【文档说明】湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第二次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.630 MB，由小赞的店铺上传

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名校联考联合体2025届高三第二次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2,1,4A=−，250Bxxx=+，则

AB=（）A.1,4B.5,2−−C.2−D.1【答案】C【解析】【分析】根据条件得到50Bxx=−，再利用集合的运算，即可求出结果.【详解】由250xx+，得到5x0−，所以50Bxx=−，又2,1,4A=−，所以2AB=−I，故选

：C.2.若复数5i2i+在复平面内对应的点的坐标为（）A.()2,2B.()0,2C.()1,2D.()2,2−【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到5i12i2i=++，再利用复数的几何意义，即可求出结果.【详解】因为5i5i(

2i)12i2i(2i)(2i)−==+++−，其对应的坐标为()1,2，故选：C.3.已知向量a，b满足23ab+=，23ab−=rr，则()2aab+=（）A.3B.3−C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】由已知得22449aabb++=，22212aabb−+=，进而两式作差

并整理即可得答案.【详解】因为向量a，b满足23ab+=，23ab−=，所以229ab+=，212ab−=，即22449aabb++=，①22212aabb−+=，②所以，−①②得：2363aab+=−，即221aab+=−，所以()2221aabaab+=+=

−.故选：D4.5(21)x−的展开式中3x的系数为（）A.80−B.40−C.40D.80【答案】D【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】5(21)x−展开式中含3x的项为()(

)32235C2180xx−=，所以3x的系数为80，故选：D5.函数()sincosfxxx=在()0,（0）内没有最小值，且存在()00,x，使得()00fx，则的取值范围是（）A.π3π,24

B.5ππ,4C.3ππ,2D.π3π,22【答案】B【解析】【分析】通过取特殊值排除验证即可.【详解】当π=时，此时()1πsin2,0,221πsin2,,π22xxfxxx=−

(π0,,20,π2xx，1()0,2fx()π,π,2π,2π2xx，1()0,2fx，不满足存在()00,x，使得()00fx，故排除A,D当5π4=时，此时()1πsin2,0,221πsin2,,π2215πsin2

,π,24xxfxxxxx=−−，(π0,,20,π2xx，1()0,2fx，(π,π,2π,2π2xx，1()0,2fx5π5ππ,22π,42x

x，1(),02fx−，此时不满足题意，故排除C综上所述B正确故选：B6.若为锐角，且sin29cossincos15=++−，则cos=（）A.45B.35C.725D.35-【答案】B【解析】【分析】根据()2s

in2sincos1=+−化简sin29cossincos15=++−，可求sin，进而求出cos.【详解】因为sin29cossincos15=++−，所以()()()2sincos1sincos1sincos1sinco

s1sincos1+−+++−=+−+−9sincos1cos5=++=+，所以4sin5=，因为为锐角，故3cos5=.故选：B7.已知()222log41log40aaaa+，则（）A.104aB.1142aC.1322a

D.312a【答案】B【解析】【分析】根据对数的定义域及单调性得出参数范围即可.【详解】因为对数的定义域，得021a或21a，又因为4𝑎2+1−4𝑎=(2𝑎−1)2>0,所以4𝑎2+1>4𝑎,因为()222log41log40aaaa+，所以

可得021a,因为22log40log1aaa=，可得41a,所以1142a.故选：B.8.已知函数()3213fxxxax=−+，若()fx的图象上存在两点A，B，使得()fx的图象在A，B处的切线互相垂直，且

过点()0,Pa−只能作1条切线与()fx的图象相切，则a的取值范围是（）A.()0,1B.()1,0,3−−+C.()1,0,13−−D.()1,01,3−+【答案】C【解析】【分析】根据题设得到1a，设过点()0,Pa−的

直线与()fx相切于点00(,())xfx，利用导数的几何意义及过两点直线的斜率得到320023xxa−=，构造函数3223yxx=−，利用导数与函数的单调性间的关系，求出3223yxx=−单调区间，

再结合3223yxx=−的图象与题设条件，即可求出结果.【详解】设11(,)Axy，22(,)Bxy，因为()3213fxxxax=−+，所以()22fxxxa=−+，由题有221122(2)(2)1xxaxxa−+−+=−有解，又222(1)11xxaxaa−+=−+−−，所以10a−，

即1a，设过点()0,Pa−的直线与()fx相切于点00(,())xfx，则有320002000132xxaxaxxax−++−+=，整理得到320023xxa−=，令3223yxx=−，则2222(1)yxxxx=−=−，由0y，得到0x或1x，由0

y，得到01x，即3223yxx=−的单调递增区间为(),0−，(1,+∞)，递减区间为(0,1)，又当0x=时，0y=，当1x=时，13y=−，当x→+时，y→+，当x→−时，y→−，3223yxx=

