【文档说明】人教A版（2019）必修第二册第八章 《立体几何初步》章末检测1答案 Word版含解析.doc，共(14)页，564.000 KB，由小赞的店铺上传

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第八章《立体几何初步》章末检测（答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、列说法中，正确的是(C)A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱

的所有棱长都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确.2、一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y

′轴，则四边形OABC的面积为(B)A．322B．32C．3D．32解：平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为12×(1＋2)×1＝32；则S原＝22S直＝32.故选B．3、如图，在三棱柱ABC－A

1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(A)A．4＋42B．4＋43C．12D．8＋42解：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面AA1BB，连接A1B，∴∠CA1B即为

A1C与侧面AA1B1B所成的角，即∠CA1B＝30°，又AA1⊥AC，AA1＝AC＝2，∴BC＝12A1C＝2，∴AB＝AC2－BC2＝2，∴S三棱柱侧＝(2＋2＋2)×2＝4＋42，故选A．4、已知三棱台ABC－A1B1C1中，三棱锥A－A1B1C1的体积为4，三棱锥A1－AB

C的体积为8，则该三棱台的体积为(B)A．12＋33B．12＋42C．12＋43D．12＋47解：如图，由VA1－ABC＝8，VB－A1B1C1＝VA－A1B1C1＝4，∴VA1－ABCVA－A1B1C1＝S△ABCS△A1B1C1，∴ACA1C1＝2，∴V

B－A1C1CVA1－ABC＝A1C1AC＝12，∴VB－A1C1C＝42，∴VA1B1C1－ABC＝VB－A1B1C1＋VB－A1C1C＋VA1－ABC＝12＋42，故选B．5、如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2

G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中(A)A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF

解：由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A．6、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是(B)A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，

α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β解：由题知q能推出p：m⊥n.对A，当m∥n时仍然可以有m⊥α，n∥β，α⊥β.故A错误．对B，n⊥β，α∥β，则n⊥α，又m⊂α，则m⊥n.故B正确．对C，m⊥α，α∥β则m⊥β，又n⊥β，故m

∥n.故C错误．对D，当α⊥β且相交于m时，若n∥m，也满足m⊂α，n∥β.故D错误．7、如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为(C)A．1B．2C．12D．23解：连接CD，交PE于G，连接FG，如图，

∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，∴AD∥FG，∵点D，E分别为棱PB，BC的中点．∴G是△PBC的重心，∴AFFC＝DGGC＝12.故选C．8、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点.下列说法

不正确的是(D)A.P点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC体积不变B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行C.平面B1BD⊥平面ACD1D.三棱锥D－EFG的体积为38解：对于A，P在直线BC1上运动时，△AD1P的面积

为矩形ABC1D1的面积的一半，C到平面ABC1D1的距离不变，又VA－D1PC＝VC－AD1P，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；对于B，Q在直线EF上运动时，由E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点，可得EF∥AC，GF∥C1C.又EF∩GF＝F，AC∩C1C＝C，所以

平面GEF∥平面AA1C1C.又GQ⊂平面GEF，则GQ始终与平面AA1C1C平行，故B正确；对于C，由AC⊥BD，AC⊥BB1，可得AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂平面ACD1，即有平面B1BD⊥平面ACD1，故C正确；对于D，S△DEF＝1－12×12×1－12×12×12－12×12×1＝

38，利用等体积法知VD－EFG＝VG－DEF＝13S△DEF·GF＝13×38×1＝18，故D错误.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分

，有选错的得0分.9、设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是(CD)A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β解：对于A，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面，

故A错误；对于B，若a∥α，a∥β，则平面a和平面β可以相交，故B错误；对于C，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直性质定理，a∥b，故C正确；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立，∴D正确；故选CD．10、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1

，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是(BD)A.AP与CM是异面直线B.AP，CM，DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D解：连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C

1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确.令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1

，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确.11、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三

条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为12＋43，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是(ACD)A．AB＝2B．该半正多面体的外接球的表面积为6πC．AB与平面BCD所成的角为π4D．与AB所成的角是π3的棱共有16条解：设正方

体的棱长为2a，则6×(2a)2＋8×34×(2a)2＝12＋43，∴a＝1，∴AB＝2a＝2，A正确；显然该半正多面体外接球的球心为对应正方体的中心，∴外接球半径R＝2，∴S球＝8π，B错误；显然AB与平面B

CD所成角为∠HBA＝π4，C正确；与AB成角是π3的有BC、AC、EN、FD、FM、EM、AN、BD、CT、CP、DP、DR、MS、MR、NT、SN共16条，D正确．故选ACD．12、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动

