【文档说明】浙江省嘉兴市秀水高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.469 MB，由管理员店铺上传

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嘉兴市秀水高级中学2023-2024学年高二10月月考数学试题一、单选题1.圆()()22:213Cxy−++=的圆心坐标为（）A.()2,1B.()2,1-C.()2,1−D.()2,1−−【答案】B【解析】【分析

】根据圆的标准方程即得.【详解】因为圆()()22:213Cxy−++=，所以圆()()22:213Cxy−++=的圆心坐标为()2,1-.故选：B.2.下列向量中，与向量()2,3,1a=−，平行的是（）A.()1,1,1B.()2,3,1−C.21,1,33−−

D.()2,1,1−−【答案】C【解析】【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.【详解】对于A，因为231111−，所以两向量不平行；对于B，因为231231−=−，所以两向量不平行；对于C，因为231321133−===−−−，所以两向量平行；对于D，因为231211−

−−，所以两向量不平行.故选：C.3.若方程221259xymm+=−+表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A.()9,25−B.()()9,88,25−C.()8,25D.()8,+【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组250

90259mmmm−+−+，解得答案.【详解】方程221259xymm+=−+表示椭圆，则25090259mmmm−+−+，解得()()9,88,25m−.故选：B4.若直线l的斜率()1,3k−，则直线l的倾斜角的取值范围是

（）A.π3π,34B.π3π0,,π34C.π2π,63D.π3π0,,π64【答案】B【解析】【分析】设直线l的倾斜角为，根据题意得到1tan3−，

结合正切函数的图象与性质，即可求解.【详解】设直线l的倾斜角为，其中)0,π，可得tank=，因为()1,3k−，即1tan3−，结合正切函数的图象与性质，可得直线l的倾斜角π3π0,,π34

．故选：B.5.不论实数a取何值时，直线()()21+350axay−+−−=都过定点M，则直线230xy−+=关于点M的对称直线方程为（）A.260xy−−=B.20xy−=C.290xy−−=D.2

30xy−−=【答案】D【解析】【分析】先求出定点坐标，设直线230xy−+=关于点M的对称直线方程为20xyb−+=，则2232255b−+−+=，解方程即可得出答案.【详解】由()()21+350axay−+−−=可得：()2350axyxy−−+−=，令20350xyxy−=

−+−=，解得：1,2xy==，所以()1,2M，设直线230xy−+=关于点M的对称直线方程为：20xyb−+=，则()1,2M到直线230xy−+=与20xyb−+=的距离相等，所以2232255b−+−+=，解得：3b=，即3b=（舍去）或3b=−.故直线23

0xy−+=关于点M对称直线方程为：230xy−−=.故选：D.6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆

，已知点(),Pxy是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx−的最小值为（）A.23−B.32−C.43−D.1−【答案】C【解析】【分析】转化为点(),Pxy与(2,0)连线的斜率，数形结合后由直线与圆

的位置关系求解，的【详解】记()2,0A，则2ykx=−为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆()()22110xyx+−=相切时，得k最小，此时设():2APykx=−，故21211kk−−=+，解得43k=−或0k=（舍去），即min43k=−．故

选：C7.已知直线:lyxm=+上存在点P，使得P到点()1,0A−和()10B,为的距离之和为4.若1mnm=−为正数，则49111mn+−−的取值范围是（）A.8514,6B.)14,+C.85,6+D.43,3+【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的

定义求出点P的轨迹方程，根据直线与椭圆有交点，联立直线与椭圆方程，根据0求出m的取值范围，再根据1mnm=−为正数，求出m的范围，即可得到17m，则491491111mmnm+=+−−−−，再根据对勾函数的性质求出49111mn+−−的取值范

围.【详解】解：因为P到点()1,0A−和()10B,为的距离之和为4，且24=AB，所以点P的轨迹是以()1,0A−和()10B,为焦点的椭圆，且1c=，2a=，所以223bac=−=，所以椭圆方程为22143xy+=，又直线yxm=+与22143xy+=有交点，所以22143xyyxm