−的图象如图，又过点()0,Pa−只能作1条切线与()fx的图象相切，所以13a−或0a，又1a，所以13a−或01a，故选：C.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，通过设过点()0,Pa−的直线与()fx相切于点00(,())xfx，根

据题设得到320023xxa−=，从而将问题转化成320023xxa−=只有一解，构造函数3223yxx=−，利用导数求出函数的单调区间，进而得出函数图象，数形结合，即可解决问题.二、选择题（本大题共3

小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是（）A.超过14大学生更爱使用购

物类APPB.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23%D.APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%【答案】AC【解析】【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；

选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解.【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为25.7%，所以选项A正确，对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%

14.0%48.3%+=，所以选项B错误，对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%2.7%23%−=，所以选项C正确，对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为的0.6%,8.4%,14.0%,16.3%,26.4%,34.3%

，又640%2.4=，所以40%分位数是14.0%，故选项D错误.故选：AC.10.已知函数()fx满足对任意xR，都有()()()()221ffxfxfx=+−，且()01f=，则（）A.()12f=B.()26f=C.()()22fxfx=D.()fx是偶函数【答案

】AD【解析】【分析】选项A，根据条件，令0x=，即可求得()12f=，即可判断选项A的正误；选项B，令1x=，可求得()25f=，即可判断选项B的正误；选项C，利用选项A的结果()12f=，从而可得()221(

1)24[(1)]fff===，即可求解；选项D，用x−代替x，得到()()()()221ffxfxfx=+−−与()()()()221ffxfxfx=+−相减，可得()()fxfx−=，即可求解.【详解】对于选项A

，令0x=，得到()(0)(1)(0)2(0)1312fffff==+−=−=，所以选项A正确，对于选项B，令1x=，得到()(1)(1)2(1)1ffff=+−，由（1）知()12f=，所以()222215f=+−=，故选项B错误

，对于选项C，由选项A知()12f=，而()221(1)24[(1)]fff===，所以选项C错误，对于选项D，用x−代替x，得到()()()2[()]21ffxfxfx−=−+−−，即()()()()221ffxfxfx=+−−①，又()(

)()()221ffxfxfx=+−②，由①−②得到，2()2()0fxfx−−=，得到()()fxfx−=，又()fx的定义域为R，关于原点对称，所以()fx是偶函数，即选项D正确，故选：AD.11.已知数列na满足

对任意s，*tN，都有ststaaa+=，且12a=，jiaa−（1ijn）的所有不同的值按照从小到大构成数列mb，则下列结论正确的是（）A.()2112nnnnaaaa++=+B.510b=C.na中任意3项不成等差数列D.

mb的前15项的和为402【答案】ACD【解析】【分析】令sn=，1t=，据题意，可知na是首项为2，公比为2的等比数列，对于A，代入通项公式即可；对于BD，列举数列的前几项即可验证；对于C，假设,,ijkaaa成等差数列，由通项公式可得1222jik+=+，

方程两边同时除以2i，得1212jiki−+−=+，偶数=奇数，出现矛盾，即可判断.【详解】由题意，因为对任意s，*tN，都有ststaaa+=，令sn=，1t=，则11nnaaa+=，因为12a=，所以12nnaa+=，所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn

a=，对于A，()22122122nnna+++==，()()()111221222222222nnnnnnnnnnaaa++++++=+=+=，故()2112nnnnaaaa++=+，A正确；对于B，由题意，数列mb的前5项为：2，

4，6，8，12，所以512b=，B错误；对于C，假设,,ijkaaa成等差数列，不妨设ijk，因为2nna=，所以2jikaaa=+，即1222jik+=+，方程两边同时除以2i，得1212jiki−+−=+，由于方程左边为偶数，右边为奇数，故上式

不成立，故C正确；对于D，由题意，数列mb的前15项为：2，4，6，8，12，14，16，24，28，30，32，48，56，60，62，所以mb的前15项的和为：24681214162428303248566062402+++

+++++++++++=，故D正确；故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.命题“()2,x+，22xx−−”的否定是__________.【答案】()2,x+，22xx−−.【解析

】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定.【详解】由“()2,x+，22xx−−”可得其否定为：()2,x+，22xx−−.故答案为：()2,x+，22xx−−.13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了()*40nnN个人，得到如

下列联表：是社交电商用户不社交电商用户合计男性8n12n20n女性12n8n20n合计20n20n40n已知0.053.841x=，若根据0.05=的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】先根据已知计算2，再根据0.

