【文档说明】重庆南开（融侨）中学2022-2023学年高二上学期线上教学检测数学试题 含解析 .docx，共(19)页，925.112 KB，由管理员店铺上传

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重庆南开（融侨）中学高2024级高二（上）考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一、单选题：本大题8个小题，每小题5分，共

40分.每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.1.若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（）A.6B.6C.7D.43【答案】A【解析】【分析】设点(),Pxy，根据抛物线方程，求得其准线方程，再利用抛物

线定义求解.【详解】设点(),Pxy，因为抛物线方程为x2=8y，所以其准线方程为=2y−，又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：()28y−−=，解得6y=，所以点P的纵坐标为6，故选：A2.已

知椭圆221(0)xmym+=的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=（）A.2B.－2C.14D.4【答案】C【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，再根据椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍求解.【详解】将

椭圆221(0)xmym+=化为标准形式为221(0)1yxmm+=，因为椭圆221xmy+=的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以12m=，解得14m=，故选：C．3.等轴双曲线的一个焦点是()16,0F−，则其标准方程为（）A.

22199xy−=B.22199yx−=C.2211818yx−=D.2211818xy−=【答案】D【解析】【分析】根据等轴双曲线，可得a=b，根据交点坐标，可求得c值，根据a，b，c的关系，即可得答案.【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F−

，∴6c=，且a=b，又222cab=+，∴2236a=，即218a=，∴双曲线的标准方程为2211818xy−=．故选：D4.“1a=−”是“直线240xay++=与直线(1)20axy−++=平行”的（）A.充分不

必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行可知：12120ABBA+=求出a，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0aa−−=，解得2a=或1a=−，当2a=，两直线重合

，舍去；当1a=−时，两直线平行．所以“1a=−”是“直线240xay++=与直线(1)20axy−++=平行”的充要条件．故选：C5.已知圆C经过两点()0,2A，()4,6B，且圆心C在直线:230

lxy−−=上，则圆C的方程为（）A.2266160xyxy+−−−=B.222280xyxy+−+−=C.226680xyxy+−−+=D.2222560xyxy+−+−=【答案】C【解析】【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.【详解】设圆一般方程为220xyDxEyF+

+++=，圆心坐标为,22DE−−，因为圆C经过两点()0,2A，()4,6B，且圆心C在直线:230lxy−−=上，所以22223022022046460DEEFDEF−−−−=+++=++++=，解得668DEF=−=

−=，所以圆C的方程为226680xyxy+−−+=.故选：C.6.若等差数列na和等比数列nb满足11ab=，222ab==，48a=，则nb的公比为（）A.2B.2−C.4D.4−【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算

可得111ab==−，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，则242822aadd+=+==，所以3d=，∴22123baa===+，111ab==−，的所以212bqb==−.故选：B.7.如图，椭圆()222210xyab

ab+=的左焦点为F，点P在y轴上，线段FP交椭圆于点Q．若OQFP⊥，3FPFQ=，则椭圆的离心率是（）A.13B.12C.22D.32【答案】D【解析】【分析】由3FPFQ=可得点Q的横坐标为23c−，再由OQFP⊥可求出得点Q的纵坐标的绝对值为23c，然后将

点Q的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得(,0)Fc−，设00(,)Qxy，因为3FPFQ=，所以023xOF=，得023xc=−，因为OQFP⊥，所以()22000222339yxOFxcccc=−=−=，所以023yc=，因为00(,)Qxy在椭

圆上，所以222242199ccab+=，化简得，222222429bcacab+=，因为222bac=−，所以222222224()29()cacacaac−+=−，422491540aaca−+=，得2222(3

4)(3)0acac−−=，解得32ca=或3ca=（舍去）故选：D8.过x轴上点(),0Pa的直线与抛物线28yx=交于A，B两点，若2211APBP+为定值，则实数a的值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立，根据两点间距

离公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】设直线AB的方程为xmya=+，代入28yx=，得2880ymya−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则128yym+=，128yya=−．()()()2

222222111111APxaymyymy=−+=+=+，同理，()22221BPmy=+，∴()21212222222221212211111111yyyymyymyyAPBP+−+=+=++()()()2222222224()64284416441114ammama

maamam+−−+===+++，∵2211APBP+为定值是与m无关的常数，∴144aa==，故选：D．【点睛】关键点睛：代数式由()222441maam++变形为()2224()441amam++是解题的关键.二、多选题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.每小题有多个

选项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆C和直线30xy−=及x轴都相切，且过点()3,0，则该圆的方程是（）A.()()22333xy−+−=B.()()2233327xy−++=C.()()22333xy+

+−=D.()()2233327xy−+−=【答案】AB【解析】【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.【详解】由题意设所求圆的方程为()222()xaybr−+−=，圆与x

轴相切，rb=.依据其他条件则有()222332abbabb−+=−=，解得33ab==或333ab==−，所以该圆的方程为()()22333xy−+−=或()()2233327xy−++=故选

