【文档说明】湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.366 MB，由小赞的店铺上传

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常德市一中2023年下学期高二年级期中考试试卷数学（时量：120分钟满分：150分命题人：）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.直线3210xy+−=的一个方向向量是（）A.()2,3−B.()2,3

C.()3,2−D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210xy+−=的斜率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210xy+−

=的一个方向向量可以是()2,3−，故选：A.2.设()1,2,3a=−，()3,1,2b=−，kab+与b垂直，则k等于（）A.6B.14C.14−D.6−【答案】C【解析】【分析】根据已知向量坐标求kab+的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求k.【详解】由题设，(3,12,32)kab

kkk+=−−+，∴()(3,12,32)(3,1,2)3(3)(12)2(32)kabkkkkkkb+=−−+−=−−+−++=14k+0=，∴14=−k.故选：C3.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为23，焦点

到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为A.2212xy−=B.2212yx−=C.2212xy−=D.2212yx−=【答案】B【解析】【详解】3c=，焦点到渐近线的距离为2，说明2b=，则1a=，∴双曲线的方程为2212y

x−=故选:B4.设OABC−是正三棱锥，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且13OGGG=，若OGxOAyOBzOC=++，则xyz++=（）．A.14B.12C.34D.1【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可计

算得出1111333OGOAOBOC=++，由已知条件可得出134OGOG=，进而可求得x、y、z的值，由此可求得结果．【详解】如下图所示，连接1AG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，1G为ABC的重心，可得123

AGAD=，而()()111222ODOBBDOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+，()1122123333OGOAAGOAADOAODOAOAOD=+=+=+−=+()()12113323OAOBOCOAOBOC=++=++，所以，133

11111144333444OGOGOAOBOCOAOBOC==++=++，所以，14xyz===，因此，34xyz++=．故选：C5.若直线:10laxby++=始终平分圆22:4210Mxyxy++++=的周长，则22

(2)(2)ab−+−的最小值为（）A.5B.5C.25D.10【答案】B【解析】【分析】由题意已知22(2)(2)ab−+−可表示直线210ab+−=上的点到点(2,2)的距离最小值，代入点到直线的距离即可求得答案.【详解】解：由题意知，圆

的一般方程为224210xyxy++++=圆的标准方程为：22(2)(1)4+++=xy因为:10laxby++=恰好过圆心，且圆心为(2,1)−−，代入得：210ab+−=22(2)(2)ab−+−的最小值可表示点(2,2)到直线210ab

+−=的距离平方的最小值又由(2,2)到直线210ab+−=距离为222221521d+−==+所以22(2)(2)ab−+−得最小值为5.故选：B6.过点()0,3P的直线l与圆()()22:234Cxy−+−=交于A，B两点，当30CAB=时，直线l的斜率为（）A.33B.

33C.3D.3【答案】A【解析】【分析】由题分析出圆心C到直线的距离为1，然后分斜率不存在与存在两种情况进行讨论.【详解】由题意得120ACB=，则圆心()2,3C到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0x=

，此时直线l与圆相切，不合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx=+，则222332111kkkk−+==++，解得33k=.故选：A.【点睛】本题考查直线的斜率的求法，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题.

7.在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（）A.22B.2C.43D.34【答

案】B【解析】【分析】构建以B为原点，,,CBABBB分别为,,xyz轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识,,,ABBD，令(,0,)Mxz结合AM⊥BD'有3zx=+且30x−，而AM与平面BCC'B'所成角的平面角为AMB，即有2||3tan||

269ABMBxx==++，即可求tanθ的最大值.【详解】如下图，以B为原点，,,CBABBB分别为,,xyz轴的正方向构建空间直角坐标系，则有(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3),(3,3,3)ABBD−−−，令(

,0,)Mxz，∴(,3,)AMxz=，(3,3,3)BD=−−，又AM⊥BD'，有3zx=+且30x−，AM与平面BCC'B'所成角为θ，即AMB=，而(,0,3)BMxx=+，∴2233tan39

2692()22xxx==++++，30x−，∴当32x=−时，max(tan)2=，故选：B.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值

.8.已知实数1x、2x、1y、2y满足：22111xy+=，22221xy+=，121212xxyy+=，则11222222xyxy+−+−+的最小值为（）A.23−B.23−C.25−D.223−【答案】D【解析】【分析】确定()11,Axy