053.841x=独立性检验的性质列不等式计算即可.【详解】()220.054012128883.841202020205nnnnnnxnnnn−===，53.8412.4006258n=所

以根据0.05=的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则n的最小值为3.故答案为：3.是14.已知函数()()2e0xfxaxxx=−有3个极值点1x，2x，3x（123xxx），则a的取值范围是______；若存在,1,2,3ij

，使得3jixx，则ix的取值范围是______.【答案】①.()2e,+②.ln30,4【解析】【分析】根据题意，分0x和0x求导，进而构造函数()22e,0e,0xxxxgxxx

=−，将问题转化为函数()gx与ya=有三个交点，进而数形结合即可求得a的取值范围；再结合以上讨论即可得到323xx，ix的取值范围即为2x的取值范围，进而令323xtx=，并根据极值点问题转化得()2ln21txt=−，再结合导数求2x的取值范围.【详解】因为

函数()()2e0xfxaxxx=−，所以，当0x时，()22exfxax=+，()22e2xfxax=+，令()0fx=得2exax=−，所以，当0x时，()22exfxax=−，()22e2xfxax=−，令()0fx=得2exax=所以，令()22e,

0e,0xxxxgxxx=−，则()2222(21)e,0(21)e,0xxxxxgxxxx−=−−所以，当0x时()0gx，102x时，()0gx，12x时，()0gx，所以，函数()gx在(),0

−和1,2+上单调递增，在10,2上单调递减；因为函数()()2e0xfxaxxx=−有3个极值点1x，2x，3x（123xxx），所以，函数()gx与ya=有三个交点，因为，当0x时𝑔(𝑥)

>0，当0x时𝑔(𝑥)>0，12e2g=，作出函数()gx与ya=图象如图，由图可知，函数()gx与ya=有三个交点，则满足2ea且123102xxx，所以，当存在,1,2,3

ij，使得3jixx，只需满足323xx，所以，ix的取值范围即为2x的取值范围.令323xtx=，则32xtx=，因为2x，3x为函数()()2e0xfxaxxx=−的极值点，所以()22222e20xfxax=−

=，()32332e20xfxax=−=，即222exax=，323exax=，所以，222lnlnxax=+，332lnlnxax=+所以223322ln2ln2ln2lnlnaxxxxtxtx=−=−=−−，即()221lntxt−=，所以，()2ln21txt=−

，故令()ln(),321thttt=−，所以，()()221111ln1ln()2121tttthttt−−−+==−−，令1lnyxx=−+，则111xyxx−=−+=，所以，当01x时，1lnyxx=−+单调递增，当1x时，1lnyxx=−+单调递减，所以，1ln11ln10y

xx=−+−+=，即1ln0xx−+，所以，()()221111ln1ln()02121tttthttt−−−+==−−，即函数()ht在3t时单调递减，所以，ln30()(3)4hth=，即2x的取值范围为ln30,4

.故答案为：()2e,+；ln30,4【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于分类讨论，将问题转化为函数()22e,0e,0xxxxgxxx=−与ya=有三个交点，进而结合导数研究函数的单调性，极值，数形结合求解问题.四、解答题（本大题共

5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中40mAC=，点B为AC中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点上方5m处的1A，1B，1

C观察已建建筑物最高点E的仰角分别为，，，其中tan1=，tan2=，tan3=，点D为点E在地面上的正投影，点1D为DE上与1A，1B，1C位于同一高度的点.（1）求建造中的建筑物已经到达的高度DE

；（2）求111111sinsinADBBDC的值.【答案】（1）12011511+（2）13【解析】【分析】（1）设1EDh=，根据条件得到111111,,23hhADhBDCD===，在111ABD和111CBD，利用余弦定理得到2

222400400494022022022hhhhhh+−+−+=，即可求解；（2）利用正弦定理得到1111111111sinsinADBCDBDCAD=，由（1）知111113CDAD=，即可求解.【小问1详解】如图，设1EDh=，因为在1A，1B，1C处观察已建建筑物最高

点E的仰角分别为，，，且tan1=，tan2=，tan3=，所以111111,,23hhADhBDCD===，又1140AC=，1B是11AC的中点，在111ABD中，由余弦定理得到221114004cos2202hhABDh+−=，在111CBD中，由余弦定理得

到2211140049cos2202hhCBDh+−=，又111111πABDCBD+=，所以2222400400494022022022hhhhhh+−+−+=，整理得到21180018h=，解得1201111h=，所以12011511DE

