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【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题18 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合 Word版含解析.docx，共(107)页，5.898 MB，由小赞的店铺上传
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专题18圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1椭圆方程及其性质（10年6考）2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、
2019·全国卷2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷1.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质应用，是高考高频考点2.熟练掌握椭圆和双曲线的离心率的求解及应用，同样是高考热点命题方向3.熟练掌握直线与圆
锥曲线的位置关系，并会求解最值及范围，该内容也是命题热点4.掌握曲线方程及轨迹方程考点2双曲线方程及其性质（10年10考）2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷2022·天津
卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷
、2018·全国卷2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷2016·天津卷、2016
·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷2015·上海卷、
2015·全国卷、2015·北京卷考点3抛物线方程及其性质（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、20
22·全国乙卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·浙江卷、2016·天津卷
、2016·全国卷、2016·四川卷2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷2015·陕西卷考点4椭圆的离心率及其应用（10年8考）2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲
卷、2022·全国甲卷2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷考点5双曲
线的离心率及其应用（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京
卷2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷2018·北京卷、2018·全
国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷2015·山东卷、2015·山东卷、2015·
湖南卷考点6直线与圆锥曲线的位置关系及其应用（10年10考）2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷20
20·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷考点7曲线方程及曲线轨迹（10年6考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷
2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷考点8圆锥曲线中的最值及范围问题（10年6考）2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·
浙江卷2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷考点01椭圆方程及其性质1．（2023·全国甲卷·高考真题）设12,FF为椭圆22:15xCy+=的两个焦点，点P在C上，若120PFPF=，则12PFPF=（）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】方法
一：根据焦点三角形面积公式求出12PFF△的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PFPF=，所以1290FPF=，从而122121tan4512FPFSbPFPF=
==，所以122PFPF=．故选：B.方法二：因为120PFPF=，所以1290FPF=，由椭圆方程可知，25142cc=−==，所以22221212416PFPFFF+===，又12225P
FPFa+==，平方得：22121212216220PFPFPFPFPFPF++=+=，所以122PFPF=．故选：B.2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，12,FF为椭圆22:196xyC+=的两个焦点，点P在C上，123cos
5FPF=，则||OP=（）A．135B．302C．145D．352【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PFF△的面积，即可得到点P的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PFPFPFPF+，再结合中线的向量公式以及数量
积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PFPF+，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02FPF=，所以122212tantan2PFFFPFSbb==，由22212222cossin1tan3coscos2cos+sin1tan5FPF
−−====+，解得：1tan2=，由椭圆方程可知，222229,6,3abcab===−=，所以，1212111236222PFFppSFFyy===，解得：23py=，即2399162px=−=，因此2293032
2ppOPxy=+=+=．故选：B．方法二：因为1226PFPFa+==①，222121212122PFPFPFPFFPFFF+−=，即2212126125PFPFPFPF+−=②，联立①②，解得：22121215,212PFPFPFPF=
+=，而()1212POPFPF=+，所以1212OPPOPFPF==+，即22121122111315302212222522POPFPFPFPFPFPF=+=++=+=．故选：B．方法三：因为1226PFPFa+==①，222121212122cosPFPFPFPFFPFFF+−=，
即2212126125PFPFPFPF+−=②，联立①②，解得：221221PFPF+=，由中线定理可知，()()222212122242OPFFPFPF+=+=，易知1223FF=，解得：302OP=．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二
级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率
为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE=，则ADEV的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc+=+−=，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE
的方程：3xyc=−，代入椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc−−=，利用弦长公式求得138c=，得1324ac==，根据对称性将ADEV的周长转化为2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a=.【详解】∵椭
圆的离心率为12cea==，∴2ac=，∴22223bacc=−=，∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc+=+−=，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac===，，，∴23AFO=，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直
于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc=−，代入椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc−−=，
判别式()2222634139616ccc=+=，∴()212Δ13226461313cDEyy=+−===，∴138c=，得1324ac==，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF==，，∴ADEV的周长等于2FDE
△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa++=+++=+++=+==.故答案为：13.4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题
）已知1F，2F是椭圆C：22194xy+=的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa+==，借助基本不等式212122MFMFMFMF
+即可得到答案．【详解】由题，229,4ab==，则1226MFMFa+==，所以2121292MFMFMFMF+=（当且仅当123MFMF==时，等号成立）．故选：C．【点睛】5．（2020
·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（）A．3B．6C．8D．12【答案】B【分析】根据椭圆中,,abc的关系即可求解.【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以210a=，28c=，
可得5a=，4c=，所以22225169bac=−=−=，可得3b=，所以该椭圆的短轴长26b=，故选：B.6．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB=││││，1ABBF=│││
│，则C的方程为A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=【答案】B【分析】由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，得12AFn=，在1AFB△中求得11cos3FAB=，再在12AFF△中，由余弦定理得3
2n=，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFAB
nn+−==．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn+−=，解得32n=．2222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．法二：由已知可设2
FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnAFFn
nnBFFn+−=+−=，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF+=，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn+=，解得32n=．2222423,3,312,anaba
c====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．7．（2019·全国·高
考真题）设12FF，为椭圆22:+13620xyC=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF△为等腰三角形，则M的坐标为.【答案】()3,15【分析】根据椭圆的定义分别求出12MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出
M的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4abcabc===−==，又M为C上一点且在第一象限,12MFF△为等腰三角形，11228MFFFc===．∴24MF=．设点M的坐标为()()0000,0,0xyxy，则121200142MFFSFFyy=
=△，又122201482415,44152MFFSy=−==△，解得015y=，()2201513620x+=，解得03x=（03x=−舍去），M的坐标为()3,15．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养
．8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670xmymx+−−=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于．【答案】27【分析】由于22670xmymx+−−=是圆，可得1m=，通过圆心和半径计算,,abc，即得解【详解】由于22670xmymx
+−−=是圆，1m=即：圆22670xyx+−−=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c=，4a=，227bac=−=，那么短轴长为27故答案为：279．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx=的焦点重合，,A
B是C的准线与E的两个交点，则AB=A．3B．6C．9D．12【答案】B【详解】试题分析：抛物线28yx=的焦点为(2,0),所以椭圆的右焦点为(2,0),即2,c=且221,4,12,2cabaca===−=椭圆的方程为221.1612xy+
=抛物线准线为2,x=−代入椭圆方程中得(2,3),(2,3),6.ABAB−−−=故选B.考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆222125xym+=（0m）的左焦点为()1F4,0−
，则m=A．9B．4C．3D．2【答案】C【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C.考点：椭圆的基本性质11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆221164x
y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.【答案】22325()24xy−+=【详解】设圆心为（a，0），则半径为4a−，则222(4)2aa−=+，解得32a=，故圆的方程为22325()24xy−+=.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程考点02双曲线方程
及其性质1．（2024·天津·高考真题）双曲线22221()00axyabb−=，的左、右焦点分别为12.FFP、是双曲线右支上一点，且直线2PF的斜率为2．12PFF△是面积为8的直角三角形，则双曲线
的方程为（）A．22182yx−=B．22184xy−=C．22128xy−=D．22148xy−=【答案】C【分析】可利用12PFF△三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm=，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合
第一定义再求出a.【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，1290FPF=，设2PFm=，211122,PFFPFF==，由21tan2PFk==，求得12sin5=，因为1290FPF=，所以121PFPFkk=−，求得11
2PFk=−，即21tan2=，21sin5=，由正弦定理可得：121212::sin:sin:sin902:1:5PFPFFF==，则由2PFm=得1122,25PFmFFcm===，由1212112822PFFSPFPFmm===得22m=，则
211222,42,2210,10PFPFFFcc=====，由双曲线第一定义可得：12222PFPFa−==，222,8abca==−=，所以双曲线的方程为22128xy−=.故选：C2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)
xyCabab−=的离心率为5，C的一条渐近线与圆22(2)(3)1xy−+−=交于A，B两点，则||AB=（）A．55B．255C．355D．455【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e=，则222222215cabbaaa+=
=+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2yx=，则圆心(2,3)到渐近线的距离2|223|5521d−==+，所以弦长22145||22155ABrd=−=−=.故选：D3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线2219yx−=上两
点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．()1,1B．()1,2-C．()1,3D．()1,4−−【答案】D【分析】根据点差法分析可得9ABkk=，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判
断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，则AB的中点1212,22xxyyM++，可得1212121212122,2AByyyyyykkxxxxxx+−+===+−+，因为,AB在双曲线上，则2211
22221919yxyx−=−=，两式相减得()2222121209yyxx−−−=，所以221222129AByykkxx−==−.对于选项A：可得1,9ABkk==，则:98AByx=−，联立方程229819
yxyx=−−=，消去y得272272730xx−+=，此时()2272472732880=−−=−，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得92,2ABkk=−=−，则95:22AByx=−−，联立方程22952219yxyx=−−−=
，消去y得245245610xx++=，此时()224544561445160=−=−，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得3,3ABkk==，则:3AByx=由双曲线方程可得1,3ab==，则:3
AByx=为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：94,4ABkk==，则97:44AByx=−，联立方程22974419yxyx=−−=，消去y得263126
1930xx+−=，此时21264631930=+，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12FF、．过2F向一条渐
近线作垂线，垂足为P．若22PF=，直线1PF的斜率为24，则双曲线的方程为（）A．22184xy−=B．22148xy−=C．22142xy−=D．22124xy−=【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设2POF=，
由tanbbOPa==得到OPa=，2OFc=.再由三角形的面积公式得到Py，从而得到Px，则可得到2224aa=+，解出a，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为()2,0Fc，不妨设渐近线方程为byxa=，即0bxay−=，所以222bcbcPFbcab===+，所以2b
=.设2POF=,则2tanPFbbOPOPa===，所以OPa=，所以2OFc=.因为1122Pabcy=,所以Pabyc=，所以tanPPPabybcxxa===，所以2Paxc=，所以2,aabPcc，因为()1,0Fc−，所以12222
2222424PFababaackaacaaacc=====+++++，所以()2224aa+=，解得2a=，所以双曲线的方程为22124xy−=故选：D5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,yxFF=
分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F，与双曲线的渐近线交于点A，若124FFA=，则双曲线的标准方程为（）A．22110xy−=B．22116yx−=C．2214yx−=D
．2214xy−=【答案】C【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得112AFFF=，由此可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245yx=的准线方程为5x=
−，则5c=，则()15,0F−、()25,0F，不妨设点A为第二象限内的点，联立byxaxc=−=−，可得xcbcya=−=，即点,bcAca−，因为112AFFF⊥且124FFA=，则12FFA△为等腰直角三角形，且112AFFF=，即2=b
cca，可得2ba=，所以，22225baccab===+，解得125abc===，因此，双曲线的标准方程为2214yx−=.故选：C.6．（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1xyCab−=离心率为2，过点
()2,3，则该双曲线的方程为（）A．2221xy−=B．2213yx−=C．22531xy−=D．22126xy−=【答案】B【分析】分析可得3ba=，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详
解】2cea==，则2ca=，223bcaa=−=，则双曲线的方程为222213xyaa−=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa−==，解得1a=，故3b=，因此，双曲线的方程为2213yx−=.故选：B7．（2021·全国甲卷·高考真题）点
()3,0到双曲线221169xy−=的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy−=
，即340xy=，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340xy+=的距离：9095916d+==+.故选：A.8．（2020·天津·高考真题）设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab−=，过抛物线24yx=的