、()22,Bxy在圆221xy+=上，且π3AOB=，题目转化为A、B到直线20xy+−=的距离之和，变换得到2ACBDEF+=，计算min322EF=−得到答案.【详解】设()11,Axy、()22,Bxy，22111xy+=，22221xy

+=，121212xxyy+=，故()11,Axy、()22,Bxy在圆221xy+=上，且12121cos2OAOBAOBxxyyOAOB==+=，因为0πAOB，则π3AOB=，因为1OAOB==，则AOB是边长为1的等边三角形，11222222xyxy+−+−+表示A、B到直线

20xy+−=距离之和，原点O到直线20xy+−=的距离为222d==，如图所示：ACCD⊥，BDCD⊥，E是AB的中点，作EFCD⊥于F，且OEAB⊥，2ACBDEF+=，22213122OEOAAE=−=−=，故E在圆2234xy+=上，min33222EFd=−=−.故11

222222xyxy+−+−+的最小值为min2223EF=−.故选：D.二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分）9.已知点(3,2)A−，()1,3B，直线l的方程为()()11220axaya−+++−=，且与线段AB有

公共点，则直线l的斜率k的取值可以为（）A.-1B.0C.1D.2的【答案】CD【解析】【分析】首先判断出直线l经过定点，根据两点间的斜率公式，再结合图形即可求出斜率的取值范围，进而选出答案.【详解】因为()()11220axaya−+++−=，所以220axx

ayya−+++−=，()220axyxy++−+−=由2020xyxy++=−+−=解得20xy=−=，所以直线l经过定点()2,0P−，又因为点(3,2)A−，()1,3B，在坐标系中画

出图形，结合图形可知直线l与线段AB有公共点，则PBkk或PBkk，30112PBk−==+，20232PAk−==−−+，所以1k或2k−，所以k的值可以为1，2故选：CD10.已知点(1,0)M−和(1,0)N，若某直线上存在点P，使

得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（）A.x-2y+6=0B.x-y=0C.2x-y+1=0D.x+y-3=0【答案】BC【解析】【分析】先确定P点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中直

线与椭圆的是否有公共点后可得答案.【详解】由42PMPNMN+==，根据椭圆定义可得P点的轨迹为焦点在x轴上对称轴为坐标轴椭圆，且2,1ac==，所以2223bac=−=，所以椭圆方程为22143xy+=，由“椭型直线”定义可知，要为“椭型直线

”此直线必与椭圆由公共点，对于A，22143260xyxy+=−+=，整理得229120yy−+=，所以81960=−，方程组无解，所以不是“椭型直线”；对于B，x-y=0是过原点的直线，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；对于C，因为直线2x-y+1=0过(0

,1)点，且01143−，所以(0,1)点在椭圆内部，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；对于D，x+y-3=0与椭圆方程联立2214330xyxy+=+−=，整理得2724240xx−+=，所以242428240=

−，不是“椭型直线”.故选：BC.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题一般是联立直线与椭圆方程，消去一个变量后通过判断方程解的个数来判断位置关系，属于基础题.11.已知圆22:4Cxy+=，直线:0lxym++=，则下列结论正确的是（）A

.当2m=时，直线l与圆C相交B.()11,Pxy为圆C上的点，则()()2211122xy−+−的最大值为9C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1，则m的取值范围是232mD.若直线l上存在一点P，圆C上存在两点A、B，使90APB=，则m的取值范围是4,4−【答案】AD

【解析】分析】计算圆心C到直线l的距离，并和圆的半径比较大小，可判断A选项的正误；求出圆C上的点到点()1,22的距离的最大值，可判断B选项的正误；根据已知条件求出实数m的取值范围，可判断C选项【的正误

；分直线l与圆C有公共点和直线l与圆C相离两种情况讨论，结合题意得出关于实数m的不等式，求出实数m的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当2m=时，直线l的方程为20xy++=，圆C的圆心为()0,0C，圆心C到直线l的距离为2222d==，此时，直

线l与圆C相交，A选项正确；对于B选项，点P到点()1,22的距离的最大值为()()220102225−+−+=，所以，()()2211122xy−+−的最大值为25，B选项错误；对于C选项，当圆C上有且仅有两个点到直线l的距离等于1，如下图所示：由于圆C的半径为2，则

圆心C到直线l的距离d满足21d−，解得13d，即132m，解得322m−−或232m，C选项错误；对于D选项，若点P为直线l与圆C的公共点，只需当AB为圆C的一条直径（且A、B不与点P重合），则90APB=；若直线l与圆C相离，过点P作圆C的两条切线，切点分别为