+==+，消去y得2784120xmxm++−=，所以()64474120mm=−−，解得7m，又0m，所以0,7m又1mnm=−为正数，所以01mm−，解得1m或0m，所以17m，所以491491491111111mmmnmmm+=

+=+−−−−−−−，令1tm=−，则06t，因为49ytt=+在(0,6上单调递减，所以494985666tt++=，即49185116mn+−−，即49111mn+−−的取值范围是85,6+.故选：C8.在直角坐标系内，已

知(3,5)A是以点C为圆心的圆C上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为10xy−+=和70xy+−=，若圆C上存在点P，使得()0MPCPCN−=，其中点(,0)−Mm、(,0)Nm，则m的最大值

为（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】【分析】利用圆的性质先确定圆C，结合向量数量积得出MNP、、三点共圆，再利用两圆的位置关系数形结合即可.【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得1

03704xyxxyy−+==+−==，即圆心()3,4C，半径1CA=，()0MPCPCNMPNP−==，即MPNPMNP⊥、、三点共圆，该圆以MN为直径，故圆心为原点.如图所示连接OC交圆C于B点，当PB重合时此时两圆相内切，MN最

大，即16ONOBOCm==+==.故选：B二、多选题9.已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（）A.－1B.－3C.1D.3【答案】ABCD【解析】【分析】由题意可知两圆外切或

内切，则圆心距等于两半径的和或两半径的差，列方程可求出a的值.【详解】由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合

是{1，－1，3，－3}．故选：ABCD10.已知直线:320lxy+−=，则下列选项中正确的有（）A.直线l的倾斜角为56B.直线l的斜率为3C.直线l不经过第三象限D.直线l的一个方向向量为()3,3v=−【答案】CD【解析】【分析】由直线:320lxy+−=，可以得到直线的斜率和

倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线:320lxy+−=上两点，得到直线l的一个方向向量，从而判断D选项的正误.【详解】因为:320lxy+−=，可以表示为32yx=−+，所以3k=−，

倾斜角为23，故选项A和B错误；因为直线32yx=−+，故斜率0k，纵截距0b，所以直线l不经过第三象限，故选项C正确；取直线上两点(0,2)A,(3,1)B−，所以得到方向向量(3,3)BA=−，得到直线l的一个方向向量为()3

,3v=−，故选项D正确.故选：CD11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:4Oxy+=，点()30A−,，()1,2B−，点C，D为圆O上的两个动点，则下列说法正确的是（）A.圆O关于直线AB对称的圆O的方程为22(3)(3)4++−=xyB.分别过A，B两点所作的圆O的切

线长相等C.若点()1,0P满足0PCPD=，则弦CD的中点Q的轨迹方程为221522xy−+=D.若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积最小值为2【答案】AD【解析】【分析】由题意求出直线AB的方程，

设(,)Oab，则011000322baba−=−−++=+解之即可判断A；由A、B到原点的距离不相等判断B；设(,)Qxy，由题意得PCPD⊥，结合222PQOCOQ=−计算化简，即可判断C；由点到直线的距离公式和几何法求弦长，求出直线AB的方程，求出

面积即可判断D.【详解】A：20113ABk−==−+，则直线AB方程为3yx=+，设O的圆心(,)Oab，则011000322baba−=−−++=+，解得3,3ab=−=，所以O的方程为22(3)(3)4++−

=xy，故A正确；B：易知A、B到原点(圆心)的距离不相等，所以切线长不相等，故B错误；C：设(,)Qxy，由0PCPD=，且P在圆O内部，得PCPD⊥，又Q为弦CD的中点，则OQCD⊥，有222PQOCOQ=−

，即2222(1)4()xyxy−+=−+，整理得222223xyx+−=，即2217()24xy−+=，故C错误；D：由题意，(0,0),2,1ABOrk==，若四边形ABCD为平行四边形，则22,//CDABCDAB==，设AB直线方程为yxm=+，则O到直线AB的距离为2md=，所以22

2CDrd=−，的即2222222m=−，解得2m=，所以AB直线方程为2yx=+或2yx=−.当AB直线方程为2yx=+即()()0,2,2,0CD−时，四边形ABCD的面积最小，且最小值为2，故D正确.故选：AD.12.已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的左、右焦点分别为1F，2F且122FF=，点(1,1)P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.1||QFQP+的最小值为21a−B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为510,2