=+.【小问2详解】在111ABD中，由正弦定理知1111111111sinsinABADADBABD=①，在111CBD中，由正弦定理知1111111111sinsinBCCDCDBCBD=②，由（1）知1111111

1111,sin3CDABDCBDAD==，由②①得到1111111111sin1sin3ADBCDBDCAD==.16.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，且0x时，()2fxxx=−.（1）求0x时()fx的解析式；（2）

若方程()fxa=有3个不同的实根1x，2x，3x，求a的取值范围及123xxx++的取值范围.【答案】（1）()2,0fxxxx=−−−（2）11a−，)1234,32xxx+++【解析】【分析】（1）当0x时，0x−

，根据条件，代入()2fxxx=−，再利用()()fxfx−=−，即可求出结果；（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出()fx的单调区间，进而得出()fx图象，结合图象，即可求出a的取值范围；再分01a，0a=和10

a−三种情况讨论，通过换元0xt=和函数的对称性，将问题转化成22tta−=和22tta−=−的根来求解，即可求解.【小问1详解】当0x时，0x−，所以()2fxxx−=−+，又()()fxfx−=−，所以()()2fxfxxx−=

−=−+，得到()2fxxx=−−−，即0x时()fx的解析式为()2fxxx=−−−.【小问2详解】由（1）知，()2,02,0xxxfxxxx−=−−−，当0x时，()2fxxx=−，所以()1

11xfxxx−=−=，当01x时，()0fx，当1x时，()0fx，即()2fxxx=−在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，当0x时，()2fxxx=−−−，所以11()1xfxxx−−=−=−−，当10x−时

，()0fx，当1x−时，()0fx，即()2fxxx=−−−区间()1,0−上单调递增，在区间(),1−上单调递减，又(1)1f=，(1)1f−=−，当x→+时，()fx→−，x→−时，()

fx→+，其图象如图，又方程()fxa=有3个不同的实根，由图知11a−.不妨设123xxx，当01a时，则有1230xxx，又当0x时，()2fxxx=−，令0xt=，得到22ytt=

-，其图象如图，此时2312xxtt+=+，其中12,tt是22tta−=的两根，则23122xxtt+=+=，又由对称性知，1x是2xxa−=−的根，所以1x是22tta−=−的根，如下取端点，取1a=，得到221tt−

=−，解得21t=+或21t=−+（舍），取0a=，得到220tt−=，解得2t=或0t=，则1221x+，()1234,32xxx+++，当0a=，易得1234,0,4xxx=−==，所以1234xxx++=，在当10a−时，因为()fx是定义域为𝑅的奇函数，由对称

性可知，()1234,32xxx+++，综上所述，)1234,32xxx+++.17.已知等差数列na的前n项和为nS，12nnnnbaaS+=−.（1）求证：数列1nnbb+−是等差数列；（2）若10a，23aa，且nb是等差

数列，求证：11123341211nnaaaaaaaaaa++++−.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差，应用递推公式结合等差数列的定义证明即可；（2）根据nb是等差数列得出1d

=，再应用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】设等差数列na的公差为d,则()()()()22221111111112222nnnbandandnadaadnddnaddad−=+−+−+=−+−+−−+,则()()()()2222111111122nbaadndd

naddad+=−++−++−−+,所以()()221112122nnbbddnaddad+−=−++−−+,()()()()()()222211111121222122nnnnbbbbddnaddadddnaddad+−−

−−=−++−−+−−−+−−+()22dd=−故()()11nnnnbbbb+−−−−为定值，所以1nnbb+−是等差数列.【小问2详解】因为nb是等差数列，所以()()221112122nnbbddnaddad+−=−++−

−+为定值，所以()210dddd−=−=,即得0d=或1d=,又因为23aa，所以320aad−=,所以1d=，结合10a知0na，11112334123341111nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa+++++=+++123341111111nn

aaaaaaa+=−+−++−121212221111naadaaaaaa+−=−==−.18.已知*nN，且1n，()lnnfxxxx=−.（1）求()fx的最小值；（2）求证：()121e1nnnfxn+−++≥.（参考数据

231.9e2）【答案】（1）ln111nnnnnn−+++（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）由于()111nnfxxnx+=−在()0,+上单调递增，由()0fx=得11nnnxn+=+，可确定()fx的单调性，进而求出最值；（2）由（1）知，要证()121e1

nnnfxn+−++≥，即证1e1ln111nnnnnnnn+−−+++，设()2eln13xgxxxxx=−−，利用导数判断()gx的单调性，命题即可证.【小问1详解】因为()lnnfxxxx=−，定义域为()0,+，所以()