焦点和点(0,)b的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A．22144xy−=B．2214yx−=C．2214xy−=D．221xy−=【答案】D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l的方程为1yxb+=，即得直线的斜率为b−，再根据
双曲线的渐近线的方程为byxa=，可得bba−=−，1bba−=−即可求出,ab，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l的方程为1yxb+=，即直线的斜率为b−，又双曲线的渐近线的方程为byxa=，所以bba
−=−，1bba−=−，因为0,0ab，解得1,1ab==．故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0）
，B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=234x−图像上的点，则|OP|=（）A．222B．4105C．7D．10【答案】D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数234yx=−的
图象上，即可求出点P的坐标，得到OP的值．【详解】因为||||24PAPB−=，所以点P在以,AB为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1ca==可得，222413bca=−=−=，即双曲线的右支方程为()2210
3yxx−=，而点P还在函数234yx=−的图象上，所以，由()22210334yxxyx−−==，解得132332xy==，即13271044OP=+=．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以
及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．10．（2019·全国·高考真题）双曲线C：2242xy−=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=POPF，则△PFO的面积为A．324B．322C．22D．32【答案】A【分析】本题考查以双曲线为载体
的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由222,2,6,abcab===+=．6,2PPOPFx==，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在22yx=上，1133262224PFOPSOFy===△，故
选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线22221(00)xyCabab−=：，的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近
线的距离为A．2B．2C．322D．22【答案】D【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：2e1()2cbaa==+=1ba=所以双曲线的渐近线方程为xy0=
所以点（4，0）到渐近线的距离4d2211==+故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．12．（2018·浙江·高考真题）双曲线2213xy−=的焦点坐标是A．()2,0
−，()2,0B．()2,0−，()2,0C．()0,2−，()0,2D．()0,2−，()0,2【答案】B【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222cab=+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213xy−=，所以焦点坐标可设为(,0)c，因为22231
4,2cabc=+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0,0)xyabab−=可得焦点坐标为22(,0)()ccab=+，顶点坐标为(,0)a，渐近线方程为byxa=.13．（2018·全国·高考真题）
双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yx=B．3yx=C．22yx=D．32yx=【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222223,1312,2,cbca
beeaaaa−====−=−==因为渐近线方程为byxa=，所以渐近线方程为2yx=，选A.点睛：已知双曲线方程22221(,0)xyabab−=求渐近线方程：22220xybyxaba−==.14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：2213xy−=，O为坐标原
点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A．32B．3C．23D．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60或1
20，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22MN−，利用两点间距离公式求得M
N的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33，且右焦点为(2,0)F，从而得到30FON=，所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为3
(2)yx=−，分别与两条渐近线33yx=和33yx=−联立，求得33(3,3),(,)22MN−，所以2233(3)(3)322MN=−++=，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而
得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求
得结果.15．（2018·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点.设,AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126,dd+=则双曲线的方程为A．22139xy−=B
．22193xy−=C．221412xy−=D．221124xy−=【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0Fc（c>0），则AB
xxc==，由22221cyab−=可得：2bya=，不妨设：22,,,bbAcBcaa−，双曲线的一条渐近线方程为0bxay−=，据此可得：22122bcbbcbdcab−−==+，22222bcbbcbdcab++
==+，则12226bcddbc+===，则23,9bb==，双曲线的离心率：2229112cbeaaa==+=+=，据此可得：23a=，则双曲线的方程为22139xy−=.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，
然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220xyab−=，再由条件求出λ的值即可.1
6．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．221412xy−=B．221124xy−=C．2213xy
−=D．2213yx−=【答案】D【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan603ccabba==+==，解得：221,3ab==，双曲线方程为：2213yx−=.故选：D..【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲
线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn−=，（2）与22221xyab−=共渐近
线的双曲线可设为2222(0)xyab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的
一条渐近线，则双曲线的方程为A．22144xy−=B．22188xy−=C．22148xy−=D．22184xy−=【答案】B【详解】由题意得224,14,22188xyabcabc==−===−=−，选B.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥
曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn−=，（2）与2
2221xyab−=共渐近线的双曲线可设为2222(0)xyab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C：2213yx−=的右焦点，P是
C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为A．13B．12C．23D．32【答案】D【详解】由2224cab=+=得2c=，所以(2,0)F，将2x=代入2213yx−=，得3=
y，所以||3PF=，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为133(21)22−=，选D．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F，结合PF与x轴垂直，可得||3
PF=，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线222=14xyb−（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，
B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为A．223=144xy−B．224=143xy−C．22=144xy−D．22=1412xy−【答案】D【详解】试题分析：根据对称性，不妨设(
,)Axy在第一象限，则，∴221612422bbxybb===+，故双曲线的方程为221412xy−=，故选D.【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上
，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．20．（20
16·全国·高考真题）已知方程222213xymnmn−=+−表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3)B．(–1,3)C．(0,3)D．(0,3)【答案】A【详解】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2234mnmn++−=，解得
21m=，因为方程22113xynn−=+−表示双曲线，所以10{30nn+−，解得1{3nn−，所以n的取值范围是()1,3−，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查
双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：
由题意，得15,2bca==，又222+=abc，所以2,1ab==，所以双曲线的方程为22141xy−=，选A.【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”
是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线
方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【答案】C【详解】试题分析
：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的
应用，考查计算能力．23．（2015·重庆·高考真题）设双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点是F，左、右顶点分别是12,AA,过F作12AA的垂线与双曲线交于B，C两点，若12ABAC⊥,则双曲线的渐近线的斜率为A．12B．22C．1D．2【答案
】C【详解】试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.考点：双曲线的性质24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的一个焦点为
(2,0)F,且双曲线的渐近线与圆()2223xy−+=相切,则双曲线的方程为A．221913xy−=B．221139xy−=C．2213xy−=D．2213yx−=【答案】D【详解】试题分析：依题意有2223{3baccab===+，解得1,3ab==，所以方程为
2213yx−=.考点：双曲线的概念与性质．25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为2yx=的是A．2214yx−=B．2214xy−=C．2212yx−=D．2212xy−=【答案】A【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.26．（2015·福建·高考真题）若双曲线的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF=，则2PF等于A．11B．9C．5D．3【答案】B【详解】由双曲线定义得1226PFPFa−==，即236PF−=，解得29PF=，故选B．考
点：双曲线的标准方程和定义．二、填空题27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为(2,0)−和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．【答案】22122xy−=【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为
,ab，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距2c=，由双曲线C的离心率为2，得2ca=，解得2a=，则222bca=−=，所以双曲线C的方程为22122xy−=.故答案为：22122xy−=28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=
的离心率为e，写出满足条件“直线2yx=与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足15e皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa=中02ba即可求得满足要求的e值.【详解】解：2222:1(0,0)
xyCabab−=，所以C的渐近线方程为byxa=,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx=与C无公共点”所以221145==++=cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）29．
（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线2221(0)xymm−=的渐近线与圆22430xyy+−+=相切，则m=．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得
即可．【详解】解：双曲线()22210xymm−=的渐近线为yxm=，即0xmy=，不妨取0xmy+=，圆22430xyy+−+=，即()2221xy+−=，所以圆心为()0,2，半径1r=，依题意圆心()0,2到渐近线0xmy+=的距离
2211mdm==+，解得33m=或33m=−（舍去）．故答案为：33．30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线221xym+=的渐近线方程为33yx=，则m=．【答案】3−【分析】首先可得0m，即可得到双曲线的标准方程，
从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221xym+=，所以0m，即双曲线的标准方程为221xym−=−，则1a=，bm=−，又双曲线221xym+=的渐近线方程为33yx=，所以33ab=，即133m=−，解得3m=−；故答
案为：3−31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线22:1(0)xCymm−=的一条渐近线为30xmy+=，则C的焦距为．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,ab的关系，再结合双曲线中22,ab对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详
解】由渐近线方程30xmy+=化简得3yxm=−，即3bam=，同时平方得2223bam=，又双曲线中22,1amb==，故231mm=，解得3,0mm==（舍去），2223142cabc=+=+==，故焦距24c=.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距
，正确计算并联立关系式求解是关键.32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线22145xy−=的右焦点到直线280xy+−=的距离为．【答案】5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，22543cab=+=+=，所以双曲线的右焦点为(
3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280xy+−=的距离为22|3208|55512+−==+.故答案为：533．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线22221xyab−=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.【答案】3yx=【分析】根据离心率得出2ca=，结合222+=abc得出,ab关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率2cea==，即2ca=，又22224abca+==，即223
ba=，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3yx=.故答案为：3yx=.34．（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163xyC−=，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．【答案】()3,03【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐
标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C中，6a=，3b=，则223cab=+=，则双曲线C的右焦点坐标为()3,0，双曲线C的渐近线方程为22yx=，即20x
y=，所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为23312=+.故答案为：()3,0；3.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.35．（2019·江苏·高考真题）在平面直
角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb−=经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.【答案】2yx=.【分析】根据条件求b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b−=，解得2b=或2b=−，因为0b，所以2b=.因为1a=
，所以双曲线的渐近线方程为2yx=.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,ab密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.36．（2018·北京·高考真题）若双曲线2221(0)4x
yaa−=的离心率为52，则a=.【答案】4【详解】分析：根据离心率公式cea=，及双曲线中,,abc的关系可联立方程组，进而求解参数a的值.详解：在双曲线中，2224caba=+=+，且52cea==
2224545,24aaaa++==216a=0,4aa=点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式22222
1cbeaa==+，找到,ab之间的关系.37．（2017·上海·高考真题）设双曲线22219xyb−=(0)b的焦点为1F、2F，P为该双曲线上的一点，若1||5PF=，则2||PF=【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9xybb−=
，可得3a=，根据双曲线的定义可知1226PFPFa−==，又因为15PF=，所以2||11PF=.38．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线22(0)xpyp=交于
,AB两点，若AF+BF=4OF，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】22yx=【详解】||||=4222ABABpppAFBFyyyyp++++=+=，因为22222222221202xyaypbyababxpy−=
−+==，所以2222ABpbyypaba+===渐近线方程为22yx=.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求
法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为221AxBy+=的形式，当0A，0B，AB时为椭圆，当0AB时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离
时，一般运用定义转化为到准线距离处理．39．（2017·全国·高考真题）双曲线22219xya−=()0a的一条渐近线方程为35yx=，则=a．【答案】5【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为3xya=，即可得到方程，解得即可.【详解】解：双曲线2221(0)9xyaa−=
的一条渐近线方程为35yx=，又双曲线的渐近线为3xya=，可得335a=，解得5a=．故答案为：5．40．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213xy−=的右准线与它的两条渐近线
分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【答案】23【详解】右准线方程为33101010x==，渐近线方程为33yx=，设31030(,)1010P，则31030(,)1010Q−，1(10,0)F−
