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专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积授课提示：对应学生用书73页[基础强化]一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为()A．23πB．33πC．63πD．93π答案：B解析：设圆柱、圆锥的底面半径

为r，则圆锥的母线长为r2＋（3）2＝r2＋3.又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr·3＝πrr2＋3，解得r＝3，所以圆锥的体积V＝13π×32×3＝33π，故选B.2．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状

为()A．正六边形B．五边形C．长方形D．三角形答案：C解析：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.3．棱长为

2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：如图，易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－

A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－12×1×1－12×1×2－12×1×2＝32，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝13×S△A1MN×D1A1＝13×32×2＝1.4．已知圆锥PO的底面半径为3，

O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3，若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为()A．πB．6πC．3πD．36π答案：B解析：在△AOB中，AO＝BO＝3，∠AOB＝2π3，由余弦定理得AB＝3＋3－2×3

×3×（－12）＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝12×3h＝934，解得h＝332，由勾股定理得母线PA＝（32）2＋（332）2＝3，则该圆锥的高PO＝PA2－OA2＝6，所以该圆锥的体积为13×3π×6＝6π，故选B.5．(多选)[2023·新

课标Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D

．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体答案：ABD解析：由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体，且2>1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为3m，3<1.8，所以高

为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为3m，而底面直径为1.2m的圆柱体，其高0.01m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，选ABD．6．[20

22·全国甲卷(文)，10]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若S甲S乙＝2，则V甲V乙＝()A．5B．22C．10D．5104答案：C解析：设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分

别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π，所以2πr1l＋2πr2l＝2π，则r1＋r2＝l.又S甲S乙＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝23l，r2＝13l，所以h1＝l2－23l2＝53l，h2＝l2－

13l2＝223l，所以V甲V乙＝13πr21h113πr22h2＝49l2·53l19l2·223l＝10.故选C.7．已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．124πB．144πC．156πD

．196π答案：B解析：如图所示，当点C位于垂直平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝13×12×R2×R＝16R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π.8.

如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为()A．(15＋4)πB．(215＋4)πC．(315＋4)πD．

(415＋4)π答案：D解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝42－1＝15，圆柱的侧面积为2πr·2h＝415π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(415＋4)π.9．[2022·新高考Ⅰ卷，

4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台

，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为13×(

157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋140×106×180×106)＝3×106×(140＋180＋607)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3).故选C.二、填空题10．[202

4·全国甲卷(理)]已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．答案：64解析：∵圆台甲、乙的上、下底面半径均相等，∴

V甲V乙＝h甲h乙＝[2（r2－r1）]2－（r2－r1）2[3（r2－r1）]2－（r2－r1）2＝3（r2－r1）22（r2－r1）＝64.11．[2023·新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所

截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．答案：28解析：如图所示，正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P­A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′­ABCD

，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′­ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以PO′

PO＝O′H′OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝13×3×(22＋2×4＋42)＝28.12．[2023·全国甲卷(理)]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，

F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．答案：12解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为EF2，而正方体的中心到每一条棱的距离均为EF2，所

以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．[能力提升]13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．

AC＝22D．△PAC的面积为3答案：AC解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝23，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝3.对于A，该圆锥的体积V＝13πr2h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·

PA＝23π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P－AC－O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2－OH2＝2，所以

AC＝22，故C选项正确；对于D，PH＝2OH＝2，S△PAC＝12×AC×PH＝2，故D选项错误．综上，选AC.14．[2024·新课标Ⅱ卷]已知正三棱台ABC­A1B1C1的体积为523，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为()A

．12B．1C．2D．3答案：B解析：设正三棱台ABC­A1B1C1的高为h.∵AB＝6，A1B1＝2，∴S△ABC＝12×6×6×sinπ3＝93，S△A1B1C1＝12×2×2×sinπ3＝3.∵正三棱台ABC­A1B1C1的体积V＝13(S△AB

C＋S△A1B1C1＋S△ABC·S△A1B1C1)h＝13×(93＋3＋93×3)h＝1333h＝523，∴h＝433.如图，设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O，O1，连接A1O1，O1O，AO，作A1D⊥平面AB

C交平面ABC于点D，由几何体ABC­A1B1C1为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形A1O1OD为矩形，其中∠A1AD即为直线A1A与平面ABC所成的角．由AB＝6，A1B1＝2，可得OA＝23，O1A1＝233，∴AD＝OA－OD＝OA－O1A1＝433，∴tan∠A1

AD＝A1DAD＝433433＝1.故选B.15．[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，则该棱台的体积为________．答案：766解析：方法一如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD­A1B1C1

D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝2，O1B1

＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB21－BE2＝2－12＝62，所以O1O＝62，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝7

66.方法二如图，将正四棱台ABCD­A1B1C1D1补形成正四棱锥P­ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.连接BD，取BD的中点为O，连接P

O，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2－BO2＝6，所以正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为62，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝13×(22＋12＋22×12)×62＝766.16．[2024·九省联考]

已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．答案：231解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R.因为圆锥的

轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝3r，母线l＝2r，由题可知：h＝2R，所以球的半径R＝32r，所以圆锥的体积为V1＝13×(π×r2)×3r＝33πr3，球的体积V2＝43πR3＝43π×(32r)3＝32πr3，所以V1V2＝33πr332πr

3＝23；圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面积S2＝4πR2＝4π×(32r)2＝3πr2，所以S1S2＝3πr23πr2＝1.