111nnfxxnx+=−，因为11nynnx+=在()0,+上单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，所以()fx在()0,+上单调递增，由()0fx=得11nnnxn+=+，所以当101nnnxn+

+时，()0fx，()fx单调递减，当11nnnxn++时，()0fx，()fx单调递增，所以()1ln1111nnnnnnfxfnnnn+=−++++，所以当11nnnxn+=+时，()fx取到最小值ln111nnnn

nn−+++.【小问2详解】由（1）知()fx的最小值ln111nnnnnn−+++，所以要证()121e1nnnfxn+−++≥，只需证11ln11121ennnnnnnnnn+−++−+++，即证1e1ln111nnnnnnnn+

−−+++，因为*Nn，且1n，所以2131nn+，设()2eln13xgxxxxx=−−，则()eln2xgxx=−−，设()()hxgx=，则()1exhxx=−在2,13上单调递增，所以()2333e1.90.4022hx−−=

，所以()hx在2,13上单调递增，所以()2322eln2033hxh=−−，所以()0gx，所以()gx2,13上单调递增，所以()23222222223=eln1.9ln1ln1333333

332gxg−−−−+故1e1ln111nnnnnnnn+−−+++成立，即()121e1nnnfxn+−++≥得证.【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键是将问题转化为证明1e1ln111nn

nnnnnn+−−+++成立，构造()2eln13xgxxxxx=−−，利用导数即可证明.19.若数列{𝑎𝑛}（1nk）满足0,1na，则称数列{𝑎𝑛}为k项01−数列，由所有k项01−数列组成集合kM.（1）若{𝑎𝑛}是100项01−数列，当且仅当32nk

=−（*kN，34k≤）时，0na=，求数列()2nna−的所有项的和；（2）从集合kM中任意取出两个数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}，记1kiiiXab==−.①求X分布列，并证明()2kEX；②若用某软件产生()2kk项01−数列，记

事件A=“第一次产生数字1”，B=“第二次产生数字1”，若()()PBAPBA，比较()PAB与()PAB的大小.【答案】（1）101249+−（2）答案见解析.【解析】在的【分析】（1）根据题意，将问题转化为数列()128k−（*kN，33k）的前33项和问题，进而根据等比

数列求和公式求解即可；（2）①由题知X的可能取值为：1,2,3,,k，进而结合题意得到1222()21CCkmkmkkkPXmC−===−，再结合等式11CCmmkkmk−−=求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；②利用条件概率公式，结合不等式的性质变形即可证明.【小问1详解】解：

因为na是100项01−数列，当且仅当32nk=−（*kN，34k≤）时，0na=所以，当3nk=和31nk=−（*kN，33k）时，1na=，所以，令()2nnnca=−，则()()()()133133322211228kkkkkkcc−−+=−=+=−−−，（*kN，33

k），所以，数列()2nna−的所有项的和为数列()128k−（*kN，33k）的前33项和，因为()128k−是公比为8−的等比数列，所以，()128k−的前33向和为()333310141(8)14842421(8)998

k−−−−−+==−−−−，所以，数列()2nna−的所有项的和为101249+−.【小问2详解】解：①因为数列na，nb是从集合kM中任意取出两个数列，所以，数列na，nb为k项01−数列所以，X的可能取值为：1,2,3,,k当Xm=时，数列

na，nb中有m项取值不同，有km−项取值相同，又因为集合kM中元素的个数共有012CCCC2kkkkkk++++=个，所以，1222()21CCkmkmkkkPXmC−===−,所以，X的分布列为：X12LkP1C21kk−2C21kk−LC21kkk−因为，()()()()

111!!CC!!1!!mmkkkkmkmkmkmkkm−−−===−−−所以，12CCC()12212121kkkkkkkEXk=+++−−−()1101111122CCC212122kkkkkkkkkkkkk−−−−−−=+++==−−②由题知()()

PBAPBA，所以，()()()()()()1()PABPABPBPABPAPAPA−=−，所以，()()()PABPAPB，所以()()()()()()()PABPBPABPAPBPBPAB−−，即()()()()PABPBPBPAB，所以，()()()()PABPABPBPB，即(

)()||PABPAB【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于理解01−数列的基础上，结合古典概率模型求得()1222()1,2,,2CC1kmkmkkkPXmmkC−====−即可求得分布列，再期望求解过程中，需要用到组合恒等式11CCmmkkmk−−=化简.