，2(10,0)F，则302102310S==．点睛:（1）已知双曲线方程22221xyab−=求渐近线：22220xybyxaba−==；（2）已知渐近线ymx=可设双曲线方程为222mxy−=；（3）双曲线的焦点到渐
近线的距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点．41．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy−=的焦距是.【答案】210【详解】试题分析：222227,3,7310,10,2210
abcabcc===+=+===．故答案应填：210【考点】双曲线性质【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)xyabab−=揭示焦点在
x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2222cab=+，渐近线方程为byxa=，离心率为22cabaa+=．42．（2016·北京·高考真题）双曲线22221xyab−=(0a，0b)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线
，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=.【答案】2【详解】试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以45AOB=，所以直线OA的方程为yx=，此为双曲线的渐近线，因此ab=，又由题意知22OB=，所以22222(22)abaa+=+=，2a=．
故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的
方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.43．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2–23y=1的左、右焦点分别为F1，F2．
若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【答案】(27,8)．【详解】试题分析：由已知得1,3,2abc===，则2cea==，设(,)Pxy是双曲线上任一点，
由对称性不妨设P在双曲线的右支上，则12x，121PFx=+，221PFx=−，12FPF为锐角，则2221212PFPFFF+，即222(21)(21)4xx++−，解得72x，所以722x，则124(27,8)PFPFx+=．【考点】双曲线的几何性质
.【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得1F和2F，再由12FF为锐角三角形可得2221212FFFF+，进而可得x的不等式，解不等式可得12FF+的取值范围．44．（2016·北京·高考真题）已知双曲线22221(
0,0)xyabab−=的一条渐近线为20xy+=，一个焦点为(5,0)，则=a；b=．【答案】12【详解】试题分析：依题意有5{2cba=−=−,结合222cab=+,解得1,2ab==.【考点】双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，
渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当
时为双曲线.45．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为【答案】22【详解】设(,),(1)Pxyx，因为直线10xy−+=平行于
渐近线0xy−=，所以点到直线的距离恒大于直线10xy−+=与渐近线0xy−=之间距离，因此c的最大值为直线10xy−+=与渐近线0xy−=之间距离，为12.22=考点：双曲线渐近线，恒成立转化46．（2015·浙江·高考真题）双曲线221
2xy−=的焦距是，渐近线方程是．【答案】，.【详解】由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质47．（2015·全国·高考真题）已知F是双曲线22:18yCx−=的右焦点，P是C左
支上一点，()0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126【分析】根据题意，根据1,,PAF三点共线，求出直线1AF的方程，联立双曲线方程，即可求得P点坐标，则由11APFAFFPFFSSS=−
即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，12PFaPF=+，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12aPF++|AF|=|PA|+1PF+|AF|+2a，由于2||aAF+是定值，要使△APF的周长最
小，则|PA|+1PF最小，即P、A、1F共线，∵()0,66A，()13,0F−∴直线1AF的方程为1366xy+=−，即326yx=−代入2218yx−=整理得266960yy+−=，解得26y=或86y=−(舍)，所以P点的纵坐标为26，∴11116
6662622APFAFFPFFSSS=−−=126.故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.48．（2015·上海·高考真题）已知双
曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.【答案】【详解】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所
以，所以的方程为.考点：双曲线的性质，直线的斜率.49．（2015·上海·高考真题）已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C．若1C的渐近线方程为3y
x=，则2C的渐近线方程为．【答案】32yx=【详解】由题意得：1C：223,(0)xy−=，设(,)Qxy，则(,2)Pxy，所以2234xy−=，即2C的渐近线方程为32yx=考点：双曲线渐近线50．（2015·全国·高考真
题）已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为12yx=，则该双曲线的标准方程为.【答案】2214xy−=【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224xy−=.点(4,3)M为该双曲线上的点，16124=−=.该双曲线的方
程为：2244xy−=，即2214xy−=.故本题正确答案是2214xy−=.51．（2015·北京·高考真题）已知()2,0是双曲线2221yxb−=（0b）的一个焦点，则b=．【答案】3【详解】由题意知2,1ca==，2223bca=−=，所以3b=.考点：双曲线的焦点
.考点03抛物线方程及其性质1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，点M在C上．若M到直线3x=−的距离为5，则||MF=（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8Cyx=的焦点()2
,0F，准线方程为2x=−，点M在C上，所以M到准线2x=−的距离为MF，又M到直线3x=−的距离为5，所以15MF+=，故4MF=.故选：D.2．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF=，则AB=（）A．2B．22C．
3D．32【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F，则2AFBF==，即点A到准线=1x−的距离为2，所以点A的横坐标为121−+=，不妨设点A在x轴上方，代入得，
()1,2A，所以()()22310222AB=−+−=.故选：B3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线22(0)ypxp=的焦点到直线1yx=+的距离为2，则p=（）A．1B．2C．22D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，
然后结合点到直线距离公式可得p的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p，其到直线10xy−+=的距离：012211pd−+==+，解得：2p=(6p=−舍去).故选：B.4．（2020·北京·高考真题）
设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl⊥于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP【答案】B【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分
线经过点P，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,FQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.5．（2020·全国·高考真题）
已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||
122ApAFx=+=，即1292p=+，解得6p=.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6．（2019·全国·高考真题）若抛物线y2=2px（p
>0）的焦点是椭圆2231xypp+=的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．8【答案】D【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排除的方法，如2p=时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线22(0)ypxp=的焦点(,0)2p是椭圆2231xypp+=的一个焦点，所以23()2ppp−=，解得8p=，故选D．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．7．（2017·全国·高考真题）已知
F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A【详解】设11223344(,),(,),(,),(,)AxyBxyDxyExy，直线1l的方程为1(
1)ykx=−，联立方程214(1)yxykx==−，得2222111240kxkxxk−−+=，∴21122124kxxk−−+=−212124kk+=，同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk++=，
由抛物线定义可知12342ABDExxxxp+=++++=221222222212121224244416482816kkkkkkkk++++=+++=，当且仅当121kk=−=（或1−）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长
问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为
，则22||sinpAB=，则2222||πcossin(+)2ppDE==，所以222221||||4(cossincosppABDE+=+=+222222222111sincos)4()(cossin)4(2)4(22)16sincossincossin
=++=+++=.8．（2016·全国·高考真题）设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，曲线()0kykx=与C交于点P，PFx⊥轴，则k=A．12B．1C．32D．2【答案】D【详解
】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kPyk===，故选D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.9．（2016·四川·高考真题）抛物线y2=4x的焦点坐标是A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D
．（1,0）【答案】D【详解】试题分析：24yx=的焦点坐标为(1,0)，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．10
．（2015·浙江·高考真题）如图，设抛物线24yx=的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是A．11BFAF−−B．2211BFAF−−C．11BFAF++D．221
1BFAF++【答案】A【详解】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx=的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB=A．3B．6C．9D．12【
答案】B【详解】试题分析：抛物线28yx=的焦点为(2,0),所以椭圆的右焦点为(2,0),即2,c=且221,4,12,2cabaca===−=椭圆的方程为221.1612xy+=抛物线准线为2,x=−代入椭
圆方程中得(2,3),(2,3),6.ABAB−−−=故选B.考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．12．（2015·陕西·高考真题）已知抛物线22(0)ypxp=的准线经过点(1,1)−，则抛物线焦点坐标为A．(1,0)−B．(1,0)C．(0,1)−D．(0,1)【答
案】B【详解】由抛物线22(0)ypxp=得准线2px=−，因为准线经过点(1,1)−，所以2p=，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B考点：抛物线方程和性质.二、多选题13．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：24yx=的准
线为l，P为C上的动点，过P作22:(4)1Axy+−=⊙的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（）A．l与A相切B．当P，A，B三点共线时，||15PQ=C．当||2PB=时，PAAB⊥D．满足||||PAPB=的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为
=1x−，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，,,PAB三点共线时，先求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据2PB=先算出P的坐标，然后验证1PAABkk=−是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PBPF=，于是问题转化成PAPF=的P点的存在性问题，此
时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线24yx=的准线为=1x−，A的圆心(0,4)到直线=1x−的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和A相切，A选项正确；B选项，,,PAB三点共线时，即PAl⊥，则P的纵坐标4Py=，
由24PPyx=，得到4Px=，故(4,4)P，此时切线长22224115PQPAr=−=−=，B选项正确；C选项，当2PB=时，1Px=，此时244PPyx==，故(1,2)P或(1,2)P−，当(1,2)P时，(0,4),(1,2)AB−，42201PAk−=
=−−，4220(1)ABk−==−−，不满足1PAABkk=−；当(1,2)P−时，(0,4),(1,2)AB−，4(2)601PAk−−==−−，4(2)60(1)ABk−−==−−，不满足1PAABkk=−；于是PAAB⊥不成立
，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PBPF=，这里(1,0)F，于是PAPB=时P点的存在性问题转化成PAPF=时P点的存在性问题，(0,4),(1,0)AF，AF中点1,22，AF中垂线的斜率为114AFk−=，
于是AF的中垂线方程为：2158xy+=，与抛物线24yx=联立可得216300yy−+=，2164301360=−=，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PAPF=，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4tPt
，由PBl⊥可得()1,Bt−，又(0,4)A，又PAPB=，根据两点间的距离公式，422(4)1164ttt+−=+，整理得216300tt−+=，2164301360=−=，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选
项正确.故选：ABD14．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线()31yx=−−过抛物线()2:20Cypxp=的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A．2p=B．83MN=C．以MN为直径的圆与l相
切D．OMN为等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线()31yx=−−过点()1,0，所以抛物线()2:20Cypxp=的焦点()1,0F，所以1,2,242ppp===
，则A选项正确，且抛物线C的方程为24yx=.B选项：设()()1122,,,MxyNxy，由()2314yxyx=−−=消去y并化简得()()231033310xxxx−+=−−=，解得1213,3xx==，所以121163233MNx
xp=++=++=，B选项错误.C选项：设MN的中点为A，,,MNA到直线l的距离分别为12,,ddd，因为()()12111222dddMFNFMN=+=+=，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.D选项：直线()31yx=−−，
即330xy+−=，O到直线330xy+−=的距离为32d=，所以三角形OMN的面积为1163432323=，由上述分析可知()1212333123,3133yy=−−=−=−−=，所以()22221231332321,333OMON
=+−==+=，所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.15．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp，若
||||AFAM=，则（）A．直线AB的斜率为26B．||||OBOF=C．||4||ABOFD．180OAMOBM+【答案】ACD【分析】由AFAM=及抛物线方程求得36(,)42ppA，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得6(,)33ppB−，即可求出
OB判断B选项；由抛物线的定义求出2512pAB=即可判断C选项；由0OAOB，0MAMB求得AOB，AMB为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得(,0)2pF，由AFAM=可得点A在FM的垂直平分线上，
则A点横坐标为3224ppp+=，代入抛物线可得2233242pypp==，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为6226342ppp=−，A正确；对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy=+，联立抛物线方程得22106y
pyp−−=，设11(,)Bxy，则16626pyp+=，则163py=−，代入抛物线得21623ppx−=，解得13px=，则6(,)33ppB−，则22673332ppppOBOF=+−==，B错误；对于C，由抛物线定义知：32524
4312pppABppOF=++==，C正确；对于D，23663663(,)(,)0423343234pppppppppOAOB=−=+−=−，则AOB为钝角，又26262665(,)(
,)0423343236pppppppppMAMB=−−−=−−+−=−，则AMB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM+++=，则180OAMOBM+，D正确
.故选：ACD.16．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp=上，过点(0,1)B−的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为1y=−B．直线AB与C相切C．2|OPOQOAD．2|
|||||BPBQBA【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p=，所以抛物线方程为2xy=，故准线方程为14y=−，A错误；1(1)210ABk
−−==−，所以直线AB的方程为21yx=−，联立221yxxy=−=，可得2210xx−+=，解得1x=，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在
，设其方程为1ykx=−，1122(,),(,)PxyQxy，联立21ykxxy=−=，得210xkx−+=，所以21212Δ401kxxkxx=−+==，所以2k或2k−，21212()1yyxx==，又2221111||O
Pxyyy=+=+，2222222||OQxyyy=+=+，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxkxkOA=++===，故C正确；因为21||1||BPkx=+，22||1||BQkx=+，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk
=+=+，而2||5BA=，故D正确.故选：BCD三、填空题17．（2024·北京·高考真题）抛物线216yx=的焦点坐标为．【答案】()4,0【分析】形如()22,0ypxp=的抛物线的焦点坐标为,02p，由
此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为216yx=，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.18．（2024·上海·高考真题）已知抛物线24yx=上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知8Px=，将其再代入抛物线方程即可.【详解】
由24yx=知抛物线的准线方程为1x=−，设点()00,Pxy，由题意得019x+=，解得08x=，代入抛物线方程24yx=，得2032y=，解得042y=，则点P到x轴的距离为42．故答案为：42．19．（2024·天津·高考真题）圆22(1)25
−+=xy的圆心与抛物线22(0)ypxp=的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.【详解】圆22(1)25−+=xy的圆心为()1,0F，
故12p=即2p=，由()2221254xyyx−+==可得22240xx+−=，故4x=或6x=−（舍），故()4,4A，故直线()4:13AFyx=−即4340xy−−=或4340xy+−=，故原点到直线AF的距离为4455d==，故答案为：45
