【文档说明】四川省阆中中学2023届高三全景模拟卷（一）理科数学试题 含解析.docx，共(27)页，3.123 MB，由小赞的店铺上传

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四川省阆中中学校高2020级全景模拟卷（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集RU=，集合()()|2,Z,120AaakkBxxx===+−，则()UAB=ð（）A.0,2B.2,

4C.0,2,4D.1,0,1,2,3,4−【答案】A【解析】【分析】求出集合B中元素范围，再求出UBð，进而可求()UABð.【详解】()()120{|1Bxxxxx=+−=−或2}x，则|12UBxx=

−ð，又|2,ZAaakk==，()0,2UAB=ð.故选：A.2.若1iz=+．则|i3|zz+=（）A.45B.42C.25D.22【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因1iz=+，所以()()i3i1i

31i22izz+=++−=−，所以i34422zz+=+=．故选：D.3.某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：为用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁

以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少C.C险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％【答案】B【解析】【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%

，是最少的，A选项正确.B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保

总费用最少，B选项错误.C选项，C险种参保比例0.358，是最多的，所以C选项正确.D选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D选项正确.故选：B4.正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面

对角线1ED与1BC所成的角是（）A.90B.60C.45D.30【答案】B【解析】分析】连接1,FEFD，则11FEBC∥，1FED即为1ED与1BC所成的角，在1FED△中求解即可．【详解】连接1,FEFD，则11FEBC∥，

故1FED为1ED与1BC所成的角．【在EFD△中，1,120EFEDFED===，2222cos1203FDEFEDEFED=+−=，3FD=，在1EFE△和1EED△中，得211(2)13EFED==+=，1FED△是等边三角形，160FED=．故选：B．5.记不等式组6

20xyxy+−…表示的平面区域为D，命题:(,),29pxyDxy+…；命题:(,),212qxyDxy+„.给出了四个命题：①pq；②pq；③pq；④pq，这四个命题中，所有真命题的编号是A.①③B.①②C.②③D.③④【答案】A【解析】【分析】根据题

意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由2,6yxxy=+=得2,4xy==即A（2，4），直线29xy+=与直线212xy+=均过区域D，则p真q假，有p假q真，所以①③真②④假．故选A．【点睛】

本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．6.设F为抛物线24yx=的焦点，ABC、、为该抛物线上三点．若0FAFBFC++=，则||||||FAFBFC++=（）A.9B.6C.4D.3【答案】B【解析】【分析】设出,,ABC三点的坐标

，把||||||FAFBFC++（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解.【详解】解：设点,,ABC的坐标分别为()()()112233,,,,,xyxyxy．又2,(1,0)pF=，则()111,FAxy=−，

()()22331,,1,FBxyFCxy=−=−，1231230,1110,3FAFBFCxxxxxx++=−+−+−=++=．由抛物线的定义可得：1||2pFAx=+，2||2pFBx=+，3||2pFCx=+1233||||||3362pFAFBFCxxx++=+++=+=故选

：B7.已知函数()fx的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）A.22cos()ln2cosxfxxx+=+−B.32cos()ln2cosxfxxx+=−C.32sin()ln2sinxfxxx+=+−D.22sin()ln2sinxfxxx+=−【答案】B【解析】【分析】观察图象确定函

数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项.【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()fx为奇函数，由图象可得(2)0f，对于函数22cos()ln2cosxfxxx+=+−，因为()()()222cos2c

os()lnln()2cos2cosxxfxxxfxxx+−+−=−+=+=−−−，所以函数22cos()ln2cosxfxxx+=+−偶函数，A错，对于函数32sin()ln2sinxfxxx+=+−，()32sin()ln()

