【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题3.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(13)页，265.565 KB，由管理员店铺上传

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专题3.1函数的概念及其表示-重难点题型精讲1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，

xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：

函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是

函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.4．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)满

足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.5．函数的表示

法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6．抽象函数

与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫

做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型1对函数概念的理解】【方法点拨】定义法：对于给定的对应关系，判断是否满足函数的概念，即可判断对应关系是否是函数.【例1】（2021秋•海安市校级月考）下列对应中：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3

，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．其中，是函数的是（）A．（1）（2）

B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）【解题思路】利用函数的定义，判断即可．【解答过程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5

，6，7，8，9}，满足函数的定义，（1）正确；（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；当x＝1时，对应的y＝±1，不满足函数的定义，（2）不正确；（3）x→y，其中y为不大于x的最大整数，x∈R，y∈Z，满足函数的定义，（3）正确；（4）x→y，其中y＝x﹣1，x

∈N*，y∈N*．当x＝1时，y需等于0，而y∈N*中没有0与之相对应，（4）不正确．故选：B．【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关

系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形，

对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．【变式1-2】（2021秋•宾县校级月考）下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（）A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|B．A＝B＝R，

𝑓(𝑥)=1𝑥C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0【解题思路】根据函数的定义判断即可．【解答过程】解：对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对

应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确，对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误，故选：B．【变式1-3】（202

1春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数的定义，举反例，一一判断即可．【解答过程】解：对于A，B均有函数值不在集合B内；对于C，它是一对多，不是函数的图象．故选：D．【题型2同一函数的判

断】【方法点拨】对于给定的两个函数，分析两函数的定义域、对应关系是否相同，即可判断两函数是否是同一函数．【例2】（2022•民勤县校级开学）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．𝑦1=√𝑥2，𝑦2=(√

𝑥)2B．y1＝|x|，𝑦2=√𝑥2C．𝑦1=𝑥2−1𝑥−1，y2＝x+1D．𝑦1=√𝑥+1⋅√𝑥−1，𝑦2=√𝑥2−1【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：对于选项A，第

一个函数的定义域为R，第二个函数的定义域为[0，+∞），故错误；对于选项B，第一个函数与第二个函数的定义域都为R，对应关系也相同，故正确；对于选项C，第一个函数的定义域为{x|x≠1}，第二个函数的定义域为R，故错误；对

于选项D，第一个函数的定义域为[1，+∞），第二个函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故错误；故选：B．【变式2-1】（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（）A．𝑔(𝑥)=√�

�33+1B．𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥+1C．𝑔(𝑥)=√𝑥2+1D．g（x）＝elnx+1【解题思路】根据同一函数的定义判断．【解答过程】解：f（x）＝x+1的定义域为R，A．𝑔(𝑥)=√𝑥33+1=𝑥+1，且

定义域为R，故正确；B．𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥+1=𝑥+1(𝑥≠0)，故错误；C．𝑔(𝑥)=√𝑥2+1=|𝑥|+1，故错误；D．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故错误；故选：A．【变式2-2】（

2021秋•黑龙江期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x|B．y=𝑥2𝑥C．y＝（√𝑥）2D．y=√𝑥33【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：函数y＝x的定义域为R，对于选项A：y＝

|x|={𝑥，𝑥≥0−𝑥，𝑥＜0，两个函数的对应法则不同，所以不是同一个函数，故选项A错误，对于选项B：y=𝑥2𝑥的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故选项B错误，对于选项C：y=(√𝑥)2的定义

域为[0，+∞），两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故选项C错误，对于选项D：y=√𝑥33=x定义域为R，两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一个函数，故选项D正确，故选：D．【变

式2-3】（2021秋•成都期末）下列函数表示同一函数的是（）A．y＝x+1与𝑦=𝑥2𝑥+1B．y＝x3与y＝（x﹣1）3C．y＝|x|与𝑦=(√𝑥)2D．y＝x0与𝑦=1𝑥0【解题思路】根据同一函数的两个条件即定义域与解析式完全相同

对应各个选项判断求解即可．【解答过程】解：选项A：因为函数y＝x+1的定义域为R，而函数y=𝑥2𝑥+1＝x+1，定义域为{x|x≠0}，故A错误，选项B：两个函数的解析式不同，故B错误，选项C：因为函数y＝|x|的定义域为R，而函数y＝（√�

�）2的定义域为[0，+∞），故C错误，选项D：因为y＝x0＝1，函数定义域为{x|x≠0}，函数y=1𝑥0=1，函数定义域为{x|x≠0}，故D正确，故选：D．【题型3函数的定义域问题】【方法点拨】(1)根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的

解集表示成集合或区间的形式.(2)已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.【例3】（2022秋•开福区校级月考）函数f（x）=1√𝑥+√4−𝑥2的定义域为（）A．[﹣2，2]B．[0，2]C．（0，2]D．[﹣2