20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点()1,5A在抛物线C：22ypx=上，则A到C的准线的距离为.【答案】94【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x=−，最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可
.【详解】由题意可得：()2521p=，则25p=，抛物线的方程为25yx=，准线方程为54x=−，点A到C的准线的距离为59144−−=.故答案为：94.21．（2021·北京·高考真题）已知抛物线24yx=的焦点为F，点
M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若6=MF，则点M的横坐标为；MNF的面积为．【答案】545【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24yx=，故2p=且
()1,0F.因为6MF=，62Mpx+=，解得5Mx=，故25My=，所以()15125452FMNS=−=，故答案为：5；45.22．（2021·全国·高考真题）已知O为坐标原点，抛物线C：22ypx=(0p
)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP⊥，若6FQ=，则C的准线方程为.【答案】32x=−【分析】先用坐标表示PQ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果.【详解】抛物线C：22ypx=(0p)的
焦点,02pF,∵P为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P的纵坐标为p,不妨设(,)2pPp,因为Q为x轴上一点，且PQOP⊥，所以Q在F的右侧，又||6FQ=，
(6,0),(6,)2pQPQp+=−uuur因为PQOP⊥，所以PQOP=2602pp−=,0,3pp=Q，所以C的准线方程为32x=−故答案为：32x=−.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.23．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为
F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+
y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线2
4yax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.【答案】(1,0)【详解】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数a的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点(1,2)P在抛物线上，将(1,2)P代
入24yax=中，解得：1a=，24yx=，由抛物线方程可得：24,2,12ppp===，焦点坐标为(1,0).考点04椭圆的离心率及其应用1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设椭圆2222122:1(1),:14xxCyaCya+=+=的离心率分别为12,ee．若
213ee=，则=a（）A．233B．2C．3D．6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由213ee=，得22213ee=，因此2241134aa−−=，而1a，所以233a=.故选：A2．（2022·全国·甲卷高考真题）已知椭圆2222:1(0)
xyCabab+=的离心率为13，12,AA分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若121BABA=−，则C的方程为（）A．2211816xy+=B．22198xy+=C．22132xy+=D．2212xy+=【答案】B【分析】根
据离心率及12=1−BABA，解得关于22,ab的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa==−=，解得2289ba=，2289=ba，12,AA分别为C的左右顶点，则()()12,0,,0AaAa−，B为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)
=−−=−BAabBAab，因为121BABA=−所以221−+=−ab，将2289=ba代入，解得229,8ab==，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.3．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆2222:1(0)xyCabab
+=的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C．12D．13【答案】A【分析】设()11,Pxy，则()11,Qxy−，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa=−+，再根据2211221xyab+=，
将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设()11,Pxy，则()11,Qxy−则由14APAQkk=得：21112211114APAQyyykkxaxaxa===+−+−+，由2211221xyab+=，得()2221212baxya−=
，所以()2221222114baxaxa−=−+，即2214ba=，所以椭圆C的离心率22312cbeaa==−=，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk=−故()14APAQPAPBkkkk=−=−，由椭圆第
三定义得：22PAPBbkka=−，故2214ba=所以椭圆C的离心率22312cbeaa==−=，故选A.4．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的
取值范围是（）A．2,12B．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【分析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,Pxy，由()0,B
b，因为2200221xyab+=，222abc=+，所以()()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，因为0byb−，当32bbc−
−，即22bc时，22max4PBb=，即max2PBb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxbPBabc=++，即422224babbc++，化简得，()2220cb−，
显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．5．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=，焦点
1(,0)Fc−，2(,0)Fc(0)c，若过1F的直线和圆22212xcyc−+=相切，与椭圆在第一象限交于点P，且2PFx⊥轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.【答案】25555【分析】不妨假设2c
=，根据图形可知，122sin3PFF=，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan55kPFF==；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c=，设切点为B，12112sinsin3
ABPFFBFAFA===，122222tan5532PFF==−所以255k=,由21212,24PFkFFcFF===，所以2855PF=，21121125=sin5PFPFPFF=∠，于是12452PFaPF+==，即25a=，所以25525cea===．故答案为：255；5
5．6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的离心率为12，则A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和,,abc的关系可
得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2cecaba===−,化简得2234ab=,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.7．（2018·北京·高考真题）已知椭圆22221(0
)xyMabab+=：，双曲线22221xyNmn−=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．【答案】31−2【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,mn
关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc+，再根据椭圆定义得32cca+=，解得椭圆M的离心率.【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc+，再根据椭圆定义得32cca+=，所以椭圆M的离心率为231.13
ca==−+双曲线N的渐近线方程为nyxm=，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为222ππtan333nm==，，2222222342.mnmmeemm++====，故答案为：31−；2．［方法二］：数形结合＋齐次式求离心率设双曲线22221xy
mn−=的一条渐近线nyxm=与椭圆22221xyab+=在第一象限的交点为()00,Axy，椭圆的右焦点为2(,0)Fc．由题可知，2,AF为正六边形相邻的两个顶点，所以260AOF=（O为坐标原点）．所以ta
n603nm==．因此双曲线的离心率222232mnmmemm++===．由nyxm=与22221xyab+=联立解得22222222,abmabnAmbanmban++．因为2AOF△是正三角形，所以||OAc=，因此，可得22
222222222222abmabncmbanmban+=++．将2223,nmbac==−代入上式，化简、整理得4224480aacc−+=，即42840ee−+=，解得31e=−，31e=+（舍去）．所以，椭圆的离心率为31−，双曲线的离心率为2．故答案为：31−；2．［方法三］：数形
结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为3yx=，于是双曲线N的离心率为21(3)2+=．设双曲线22221xymn−=的一条渐近线与椭圆22221xyab+=在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点
分别为12,FF．在12AFF△中，122112,,632AFFAFFFAF===．由正弦定理得1212211212sinsinsinAFAFFFAFFAFFFAF==．于是12122112
12sinsinsinAFAFFFAFFAFFFAF+=+．即椭圆的离心率sin22312sinsin63cea===−+．故答案为：31−；2．【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用
正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．8．（2018·全国·高考真题）已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF⊥
，且2160PFF=，则C的离心率为A．312−B．23−C．312−D．31−【答案】D【详解】分析：设2||PFm=，则根据平面几何知识可求121,FFPF，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12FPF中，122190,60FPFPFF==设2||PFm=，则
1212||2,||3cFFmPFm===，又由椭圆定义可知122||||(31)aPFPFm=+=+则离心率22312(31)ccmeaam====−+，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判
断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.9．（2018·全国·高考真题）
已知椭圆C：2221(0)4xyaa+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A．13B．12C．22D．223【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c=，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b=，利用椭圆中对应,,abc的
关系，求得22a=，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c=，因为24b=，所以2228abc=+=，即22a=，所以椭圆C的离心率为22222e==，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判
断与之相关的量，结合椭圆中,,abc的关系求得结果.10．（2018·全国·高考真题）已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab+=：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，1
2120FFP=，则C的离心率为A．23B．12C．13D．14【答案】D【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.【详解】因为12PFF△为等腰三角形，12120FFP=，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为36得，2223112tan
,sin,cos61313PAFPAFPAF===，由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF=,所以2112211313==4,π5431211sin()3221313caceacPAF===+−−，故选：D.11．（2017·浙江·高考真题）椭圆22
194xy+=的离心率是（）A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】由题可知，3a=，2b=，求出c，即可求出椭圆的离心率．【详解】因为椭圆22194xy+=中3a=，2b=，所以225cab=−=，得53cea==，故选：B
．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．12．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab−+=相切，则
C的离心率为A．63B．33C．23D．13【答案】A【详解】以线段12AA为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为ra=，圆的方程为222xya+=，直线20bxayab−+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222abdaab==+，整理可得223a
b=，即()2223,aac=−即2223ac=，从而22223cea==，则椭圆的离心率2633cea===，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不
等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C1：22xm+
y2=1（m＞1）与双曲线C2：22xn–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1【答案】A【详解】试题分析：由题意
知2211mn−=+，即222mn=+，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2mneemnmnnn−+==−+=−++=42422112nnnn+++，故121ee．故选A．【考点】椭圆的
简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C的焦点时，要注意222cab=−；计算双曲线2C的焦点时，要注意222cab=+．否则很容易出现错误．14．（2016·全国·高考真题）已知O为坐标原点，F是
椭圆C：22221(0)xyabab+=的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A．13B．12C．23D．34【答案】A【
详解】试题分析：如图取P与M重合，则由2(,0),(,)bAaMca−−直线22:()(0,)bbaAMyxaEcaac=+−+−同理由222221(,0),(,)(0,)33bbbbBaMcGaceaacacac−==
=+−+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.15．（2016·全国·高考真题）直线l经过椭圆的一个
顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A．13B．12C．23D．34【答案】B【详解】试题分析：不妨设直线:1xylcb+=，即0bxcybc+−=椭圆中心到l的距离22||24bcbbc−=+12c
ea==，故选B.考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.不妨设直线:1xylcb+=
，即0bxcybc+−=椭圆中心到l的距离22||2142bcbceabc−===+，利用方程思想和数形结合思想建立方程22||24bcbbc−=+是本题的关键节点.16．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)xy
abab+=的右焦点，直线2by=与椭圆交于,BC两点，且90BFC=，则该椭圆的离心率是．【答案】63【详解】由题意得33(,),(,),2222bbBaCa−，故，3(,)22bca+−，又90BFC=，所以2222236()()032.223bcacae−+===【考
点】椭圆离心率【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出,ac，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求,ac的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于,ac的一个等量关系，通过解方程得
到离心率的值.17．（2015·福建·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340lxy−=交椭圆E于,AB两点．若4AFBF+=，点M到直线l的距离不小
于45，则椭圆E的离心率的取值范围是A．3(0,]2B．3(0,]4C．3[,1)2D．3[,1)4【答案】A【详解】试题分析：设1F是椭圆的左焦点，由于直线:340lxy−=过原点，因此,AB两点关于原点对称，从而1AFBF是平行四
边形，所以14BFBFAFBF+=+=，即24a=，2a=，设(0,)Mb，则45bd=，所以4455b，1b，即12b，又22224cabb=−=−，所以03c，302ca．故选A．考点：椭圆
的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,ac关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AFBF+就是2a，从而得2a=，于是只有由点到直线的距离得出b的范围，就得出c的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的
点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．18．（2015·浙江·高考真题）椭圆22221xyab+=（0ab）的右焦点(),0Fc关于直线byxc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】22【分析】设(,)Qmn，利用对称知识，
结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由222abc=+，离心率为cea=，及可求出离心率.【详解】设(),0Fc关于直线byxc=的对称点为(,)Qmn，则有线段FQ的中点坐标为(,)22+mcn，且直线FQ与直线byxc=垂直，所以有122nbmccnbmcc=−
−+=，解得322222,−==ccbbcmnaa，所以322222(,)−ccbbcQaa在椭圆上，即有22322222221ccbbcaaab−+=，又cea=，可得()242444141−++=eeee，可得62410ee+−=，所以64422422210
eeeee−+−+−=，即()()242212++10−=eee，因为01e，所以2210e−=，解得22e=.考点05双曲线的离心率及其应用1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()
0,4,0,4−，点()6,4−在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.【详解】由题意，设()10,4F−、()20,4F、()6,4P−，则1228FFc==，(
)22164410PF=++=，()2226446PF=+−=，则1221064aPFPF=−=−=，则28224cea===.故选：C.2．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5F
NF=，则C的离心率为（）A．52B．32C．132D．172【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23ba=或2ab=，即可得解，注意就,MN在双支上还是在单支上分
类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为B，所以1OBFN⊥，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的左支，OBa=，1OFc=，
1FBb=，设12FNF=，由即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，21NFNF2a−=532222aaba−−=，52be2a==，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，所以OBa=，1OFc=，1
FBb=，设12FNF=，由123cos5FNF=，即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，12NFNF2a−=352222abaa+−=，所以23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=选C[方法二]：答案回代法5Ae2