2sinxfxxfxx−−=−+=−+，所以函数32sin()ln2sinxfxxx+=+−为奇函数，又32sin2(2)2ln02sin2f+=+−，与图象不符，故C错误，对于函数22sin()ln2sinx

fxxx+=−，()22sin()ln()2sinxfxxfxx−−=−=−+，所以函数22sin()ln2sinxfxxx+=−为奇函数，又22sin2(2)2ln02sin2f+=−，与图象不符，故D错误，为对于函数32cos()ln2co

sxfxxx+=−，因为()32cos()ln()2cosxfxxfxx+−=−=−−，所以函数32cos()ln2cosxfxxx+=−为奇函数，且32cos2(2)2ln02cos2f+=−，与图象基本相符，B正确，故选：B.8.沈括

的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB⊥.“会圆术”给出AB后的弧长的近似值s的计算公式：2CDsA

BOA=+，记实际弧长为l.当2OA=，60AOB=时，ls−的值约为（）（参考数据：3.14，31.73）A.0.01B.0.05C.0.13D.0.53【答案】B【解析】【分析】根据题意求出AB与DC的值，代

入弧长公式和2CDsABOA=+求出l和s即可.【详解】因为260OAOBAOB===，，所以2AB=，因为C是AB的中点，D在AB上，CDAB⊥，所以延长DC可得O在DC上，23CDODOC=−=−，所以22(23)743114

3222.04222CDsABOA−−−=+=+=+=，22.0933l=，所以0.05ls−.故选：B9.已知函数()()cos03fxx=−且2536ff=

，若()fx在区间25,36上有最大值，无最小值，则的最大值为A.49B.289C.529D.1009【答案】D【解析】【分析】根据2536ff=可得()fx的一条对称轴,进而求得满足的关系式,再根据()fx在区间25

,36上有最大值,无最小值求得周期满足的关系式,进而求得的范围.【详解】函数()()cos03fxx=−且2536ff=,直线12532364x=+=为()()cos03fxx=

−的图像的一条对称轴,343k−=,Zk.4439k=+,Zk.又0,且()fx在区间25,36上有最大值,无最小值,52636T−=,26,12,当8k=时,324100399=+=为最大值.故选：D【点睛】

本题主要考查了余弦函数的性质与应用,属于难题.10.设函数()fx的定义域为R，()13fx+−为奇函数，()2fx+为偶函数，当1,2x时，()2fxaxb=+．若()()011ff−+=，则20

232f=（）A.3712−B.1112C.56D.23【答案】B【解析】【分析】根据()13fx+−为奇函数，()2fx+为偶函数，可得函数()fx的周期4T=，且()fx为偶函数，根据1,2x时，()2fxaxb=

+，求,ab的值得此时解析式，即可求得20232f的值.【详解】()13fx+−为奇函数，()()116fxfx−+++=，所以()fx关于()1,3对称，所以()()62fxfx=−−①，且()13f=，又()2fx+为偶函数，()()22

fxfx−+=+，则()fx关于2x=对称，所以()()4fxfx=−②，由①②可得()()462fxfx−=−−，即()()62fxfx=−+，所以()()264fxfx+=−+，于是可得()()4fxfx=+，所以()fx的周期4T=

，则()()()()6262fxfxfxfx=−−=−+=−，所以()fx为偶函数则()()()()10101ffff−+=+=，所以()02f=−，所以()()2608ff=−=所以()()13248fabfab=+==+

=，解得5343ab==，所以当1,2x时，()25433fxx=+所以202311136111101266222221212fffff=−=−==−=−=

.故选：B.11.已知函数()esino(cs)xfxxx+=在区间(2π,0)-内有两个极值点12,xx且12xx，则（）A.12|π|xx+=B.()fx在区间()12,xx上单调递增C.12((0fxfx)+)D.12|((1|fxfx)-)【答案】D【

解析】【分析】由题意可得()2ecos0xfxx==，求得123ππ,22xx=−=−，即可判断A;判断()fx在()12,xx上的正负，可判断()fx的单调性，判断B;将123ππ,22xx=−=−代入12((fxfx)+)中，即可判断C;将123ππ,22

xx=−=−代入12|((fxfx)-)|中,比较大小，可判断D.【详解】由题意函数()esino(cs)xfxxx+=在区间2π,0)(-内有两个极值点12,xx，则()2ecos0xfxx==,即cos0,2π,0()x

x=-，故123ππ,22xx=−=−，当3π2π2x−−时，()0fx¢>，当3ππ22x−−时，()0fx，当π02x−时，()0fx¢>，即13π2x=−为()fx在2π,0)(-内

