【文档说明】重庆南开(融侨)中学2022-2023学年高二上学期线上教学检测数学试题 含解析 .docx,共(19)页,925.112 KB,由管理员店铺上传
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重庆南开(融侨)中学高2024级高二(上)考试数学试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)一、单选题:本大题8个小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个选项符合要求,答案请涂写在机读
卡上.1.若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8,则点P的纵坐标为()A.6B.6C.7D.43【答案】A【解析】【分析】设点(),Pxy,根据抛物线方程,求得其准线方程,再利用抛物线定义求解.【详解】设点(),P
xy,因为抛物线方程为x2=8y,所以其准线方程为=2y−,又因为抛物线上点P到焦点的距离为8,由抛物线的定义得:()28y−−=,解得6y=,所以点P的纵坐标为6,故选:A2.已知椭圆221(0)xmym+=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m
=()A.2B.-2C.14D.4【答案】C【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式,再根据椭圆的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的两倍求解.【详解】将椭圆221(0)xmym+=化为标准形式为221
(0)1yxmm+=,因为椭圆221xmy+=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以12m=,解得14m=,故选:C.3.等轴双曲线的一个焦点是()16,0F−,则其标准方程为()A.22199xy−=B.22199yx−=C.2211818yx−
=D.2211818xy−=【答案】D【解析】【分析】根据等轴双曲线,可得a=b,根据交点坐标,可求得c值,根据a,b,c的关系,即可得答案.【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F−,∴6c=,且a=b,又2
22cab=+,∴2236a=,即218a=,∴双曲线的标准方程为2211818xy−=.故选:D4.“1a=−”是“直线240xay++=与直线(1)20axy−++=平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】【分析】根据两直线平行可知:12120ABBA+=求出a,代入验证,再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解:当两直线平行,∴12(1)0aa−−=,解得2a=或1a=−,当2a=,两直线重合,舍去;当1a=−时,两直线平行.所以“1
a=−”是“直线240xay++=与直线(1)20axy−++=平行”的充要条件.故选:C5.已知圆C经过两点()0,2A,()4,6B,且圆心C在直线:230lxy−−=上,则圆C的方程为()A.2266160xyxy+−−−=B.222280xyxy+−+−=C
.226680xyxy+−−+=D.2222560xyxy+−+−=【答案】C【解析】【分析】先将圆的一般方程写出,然后利用待定系数法即可求解.【详解】设圆一般方程为220xyDxEyF++++=,圆心坐标为,22DE−−
,因为圆C经过两点()0,2A,()4,6B,且圆心C在直线:230lxy−−=上,所以22223022022046460DEEFDEF−−−−=+++=++++=,解得668DEF=−=−=,所以
圆C的方程为226680xyxy+−−+=.故选:C.6.若等差数列na和等比数列nb满足11ab=,222ab==,48a=,则nb的公比为()A.2B.2−C.4D.4−【答案】B【解析】【分析】根据等差
数列的基本量运算可得111ab==−,然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q,则242822aadd+=+==,所以3d=,∴22123baa===+,111ab==−,的所以21
2bqb==−.故选:B.7.如图,椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F,点P在y轴上,线段FP交椭圆于点Q.若OQFP⊥,3FPFQ=,则椭圆的离心率是()A.13B.12C.22D.32【答案】D【解析】【分
析】由3FPFQ=可得点Q的横坐标为23c−,再由OQFP⊥可求出得点Q的纵坐标的绝对值为23c,然后将点Q的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率【详解】解:由题意得(,0)Fc−,设00(,)Qxy,因为3FPFQ=,所以023xOF=,得023xc=−,因为OQF
P⊥,所以()22000222339yxOFxcccc=−=−=,所以023yc=,因为00(,)Qxy在椭圆上,所以222242199ccab+=,化简得,222222429bcacab+=,因为222bac=−,所以222222224()29()cacacaac−+=−,4
22491540aaca−+=,得2222(34)(3)0acac−−=,解得32ca=或3ca=(舍去)故选:D8.过x轴上点(),0Pa的直线与抛物线28yx=交于A,B两点,若2211APBP+为定值,则实数a的值为().A.1B.2C
.3D.4【答案】D【解析】【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立,根据两点间距离公式,结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】设直线AB的方程为xmya=+,代入28yx=,得2880ymya−−=,设()11,Axy,()22,Bxy,则128yym
+=,128yya=−.()()()2222222111111APxaymyymy=−+=+=+,同理,()22221BPmy=+,∴()21212222222221212211111111yyyymyymyyAPBP+−+=+=++()()()2222222224()64
284416441114ammamamaamam+−−+===+++,∵2211APBP+为定值是与m无关的常数,∴144aa==,故选:D.【点睛】关键点睛:代数式由()222441maam++变形为()2224()441