=选项特值双曲线()()22121,F5,0,F5,04xy−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()y2x5=+，两交点都在左支,62N5,555−−，2112NF5,NF1,FF25===，则123cos5FNF
=，13Ce2=选项特值双曲线()()2212xy1,F13,0,F13,049−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()2yx133=+，两交点在左右两支，N在右支，1418N13,131313，2112NF5,NF9,FF2
13===，则123cos5FNF=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，若,MN分别在左右支，因为1OGNF⊥，且123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，又OGa=，1OFc=，1GFb=，设12FNF=，21FFN=，在
12FNF△中，有()212sinsinsinNFNFc==+，故()122sinsinsinNFNFc−=+−即()sinsinsinac=+−，所以sincoscossinsinsinac=+−，而3cos5=，sinac=，cosbc=，故4sin5
=，代入整理得到23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=若,MN均在左支上，同理有()212sinsinsinNFNFc==+，其中为钝角，故cosbc=−，故()212sinsinsinNFNFc−=−+即sinsincoscossi
nsinac=−−，代入3cos5=，sinac=，4sin5=，整理得到：1424aba=+，故2ab=，故2512bea=+=，故选：AC.3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知12,FF是双曲线C的
两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF=，由双曲线的定义可得12222
PFPFPFa−==，所以2PFa=，13PFa=；因为1260FPF=,由余弦定理可得2224923cos60caaaa=+−，整理可得2247ca=，所以22274ace==，即72e
=.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点与抛物线22(0)y
pxp=的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB=．则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【分析】设公共焦点为(),0c，进而可得准线为xc=−，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac=，再由双曲线离心率公式
即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab−=与抛物线22(0)ypxp=的公共焦点为(),0c，则抛物线22(0)ypxp=的准线为xc=−，令xc=−，则22221cyab−=，解得2bya=，所以22bABa=,又因为双曲线的渐近线方程为byxa=，所以2
bcCDa=，所以2222bcbaa=，即2cb=，所以222212acbc=−=，所以双曲线的离心率2cea==.故选：A.5．（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1xyCab−=离心率为2，过点()2,3，则该双曲线的方程为（）A．2221xy−=B．2213yx−=
C．22531xy−=D．22126xy−=【答案】B【分析】分析可得3ba=，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2ca=，223bcaa=−=，则双曲线的方程为222213xyaa−=，
将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa−==，解得1a=，故3b=，因此，双曲线的方程为2213yx−=.故选：B6．（2019·北京·高考真题）已知双曲线2221xya−=（a
＞0）的离心率是5则a=A．6B．4C．2D．12【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.【详解】∵双曲线的离心率5cea==，21ca=+，∴215aa+=，解得12a=，故选D.【点睛】本题主要考查
双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．（2019·天津·高考真题）已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为l.若l与双曲线22221(0,0)xyabab−=的两条渐近线分别交于点A和点B
，且||4||ABOF=（O为原点），则双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】D【分析】只需把4ABOF=用,,abc表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线24yx=的准线l的方程为=1x−，双曲线的渐近线方程为
byxa=，则有(1,),(1,)bbABaa−−−∴2bABa=，24ba=，2ba=，∴225cabeaa+===．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．8．（2019·全国·高考真题）设F为双曲线C
：22221xyab−=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2D．5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出
P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx⊥轴，又||PQOFc==，||,2cPAPA=为以OF为直径的圆的半径，A为圆心||2cOA=．,22ccP，又P点在圆22
2xya+=上，22244cca+=，即22222,22ccaea===．2e=，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的
重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．（2019·全国·高考真题）双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos50【答案】D【分析】由双曲线渐近线定义
可得tan130,tan50bbaa−==，再利用21cbeaa==+求双曲线的离心率．【详解】由已知可得tan130,tan50bbaa−==，2222222sin50sin50cos50111tan501cos50cos50cos50cbeaa
+==+=+=+==，故选D．【点睛】对于双曲线：()222210,0xyabab−=，有21cbeaa==+；对于椭圆()222210xyabab+=，有21cbeaa==−，防止记混．10．（2018·全国·高考真
题）设1F,2F是双曲线2222:1xyCab−=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP=，则C的离心率为A．5B．3C．2D．2【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到2P
Fb=，POa=然后在2RtPOF和在12PFF中利用余弦定理可得．详解：由题可知22,PFbOFc==POa=在2RtPOF中，222cosPOPFbFOFc==在12PFF△中,22221212212cosPO2PFFFPFbFPFFFc+−
==()2222246322bcabcabcc+−==e3=故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．11．（2018·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为2，过右焦点且垂直于
x轴的直线与双曲线交于,AB两点.设,AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126,dd+=则双曲线的方程为A．22139xy−=B．22193xy−=C．221412xy−=D．221124xy−=【答案】A【详解】分析：由题意首先求
得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0Fc（c>0），则ABxxc==，由22221cyab−=可得：2bya=，不妨设：22,,,bbAcBcaa−
，双曲线的一条渐近线方程为0bxay−=，据此可得：22122bcbbcbdcab−−==+，22222bcbbcbdcab++==+，则12226bcddbc+===，则23,9bb==，双曲线的离心率：2229112cbeaaa==+=+=，据此可得：2
3a=，则双曲线的方程为22139xy−=.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线
的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220xyab−=，再由条件求出λ的值即可.12．（2017·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,
4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A．22144xy−=B．22188xy−=C．22148xy−=D．22184xy−=【答案】B【详解】由题意得224,14,22188xyabcabc==−===−=−，选B.【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用
待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,abc的方程，解方程组求出,ab，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mxnymn−=，（2）与22221xyab−=共渐近线的双曲线可设为2222(0)xy
ab−=，（3）等轴双曲线可设为22(0)xy−=等，均为待定系数法求标准方程.13．（2017·全国·高考真题）若双曲线C:22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为2，则C的离心率为A．2B．3C．2D．233【答案】A【
详解】由几何关系可得，双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为0bxay=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d=−=，则点()2,0到直线0bxay+=的距离为222023babdcab+===+，即2224()3cac−=，整理可得224ca=，双曲线
的离心率2242cea===．故选A．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以
a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．14．（2017·全国·高考真题）若1a，则双曲线2221xya−=的离心率的取值范围是A．(2,)+B．(2,2)C．(1,2)D．(1,2)【答案】C【详解】22
1ca=+，222222111caeaaa+===+，1aQ，2101a，212e，则02e，选C.15．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C1：22xm+y2=1（m＞1）与双曲线C2：22xn–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1【答案】A【详解】试题分析：由题意知2211mn−=+，即222mn=+，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2mneemnmnnn−+==
−+=−++=42422112nnnn+++，故121ee．故选A．【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C的焦点时，要注意222cab=−；计算双曲线2C的焦点时，要注意222cab=+．否则很容易出现错误．16．（2016·全
国·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：22221xyab−=的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin2113MFF=,则E的离心率为A．2B．32C．3D．2【答案】
A【详解】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难
题型.由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.17．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【答案】C【详解】试题分析：利用已知条件，列
出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应
用，考查计算能力．18．（2015·湖南·高考真题）若双曲线22221xyab−=的一条渐近线经过点()3,4−，则此双曲线的离心率为A．73B．54C．43D．53【答案】D【详解】因为双曲线22221xyab−=的一条渐近线经过点（3，-4），222
5349163cbacaaea=−===，（），．故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22221xyab−=共渐近线的可设为22
22(0)xyab−=；（2）若渐近线方程为byxa=，则可设为2222(0)xyab−=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b；（4）22221(0.0)xyabab−=的一条渐近线的斜率为22221
bcaeaa−==−.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.19．（2015·湖北·高考真题）将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离
心率为2e的双曲线2C，则A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D【详解】依
题意，，，因为，由于，，，所以当时，，，，，所以12ee；当时，，，而，所以，所以12ee．所以当ab时，12ee；当ab时，12ee．考点：双曲线的性质，离心率．20．（2015·全国·高考真题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点
M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为A．5B．2C．3D．2【答案】D【详解】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab−=，如图所示，ABBM=，，过点M作MNx⊥轴，垂足为N，在RtB
MN中，BNa=，3MNa=，故点M的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abac==−，即222ca=，所以2e=，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．21．（2015·山东·高考真题）已知1F是双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左焦点，点P在双曲线上，直
线1PF与x轴垂直，且1PFa=，那么双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【分析】易得1F的坐标为(),0c−，设P点坐标为()0,cy−，求得20bya=，由1PFa=可得ab=，然后由a，b，c的关系求得222ca=，最后求得离心率即可.【详
解】1F的坐标为(),0c−，设P点坐标为()0,cy−，易得()220221cyab−−=，解得20bya=，因为直线1PF与x轴垂直，且1PFa=，所以可得2baa=，则22ab=，即ab=，所以22222caba=+=，离心率为2e=．故选：A.二、填空题22．（2024
·全国新Ⅰ卷·高考真题）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点分别为12FF、，过2F作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若1||13,||10FAAB==，则C的离心率为．【答案】32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF，结合双曲线第一
定义求出1AF，即可得到,,abc的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,ABF三点横坐标相等，设A在第一象限，将xc=代入22221xyab−=得2bya=，即22,,,bbAcBcaa−，故2210bABa==，225bAF
a==，又122AFAFa−=，得1222513AFAFaa=+=+=，解得4a=，代入25ba=得220b=，故22236,cab=+=，即6c=，所以6342cea===.故答案为：3223．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCab
ab−=的左、右焦点分别为12,FF．点A在C上，点B在y轴上，11222,3FAFBFAFB⊥=−，则C的离心率为．【答案】355/355【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AFBFBFAF关于,am的表达式，从而利用勾
股定理求得am=，进而利用余弦定理得到,ac的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3xcyt==−，224tc=，将点A代入双曲线C得到关于,,abc的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设22AF
m=，则2113,22BFmBFAFam===+，在1RtABF中，2229(22)25mamm++=，则(3)()0amam+−=，故am=或3am=−（舍去），所以124,2AFaAFa==，213BFBFa==，则5ABa=，故11244co
s55AFaFAFABa===，所以在12AFF△中，2221216444cos2425aacFAFaa+−==，整理得2259ca=，故355cea==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)FcFc−，令()00),,(0,AxyBt
，因为2223FAFB=−，所以()()002,,3xcyct−=−−，则00235,3xcyt==−，又11FAFB⊥，所以()1182,,33FAFBctct=−2282033ct=−=，则224tc=，又点A
在C上，则2222254991ctab−=，整理得2222254199ctab−=，则22222516199ccab−=，所以22222225169cbcaab−=，即()()2222222225169ccaacaca−−=
−，整理得4224255090caca−+=，则()()22225950caca−−=，解得2259ca=或225ca=，又1e，所以355e=或55e=（舍去），故355e=.故答案为：355.【点睛
】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,,abc的齐次方程，从而得解.24．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为(2,0)−和(2,0)，离心率为
2，则C的方程为．【答案】22122xy−=【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为,ab，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距2c=，由双曲线C的离心率为
2，得2ca=，解得2a=，则222bca=−=，所以双曲线C的方程为22122xy−=.故答案为：22122xy−=25．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离
心率为e，写出满足条件“直线2yx=与C无公共点”的e的一个值．【答案】2（满足15e皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa=中02ba即可求得满足要求的e值.【详解】解：2222:1(0,0)xyCabab−=，所以C的渐
近线方程为byxa=,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx=与C无公共点”所以221145==++=cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）26．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x
yabab−=的左焦点为F，过F且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,Axy，交双曲线的渐近线于点()22,Bxy且120xx．若||3||FBFA=，则双曲线的离心率是．【答案】364【分析】联立直线AB和渐近线2:blyxa=方程，可求出点B，再根据||3
||FBFA=可求得点A，最后根据点A在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F且斜率为4ba的直线:()4bAByxca=+，渐近线2:blyxa=，联立()4byxcabyxa=+=，得,33cbcBa，由||3||FBFA=，得5
,,99cbcAa−而点A在双曲线上，于是2222222518181cbcaab−=，解得：228124ca=，所以离心率36e4=.故答案为：364．27．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线22221xyab−=
的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.【答案】3yx=【分析】根据离心率得出2ca=，结合222+=abc得出,ab关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率2cea==，即2ca=，又22224abca+==，即223ba=，则3ba
=，故此双曲线的渐近线方程为3yx=.故答案为：3yx=.28．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于.