−D.若11PFFQ=，则椭圆C的长半轴长为517+【答案】AC【解析】【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点P在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点Q的坐标，列出方程计算判断D作答.【详解】对于A，由122FF=，得()122(1,0),1,0,1FFPF−=，则

122QFQPaQFQP+=−+222(||||)221aQFQPaPFa=−−−=−，当2,,QFP三点共线时取等号，A正确；对于B，由点()1,1P在椭圆内部，得22111ab+，则211b，有1b，椭圆C的短轴长大于2，B错误；对于C，因为22111ab+，且221ab−=，于是

221111aa+−，即42310aa−+，解得2235(15)24a++=，即152a+，因此1512ea−=，椭圆C的离心率的取值范围为51(0,)2−，C正确；对于D，由11PFFQ=，得1F为线段PQ的中点，即()3,1Q−−，则22911a

b+=，又221ab−=，即421190aa−+=，解得221185(517)24a++==，则5172a+=，椭圆C的长半轴长为5172+，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义

，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题13.直线l：yx=与圆22260xyxy+−−=相交A、B两点，则AB=______．【答案】42【解析】【分析】根据给定条件，联立方程求出点,A

B的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】由22260yxxyxy=+−−=解得00xy==或44xy==，不妨令(0,0),(4,4)AB，所以224442AB=+=.故答案为：4214.直线1:230lmxy+−=与直线()2:3160lxmym+−+−=

平行，则m=_________.【答案】－2【解析】【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果.【详解】由1:230lmxy+−=，得到12:32mlyx=−+，因为12ll//，所以10m−

，由()3160xmym+−+−=，得到3611myxmm−=−−−−所以3213621mmmm−=−−−−−，即2603mmm−−=，解得2m=−，故答案为：2−.15.已知点()2,2A−，()1,2B−，点Q在直线l：40xy+−=上运动，则

QAQB+的最小值为______.【答案】7【解析】【分析】结合图象，求出点A关于直线l的对称点为A，QAQB+的最小值即为AB，解出即可.【详解】如图：设点()2,2A−，关于直线l的对称点为(,)Axy，则224022

(2)12xyyx+−+−=−−=−，解得6,2,xy==则(6,2)A，则22(61)(22)7,AB=++−=7QAQBQAQBAB+=+=,故答案为：7.16.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，上顶

点为A，直线1AF与椭圆C交于另一点B，若2120AFB=，则椭圆C的离心率为___________．【答案】1313【解析】【分析】设1BFm=，再在2ABF△中根据余弦定理结合椭圆的定义可得67ma=，再分别在12AFF△与12BFF△列出余弦定理，根据12121

80AFFBFF+=化简即可.【详解】由椭圆的性质可得12AFAFa==，设1BFm=，在2ABF△中根据余弦定理结合椭圆的定义可得()()()222222cos120amaamaam+=+−−−，即2222222442aammaaammaam++=+−

++−，整理可得276ama=，即67ma=，故2827BFama=−=.又1212180AFFBFF+=，故1212180AFFBFF=−，()121212csoscos180coAFFBFFBFF=−=−，故()22

2682776272caaccaa+−=−，即22447247cacaac−=−，22267cac=−，故2213ac=，故离心率1313ca=.故答案为：1313四、解答题17.如图所示，已知12,FF是椭圆22110036xy+=的两个焦点．（1）求椭圆的

焦点坐标；（2）过1F作直线与椭圆交于,AB两点，试求2ABF△的周长．【答案】（1）()()128,0,8,0FF−．（2）40【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可；（2）由椭圆的定义计算即可.【小问1详解】设焦距为2c，由22110036xy+=得1

00368c=−=，所以椭圆的焦点坐标为()()128,0,8,0FF−．【小问2详解】设椭圆长轴长2a，则易得2210020a==，又2ABF△的周长2ABFC为()()()2211221212ABAFBFAFBFAFBFAFAFBFBF++=+++=+