：AB10.已知nS为等差数列na的前n项和，且17a=−，315S=−，则下列结论正确的是（）A.29nan=−B.na为递减数列C.6a是4a和9a的等比中项D.nS的最小值为16−【答案】AD【解析】【分析】先由题干中条件得到公差2d=，从而求出通项公式，判断出AB选项；计算

出4a，6a，9a发现2649aaa，故判断C选项的正误；D选项na为递增数列，且410a=−，510a=，从而得到4S最小，计算出结果即可判断.【详解】由题意得：313315Sad=+=−，因为17a=−，所以2d=，所

以na通项公式为：()72129nann=−+−=−，A选项正确；由于20d=，所以na为递增数列，B选项错误；通过计算可得：41a=−，63a=，99a=，其中2649aaa，所以6a不是4a和9a的等比中项，C选项错误；因为na为递增数列，且410a

=−，510a=，故nS在4n=时取得最小值，4146281216Sad=+=−+=−，D选项正确故选：AD11.已知双曲线22:916144Cxy−=的左、右焦点分别为1F、2F，点P为C上的一点，且16PF=，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为53B.双曲线的渐

近线方程为340xy=C.△12PFF的周长为30D.点P在椭圆22110075xy+=上【答案】BCD【解析】【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判

断P是否在椭圆上，判断D的正误.【详解】双曲线22:916144Cxy−=化为标准形式为221169xy−=，则4a=，3b=，225cab=+=，故离心率54cea==，即A错误；双曲线的渐近线方程为34==byxxa，即340x

y=，即B正确；由双曲线的定义知，12||||||28PFPFa−==，16PF=，则214PF=，△12PFF的周长为12126141030PFPFFF++=++=，即C正确；对于椭圆22110075xy+=，有10a=，53b=，5c=，126142022PF

PFac+=+==，由椭圆的定义知，点P在椭圆22110075xy+=上，即D正确，故选：BCD.12.已知抛物线2:(0)Cymxm=的焦点为(4,0)F，直线l经过点F交C于A，B两点，交y轴于点P，若2PBBF→→

=，则（）A.8m=B.点B的坐标为846,33C.50||3AB=D.弦AB的中点到y轴的距离为133【答案】CD【解析】【分析】首先利用焦点坐标求出抛物线的方程，即可判断A选项；根据题意找到线段之比求出点B的坐

标可判断B选项，根据点B,F坐标可写出直线AB方程，联立之后，由弦长公式及中点坐标公式求解并判断CD选项.详解】由于(4,0)F得到16m=，故A错误；抛物线方程为216yx=，过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则//BDOF,因为2PBBF→→=，所以23PBBDPFOF==,所以83B

D=，即83Bx=,代入抛物线方程216yx=，解得863By=,故B错误；【不妨取点B的坐标为886,33−，所以直线AB的方程为：26(4)yx=−，联立抛物线方程得到：2326480xx−+=，韦达定理

可知：12263xx+=，由抛物线的弦长公式可知：12268350|38|ABxx++=+==，故C正确；弦AB的中点到y轴的距离为121323xx+=，故D正确；故选：CD.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系

；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20

分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13.已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞

)．【解析】【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA，然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可【详解】解：∵直线l与线段AB

有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA．∵14121,32(3)23PAPBkk−−−−==−==−−−，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪

[3，＋∞)．故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.【答案】27【解析】【分析】设公比为q，利用已知条件求出2q，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为q，插入的三个数分别为234,,aaa，因为151

,9aa==，所以49q=，得23q=，所以()3233232341111327aaaaqaqaqaq====，故答案为：2715.已知数列na满足：12a=，111nnnaaa++=−，则2022a=______．【

答案】3−【解析】【分析】由递推关系式可知数列na是周期为4的周期数列，根据20222aa=可得结果.【详解】由题意得：212312a+==−−，3131132a−==−+，411121312a−==+，51

132113a+==−，数列na是周期为4的周期数列，20224505223aaa+===−.故答案为：3−.16.过抛物线24Myx=：的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD，分别交M于A，B

，C，D则ABCD+的最小值为______【答案】16【解析】【分析】设直线AB的方程()()10ykxk=−，与抛物线方程联立，利用韦达定理法结合焦点弦公式求出弦AB和CD，从而利用基本不等式求ABCD+的最小值.