，0）∪（0，2]【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由题意，{𝑥＞04−𝑥2≥0，解得0＜x≤2．∴函数f（x）=1√𝑥+√4−𝑥2的定义域为（0，2]．故选：C．

【变式3-1】（2022秋•宛城区校级月考）若函数f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，则函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥2)√𝑥−1的定义域为（）A．[1，4]B．（1，4]C．[1，14]D．（1，14]【解题思路】根据函数的解析

式及函数的定义，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：因为f（x+1）的定义域为[﹣1，15]，所以0≤x+1≤16，所以{0≤𝑥2≤16𝑥−1＞0，解得1＜x≤4．故选：B．【变式3-2】（2

022春•疏勒县校级期末）函数𝑦=√𝑥−2𝑥中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≥2且x≠0D．x≠0【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解

答过程】解：要使原式有意义，则{𝑥−2≥0𝑥≠0，即x≥2．∴自变量x的取值范围是x≥2．故选：B．【变式3-3】（2022春•阎良区校级期末）若函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1的定义域为R，则a的范围是（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，

4）【解题思路】由题意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函数的性质，分类讨论，求出a的范围．【解答过程】解：∵函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1的定义域为R，∴ax2+ax+1≥0恒成立．当a＝0时，显然满足ax2+ax+1≥0恒成立．当a＜

0时，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，当a＞0时，应有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．综上可得，a∈[0，4]，故选：A．【题型4函数的值域问题】【方法点拨】(1)已知函数解析式求值域，观察所给解析式，先得出函数的定义域，

在由函数解析式求解；(2)已知函数值域求参数问题时，将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集问题，然后来确定参数的值或取值范围.【例4】（2022春•定南县校级月考）函数𝑦=2𝑥−√𝑥−1的值域为（）A．(−∞，−158]B．(−∞，−158)C．(158，

+∞)D．[158，+∞)【解题思路】先进行换元，然后结合二次函数的性质可求．【解答过程】解：令t=√𝑥−1，则x＝t2+1，t≥0，𝑦=2𝑥−√𝑥−1=2t2+2﹣t＝2（t−14）2+158，根据二次函数的性

质可知，当t=14时，函数取得最小值158，即y≥158．故选：D．【变式4-1】（2021秋•宁乡市期末）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=√𝑥2−2𝑥+1B．y=𝑥+2𝑥+1（x∈（0，+∞））

C．y=1𝑥2+2𝑥+1（x∈N）D．y=1|𝑥+1|【解题思路】A中的函数变成：y＝|x﹣1|≥0，B中的函数可以变成：y=1+1𝑥+1，由x∈（0，+∞）可得到y∈（1，2），C中的函数的值域显然不连续，所以便选D．【解答过程】解：A．y=√𝑥2−2

𝑥+1=|𝑥−1|≥0，∴该函数的值域为[0，+∞）；B．y=𝑥+2𝑥+1=1+1𝑥+1，∵x＞0，∴x+1＞1，0＜1𝑥+1＜1，1＜1+1𝑥+1＜2，∴该函数的值域为（1，2）；C．∵x∈N，即该函数的定义域是由孤立的自然数组成，所以值域也应是不连续的数构

成；D.𝑦=1|𝑥+1|＞0，∴该函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确．故选：D．【变式4-2】（2022春•水富市校级期中）若函数𝑓(𝑥)=√𝑥−2+𝑚在区间[a，b]上的值域为[a，b]（b＞a≥2），则实数m的取值范围为（

）A．(14，4]B．[14，4]C．(74，2]D．[74，2]【解题思路】由已知结合函数单调性及已知函数值域对问题进行转化得m＝a−√𝑎−2，m＝b−√𝑏−2，问题转化为m＝x−√𝑥−2在[2，+∞）上有两个不同零点，然后利用换元法，结合二次函数性质可求．【解答过

程】解：因为𝑓(𝑥)=√𝑥−2+𝑚在区间[a，b]上单调递增且函数的值域为[a，b]（b＞a≥2），所以{√𝑎−2+𝑚=𝑎√𝑏−2+𝑚=𝑏，即m＝a−√𝑎−2，m＝b−√𝑏−2，问题转化为m＝x−√𝑥−2在[2，+∞）上有两个不同零点，令t=√𝑥−2，x＝2+t2且t≥

0，所以x−√𝑥−2=t2﹣t+2，t≥0，令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0，所以y＝m与g（t）＝t2﹣t+2＝（t−12）2+74在t≥0时有两个交点，因为g（12）=74，g（2）＝2，结合二次函数的

性质可知，74＜𝑚≤2．故选：C．【变式4-3】（2022春•天河区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯

函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥2−3𝑥+4(1＜𝑥＜4)，则函数y＝[f（x）]的值域为（）A．[12，32)B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}【解题思路】由𝑓(𝑥)=12𝑥2−3𝑥+

4=12(𝑥−3)2−12，x∈（1，4），得函数在（1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，从而𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(3)=−12，再由𝑓(1)=32，f（4）＝0，得到𝑓(𝑥)∈[−12，32)，由