的极大值点，1π2x=−为()fx在2π,0)(-内的极小值点，所以122πxx+=，A错误；由3ππ,22x−−时，cos0x，故()0fx，所以()fx在区间()12,xx上单调递减，B错误；又()()3π3ππ222212π3π3πππe

sin()cos()]eesin()cos()]e2222[,[fxfx−−−−=−+−==−+−=−，由于exy=时R上的增函数，故3π2π2ee−−，所以()()3ππ2212ee0fxfx−−=−+，C错误；()()3πππ

π222212π2eeeee2fxfx−−−−=−=++，因为π2π211e0,eπ1,e2e，故π21e22e，故12|((1|fxfx)-)，D正确，故选：D．12.在长方体1111ABCDABCD−中，13ABAA==，2AD=，点M为平面11ABBA内一动点，且1//C

M平面1ACD，则当1CM取最小值时，三棱锥MABD−的外接球的表面积为（）A.13πB.16πC.26πD.32π【答案】A【解析】【分析】首先利用面面平行的性质定理可得点M在线段1AB上，当1CM取最小值时M为线段1AB的中点，再根据三棱锥

MABD−的特征确定外接球球心即为AC与BD的交点O，求出半径即可计算出外接球的表面积.【详解】根据题意易知，11//ACAC，且AC平面1ACD，11AC平面1ACD，所以11//AC平面1ACD，同理可得1//BC平面1ACD；又1111=ACBCC，111,ACB

C平面11ABC，所以平面11//ABC平面1ACD；又因为点M在平面11ABBA内且1//CM平面1ACD，所以点M在平面11ABBA与平面1ACD的交线1AB上，易知11113ACBC==，所以当1CM取最小

值时，M为线段1AB的中点，如下图所示：取AB的中点为N，,ACBD交于点O，连接,MNNO；则3,12MNNO==，所以132MO=，而132AOBODO===，所以O即为三棱锥MABD−的外接球球心，半径132RAOMO===，则表面积24π13πSR==.故选：A二、填空题（20分，每小

题5分）13.已知向量a，b满足1a=，2b=，且abab+=−，则2ab+=_________.【答案】22【解析】【分析】由数量积的性质化简abab+=−可得0ab=，再由数量积的性质求2ab+rr.【详解】因

为abab+=−，所以()()22abab+=−，所以22aaabbbaaabbb−+=++，所以0ab=，所以()2224ababaabb+=+=+，又1a=，2b=，所以222ab+=，故答案为：22.14.已知集合

2,4A=，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是______.【答案】58##0.625【解析】【分析】由列举法列举出全部基本事件，即可找出所求事件包含的基本事件个数，即可求解概率.【详解】集合2,4A=，在A中可重复的依次取出三个数a，b，c，

基本事件有()()()2,2,2,2,2,4,(2,4,4),(2,4,2),(4,2,2),(4,4,4),4,2,4,(4,4,2)共有8个，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数5m=，分别为：()()2,2,2,(2,4,4),

(4,4,4),4,2,4,(4,4,2)所以“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：58．故答案为：5815.设O为坐标原点，双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别是12,FF，若双曲线C的离心率为3，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则1P

FOP=______．【答案】6【解析】【分析】根据离心率和双曲线,,abc关系可用a表示出,bc，并得到渐近线方程；在2RtOPF和1POF△中，结合余弦定理可用a表示出1,OPPF，进而求得结果.【详解】双曲线C的离心率3==cea，3ca=，222bcaa=−=，双曲线渐近

线为：2yx=，不妨设P在2yx=上，如下图所示，2tan2POF=，23cos3POF=，则123coscos3POFPOF=−=−，在2RtOPF中，223cos3OPOFPOFca===