时，下列结论正确的是(ACD)A.AE∥平面C1BDB.四面体ACEF的体积不为定值C.三棱锥A－BEF的体积为定值D.四面体ACDF的体积为定值解：对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同

理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确.对于B，如图2，S△AEF＝12×1×（32）2－3222＝364，点C到平面A

EF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝13×364×d＝64d为定值，所以B错误；对于C，如图3，S△BEF＝12×1×3＝32，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d′为定值，

所以VA－BEF＝13×32×d′＝12d′为定值，C正确；对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA－CDF＝VF－ACD＝13×12×3×3×3＝92为定值，D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心

的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为___13_____cm.解：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm).所以AB＝122＋52＝13(cm).14、在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABC

D的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件__Q为CC1的中点______时，有平面D1BQ∥平面PAO.解：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P

，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO

.15、已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为___1_____．解：如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC于点O1，则O1为等边

三角形ABC的外心．设△ABC的边长为a，则34a2＝934，解得a＝3，所以O1A＝23×32×3＝3.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.在Rt△OO1A中，OO1＝OA2－O1A2＝1，

即O到平面ABC的距离为1.16、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD⊥平面ABCD，则PEEC＝12.解：取AD的中点O，连

接OC交BD于F点，连接EF，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面BDE⊥平面ABCD，∴PO∥平面BDE.∴OP∥EF，∴PEEC＝OFFC＝12.四、解答题：本题共6

小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（1）已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是23.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，求该圆锥的表面积；（2）已知三棱锥S－

ABC中，∠SAB＝∠ABC＝π2，SB＝4，SC＝213，AB＝2，BC＝6，求三棱锥S－ABC的体积.解：（1）如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴34×AC2＝23，解得AC＝22.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r

＝OC＝ACcos30°＝22×32＝6.则该圆锥的表面积＝π×(6)2＋12×2π×6×22＝(6＋43)π.(2)∵∠ABC＝π2，AB＝2，BC＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝22＋62＝210.∵∠SAB＝π2，AB＝2，SB＝4，∴AS＝SB2－AB2＝42－22＝23.

由SC＝213，得AC2＋AS2＝SC2，∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB，AC∩AB＝A，∴AS⊥平面ABC，∴AS为三棱锥S－ABC的高，∴V三棱锥S－ABC＝13×12×2×6×23＝43.18、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异

于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.又因为AB⊂平面ABE

，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD

.又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.19、如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若

不存在，请说明理由．解：(1)∵四边形ABED为正方形，F为BD的中点，∴E、F、A共线，连AE，又G为EC的中点，∴GF∥AC，又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC．(2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD．证明如下：∵G、H分别为EC

、BC的中点，∴GH∥BE，又BE∥AD，∴GH∥AD，又GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴GH∥平面ACD，又GF∥AC，GF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴GF∥平面ACD，又GF∩GH＝G，GF⊂平面GFH，GH⊂平面GFH，∴平面GFH∥平面ACD．20、在四棱锥P－ABC

D中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求点E到平面PAB的距离．解：(1)连接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中点

，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，又∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥A

D，又∵PE∩AD＝E，PE⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD．(2)在△PAB中，PA＝AB＝2，PB＝6，则S△PAB＝152，在△ABE中，AB＝2，AE＝1，BE＝3，则S△ABE＝32，由PE⊥面ABCD，PE＝3，得VP－

ABE＝13×3×12×1×3＝12，由VP－ABE＝VE－PAB，设点E到平面PAB的距离为h，则13×152×h＝13×32×3，则h＝155，即点E到平面PAB的距离为155.21、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，

N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.(1)求三棱锥P－AMN的体积；(2)求二面角M－AN－D的正切值.解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M为PD的中点，∴PN＝3，V

P－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，∴VP－AMN＝12VP－ADN＝14VP－ABCD＝14×13×4×3＝33.(2)如图，取DN的中点E，连接ME，∵M，E分别为PD，DN的中点，∴ME∥PN.∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.过E作E

Q⊥AN，连接MQ，又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，∴tan∠MQE＝MEQE.∵PN＝3，∴ME＝32.∵AN＝DN＝5，AD＝2，∴QE＝12×2×25＝

255，∴tan∠MQE＝154.即该二面角的正切值为154.22、在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明

理由；(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P-ABCD的体积．解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明如下：如图，连接MC，PM.由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，AD

为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，又PM⊂平面PMC，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，由(1)可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，PM＝3a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2＝3a2＋a2＝2a，而△PCD

的面积为12·2a·4a2－12a2＝72a2＝87，可得a＝4，四棱锥P-ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×(4＋8)×4×43＝323.