此能求出y＝[f（x）]的值域．【解答过程】解：因为𝑓(𝑥)=12𝑥2−3𝑥+4=12(𝑥−3)2−12，x∈（1，4），所以函数在（1，3）上单调递减，在（3，4）上单调递增，所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(3)=−12，又𝑓(1)=32，f（4

）＝0，所以𝑓(𝑥)∈[−12，32)，因为y＝[f（x）]，所以y∈{﹣1，0，1}．故选：B．【题型5求函数值或由函数值求参】【方法点拨】(1)已知函数解析式求函数值，将自变量代入解析式，求解即可．(2)由函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值

），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解.【例5】（2021秋•香坊区校级期中）已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+1−𝑥+3(𝑥≤1)(𝑥＞1)，则𝑓[𝑓(52)]的值为（）A．52B．32C．12D．−12【解题思路】由已知中函数

𝑓(𝑥)={𝑥+1−𝑥+3(𝑥≤1)(𝑥＞1)，先求出𝑓(52)值，进而代入可求出𝑓[𝑓(52)]的值．【解答过程】解：∵已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+1−𝑥+3(𝑥≤1)(𝑥＞1)，∴𝑓(52)=−

52+3=12，𝑓[𝑓(52)]=𝑓(12)=12+1=32，故选：B．【变式5-1】（2022春•祥云县期末）已知函数y={𝑥2+1(𝑥≤0)2𝑥(𝑥＞0)，若f（a）＝10，则a的值是（）A．3或﹣3B．﹣3或

5C．﹣3D．3或﹣3或5【解题思路】结合题意，需要对a进行分类讨论，若a≤0，则f（a）＝1+a2；若a＞0，则f（a）＝2a，从而可求a【解答过程】解：若a≤0，则f（a）＝a2+1＝10∴a＝﹣3（a＝3舍

去）若a＞0，则f（a）＝2a＝10∴a＝5综上可得，a＝5或a＝﹣3故选：B．【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）设函数𝑓(𝑥)={12𝑥−1(𝑥≥0)1𝑥(𝑥＜0)，若f（a）＝a，则实数a的值为（）A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2【解题思路】由分段函数的

解析式知，当x≥0时，f（X）=12𝑥−1；当x＜0时，f（x）=1𝑥；分别令f（a）＝a，即得实数a的取值．【解答过程】解：由题意知，f（a）＝a；当a≥0时，有12𝑎−1=𝑎，解得a＝﹣2

，（不满足条件，舍去）；当a＜0时，有1𝑎=𝑎，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．所以实数a的值是：a＝﹣1．故选：B．【变式5-3】（2021秋•库尔勒市校级期末）已知函数f（x）={𝑥，(𝑥≥0)𝑥2，(𝑥＜0)，则f（f（﹣2））的值是（）A．2B．

﹣2C．4D．﹣4【解题思路】已知f（x）为分段函数，把x＝﹣2代入解析式y＝x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看为一个整体，继续代入求解；【解答过程】解：∵已知函数𝑓(𝑥)={𝑥，(𝑥≥0)𝑥2，(𝑥＜0)，∴f（﹣2）＝（﹣2）2，∴f

（f（﹣2））＝f（4）＝4，故选：C．【题型6函数的表示法】【方法点拨】根据函数的三种表示方法的特点，具体问题具体分析，用适合的表示法表示出函数关系.【例6】（2021•青岛模拟）甲、乙两人在一次赛跑

中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【解题思路】根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不

同来判断即可．【解答过程】解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲＝S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选：D．【变式6-1】（2021秋•城关区校级期中）给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（）x

1234f（x）4321x1234g（x）1133A．{4，2}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．以上情况都有可能【解题思路】当x＝1或x＝2时，g（1）＝g（2）＝1，f（g（1））＝f（g（2）

）＝f（1）＝4；当x＝3或x＝4时，g（3）＝g（4）＝3，由表中可得f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．于是可得答案．【解答过程】解：∵当x＝1或x＝2时，g（1）＝g（2）＝1，∴f（g（1））＝f（g（2））

＝f（1）＝4；当x＝3或x＝4时，g（3）＝g（4）＝3，∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．故f[g（x）]的值域为{2，4}．故选：A．【变式6-2】（2021秋•钦州月考）一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所

示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是（）x（年）468…y＝ax2+bx+c7117…A．15B．10C．9D．6【解题思路】根据二次函数的图象和性质即可得到结论．【解答过程】解：由表格数据可知，当f

（4）＝f（8）＝7．f（6）＞f（8），则二次函数开口向下，且对称轴为x＝6，则根据二次函数的性质可知，当x＝6时，营运总利润y最大为11，故选：D．【变式6-3】（2022秋•青羊区校级月考）某同学到长城旅游，他租自行

车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】根据该同学在行进过程中的前进方式

的不同确定函数图象即可．【解答过程】解：第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐

步增加，所以图象C合适．故选：C．