，在1POF△中，由余弦定理得：2222221111232cos4363PFOFOPOFOPPOFaaa=+−=+=，16PFa=，166PFaOPa==.故答案为：6.16.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油

画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵77cm，横53cm．油画挂在墙壁上时，其最低点处B离地面237cm（如图所示）．有一身高为175cm的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm），设该游客与墙的距离为cmx，视角为，为使观赏视角最大

，则x应为______．【答案】772cm【解析】【分析】设π,(0,)2BCD=，在直角三角形中表示出77tanBDCDx==和154tan()x+=，结合两角和正切公式求出277tan277xx=+，利用基本不等式即可求得观赏视角最大时x

的值.【详解】如图，作CD垂直于AB的延长线，垂足为D,则(cm)CDx=，设π,(0,)2BCD=,则237(17515)77tanBDCDxx−−===,7777154tan()ADCDxx++===,即tantan1541tantanx

+=−，解得277tan277xx=+，因为222770,2277xxx+当且仅当2277xx=即772x=时取等号，所以2277772tan27742277xx==+，此时观赏视角最大，此时772x=cm,

故答案为：772cm.三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为

，标准差为．（1）求和；（2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布()2,N，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标

准，试根据3原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若()2,XN，则：()0.6826PX−+，()220.9544PX−+，()330.9974PX−

+，40.99740.99．【答案】（1）200=，6=（2）这台设备需要进一步调试，理由见解析【解析】【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在(3,3

−+的概率约为0.01485，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在(3,3−+内，根据3原则，得到结论.【小问1详解】()119219219319720020220320420820920010+++++++

+==+,22222222222188730234893610=+++++++++=，故366==；【小问2详解】由题意得：()200,36XN，()20018200180.9974PX−

+，即()1822180.9974PX，所以五个零件的内径中恰有1个不在(3,3−+的概率为()()415C0.99710.9970.01485−，又试产的5个零件中内径出现了1个不在(

3,3−+内，所以小概率事件出现了，根据3原则，这台设备需要进一步调试.18.设数列na的前n项之积为nT，且满足()*21NnnTan=−．（1）证明：数列11na−是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）记22212nnSTTT=+++，证明：1

4nS．【答案】（1）证明见解析，2121nnan−=+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：根据11,1,2nnnTnaTnT−==，得到111nnnaaa−−=−，变形后得到()1111211nnnaa−−=−−，证明出结论，并求出通项公式；法二：由题目条件得到()1

212nnnTTnT−=−，得到1nT以3为首项，以2为公差的等差数列，求出121nTn=+，进而求出2121nnan−=+，并证明出数列11na−是等差数列；（2）利用放缩法得到2

11141nTnn−+，裂项相消法求和，得到14nS.【小问1详解】方法一：当1n=，得113a=，当2n时，1221nnaaaa=−①121121nnaaaa−−=−②两式相除可得：111nnnaaa−−=−即1111nnnaaa−=−−，又()

1111111nnnnnaaaaa−−==−−−−，故111111nnaa−=−−−，变形为：()1111211nnnaa−−=−−，因为11312a=−，所以11na−是以32为首项，1为公差的等比数列．所以()13112nna=+−−化简可得2121nnan−=+法二：

因为12nnTaaa=，()*21NnnTan=−，所以()1212nnnTTnT−=−即()11122nnnTT−−=令1n=，则113T=，113T=所以1nT以3为首项，以2为公差的等差数列，所以1

21nnT=+，即121nTn=+，所以()121221nnnTnanTn−−==+．又因为1113aT==满足上式，所以2121nnan−=+，所以1112nna=+−，故()*1111111N1122nnnnnaa+−=++−−=−−，故数列11na−是等

差数列．【小问2详解】1213211352121nnnTaaann−===++()22111114414141nTnnnnnn==−++++2221211111111114223141nnSTTTnnn=+++−+−+

+−=−++因为10111n−+，所以14nS19.如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，62AB=，6AD=，M，N分别为CD，PD的中点，