M、N，由题意可得90MPNAPB=，所以，22sinCMCPCPM=，设点(),Pxy，可得2222xy+，即()228xxm+−−，即222280xmxm++−，则存在xR，使得222280xmxm++−成立，可得()22248

86440mmm=−−=−，解得44m−，D选项正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：对于B选项，解题的关键点就是要分析出1rd−，对于D选项，解题的关键就是要分析出90MPNAPB=，进而得出22CP，转化为关于x的不等式有解求参数.12.正三棱

柱111ABCABC-，11ABAA==，P点满足1BPBCBB=+（01≤≤，01）（）A.当1=时，△1PBB的面积是定值B.当1=时，△1PAB的周长是定值C.当1=时，△PBC的面积是定值D.当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值【答案】ACD【解析】【

分析】根据向量的线性关系，结合已知及正三棱柱的性质，分别判断1=、1=时P所在位置，进而判断各选项的正误.【详解】由题设，P在面11BCCB上，△ABC、△111ABC为正三角形且正三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，当1=时，显然P在线

段1CC上运动，则△1PBB的面积是定值，而211(1)PB=+−，21PA=+，即△1PAB的周长为2221(1)1++−++不为定值，故A正确，B错误；当1=时，显然P在线段11BC上运动，则△PBC的面积是定值，而11

//BCBC，11BC面1ABC，BC面1ABC，所以11//BC面1ABC，即P到面1ABC距离不变，有三棱锥1PABC−的体积为定值，故C、D正确.故选：ACD三、填空题（每题5分，共20分）13.写出一个截距相等且不过第一象限的直线方程________．【答案】此题答案不唯一：如1

0xy++=【解析】【分析】根据题意分析此直线可分为两种情况①图象经过第二、三、四象限；②截距都为零.写出符合条件的一条直线即可.【详解】由截距相等且不过第一象限的直线方程知，①图象经过第二、三、四象限，截距不为零，此

直线的解析式为1xyaa+=即可；②截距都为零时，图像经过原点，此直线的解析式为(0)ykxk=即可.此题答案不唯一：如10xy++=.故答案为：10xy++=.14.已知圆224xy+=上一定点(2,0)A，P为圆上的动点，则线段AP中点的轨迹

方程为______________．【答案】22(1)1xy−+=【解析】【分析】设线段AP中点M的坐标为(,)xy，且点11(,)Pxy，结合中点公式求得11222xxyy=−=，代入即可求解.【详解】设线段AP中点M的坐标为(,)xy，且点11(,)Pxy，又由(2,0)A，可得1122

2xxyy+==，解得11222xxyy=−=，又由22124xy+=，可得22(22)(2)4xy−+=，即22(1)1xy−+=.故答案为：22(1)1xy−+=.15.直线:lyxm=+与曲线2:4Cyx=−有两

个交点，则实数m的取值范围是________．【答案】[2,22)【解析】【分析】将曲线C的方程化为221(0)xyy+=，利用直线l与曲线C的位置关系，结合图形即可求解.【详解】依题意，曲线C的方程可化为：221(0)xyy+=，它表

示以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图：直线:lyxm=+表示斜率为1的平行直线系，把直线l由左向右平移，直线l先与半圆相切，后与半圆交于两点，再后与半圆交于一点，当直线l与半圆相切时，22m=，当直线l与半圆

交于两点时，222m，当直线l与半圆交于一点时，22m−，所以实数m的取值范围是：[2,22).故答案为：[2,22)16.已知1F、2F分别为22221xyab+=（0ab）椭圆的左、右焦点，过2F的直线与椭

圆交于P、Q两点，若21QFQPPQ=，223PFFQ=，则1FPQ=____，椭圆的离心率为___.【答案】①.90②.22【解析】【分析】由给定条件结合向量的线性运算计算得10PFQP=即可，在1RtPFQ、12RtPFF中借助勾股定理建立a，c的关系即可

作答.【详解】依题意，22111()||PQQFQPQPPFQPQPPFQP==+=+，于是得10PFQP=，即1PFQP⊥，所以190FPQ=；令2||FQt=，因223PFFQ=，则2||3PFt=，由椭圆定义知，1||2QFat=−，1||23PFat=−，而||4QPt

=在1RtPFQ中，22211||||||QPPFQF+=，即222(4)(23)(2)tatat+−=−，解得13ta=，显然12||||PFPFa==，12RtPFF中，椭圆半焦距为c，有122||2cFFa==，所以椭圆的离心率为22cea