【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：,2,2pcpc−=−=抛物线方程为：224,ypxcx=−=−M在抛物线上，所以(,2),Mcc−M在双曲线上，222241,ccab−=2224224,60cacacab
=−−+=2322e=，又()1,e+，21.e=+故答案为：21+29．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22xa﹣25y=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的离心率是.【答案】32【分析】根据渐近线方程求
得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xya−=，故5b=.由于双曲线的一条渐近线方程为52yx=，即522baa==，所以22453cab=+=+=，所以双曲线的离心率为32ca=.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考
查双曲线离心率的求法，属于基础题.30．（2020·全国·高考真题）设双曲线C：22221xyab−=(a>0，b>0)的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,abc的关系，即可求解.【
详解】由双曲线方程22221xyab−=可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx=，所以2ba=，2213cbeaa==+=.故答案为：3【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基
础题.31．（2020·全国·高考真题）已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2bBFa=，A
Fca=−，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1xcxyabcba=−==+，解得2xcbya==，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AFca=−，即()2223bcaacaaca−==−−，变形得3caa+=，2ca=,因
此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．32．（2019·全国·高考真题）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为F1，F2
，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB=，则C的离心率为．【答案】2.【分析】通过向量关系得到1FAAB=和1OAFA⊥，得到1AOBAOF=，结合双曲线的渐近线可得21,BOFAOF=02160,BOFAOFBOA===从而由0tan60
3ba==可求离心率.【详解】如图，由1,FAAB=得1.FAAB=又12,OFOF=得OA是三角形12FFB的中位线，即22//,2.BFOABFOA=由120FBFB=，得121,,FBFBOAFA⊥⊥则1OBOF=有1AOBAOF=，又OA与OB都是渐近线，得2
1,BOFAOF=又21BOFAOBAOF++=，得02160,BOFAOFBOA===．又渐近线OB的斜率为0tan603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa==+=+=．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理
、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．33．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点(c,0)F到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是．
【答案】2【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F到渐近线,byxa=即0bxay=的距离为220,bcbcbcab==+所以32bc=，因此22222231,44acbccc=−=−=1,2
.2ace==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.34．（2018·北京·高考真题）已知椭圆22221(0)xyMabab+=：，双曲线22221xyNmn−=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四
个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．【答案】31−2【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,mn关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc+，再根据椭圆
定义得32cca+=，解得椭圆M的离心率.【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc+，再根据椭圆定义得32cca+=，所以椭圆M的离心率为231.13ca==−+双曲线N的渐近线
方程为nyxm=，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为222ππtan333nm==，，2222222342.mnmmeemm++====，故答案为：31−；2．［方法二］：数形结合＋齐次式求离心率设双曲
线22221xymn−=的一条渐近线nyxm=与椭圆22221xyab+=在第一象限的交点为()00,Axy，椭圆的右焦点为2(,0)Fc．由题可知，2,AF为正六边形相邻的两个顶点，所以260AOF=（O为坐标原点）．所以tan603nm=
=．因此双曲线的离心率222232mnmmemm++===．由nyxm=与22221xyab+=联立解得22222222,abmabnAmbanmban++．因为2AOF△是正三角形，所以||OAc=，因此，可得22222222222222abmabncmbanmban
+=++．将2223,nmbac==−代入上式，化简、整理得4224480aacc−+=，即42840ee−+=，解得31e=−，31e=+（舍去）．所以，椭圆的离心率为31−，双曲线的离心率为2．故答案为：31−；2．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为3yx=，于是双曲线N的离心率为21(3)2+=．设双曲线22221xymn−=的一条渐近线与椭圆22221xyab+=在第一象限的交点为A，椭
圆的左、右焦点分别为12,FF．在12AFF△中，122112,,632AFFAFFFAF===．由正弦定理得1212211212sinsinsinAFAFFFAFFAFFFAF==．于是1212211212sinsinsinAFAFFFAFFAFFFAF+=+．即椭圆的离
心率sin22312sinsin63cea===−+．故答案为：31−；2．【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．35．（2018·北京·高考真题）若双曲线2221(0)4xyaa−=的离心率为52，则a=.【答案】4【详解】分析：根据离心率公式cea=，及双曲线中,,abc的关系可联立方程组，进而求解参数a的值.详解：
在双曲线中，2224caba=+=+，且52cea==2224545,24aaaa++==216a=0,4aa=点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都
是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式222221cbeaa==+，找到,ab之间的关系.36．（2017·全国·高考真题）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线于交M、N
两点，若60MAN=，则C的离心率为．【答案】233【详解】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=32b，∴|OP|=22223||||4OAPAab−=−．设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tanθ=223||
2||34bAPOPab=−．又tanθ=ba，∴223234bbaab=−，解得a2=3b2，∴e=221231133ba+=+=．答案：233点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,abc的方程或
不等式，再根据222bca=−和cea=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．37．（2017·北京·高考真题）若双曲线221yxm−=的离心率为3，则实数m=．【答案】2【详解】222
222221,,13cababmemaa+=====+=，2m=.渐近线方程是2ymxx==.38．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E：22xa–22yb=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E
上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．【答案】2【详解】试题分析：不妨设22(,),(,)bbAcBcaa−，所以22,2bABBCca==，由2||3||=ABBC及222cab=+，得：224()
6caca−=，两边同除以a，则有2320ee−−=，解方程得，122ee==或（舍去），所以应该填2．考点：双曲线的简单几何性质．39．（2015·山东·高考真题）过双曲线C：22221xyab−=0,0ab（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，
交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【答案】23+【详解】双曲线22221xyab−=的右焦点为(,0)c.不妨设所作直线与双曲线的渐近线byxa=平行，其方程为()byxca=−，代入22221xyab−=求得点P的
横坐标为222acxc+=，由2222acac+=，得2()410ccaa−+=，解之得23ca=+，23ca=−（舍去，因为离心率1ca），故双曲线的离心率为23+.考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.40．（20
15·山东·高考真题）平面直角坐标系xOy中，双曲线()22122:10,0xyCabab−=的渐近线与抛物线()22:20Cxpyp=交于点,,OAB.若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为【答案】32【详解】设OA所在的直线方程为byxa=,则OB所在的直线方程为byxa
=−,解方程组2{2byxaxpy==得：222{2pbxapbya==，所以点A的坐标为2222,pbpbaa,抛物线的焦点F的坐标为:0,2p.因为F是ABC的垂心，所以1OBAFkk
=−,所以，2222252124pbpbbapbaaa−−=−=.所以，2222293142cbeeaa==+==.考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性
质.41．（2015·湖南·高考真题）设F是双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【答案】5【详解】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知
点在双曲线上，∴.考点：双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中
位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.考点06直线与圆锥曲线的位置关系及其应用1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆22:13xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，直线yxm=+与C交于A，B两点，若1FAB△面积是2FAB△面积的2倍，则m=（）．A．23B．
23C．23−D．23−【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可.【详解】将直线yxm=+与椭圆联立2213yxmxy=++=，消去y可得2246330xmxm++−=，因为直线与椭圆相交于,
AB点，则()223604433mm−−=，解得22m−，设1F到AB的距离12,dF到AB距离2d，易知()()122,0,2,0FF−，则1|2|2md−+=，2|2|2md+=，12|2||2|22|2||2|2FABFA
BmSmSmm−+−+===++，解得23m=−或32−（舍去），故选：C.2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆22:15xCy+=的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A．52B．6C．
5D．2【答案】A【分析】设点()00,Pxy，由依题意可知，()0,1B，220015xy+=，再根据两点间的距离公式得到2PB，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点()00,Pxy，因为()0,1B，220015
xy+=，所以()()()222222200000001251511426444PBxyyyyyy=+−=−+−=−−+=−++，而011y−，所以当014y=−时，PB的最大值为52．故选：A．【点睛】本题解题
关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识
是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．3．（2020·全国·高考真题）设双曲线C：22221xyab−=（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1
F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，5ca=，根据双曲线的定义可得122PFPFa−=，12121
||42PFFPFFSP==△，即12||8PFPF=，12FPFP⊥，()22212||2PFPFc+=，()22121224PFPFPFPFc−+=，即22540aa−+=，解得1a=，故选：A.【点睛】本题主要考
查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.4．（2020·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线2x=与抛物线C：22(0)ypxp=交于D，E两点，若ODOE⊥，则C的焦点坐标为（）A．1,04B．1,02C．(1,0)D．(2,0
)【答案】B【分析】根据题中所给的条件ODOE⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOxEOx==，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x=与抛物线22(0)ypxp=交于,ED两点，且OD
OE⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx==，所以()2,2D，代入抛物线方程44p=，求得1p=，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物
线的焦点坐标，属于简单题目.5．（2020·全国·高考真题）设12,FF是双曲线22:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP=，则12PFF△的面积为（）A．72B．3C．52D．2【答案】B【分析】由1
2FFP是以P为直角直角三角形得到2212||||16PFPF+=，再利用双曲线的定义得到12||||2PFPF−=，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS=△121||||2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0
)FF−，则1,2ac==，因为12122OPFF==，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||
22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||||162PFPF=−12||||PFPF，解得12||||6PFPF=，所以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B【点晴】本题考
查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.6．（2020·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的
最小值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【分析】因为2222:1(0,0)xyCabab−=，可得双曲线的渐近线方程是byxa=，与直线xa=联立方程求得D，E两点坐标，即可求得||ED，根据ODE的面积为8，可得ab值，根据2222cab=+，结
合均值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)xyCabab−=双曲线的渐近线方程是byxa=直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立xab
yxa==，解得xayb==故(,)Dab联立xabyxa==−，解得xayb==−故(,)Eab−||2EDb=ODE面积为：1282ODESabab===△双曲线
2222:1(0,0)xyCabab−=其焦距为2222222168cabab=+==当且仅当22ab==取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最
值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．（2019·全国·高考真题）已知F是双曲线22:145xyC-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF△的面积为A．32B．52C．72D．92
【答案】B【解析】设()00,Pxy，因为=OPOF再结合双曲线方程可解出0y，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,Pxy，则2200145xy−=①．又453OPOF==+=，22009xy+=②．由①②得20259y=，即053y=，0115532232OPFSOFy
===，故选B．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．8．（2017·全国·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN
⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．5B．22C．23D．33【答案】C【解析】联立方程解得M(3，23)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题
意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝3(x－1)．由2314yxyx=−=得x＝13或x＝3.由M在x轴的上方得M(3，23)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边
三角形点M到直线NF的距离为34232=故选：C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．（2018·全国·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C交于