【详解】由抛物线M：24yx=可知()1,0F，由题可知直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为()()10ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程与抛物线方程24yx=联立，得：()2222240kxkxk

−++=，∴212224kxxk++=，122424ABxxk=++=+，同理244=+CDk，∴2248416ABCDkk+=++，当且仅当1k=时等号成立，即ABCD+的最小值为16.故答案为：16.四、解答题：本大题6个小题，共7

0分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.设等比数列na的前n项和为nS，已知2136,630aaa=+=，求na和nS．【答案】132nna−=，3(21)nnS=−或123nn

a−=，31nnS=−．【解析】【分析】由条件求得首项和公比，再利用等比数列通项公式和前n项和公式求解.【详解】解：设na的公比为q，由题意得12116630aqaaq=+=，解得132aq=

=或123aq==，当13,2aq==时，13(12)32,3(21)12nnnnnaS−−===−−；当12,3aq==时，12(13)23,3113nnnnnaS−−===−−．1

8.已知数列na的前n项和为na的前n项和为210nSnn=−．（1）求数列na的通项公式；（2）求1220aaa+++．【答案】（1）211nan=−（2）250【解析】的【分析】（1）利用na与nS的关系式可求得na的通项公式；（2）由（1）可

得到0na与0na的项，由此利用等差数列前n项和公式即可求解.【小问1详解】因为210nSnn=−，所以当1n=时，21111019aS==−=−，当2n时，()()22111011211nSnnnn−=−−−

=−+，所以1211nnnaSSn−=−=−，经检验：19a=−满足211nan=−，所以211nan=−.【小问2详解】由（1）可知，令0na，则2110n−，得112n，又*Nn，所以当6n时，0na；当5n时，0na；所以1220122056aaaaaaaa++

−−+++=−−+()()5121220562aaaaaaaa=+++−+++++++()22520225105201020SS=−=−−−++250=.19.在ABC中，设角,,AB

C的对边分别为,,abc，已知222cossincossinsinABCAB=++.（1）求角C的大小；（2）若3c=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）23；（2）(23,23+【解析】【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和

差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sinsin1sinsinsinABCAB−=+−+，即222sinsinsinsinsinABCAB+−=−，由正弦定理得222abcab+−=−由余弦

定理得2221cos222abcabCabab+−−===−，又20,3CC=.（2）32,2sin,2sin2sinsinsinsin3abcaAbBABC======，则ABC的周长()2si

nsin32sinsin32sin333LabcABAAA=++=++=+−+=++.230,,sin1333323AAA++，232sin3233A++

+，ABC周长的取值范围是(23,23+.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ABCD且2CD=，1AB=，22B

C=，1PA=，ABBC⊥，N为PD的中点.（1）求证：//AN平面PBC.（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后利用AN与平面PBC的法向量垂直即可得证.（2）求出两个平

面的法向量的夹角的余弦值即可求解.【小问1详解】过A作AECD⊥于点E，则1DE=，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,1,0B，()22,0,0E，()22,1,0D

−，()22,1,0C，()0,0,1P，因为N为PD的中点，所以11222N−，，，所以11222AN=−，，，()011BP=−，，，()2200BC=，，，设平面PBC的法向量为(),,mxyz=，则0220mBPyzmBCx=−+

===，令1y=，则0x=，1z=，所以平面PBC的法向量为(0,1,1)m=，因为11022ANm=−+=uuurur，所以ANm⊥uuurur，又因为AN平面PBC，所以//AN平面PBC.【小问2详解】由（1）知，

()0,0,1AP=，()22,1,0AD=−，平面PBC的法向量为(0,1,1)m=，设平面PAD的法向量为(,,)nabc=，则0220nAPcnADab===−=，令1a=，则22b=，0c=，所以平面PAD的法向量为(1,22,0)n=r，所以222cos,3||||23mn

mnmn===，故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为23.21.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为1A，2A，右焦点为2(1,0)F，点31,2B在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：(4)(

0)ykxk=−与椭圆C交于M，N两点，已知直线1AM与2AN相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143xy+=;(2)证明见解析,定直线方程为:x=1.【解析】【分析】(1)由题意知:222219141abab=+

+=即可求出a,b即可;(2)由椭圆对称性知G在0xx=上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.【详解】解:(1)因为2(1,0)F,所以c=1,由题意知:222219141abab=+

+=,解得23ab==,则椭圆的方程为:22143xy+=.(2)由椭圆对称性知G在0xx=上,假设直线l过椭圆上顶点,则(0,3)M,则34k=−,而833,55N,13:(2),2AMlyx=+23

3:(2),2ANlyx=−−其交点331,2G所以G在定直线x=1上;的,当M不在椭圆顶点时,设()()1122,,,MxyNxy,由22(4)143ykxxy=−+=,整理得:()2222343264120kxkxk+−+−=,则2212122232641

2,3434kkxxxxkk−+==++,111:(2),2AMylyxx=++222:(2),2ANylyxx=−−当x=1时,1212322yyxx−=+−,得()()121234422kxkxxx−−−=+−,得()121225

80xxxx−++=,得222264123225803434kkkk−−+=++,上式显然成立,所以G在定直线x=1上.22.已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线O

A、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【答案】（1）x2=4y（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是【解析】【详解】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y

1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为xM===，同理可得点N的横坐标为xN=所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8|

|=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com