==.故答案为：90；22.四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）17.已知三角形三个顶点()5,0A−，()3,3B−，()0,2C.（1）求BC边的中垂线所在直线的方程；（2）求△ABC的面

积．【答案】（1）3570xy−−=（2）312【解析】【分析】（1）先求出直线BC的斜率及BC中点坐标；再根据两直线垂直的性质得到BC中垂线所在直线的斜率；最后利用点斜式求出方程，化简即可得出.（2）先求出直线BC的方程；再利用点到直线

距离公式可得点A到直线BC的距离，利用两点间距离公式可得BC，即可得出△ABC的面积.【小问1详解】∵()3,3B−，()0,2C∴2(3)5033BCk−−==−−，BC中点坐标31(,)22−.∴BC边的中垂线所在直线的方程：133+()252yx=−，即3570xy−−=.的所以BC边

的中垂线所在直线的方程为：3570xy−−=.【小问2详解】∵()3,3B−，53BCk=−∴BC边所在直线方程为：5+3(3)3yx=−−，即5360xy+−=.∴点()5,0A−到直线BC的距离为：225(5)30631343453d

−+−==+.∵()3,3B−，()0,2C∴22(30)(32)34BC=−+−−=∴1313431342342ABCS==.所以求△ABC的面积为312.18.已知三棱柱111ABCABC-，底面三角形ABC为正三角形，侧棱1AA⊥底面ABC，12,4ABAA==，E为1

AA的中点，F为BC中点.（1）求证：直线//AF平面1BEC；（2）求平面1BEC和平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】：方法一（1）取1BC的中点为R，连接,RERF，通过证明四边形AFRE为平行四边形，得出//AFRE，则证

出直线//AF平面1BEC；（2）延长1CE交CA延长线于点Q，连接QB，则1CBC为平面1BEC和平面ABC所成的锐二面角的平面角，在1BCC中求解即可.方法二（1）以F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴

，FS为z轴建立空间直角坐标系，设平面1BEC的法向量为m，可以利用AFm⊥来证明；（2）利用1BEC的一个法向量与平面ABC一个法向量求出二面角−−AECF的大小.【详解】法一（1）取1BC中点为R，连接,R

ERF，则1//RFCC，1/AECC，且AERF=，则四边形AFRE为平行四边形，则/AFRE，即//AF平面1REC．（2）延长1CE交CA延长线于点Q，连接QB,则QB即为平面1BEC与平面ABC的交线，且1,BCBQCBBQ⊥⊥，则1CBC为平面1BEC和平面ABC所成的锐二面角的平

面角．在1BCC中，125cos525CBC==．法二取11BC中点为S，连接FS，以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，的则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(0,1,0

)ABFC−，11(3,0,4),(0,1,4),(0,1,4),(3,0,2)ABCE−，（1）则(3,0,0)AF=−，1(3,1,2),(0,2,4)BEBC=−=−，设平面1BEC的法向量为111(,,)mxyz=，则10,0mBEmBC==，即11111320240xyzyz−+

=−+=令12y=，则110,1xz==，即(0.2,1)m=，所以0AFm=，故直线//AF平面1BEC．（2）设平面ABC的法向量(0,0,1)n=，则5cos||||5mnmn==．19

.已知圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)求经过圆上一点A(﹣1，3)的切线方程．【答案】(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)2x﹣y+5＝0．【解析】【分析】(1)根据

题意，设圆心的坐标为(a，b)，则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；(2)根据题意，A(﹣1，3)在圆C上，求出AC的斜率，由垂

直可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．【详解】解：(1)根据题意，设圆心的坐标为(a，b)，圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，圆C经过点A(﹣1，3)，B(3，3)两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，则有101aba−+=

=，解可得b＝2；则圆心的坐标为(1，2)，半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，则圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5；(2)根据题意，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2＝5，有A(﹣1，3)在圆C

上，有KAC321112−==−−−，则切线的斜率k＝2，则切线的方程为y﹣3＝2(x+1)，变形可得2x﹣y+5＝0．【点睛】本题考查求圆的标准方程和圆的切线方程，求圆的标准方程，一般是确定圆心坐标和半径，由圆的性质知圆心一定在弦的中垂线上．圆的切线与过切点

的半径垂直，由此可求出切线斜率得切线方程．20.双曲线C的中心在原点，右焦点为23,03F，渐近线方程为3yx=．（1）求双曲线C的方程；（2）设直线:1lykx=+与双曲线C交于,