M，N两点，则FMFN=A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)MN，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(
0,2),(3,4)FMFN==，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3yx=+，与抛物线方程联立22(2)34yxyx=+=，消元整理得：yy−+=2680，解
得(1,2),(4,4)MN，又(1,0)F，所以(0,2),(3,4)FMFN==，从而可以求得03248FMFN=+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消
元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)MN，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.10．（2016·
四川·高考真题）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线()220ypxp=上任意一点，M是线段PF上的点，且2PMMF=,则直线OM的斜率的最大值为（）A．33B．23C．22D．1【答案】C【分析】方法一：设200,2yPyp，根据题意求出点M的坐标，再根据基本不等式即可
求出．【详解】［方法一］：【最优解】直接法设200,2yPyp，由题意知(,0)2pF，显然00y时不符合题意，故00y，则2001112()(,)3333633yypOMOFFMOF
FPOFOPOFOPOFp=+=+=+−=+=+，可得：020002223222263OMykypyppyp===++，当且仅当22002,2ypyp==时取等号．故选：C．［方法二］：参数法由题意可知：(,0)2pF，设P点坐标为2(2,
2)(0)ptptt，M点坐标为(,)xy.||2||PMMF=,则13FMFP=，即223323ptpxpty=+=，2222112312212122332OMptytptpxtttk=====+++
，当且仅当221t=等号成立.则直线OM斜率的最大值22．故选：C．［方法三］：几何法由题意可知：(,0)2pF，P点坐标为2000(,)(0)2yyyp，M点坐标为(,)xy，作点O关于点F的对称点(,0)Np，由已知可得点M为OPN重
心，坐标为2002,33ypyp+001222ONykypxpy==+，当且仅当2202yp=等号成立.则直线OM斜率的最大值22．故选：C．［方法四］：方程法由题意可知：(,0)2pF，设P点坐标为200(,)2yyp，M点坐标为(,)xy.易知
直线OM的斜率最大时，00y，2PMMF=，则2PMMF=，可得200(,)2(,)22ypxyyxyp−−=−−，即200363ypxpyy=+=点M的轨迹方程为：22962ypxp=−与ykx=联立可得2229620kxpxp−+=，
222(6)4920pkp=−−2222k−，则直线OM斜率的最大值22．故选：C．【整体点评】方法一：设出点P的坐标，再求出点M坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：同方法一几乎一致，只是设点P的坐标形式与方法一不同；方法
三：构造三角形，利用三角形重心性质求出点M坐标，再基本不等式求出最值；方法四：先求出点M的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右
焦点与抛物线2:8Cyx=的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB=A．3B．6C．9D．12【答案】B【详解】试题分析：抛物线28yx=的焦点为(2,0),所以椭圆的右焦点为(2,0),即2,c=且
221,4,12,2cabaca===−=椭圆的方程为221.1612xy+=抛物线准线为2,x=−代入椭圆方程中得(2,3),(2,3),6.ABAB−−−=故选B.考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．二、填空题12．（2024·北京·高考真题）若直线()3ykx=−与双曲线221
4xy−=只有一个公共点，则k的一个取值为．【答案】12（或12−，答案不唯一）【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立()22143xyykx−==−，化简并整理得：()2
22214243640kxkxk−+−−=，由题意得2140k−=或()()()2222Δ244364140kkk=++−=，解得12k=或无解，即12k=，经检验，符合题意.故答案为：12（或12−，答案不唯一）.13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆22:
(2)3Cxy++=相切，且l与抛物线22(0)ypxp=交于点,OP两点，若8OP=，则p=．【答案】6【分析】根据圆()2223xy++=和曲线22ypx=关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx=，0k，即可根据直线与圆
的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223xy++=和曲线22ypx=关于x轴对称，不妨设切线方程为ykx=，0k，所以2231kk=+，解得：3k=，由232yxypx==解得：00x
y==或23233pxpy==，所以2222348333pppOP=+==，解得：6p=．当3k=−时，同理可得．故答案为：6．14．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知
直线l与椭圆22163xy+=在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且||||,||23MANBMN==，则l的方程为．【答案】2220xy+−=【分析】令AB的中点为E，设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法得到12O
EABkk=−，设直线:ABykxm=+，0k，0m，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB的中点为E，设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法得到12OEABkk=−，设直线:ABykxm=+，
0k，0m，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m，即可得解；解：令AB的中点为E，因为MANB=，所以MENE=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2211163xy+=，2222631xy+=，
所以2222121206633xxyy−+−=，即()()()()12121212063xxxxyyyy−++−+=所以()()()()1212121212yyyyxxxx+−=−−+，即12OEABkk=−，设直
线:ABykxm=+，0k，0m，令0x=得ym=，令0y=得mxk=−，即,0mMk−，()0,Nm，所以,22mmEk−，即1222mkmk=−−，解得22k=−或22k=（舍去），又23MN
=，即()22223MNmm=+=，解得2m=或2m=−（舍去），所以直线2:22AByx=−+，即2220xy+−=；故答案为：2220xy+−=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点，设()11,Axy，
()22,Bxy，设直线:ABykxm=+，0k，0m，则,0mMk−，()0,Nm，,22mmEk−，因为23MN=，所以3OE=联立直线AB与椭圆方程得22163ykxmxy=
++=消掉y得222(12)4260kxmkxm+++−=其中2221224=4-4(12)260,12mkmkkmxxk+−+=−+（）（）>，∴AB中点E的横坐标2212Emkxk=−+,又,22mmEk
−，∴22=122Emkxkmk=−+−∵0k，0m，∴2=-2k,又22+=322OmmkE−=（）（），解得m=2所以直线2:22AByx=−+，即2220xy+−=15．（2021·全国甲卷·高考真题）已知12,FF为椭圆C：221164xy+=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标
原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为．【答案】8【分析】根据已知可得12PFPF⊥，设12||,||PFmPFn==，利用勾股定理结合8mn+=，求出mn，四边形12PFQF面积等于mn，即可求解.【详解】因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点
，且12||||PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形，设12||,||PFmPFn==，则228,48mnmn+=+=，所以22264()2482mnmmnnmn=+=++=+，8mn=，即四边形12PFQF面积等于8.故答案为：8
.16．（2020·山东·高考真题）斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=．【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接
下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24yx=，∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)F，又∵直线AB过焦点F且斜率为3，∴直线AB的方程为：3(1)yx=−代入抛物线方程消去y并化简得231
030xx−+=，解法一：解得121,33xx==所以212116||1||13|3|33ABkxx=+−=+−=解法二：10036640=−=设1122(,),(,)AxyBxy，则12103xx+=,过,AB分别作准线=1x−的垂线，设垂足分别为,CD如图所示.12|||||||
|||11ABAFBFACBDxx=+=+=+++1216+2=3xx=+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.17．（2019·浙江·高考
真题）已知椭圆22195xy+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是.【答案】15【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及
三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OFOM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM==，设(,)Pxy可得22(2)16xy−+=，联立方程22195xy+=可解得321,22xx=−=（舍），点P在椭圆
上且在x轴的上方，求得315,22P−，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PFOM==，即342ppaexx−==−求得315,22P−，所以1521512PFk
==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.18．（2018·全国·高考真题）已知点()11M，−和抛物线24Cyx=：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若90AMB=，则k
=．【答案】2【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.【详解】［方法一］：点差法设()()1122,,,AxyBxy，则21122244yxyx==，所以22121244yyxx−=−所以1212124yykxxyy−==−+，取AB中点()00,Mxy
,分别过点A,B作准线=1x−的垂线，垂足分别为,AB因为90AMB=,()()111222MMABAFBFAABB==+=+，因为M为AB中点，所以MM平行于x轴，因为M(-1,1)，
所以01y=，则122yy+=即2k=．故答案为：2.［方法二］：【最优解】焦点弦的性质记抛物线的焦点为F，因为90AMB=，则以AB为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知MFAB⊥，所以12ABFMkk=−=．［方法三］：焦点弦性质+韦
达定理记抛物线的焦点为F，因为90AMB=，则以AB为直径的圆与准线相切于点M，记AB中点为N，则()0,1Nx，设:1ABxty=+，代入24yx=中，得2440yty−−=，所以1242yyt+==，得12t=，所以2ABk=．［方法四］：【
通性通法】暴力硬算由题知抛物线2:4Cyx=的焦点为(1,0)F，设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，代入2:4Cyx=中得()2222240kxkxk−++=，设()()1122,,,AxyBxy，则21212224,1kxxx
xk++==，同理有12124,4yyyyk+==−，由90AMB=，即MAMB⊥．又()()11221,1,1,1MAxyMBxy=+−=+−，所以()()2112222441,11,110kMAMBxyxykk+=
+−+−=−−=，得2k=．［方法五］：距离公式+直角三角形的性质设直线为1xmy=+，与24yx=联立得2440ymy−−=，则4,4,ABAByymyy+==−从而()2242ABABxxmyym+=++=+，可得AB的中点()221,2Nmm+
，所以()222||211(21)MNmm=+++−．又由弦长公式知()()222||1441ABABABmyyyym=++−=+．由90AMB=得2||||MNAB=，解得12m=，所以12km==．［方法六］：焦点弦的
性质应用由题可知，线段AB为抛物线的焦点弦，90AMB=，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以AB为直径的圆必与准线相切于点M．过点M作平行于Ox轴的直线交AB于点N，则
N为圆心．设()()()()11220012,,,,,0,0AxyBxyNxyyy，则12012yyy+==．又因为2124yyp=−=−，所以联立解得115y=+．将1y的值代入2114yx=中求得1352x+=．因为抛物线C的焦点(1,0)F，所以1523512A
BNFkkk+====+−．【整体点评】方法一：根据点差法找出直线AB的斜率与AB两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出AB中点坐标，从而解出；方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点()0,1x，再根据韦达定理求出直线AB的斜率；方法四：直接设出直
线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．考点07曲线方程及曲线轨迹1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）
设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于2−，到点(2,0)F的距离与到定直线(0)xaa=的距离之积为4，则（）A．2a=−B．点(22,0)在C上C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值
为1D．当点()00,xy在C上时，0042yx+【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),Pxy，
则2x−且()2224xyxa−+−=，因为曲线过坐标原点，故()2202004a−+−=，解得2a=−，故A正确.对于B：又曲线方程为()22224xyx−++=，而2x−，故()()22224xyx−++=.当22,0x
y==时，()()2222222844−+=−=，故()22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622yxx=−−+，取32x=，则2641494y=−，而64164525624510494494494−−−=−=，故此时21y，故C在第一
象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点()00,xy在曲线上时，由C的分析可得()()()220022001616222yxxx=−−++，故0004422yxx−++，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要
将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：2216xy+=（0y），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为（）A．221164xy+=（0y）B．221168xy+=（0y）C．221164yx
+=（0y）D．221168yx+=（0y）【答案】A【分析】设点(,)Mxy，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)Pxy，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)Mxy，则0(,),(,0)P
xyPx，因为M为PP的中点，所以02yy=，即(,2)Pxy，又P在圆2216(0)xyy+=上，所以22416(0)xyy+=，即221(0)164xyy+=，即点M的轨迹方程为221(0)164xyy+=.故选：A3．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0abab，函数()
2R()fxaxbx=+.若(),(),()fstfsfst−+成等比数列，则平面上点(),st的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形
即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]fstfstfs−+=，即()2222()()astbastbasb−+++=+，对其进行整理变形：()()()22222222asatastbasatastbasb+−++++=+，()()222222(2)0asatbast
asb++−−+=，()2222222240asatbatast++−=，222242220astatabt−++=，所以22220asatb−++=或0=t，其中2212stbbaa−=为双曲线，0=t为直
线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知曲线22:1Cmxny
+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn=时表示圆
，0mn时表示双曲线，0,0mn=时表示两条直线.【详解】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则221mxny+=可化为221xyn+=，
此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D，若0,0mn=，则
221mxny+=可化为21yn=，nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．（2
020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设()20ABaa=，以AB中点为坐标原点建立如图所
示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0AaBa−，设(),Cxy，可得：()(),,,ACxayBCxay→→=+=−，从而：()()2ACBCxaxay→→=+−+，结合题意可得：()()21xaxay+−+=，整理可得：2221xya+=+，即点C的轨
迹是以AB中点为圆心，21a+为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy+
=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【分析】将所给方程进