++,由椭圆的定义可知12122AFAFaBFBF+==+，故240ABFC=.18.已知(1,2),(1,1)AB−，过点(3,1)P−−且与直线AB垂直的直线为l．（1）求l的方程；（2）设l与坐标轴的交点分别为M和N，求||MN．【答案】（1

）270xy++=（2）752.【解析】【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再由直线AB与直线l垂直求出直线l的斜率，然后利用点斜式可求出直线l的方程，（2）分别令0,0xy==求出直线l与坐标轴的交点，

再利用两点间的距离公式可求得结果.【小问1详解】因为(1,2),(1,1)AB−，所以2111(1)2ABk−==−−，因为直线AB与直线l垂直，所以直线l的斜率为2−，因为直线l过点(3,1)P−−，所以直线l方程为

12(3)yx+=−+，即270xy++=，【小问2详解】由（1）可知直线l为270xy++=，当0x=时，7y=−，当0y=时，72x=−，不妨令7,0,(0,7)2MN−−，则22775722MN=+=.19.已知椭圆()2222:10x

yMabab+=的离心率为63，焦距为22，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l过椭圆上顶点，且1k=，求AB的值.【答案】（1）2213xy+=（2）322的【解析】【分析】（1）由题意可得22263222

abcceac=+===，解出,,abc，进而求解.（2）由题意可得直线l的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】由题意得，22263222abcceac=+==

=，解得2c=，3a=，()()2222321bac=−=−=，∴椭圆M的方程为2213xy+=.【小问2详解】因为1k=，椭圆上顶点为()0,1，所以直线l的方程为1yx=+，设()11,Axy，(

)22,Bxy.联立22113yxxy=++=，得2230xx+=，又直线l与椭圆M有两个不同的交点，所以90=，∴1232xx+=−，120xx=，∴()22121212932124242ABkxxxxxx=+−=+−==.20.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，

1AA⊥底面ABCD，M是AD中点.底面ABCD为直角梯形，且ADBC∥，11112ABBCADAAAD====，90ABC=.（1）求证：直线1DD∥平面1BCM；（2）求直线CD与平面1BCM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1

2【解析】【分析】（1）根据题意可证11ABCM∥，可知11,,,ABCM四点共面，进而可得11DDAM∥，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）过点D作1DOAM⊥于点O，连CO，根据垂直关系分析可得DCO∠为CD与平面1BCM所成角，运算求解即可.【

小问1详解】连接11,AMDM，因为M是AD中点，且ADBC∥，2=ADAB，则CMAB∥，又因为11ABAB∥，则11ABCM∥，可知11,,,ABCM四点共面，由112ADAD=，11ADAD∥，可得11ADMD∥，11ADMD=

，则四边形11AMDD是平行四边形，故11DDAM∥，且1DD平面11AMDD，1AM平面11AMMD，所以1DD∥平面1BCM.【小问2详解】因为1AA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，则1AAAB⊥，且ADAB⊥，1

AAADA=，1,AAAD平面11ADDA，所以AB⊥平面11ADDA，由（1）可知：CMAB∥，则CM⊥平面11ADDA，且CM平面1BCM，所以平面1BCM⊥平面11ADDA，过点D作1DOAM⊥于点O，连CO，平面1BCMI平面111A

DDAAM=，DO平面11ADDA，所以DO⊥平面1BCM，所以DCO∠为CD与平面1BCM所成角，因为1△∽△AAMDOM，则11AADOAMDM=，可得1122AADMDODMAM==，所以直线CD与平面1BCM所成角的正弦值212sin22DMDODCOCDDM==

=.21.已知圆22:2260Cxyxy++−−=，直线l过点()1,2P且与圆C相交A，B两点.（1）若ABC为等腰直角三角形，求l的方程；（2）当PCl⊥时，求ABC的外接圆方程.【答案】（1）1x=或34110xy+−=.（2）22618

20555xyxy+−−+=【解析】【分析】（1）由题意可得圆心C到直线l的距离为2d=，考虑直线l的斜率存在和不存在，由点到直线的距离公式即可得出答案；（2）先求出直线l的方程，设ABC的外接圆方程为：()22226240xyxyxy++−−++−=，将

