点D∵在直线中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－2∴OC＝，OA＝2∴在RT△AOC中，，即

∠OAC＝30°∴在RT△ADO中，AD＝OA·cos30°＝2×＝∵O为圆心且OD⊥AB∴AB＝2AD＝故答案为：．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理综合知识，解题的关键是根据解析式33233+=xy33233233+=xy332332332332tan===OAOCOAC2

333232求出∠OAC的角度.【跟踪训练】4.（2021·淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E

，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（）A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸【解析】如图，连接OA，设OA＝R，则OE＝OC－CE＝R－1∵CD为直径且AB⊥CD∴AE＝AB＝×10＝5在RT△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝52＋（R－1）2，

解得：R＝13∴CD＝2OA＝2×13＝26故选：D.5.（2021·巴中）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A.B.C.D.21213323323【解析】如图，连接OA，O

C，OC交AB于点E∵OC为半径且C为弧AB的中点∴OC⊥AB，AE＝AB＝×6＝3圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°在RT△AOE中，，即，解得：OE＝∴圆心O到弦AB的距离为故选：C.6.（2021·营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB

＝56°，点D是AB⌒上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112°B．124°C．122°D．134°【解析】如图，连接OA，作AB⌒所对的圆周角∠APB∵OA＝OB，C为AB的中点∴∠AOC＝∠BOC＝56°2

121OEAEAOE=tan33=OE33圆周角定理得：∠APB＝∠AOB＝56°∵∠APB＋∠ADB＝180°∴∠ADB＝180°﹣∠APB＝180°－56°＝124°故选：B．7.（2021·自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若O

E＝3，OB＝5，则CD的长度是（）A．9.6B．C．D．10【解析】在RT△AOE中，，∵O为圆心且OE⊥AC∴AC＝2AE＝2×4＝8在RT△CAE中，CF＝AC·sinA＝8×＝∵AB为直径且CD⊥AB∴CD＝2CF＝2×＝9.6故选：A．考点三：圆内接四边形例3

（2021·盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________．2154354352222=−=−=

OEOAAE53sin==OAOEA53524524【思路分析】根据圆内接四边形对角互补求得∠ABO＝60°，在RT△AOB中，求得OA＝，OB＝2，根据∠AOB＝90°可知AB为⊙D直径，利用中点坐标公式求得点D.【解析】∵四边形ABO

C为⊙D的内接四边形∴∠ABO＝180°－∠ACO＝180°－120°＝60°在Rt△ABC中，OA＝AB·sin60°＝4×＝，OB＝AB·cos60°＝4×＝2∴A（，0），B（0，2）∵∠AOB＝90°

，D为圆心∴圆心D为AB中点∴D（，1）故答案为：（，1）．【点评】本题考查圆内接四边形的性质、锐角三角函数、平面直角坐标系，解题的关键是求出∠ABO＝60°.【跟踪训练】8.（2021·雅安）如图，四边形ABCD为⊙O的内

接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°【解析】设∠BAD＝x圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝2x∵四边形OBCD为菱形∴∠BOD＝∠BCD＝2x∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形∴∠

BAD＋∠BCD＝180°，即x＋2x＝180°，解得：x＝60°∴∠BAD＝60°故选：B．3223322132−3−3−9.（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为，则弦AB所对

的圆周角的度数为________.【解析】如图，连接OA，OB，过圆心O作OH⊥AB于点H∵O为圆心且OH⊥AB∴AH＝AB＝×＝在RT△AOH中，∴∠OAH＝30°∵OA＝OB∴∠OBH＝∠OAH＝30°在△AOB中，∠AOB＝180°－30°－30°＝120°当弦AB所对的圆

周角的顶点在优弧上时：∠ACB＝×120°＝60°当弦AB所对的圆周角的顶点在劣弧上时：∠ADB＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°综上所述，弦AB所对的圆周角的度数为120°或60°故答案为：120°或60°.10.（2021·泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．B．C．D．2【解析】如图，延长AD、BC交于点E37212137327237327cos===AOAHOAH21232−33−34−∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠ADC＝180°∴

∠A＝180°－120°＝60°，∠ADC＝180°－90°＝90°∴∠E＝90°－60°＝30°在Rt△ABE中，AE＝2AB＝2×2＝4在Rt△CDE中，∴AD＝AE﹣DE＝故选：C．3133===CDDE34−★★

