【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(7)页，238.975 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.1函数的概念及其表示-重难点题型精讲1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集

合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量

有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数

的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x

的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用

数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(

t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型1对函数概念的理解】【方法点拨】定义法：对于给

定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中

y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函数的是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末

）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（

）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|B．A＝B＝R，𝑓(𝑥)=1𝑥C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【变式1-3】（2021春•九龙坡区期末

）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（）A．B．C．D．【题型2同一函数的判断】【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同

一函数．【例2】（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．𝑦1=√𝑥2，𝑦2=(√𝑥)2B．y1＝|x|，𝑦2=√𝑥2C．𝑦1=𝑥2−1𝑥−1，y2＝x+1D．𝑦1=√𝑥+1⋅√𝑥−1，𝑦2=√𝑥2−1【变式

2-1】（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（）A．𝑔(𝑥)=√𝑥33+1B．𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥+1C．𝑔(𝑥)=√𝑥2+1D．g（x）＝elnx+1【变式2-2】（2021秋•黑龙江期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x|

B．y=𝑥2𝑥C．y＝（√𝑥）2D．y=√𝑥33【变式2-3】（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与𝑦=𝑥2𝑥+1B．y＝x3与y＝（x﹣1）3C．y＝|x|与

𝑦=(√𝑥)2D．y＝x0与𝑦=1𝑥0【题型3函数的定义域问题】【方法点拨】(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例3

】（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）=1√𝑥+√4−𝑥2的定义域为（）A．[﹣2，2]B．[0，2]C．（0，2]D．[﹣2，0）∪（0，2]【变式3-1】（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(

𝑥2)√𝑥−1的定义域为（）A．[1，4]B．（1，4]C．[1，14]D．（1，14]【变式3-2】（2022春•疏勒县校级期末）函数𝑦=√𝑥−2𝑥中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0【变式3-3】（2022春•阎良区校级期末）若函数𝑓(𝑥

)=√𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1的定义域为R，则a的范围是（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【题型4函数的值域问题】【方法点拨】(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，在由函数解析式求解；(

2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例4】（2022春•定南县校级月考）函数𝑦=2𝑥−√𝑥−1的值域为（）A．(−∞，−158]B．(−∞，−158)C．(158，+∞)D．[158，+∞)【变式

4-1】（2021秋•宁乡市期末）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=√𝑥2−2𝑥+1B．y=𝑥+2𝑥+1（x∈（0，+∞））C．y=1𝑥2+2𝑥+1（x∈N）D．y=1|𝑥+1|【变式4-2】（2022春•水富市校级期中）若函数𝑓(𝑥)=√𝑥−2+

𝑚在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数m的取值范围为（）A．(14，4]B．[14，4]C．(74，2]D．[74，2]【变式4-3】（2022春•天河区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代

数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥2

−3𝑥+4(1＜𝑥＜4)，则函数y＝[f（x）]的值域为（）A．[12，32)B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}【题型5求函数值或由函数值求参】【方法点拨】(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解

析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例5】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+1−𝑥+3(𝑥≤1)(𝑥＞1)，则𝑓[𝑓(52)]的值为（）A．52B．

32C．12D．−12【变式5-1】（2022春•祥云县期末）已知函数y={𝑥2+1(𝑥≤0)2𝑥(𝑥＞0)，若f（a）＝10，则a的值是（）A．3或﹣3B．﹣3或5C．﹣3D．3或﹣3或5【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）设函数𝑓(𝑥)={12𝑥−1(𝑥≥0)1𝑥(

𝑥＜0)，若f（a）＝a，则实数a的值为（）A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2【变式5-3】（2021秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）={𝑥，(𝑥≥0)𝑥2，(𝑥＜0)，则f（f（﹣2）

）的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【题型6函数的表示法】【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例6】（2021•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如

图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【变式6-1】（2021秋•城关区校级期中）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）

]的值域为（）x1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．以上情况都有可能【变式6-2】（2021秋•钦州月考）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的

变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15B．10C．9D．6【变式6-3】（2022秋•青羊区校级月考）某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）

．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A．B．C．D．