()1,1C−代入即可求出，即可求出ABC的外接圆方程.小问1详解】将圆C化简为：()()22118xy++−=，则圆心()1,1C−，22r=，因为22ACBC==，ACBC⊥，所以24ABCA==，因此圆心C到直线

l的距离为：842d=−=若直线l的斜率不存在，所以1x=，圆心()1,1C−到直线1x=的距离为2，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l为：()21ykx−=−，即20kxyk−−+=，即221221211kkkdkk−−−+

−+===++，解得：34k=−，所以直线l为：34110xy+−=，综上：l的方程为：1x=或34110xy+−=.【小问2详解】因为()1,2P，()1,1C−，所以211112PCk−==+，因为PCl⊥，

则2lk=−，因为直线l过点()1,2P，则直线l的方程为：()221yx−=−−，化简为：240xy+−=，因为ABC的外接圆过直线l与圆C的交点，【设其方程为：()22226240xyxyxy++−−++−=

，因为圆过点()1,1C−，代入可得850−−=，解得：85=−，得()2282262405xyxyxy++−−−+−=，即2261820555xyxy+−−+=，经经验22618240555−+−−，故所求的方程为：2261820

555xyxy+−−+=.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线34550xy++=与圆1C：222xyr+=相切，另外，椭圆2C：()222210xyabab+=的离心率为32，过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且1CD=．（1）求圆1C的方程与椭圆2C的方程；（2）经

过圆1C上一点P作椭圆2C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆1C相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．【答案】（1）225xy+=，2214xy+=；（2）4,15.【解析】【分析】（1）由直线与圆

的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆1C的方程，根据椭圆离心率、22bCDa=及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆2C的方程.（2）设()11,Axy、()22,Bxy、()00,Pxy，讨论直线

PA，PB斜率存在性，则直线PA为()111ykxxy=−+、直线PB为()222ykxxy=−+，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程Δ0=求1k、2k，进而得直线PA为1114xxyy+=、直线PB为2214xxyy+=，结合P在直线PA，PB上有AB为0014xxyy+=，联立

椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得202043135OABySy+=+求面积范围.【小问1详解】由题设，圆1C：222xyr+=的圆心为()0,0，因为直线34550xy++=与圆1C相切，则

2255534r==+，所以圆1C的方程为225xy+=，因为椭圆2C的离心率为32，即32cea==，即32ca=，由221bCDa==，则22ab=，又222abc=+，所以22324aaa=+，解得2a=，1b=，所以椭圆2C的

方程为2214xy+=．综上，圆1C为225xy+=，椭圆2C为2214xy+=.【小问2详解】设点()11,Axy，()22,Bxy，()00,Pxy．当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为1k

，2k，则直线PA为()111ykxxy=−+，直线PB为()222ykxxy=−+．由()11122440ykxxyxy=−++−=，消去y得：()()()22211111111148440kxkykxxykx++−+−−=．所以()()()2222111111116441444k

ykxkykx=−−+−−．令Δ0=，整理得()2221111114210xkxyky−++−=，则11111122111444xyxyxkxyy−−=−==−，所以直线PA为()11114xyxxyy−=−+，化

简得：22111144xxyyyx+=+，即1114xxyy+=．经验证，当直线PA斜率不存在时，直线PA为2x=或2x=−也满足1114xxyy+=．同理，可得直线PB为2214xxyy+=．因为()00,Pxy在直

线PA，PB上，所以101014xxyy+=，202014xxyy+=．综上，直线AB为0014xxyy+=．由00221444xxyyxy+=+=，消去y得：()22200035816160yxxxy+−+−=．所以01220835xxxy+=+，20122

0161635yxxy−=+．所以201220116xABxxy=+−()()()22220000222006443516161551635xyyyyy−+−+=+()()220420002220

002531312533535yyyyyyy++=+=++．又O到直线AB的距离222000|4|416531dxyy−==++．所以()220022200025314311423535531OAByy

Syyy++==+++．令2031yt+=，1,4t，则24444OABtSttt==++，又44,5tt+，所以△OAB面积的取值范围为4,15．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA，PB的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA，PB的

方程，由P在直线PA，PB上求直线AB的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com