★真题达标演练★★★1.（2021·甘肃）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（）A．48°B．24°C．22°D．21°【解析】∵AB＝CD∴圆周角定理得：∠CED＝∠AOB＝×42°＝21°故选：D.2.（2021·抚顺）如图，在⊙O中，弦CD与

直径AB相交于点E，连接OC，BD.若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°【解析】∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°∴∠D＝∠AED－∠A

BD＝80°－20°＝60°圆周角定理得：∠COB＝2∠D＝2×60°＝120°故选：C．3.（2021·随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为.【解析】如图，连接BD，则∠C＝∠D＝50°2121∵AD为直径

∴∠ABD＝90°∴∠BAD＝90°－∠D＝90°－50°＝40°故答案为：40°.4.（2021·本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝.【解析】∵AB为直径∴∠ACB＝90°在Rt△ABC中，∵∠A

DC＝∠ABC∴tan∠ADC＝故答案为：．5.（2021·来宾）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（）A．B．C．2D．3【解析】圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×30

°＝60°23tan==BCACABC232323∵OC⊥AB∴∠OBD＝90°－∠BOC＝90°－60°＝30°∴OD＝×OB＝×4＝2故选：C．6.（2021·安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O，若∠A＝6

0°，∠B＝75°，则AB＝.【解析】如图，连接OA，OB∵在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－75°＝45°圆周角定理得：∠O＝2∠C＝2×45°＝90°又∵OA＝OB∴△AOB为等腰直角三角形∴AB＝OA＝×1

＝故答案为：.7.（2021·牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为.21212222【解析】如图，连接OB，OC圆周角定理得：∠O＝2∠A＝2×

30°＝60°又∵OC＝OB∴△BOC是等边三角形∴BC＝OC＝2∵CD⊥AB，∠CBA＝45°∴在RT△BCD中，CD＝BC·sin45°＝2×＝故答案为：．8.（2021·玉林）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能

说明这是假命题”．下列判断正确的是（）A．两人说的都对B．小铭说的对，小熹说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【解析】由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了“被直径平分的弦不能是直径”这一条件，因为

一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下.故选：D．9.（2021·南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）A．15°B．22.

5°C．30°D．45°【解析】如图，连接OD2222∵AB为直径且CD⊥AB∴CD＝2DE∵CD＝2OE∴DE＝OE，则△ODE为等腰直角三角形∴∠DOB＝45°圆周角定理得：∠BCD＝∠DOB＝×45°＝22.5°故选：B．10.（2021·西藏

）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（）A．40°B．55°C．70°D．110°【解析】如图，连接OB，OC圆周角定理得：∠BOC＝2∠D＝2×70°＝140°∵OA为半径且OA⊥BC∴∠COA＝∠BOC＝×140°＝

70°21212121∵OA＝OC∴∠OAC＝×（180°－70°）55°故选：B．11.（2021·凉山）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cmB

．4cmC．5cmD．6cm【解析】依题意作图如下，CD⊥AB于点P∵AB为直径且CD⊥AB∴CP＝CD＝×6＝3在RT△COP中，勾股定理得：故选：B．12.（2021·黄冈）如图，⊙O是RT△ABC的外接圆，OE⊥AB

交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．4【解析】∵OE为半径且OE⊥AB∴AD＝AB＝×8＝4，∠ADO＝90°在RT△AOD中，∴OE＝5∵AC为直径∴∠ABC＝90°2121214352222=−=

−=CPOCOP21215342222=+=+=ODADOA∴∠ADO＝∠ABC∴OD∥CB，即OE∥CF又∵OA＝OC∴OE是△ACF的中位线∴FC＝2OE＝2×5＝10故选：A．13.（2021·柳

州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（）A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm【解析】如图，连接OB，过点O作OD⊥AB交AB于点D，交⊙O于C∵O

C为半径且OC⊥AB∴AD＝BD＝AB＝×24＝12在Rt△BOD中，勾股定理得：∴CD＝OC－OD＝13－5＝8，即水的最大深度为8cm故选：B．14.（2021·黔东南）小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片

所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为________cm．【解析】如图，设圆心为O，连接OA，OC2121512132222=−=−=

BDOBOD∵C为弧AB中点且CD⊥AB∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣1.6在Rt△OAD中，勾股定理得：（R﹣1.6）2＋3.22＝R2，解得：R＝4∴圆形瓦片所在圆的半