K为PA上一点，13PKPA=.（1）证明：B，M，N，K四点共面；（2）若PC与平面ABCD所成的角为π6，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）先证明线线平行，再利用基本事实判定四点共

面；（2）建立空间直角坐标系，求出点坐标，求解两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的余弦值.【小问1详解】证明：连接AC交BM于E，连接KE，的∵四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，CMAB∥且12CMAB=，12CECMAEA

B==，13PKPA=，12PKKA=，PKCEKAAE=，KEPC∥，∵M，N分别是CD，PD的中点，MNPC∥，KEMN∥，K，E，M，N四点共面，BEM，B，M，N，K四点共面.【小问2详解】62AB=，6AD=，∴63=AC，PA⊥平面ABCD，∴PC与平面ABCD所成

的角为π6PCA=，在PAC△中，π3tan63APAC==，∴6AP=，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图(0,0,0)A，(62,0,0)B，(32,6,0)M，(0,0,4)K，(32,6,0)BM=−，(62,0,4)BK=−，设平面BMNK的一个法向量

为1(,,)nxyz=，则1132606240nBMxynBKxz=−+==−+=，令2x=，得平面BMNK的一个法向量为1(2,1,3)n=，又平面PAD的一个法向量为2(1,0,0)

n=，设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为，121226cos6112nnnn===，平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为66.20.已知函数()2lnfxaxxx=−+．（1）若()21fxx−恒成立，求a的值；（2）求证：对任意正整数()

2nn，都有222211111111e234n++++（其中e为自然对数的底数）．【答案】（1）1a=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）将不等式等价转化为ln10axx−+在()0,+

恒成立，令()ln1,(0)hxaxxx=−+，对a进行分类讨论，使得max()0hx即可求解；（2）利用ln1−xx，（当且仅当1x=时等号成立）对21ln1k+进行放缩裂项，进而即可证明.【小问1

详解】由()21fxx−，得ln10axx−+在()0,+恒成立．记()()ln1hxaxxx=−+，()1aaxhxxx−=−=，1°若0a，则()0hx恒成立，()hx在()0,+上单调递减，

当()0,1x时，()()10hxh=，不符合题意．2°若0a，令()0hx=，得xa=，当()0,xa时，()0hx；当(),xa+时，()0hx，∴()hx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，∴()()maxln10h

xhaaaa==−+．记()()ln10aaaaa=−+，()lnaa=．令()0a=得1a=，当()0,1a时，()0a；当()1,a+时，()0a，∴()a在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增．∴()()ln110aaaa=−+=，

即()0ha（当且仅当1a=时取等号），∴()0ha=．又因为()10h=，故1a=．【小问2详解】由（1）可知：ln1−xx，（当且仅当1x=时等号成立）．令2111xk=+，则()2211111ln111kkkkkk+=−−−，(),3,42,...,nk=∴222211

11ln1ln1ln1ln1234n++++++++11111111223341nn−+−+−++−−

111n=−，即22221111ln1ln1ln1ln11234n++++++++，也即22221111ln[(1)(1)(1)(1)lne234n++++，所以22221111(1)(1)(1)(1)e234n+++

+，故对任意正整数()2nn，都有222211111111e234n++++．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函

数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极值最值问题处理.21.已知动圆M经过定点()13,0F−，且与圆2F：()22316xy−+=内切

.（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点,AB，点P为轨迹C上异于,AB的动点，设PB交直线4x=于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为APk､AQk.（i）求证：APAQkk为定值；（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出

该定点的坐标.【答案】（1）2214xy+=（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点()1,0【解析】【分析】（1）根据定点1F和圆心2F的位置关系，利用两圆内切即可得出半径之和等于圆心距，再根据椭

圆定义即可求得轨迹C的方程；（2）（i）易知,AB即为椭圆的左右顶点，设出点,PQ坐标，利用共线时斜率相等即可得出APAQkk的表达式，化简即可得出112AQApkk=−；（ii）根据（i）中的结论，写出直线PQ的方程，将表达式化简即可得出直线PQ经过定点()1,0.【小问1详解】设