AB两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．【答案】（1）2231xy−=；（2）1k=．【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为221(0)3xymmm−=，利用焦点坐标可求得13m=，从而求得双曲线的方程.（2）设()()112

2,,AxyBxy、，根据OAOB⊥可得12120xxyy+=，联立直线方程和双曲线方程，消去y后利用韦达定理化简12120xxyy+=后可求得斜率的值.【详解】（1）设双曲线的方程为221(0)3xymmm−=，则2234433m==，故

13m=，故双曲线的方程是2231xy−=.（2）由22131ykxxy=+−=，得22(3)220kxkx−−−=，由0，且230k−得66k−，且3k，设()()1122,,AxyBxy、，因

为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB⊥，所以12120xxyy+=，又12122222,33kxxxxkk+==−−−，所以212121212(1)(1)()11yykxkxkxxkxx=++=+++=，所以22103k+=−解得1k=.【点睛】本题考查双曲线方程的求法以及直线和双曲

线位置关系中的参数的计算，前者注意方程形式的合理假设，后者注意利用韦达定理对目标代数式合理变形化简，本题属于中档题.21.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点.把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面A

BCE.（1）求证：AD⊥BE；（2）求BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）由条件可得BEAE⊥，再根据面面垂直的性质可得BE⊥平面DAE，从而可证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEC的法向量，利用向量方法求解.

【详解】（1）证明：因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，222AEBEBCCE==+=,所以222AEBEAB+=，则BEAE⊥又因为BE⊥AE，又BE平面ABCE，所以BE⊥平面DAE，因为AD⊂平

面DAE，所以BE⊥AD，故AD⊥BE.（2）解：取AB的中点M，则EMAB⊥,取AE的中点F，由ADDE=,则EMAB⊥,又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，又AF平面ADE，所以AF⊥平面ABCE，以过点E作直线AF的平行线为z

轴，EM为x轴，EC为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：E(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),()110A−，，，则11,,022F−,112,,222D−()1121320,1,

0,,,,,,222222ECEDBD==−=−−设平面DEC的法向量为(),,nxyz=01120222ECnyEDnxyz===−+=，令2x=−,()2,0,1n=−设BD所在直线与平面DEC所成角为

则||22sincos,3||||33BDnBDnBDn====所以BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值为23.【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为

原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两

个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角范围，得出答案.22.已知椭圆E：22221xyab+=（0ab）的离心率为12，且其长轴长与焦距之和为6，直线1ykx=，2ykx=与椭圆E分别交于点A，B，C，D，且1212kk+=−．（1）求椭圆E的

标准方程；（2）求四边形ACBD面积的最大值．【答案】（1）22143xy+=（2）43的【解析】【分析】（1）由题意可得：12ca=，226ac+=，222abc=+，求得a，b的值即可求解；（2）设()11,A

xy，()22,Cxy，直线AC的方程为()0ykxmk=+与椭圆方程联立消去y可得12xx+、12xx，将1212kk++1212120yyxx=++=整理可得226mk=+，四边形ACBD的面积4AOCSS=△1

22mxx=−整理为关于k和m的表达式，利用基本不等式即可求得最值，再检验满足0即可.【小问1详解】由题意可得：12ca=，226ac+=，解得：2a=，1c=，所以223bac=−=，所以椭圆E的标准方程为22143xy+=．【小问2详解】由题意知直线AC的斜率存在

且不为0，设直线AC的方程为()0ykxmk=+，()11,Axy，()22,Cxy，把ykxm=+与22143xy+=联立，整理得()2223484120kxkmxm+++−=，由()()2222644344120kmkm=−+−，得2243mk+，且1

22834kmxxk+=−+，212241234mxxk−=+．所以()()12211212121212121212xkxmxkxmxxyykkxxxx++++++=++=()121212(212)0kxxmxxxx+++==，所以()()22121222(212)4128(212)0

3434kmkmkxxmxxkk+−+++=−=++，整理得：226mk=+．设O为坐标原点，易知四边形ACBD的面积()221212122244AOCmxxmxxxxSS=−=+=−()()()()()2222222222

2264441234342833434kmmkmkmmkk−−++−==++2222342834334mkmk++−=+，当且仅当22234mkm=+−，即22234mk=+时取等号．将22234mk=+与

226mk=+联立，可得1421mk==或42434mk==−均满足2243mk+．所以四边形ACBD面积的最大值为43.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这

个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．获得更

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