径为4cm故答案为4．15.（2021·吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内

接四边形∴∠D＝180°﹣∠B＝180°－120°＝60°∵∠APC为△PCD的外角∴∠APC＞∠D＝60°故选：D．16.（2021·海南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数

是（）2121A．30°B．35°C．45°D．60°【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠BCD＋∠BAD＝180°∵∠BCD＝2∠BAD∴∠BCD＋∠BAD＝2∠BAD＋∠BAD＝180°，解得：∠BAD＝60°∵BE为⊙O的直径∴∠BAE＝90°∴∠DAE＝90°－6

0°＝30°故选：A．17.（2021·宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于________．【解析】如图，连接OA，OC∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠B＝180°－∠ADC＝180°－150°＝30°圆周角定理得：

∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°∵OA＝OC∴△AOC为等边三角形∴OA＝AC＝2，即⊙O的半径等于2故答案为：2．18.（2021·贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是BD⌒的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（）A．B．2C．D．1

【解析】如图，连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H∵∠DCE＝100°∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°∵点D关于AB对称的点为E∴∠BAD＝∠BAE＝40°∴∠BOD＝∠BOE＝8

0°∵点C是BD⌒的中点∴∠BOC＝∠COD＝40°∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°∵OE＝OC，OH⊥CE∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°∵直径AB＝4∴OE＝OC＝2∴EH＝CH＝∴CE＝故选：A．19.（2021·安

徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；323332（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【解析】（1）解：如图，

连接OD∵O为圆心且M为弦CD的中点∴OM⊥CD，DM＝AB＝×12＝6在RT△OMD中，勾股定理得：∴圆O的半径长为（2）证明：如图，连接AC，延长AF交BD于点G∵CE＝EF且AB⊥CD∴AC＝AF∴∠CAE＝∠

FAE∵∠CAB＝∠D∴∠FAE＝∠D在RT△ABE中，∠D＋∠B＝90°∴∠FAE＋∠B＝90°212153632222=+=+=DMOMOD53∴∠AGB＝90°，即AF⊥BD20.（2021·苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠

2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A＋∠BCD＝180°∵∠DCE＋∠BCD＝180°∴∠A＝

∠DCE∵∠1＝∠2∴AD⌒＝CD⌒∴AD＝CD又∵CE＝AB∴△ABD≌△DCE（SAS）∴BD＝ED（2）解：如图，过点D作DM⊥BE于点M∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB∴BE＝BC＋CE＝10∵

BD＝ED，DM⊥BE∴BM＝ME＝5∴CM＝BC﹣BM＝6－5＝1∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2∴∠2＝30°在RT△BMD中，DM＝BM·tan30°＝5×＝∴21.（2021·杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线A

G交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），

∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD．【解析】（1）证明：∵AG平分∠BAC∴∠BAG＝∠FAC又∵∠G＝∠C∴△ABC∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC∴∵AC＝AF∴AB＝AG∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝

∠CAG33335335tan==CMDMDCBACAGAFAB=∴∠BAG＝∠CBG∵∠ABD＝∠CBE∴∠BDG＝∠BAG＋∠ABD＝∠CBG＋∠CBE＝∠EBG又∵∠DGB＝∠BGE∴△DGB∽△BGE∴∴BG2＝GE·GD22.（202

1·益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；（2）求证：①B

D＝CF；②BD2＝DE2＋AE·EG．【解析】（1）EA平分∠DEF，理由如下：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB又∵∠ACB＝∠AEB∴∠ABC＝∠AEB∵∠ABC＋∠AEC＝180°，∠AEF＋∠AEC＝180°∴∠ABC＝∠AEF∴∠AE

B＝∠AEF∴EA平分∠DEF（2）①证明：由（1）知：EA平分∠DEF又∵BD⊥AC，AF⊥CE∴AD＝AF在Rt△ABD和Rt△ACF中GEBGBGGD=∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL）∴BD＝CF②在R

T△ADE和RT△AFE中∴RT△ADE≌RT△AFE（HL）∴DE＝FE∴BD2﹣DE2＝（BD＋DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE·CE∵∠BAE＋∠BCE＝180°，∠BCE＋∠ECG＝180°∴∠BA

E＝∠ECG∵∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEG∴∠AEB＝∠CEG∴△AEB∽△CEG∴∴BE·CE＝AE·EG∴BD2﹣DE2＝AE·EG，即BD2＝DE2＋AE·EG==ACABAFAD

==AEAEAFADEGBECEAE=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com