行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221xyxy+=+得,221yxyx−=−,2222||3341,10,2443xxxyx−=−−厔,所以x可为的整数有
0,-1,1,从而曲线22:1Cxyxy+=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221xyxy+=+得,222212xyxy+++„,解得222xy+,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论②正确.如图所示,易
知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1ABCD−,四边形ABCD的面积13111122ABCDS=+=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCDS,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难
题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.7．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当(,)Pxy不是原点时，定义P的“伴随点”为2222(,)yxPxyxy−++，当P是原点时，定义
“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其
中的真命题是．【答案】②③【详解】对于①，若令(1,1)P，则其伴随点为11(,)22P−，而11(,)22P−的伴随点为(1,1)−−，而不是P，故错误；对于②，设曲线0(),fxy=关于x轴对称，
则(,)0fxy−=对曲线0(),fxy=表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0yxfxyxy−=++与2222(,)0yxfxyxy−−=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0yxfxyxy−=++与2222(,)0yxfxyxy−−=++的图象关于y
轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos,sin)Pxx其伴随点为(sin,cos)Pxx−仍在单位圆上，故正确；对于④，直线ykxb=+上取点后得其伴随点2222(,)yxxyxy−++消参后轨迹是圆，故错误.故答案为：②③.8．（2015·山东·高考真题）关于x，y的方程221x
my+=，给出以下命题；①当0m时，方程表示双曲线；②当0m=时，方程表示抛物线；③当01m时，方程表示椭圆；④当1m=时，方程表示等轴双曲线；⑤当1m时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的
类别即可.【详解】当0m时，方程表示双曲线；当0m=时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当01m时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当1m=时，方程表示圆；当1m时，方程表示焦点在x轴上的椭圆．∴①③⑤正
确.故答案为：B9．（2015·浙江·高考真题）如图，斜线段与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足30=，则点P的轨迹是A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】C【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭
圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面上的动点P满足30PAB=，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面所成的角为60，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P的轨迹是椭圆．故选C.考点：1
.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.考点08圆锥曲线中的最值及范围问题1．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B
．1,12C．20,2D．10,2【答案】C【分析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详
解】设()00,Pxy，由()0,Bb，因为2200221xyab+=，222abc=+，所以()()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，
因为0byb−，当32bbc−−，即22bc时，22max4PBb=，即max2PBb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxbPBabc=++，即422224babbc++，
化简得，()2220cb−，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆
22:15xCy+=的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A．52B．6C．5D．2【答案】A【分析】设点()00,Pxy，由依题意可知，()0,1B，220015xy+=，再根据两点间的距离公式得到2PB
，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点()00,Pxy，因为()0,1B，220015xy+=，所以()()()222222200000001251511426444PBxyyyyyy=
+−=−+−=−−+=−++，而011y−，所以当014y=−时，PB的最大值为52．故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误
认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知
1F，2F是椭圆C：22194xy+=的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa+==，借助基本不等式212122MFMFMFMF+即可得到答案．【详解】由题，2
29,4ab==，则1226MFMFa+==，所以2121292MFMFMFMF+=（当且仅当123MFMF==时，等号成立）．故选：C．【点睛】4．（2020·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交
于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【分析】因为2222:1(0,0)xyCabab−=，可得双曲线的渐近线方程是byxa=，与直线xa=联立方程求得D，E两点坐标，即可求得||ED，根
据ODE的面积为8，可得ab值，根据2222cab=+，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)xyCabab−=双曲线的渐近线方程是byxa=直线xa=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近
线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立xabyxa==，解得xayb==故(,)Dab联立xabyxa==−，解得xayb==−故(,)Eab−||2EDb=O
DE面积为：1282ODESabab===△双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=其焦距为2222222168cabab=+==当且仅当22ab==取等号C的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，
解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆224xym+=(m>1
)上两点A，B满足2APPB=，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可
解出.【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)AxyBxy，由2APPB=得1212122,12(1),23,xxyyyy−=−=−−=−因为A,B在椭圆上,所以22221212,,44xxymym+=+=22224(23)4xym+−=，即22223()42
4xmy+−=，与22224xym+=相减得：234my+=，所以，()222211(109)54444xmmm=−−+=−−+，当且仅当5m=时取最等号，即5m=时，点B横坐标的绝对值最大.故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB
的斜率存在，设()()1122,,,AxyBxy，直线AB的方程为1(0)ykxk=+，联立221,,4ykxxym=++=得()22418440kxkxm+++−=，根据韦达定理得122841kxxk+=−+，由2APPB=知122xx=−，代入上式解得22841kxk
=+，所以228882141244kxkkk===++．此时214k=，又21222442841mxxxk−==−=−+，解得5m=．［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB的参数方程为cos,1sinxtyt=
=+其中t为参数，为直线AB的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin8sin440ttm+++−=，设点A，B对应的参数分别为12,tt，则122tt=−．由韦达定理知1212228
sin44,13sin13sinmtttt−+=−=++，解得228sin13sint=+，所以()222222222222222222cos4sin64sincoscos4sin13sin13sincos1616413sin13si
n213sinxt+++====+++，此时22cos4sin=，即222241cos,sin,555t===，代入12122442,13sinmtttt−=−=
+，解得5m=．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,AxyBxy，因为2APPB=，所以()()1122,12,1xyxy−−=−．即122xx=−①，1223yy+=②，又因为22221212,44xxymym+=
+=，所以222144xym+=．不妨设20y，因此222122,4xymxym=−=−，代入②式可得()()22222234mxmx−=−−．化简整理得22224109(5)16xmmm=−+−=−−+．由此可知，当5m=时，上式有最大值
16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．所以5m=．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112xxyy==，则2211(1)xymm+=为一个圆．根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点1B的横坐标的绝
对值最大，则11cos2cos2sincosBxPBPOMPMPOMOPPOMPOM===||sin2||OPPOMOP=．当π4POM=时等号成立，根据||1OP=易得15OB=，此时5m=．［方法六］：中点弦性质的
应用设()22,Bxy，由2APPB=可知()222,32Axy−−，则AB中点223,22xyM−−．因为22ABCMbkka=−，所以22223114yyxx−−=−，整理得()2222214xy+−
=，由于22x，则2max2x=时，22y=，所以4454m=+=．【整体点评】方法一：由题意中点,AB的坐标关系，以及点差法可求出点B的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B的横坐标
，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结
合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．6．（2017·全国·高考真题）已知F为抛
物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A【详解】设11223344(,),(,),(,),(,)AxyB
xyDxyExy，直线1l的方程为1(1)ykx=−，联立方程214(1)yxykx==−，得2222111240kxkxxk−−+=，∴21122124kxxk−−+=−212124kk+=，同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kxxk
++=，由抛物线定义可知12342ABDExxxxp+=++++=221222222212121224244416482816kkkkkkkk++++=+++=，当且仅当121kk=−=（或1−）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重
点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则22||sinpAB=，则2222||
πcossin(+)2ppDE==，所以222221||||4(cossincosppABDE+=+=+222222222111sincos)4()(cossin)4(2)4(22)16sincossincossin=++=++
+=.7．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：2213xym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是A．(0,1][9,)+B．(0,3][9,)+C．(0,1][4,)+D．(0,3][4,)+
【答案】A【详解】当03m时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120AMB=，则tan603ab=，即33m，得01m；当3m时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120AMB=，则tan603ab=，即33m，得9m，故m的
取值范围为(0,1][9,)+，选A．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,ab的关系，求解时充分借助题设条件120AMB=转化为tan603ab=，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置
进行逐一讨论．8．（2017·全国·高考真题）若1a，则双曲线2221xya−=的离心率的取值范围是A．(2,)+B．(2,2)C．(1,2)D．(1,2)【答案】C【详解】221ca=+，222222111caeaaa+===+，1aQ，2101a，2
12e，则02e，选C.9．（2016·四川·高考真题）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线()220ypxp=上任意一点，M是线段PF上的点，且2PMMF=,则直线OM的斜率的最大值为（）A．33B．23C．22D．1【答案
】C【分析】方法一：设200,2yPyp，根据题意求出点M的坐标，再根据基本不等式即可求出．【详解】［方法一］：【最优解】直接法设200,2yPyp，由题意知(,0)2pF，显然00y时不符合题意，故00y，则2001112()(,)3333633yypO
MOFFMOFFPOFOPOFOPOFp=+=+=+−=+=+，可得：020002223222263OMykypyppyp===++，当且仅当22002,2ypyp==时取等号．故选：C．［方法二］：参数法由题意可知：(,0)2pF，设P点
坐标为2(2,2)(0)ptptt，M点坐标为(,)xy.||2||PMMF=,则13FMFP=，即223323ptpxpty=+=，2222112312212122332OMptytptpxtttk=====+++，当且仅当221t=等
号成立.则直线OM斜率的最大值22．故选：C．［方法三］：几何法由题意可知：(,0)2pF，P点坐标为2000(,)(0)2yyyp，M点坐标为(,)xy，作点O关于点F的对称点(,0)Np，由已知可得点M为OPN重心，坐标为2002,33ypyp+0
01222ONykypxpy==+，当且仅当2202yp=等号成立.则直线OM斜率的最大值22．故选：C．［方法四］：方程法由题意可知：(,0)2pF，设P点坐标为200(,)2yyp，M点坐标为(,)xy.易知直线OM的斜率最大时，0
0y，2PMMF=，则2PMMF=，可得200(,)2(,)22ypxyyxyp−−=−−，即200363ypxpyy=+=点M的轨迹方程为：22962ypxp=−与ykx=联立可得2229620kxpxp−+=，222(6)4920pkp=−−2222k−，则直线O
M斜率的最大值22．故选：C．【整体点评】方法一：设出点P的坐标，再求出点M坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：同方法一几乎一致，只是设点P的坐标形式与方法一不同；方法三：构造三角形，利用
三角形重心性质求出点M坐标，再基本不等式求出最值；方法四：先求出点M的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．10．（2016·全国·高考真题）已知方程222213xymnmn−=+−表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3)B．(–1
,3)C．(0,3)D．(0,3)【答案】A【详解】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2234mnmn++−=，解得21m=，因为方程22113xynn−=+−表示双曲线，所以10{30nn+−，解得1{3nn−
，所以n的取值范围是()1,3−，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.11．（2016·浙江·高考真题）设双曲
线x2–23y=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【答案】(27,8)．【详解】试题分析：由已知得1,3,2abc===，则2cea==，设(,)Pxy是双曲线
上任一点，由对称性不妨设P在双曲线的右支上，则12x，121PFx=+，221PFx=−，12FPF为锐角，则2221212PFPFFF+，即222(21)(21)4xx++−，解得72x，所以722x，则124(27,8)PFPFx+=
．【考点】双曲线的几何性质.【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得1F和2F，再由12FF为锐角三角形可得2221212FFFF+，进而可得x的不等式，解不等式可得12FF+的取
值范围．12．（2015·上海·高考真题）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.【答案】2【详解】设点Q点的坐标为(,)xy，根据抛物线的定义，可得2pQFx=+，当0x=时，QF取得最小值12p=，解得2p=．考点：抛物线的性质，最值.13．（2015·
全国·高考真题）已知00(,)Mxy是双曲线C：2212xy−=上的一点，1F，2F是C的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是A．33(,)33−B．33(,)66−C．2222(,)33−D．2323(,)33−【答案】A【详解】由题知12(3,0)
,(3,0)FF−，220012xy−=，所以12MFMF=0000(3,)(3,)xyxy−−−−−=2220003310xyy+−=−，解得03333y−，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不
等式解法.14．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为【答案】22【详解】设(,),(1)Pxyx，因为直线10xy−+=
平行于渐近线0xy−=，所以点到直线的距离恒大于直线10xy−+=与渐近线0xy−=之间距离，因此c的最大值为直线10xy−+=与渐近线0xy−=之间距离，为12.22=考点：双曲线渐近线，恒成立转化