动圆的半径为r，由题意得圆2F的圆心为()23,0F，半径4R=；所以1MFr=，2MFRr=−，则1212423MFMFFF+==.所以动点M的轨迹C是以1F，2F为焦点，长轴长为4的椭圆.因此轨迹C方

程为2214xy+=.【小问2详解】（i）设()11,Pxy，()22,Qxy，()4,Tm.由题可知()2,0A−，()2,0B，如下图所示：则112APkyx+=，()0426AQATmmkk−===−−，而

1122BPBTymkkx===−，于是1122ymx=−，所以()()21111211112623234APAQyyyymkkxxxx===++−−，又221114xy+=，则()2211144yx=−，因此()()212114141234Ap

AQxkkx−==−−为定值.（ii）设直线PQ的方程为xtyn=+，()11,Pxy，()22,Qxy.由2214xtynxy=++=，得()2224240tytnyn+++−=，所以12221222444tnyytnyyt

+=−+−=+.由（i）可知，112APAQkk=−，即()()121212121222212yyyyxxtyntyn==−++++++，化简得22414161612nnn−=−++，解得1n=或

2n=−（舍去），所以直线PQ的方程为1xty=+，因此直线PQ经过定点()1,0.【点睛】方法点睛：解决定值或定点问题时，经常会用到设而不求的方法，即首先设出点坐标或直线方程，再根据题目条件寻找等量关系即可实现整体代换求得定值或定点.选做题（22-23题任选一

题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22.有一种灯泡截面类似“梨形”曲线，如图所示，它是由圆弧AB、圆弧CD和线段ADBC、四部分组成，在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知5π7πππ2,,2,,3,,3,6633ABCD−

，弧AB、弧CD所在圆的圆心分别是(0,0)、(3,0)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧CD．（1）分别写出12,MM的极坐标方程；（2）直线l的参数方程为663xtyat=+=−（t为参数

），若l与曲线2M有且仅有两个公共点，求a的取值范围．【答案】（1）157:2,,66M=；2:6cos,,33M=−（2）53,3−−【解析】【分析】（1）利用圆的极坐标方程的求法求解；（2）直线l恒过定点(6,63)P，且斜

率为a−，点C的直角坐标333,22C−，得33632533362PCk−−==−，根据数形结合解决即可.【小问1详解】由题意知，弧AB、弧CD所在的圆的直角坐标方程分别为()22224,39xyxy

+=−+=，所以弧AB、弧CD所在的圆的极坐标方程分别为2=，6cos=，所以15π7π:2,,66M=；2ππ:6cos,,33M=−【小问2详解】依题意直线l恒过定点(6,63)P，且斜率为a−．因为平面

直角标系下333,22C−，所以33632533362PCk−−==−．因直线l与曲线2M有且仅有两个公共点，由图知，所以533a−，即533a−，所以a的取值范围为53,3

−−.23.已知0ab，函数()()1fxxbab=+−．（1）若1a=，12b=，求不等式()2fx的解集﹔（2）设函数2()()gxfxxa=+−，求()gx的最小值，并求出取得最值时,ab的值．【答案】（1）2xx−或6x−

为（2）当2a=，22b=时，函数()gx取得最小值4【解析】【分析】（1）根据题意，将,ab的值代入即可得到()fx解析式，然后求解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式化简，然后结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由11,2ab==可得()4f

xx=+，则()2fx即42x+，所以42x+或42x+−，解得2x−或6x−，故不等式()2fx的解集为2xx−或6x−．【小问2详解】因为()()()()222111xxaxxaababbabbab++−+−−=+−−−，因为0ab，所以0ab

−，所以()2224bababab+−−=，所以()()222222114124aaaababbabaa+=++=−−，当且仅当224aabab==−，即22,2ab==时，等号成立，所以当22,2ab==时，函数()gx取得最小值4．获得更多资源请扫码加入享学资源

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