amam++是解题的关键.二、多选题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.每小题有多个选项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知圆C和直线30xy−=及x轴都相切,且过点()3,0,则该圆的方程是()A.()()2233
3xy−+−=B.()()2233327xy−++=C.()()22333xy++−=D.()()2233327xy−+−=【答案】AB【解析】【分析】首先设出圆的方程,根据直线与圆相切以及圆经过的点,列出等量关系即可求解.【详解】由
题意设所求圆的方程为()222()xaybr−+−=,圆与x轴相切,rb=.依据其他条件则有()222332abbabb−+=−=,解得33ab==或333ab==−,所
以该圆的方程为()()22333xy−+−=或()()2233327xy−++=故选:AB10.已知nS为等差数列na的前n项和,且17a=−,315S=−,则下列结论正确的是()A.29nan=−B.na为递减数列C.6a是4a和9a的等比中项D.nS的最小值
为16−【答案】AD【解析】【分析】先由题干中条件得到公差2d=,从而求出通项公式,判断出AB选项;计算出4a,6a,9a发现2649aaa,故判断C选项的正误;D选项na为递增数列,且410a=−,510a=,从而得到4S最小,计算出
结果即可判断.【详解】由题意得:313315Sad=+=−,因为17a=−,所以2d=,所以na通项公式为:()72129nann=−+−=−,A选项正确;由于20d=,所以na为递增数列,B选项错误;通过计算可得:41a=−,63a=,99a=,其中2649aaa,
所以6a不是4a和9a的等比中项,C选项错误;因为na为递增数列,且410a=−,510a=,故nS在4n=时取得最小值,4146281216Sad=+=−+=−,D选项正确故选:AD11.已知双曲线22:916144Cxy−=的左、
右焦点分别为1F、2F,点P为C上的一点,且16PF=,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为53B.双曲线的渐近线方程为340xy=C.△12PFF的周长为30D.点P在椭圆22110075xy
+=上【答案】BCD【解析】【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程,即可判断A、B正误;利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误;利用椭圆的定义判断P是否在椭圆上,判断D的正误.【详解】双曲线22:916144Cxy−=化为标准形式为221169xy−
=,则4a=,3b=,225cab=+=,故离心率54cea==,即A错误;双曲线的渐近线方程为34==byxxa,即340xy=,即B正确;由双曲线的定义知,12||||||28PFPFa−==,16PF=,则214PF=,
△12PFF的周长为12126141030PFPFFF++=++=,即C正确;对于椭圆22110075xy+=,有10a=,53b=,5c=,126142022PFPFac+=+==,由椭圆的定义知
,点P在椭圆22110075xy+=上,即D正确,故选:BCD.12.已知抛物线2:(0)Cymxm=的焦点为(4,0)F,直线l经过点F交C于A,B两点,交y轴于点P,若2PBBF→→=,则()A
.8m=B.点B的坐标为846,33C.50||3AB=D.弦AB的中点到y轴的距离为133【答案】CD【解析】【分析】首先利用焦点坐标求出抛物线的方程,即可判断A选项;根据题意找到线段之比求出点B的坐标可判断B选项,根据点B,F坐标可写出直线AB方程,联立之后
,由弦长公式及中点坐标公式求解并判断CD选项.详解】由于(4,0)F得到16m=,故A错误;抛物线方程为216yx=,过B点作BD垂直于y轴,垂足为D点,则//BDOF,因为2PBBF→→=,所以23PBBDPFOF==,所以83BD=,即83
Bx=,代入抛物线方程216yx=,解得863By=,故B错误;【不妨取点B的坐标为886,33−,所以直线AB的方程为:26(4)yx=−,联立抛物线方程得到:2326480xx−+=,韦达定理可知:
12263xx+=,由抛物线的弦长公式可知:12268350|38|ABxx++=+==,故C正确;弦AB的中点到y轴的距离为121323xx+=,故D正确;故选:CD.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;(2)有关直
线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.第II卷(非选择题共90分)三、填空题:本大题4个小题,每
小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程)13.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是________.【答案】(-∞,-1]∪[3,+∞).【解析】【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与
PA的倾斜角之间,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPA,然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可【详解】解:∵直线l与线段AB有公共点,∴直线l的倾斜角介于直线PB与P
A的倾斜角之间,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,k≤kPA.∵14121,32(3)23PAPBkk−−−−==−==−−−,∴直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).故答案为:(-
∞,-1]∪[3,+∞)14.在1和9之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于________.【答案】27【解析】【分析】设公比为q,利用已知条件求出2q,然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为q,插入的三
个数分别为234,,aaa,因为151,9aa==,所以49q=,得23q=,所以()3233232341111327aaaaqaqaqaq====,故答案为:2715.已知数列na满足:12a=,111nnnaaa+
+=−,则2022a=______.【答案】3−【解析】【分析】由递推关系式可知数列na是周期为4的周期数列,根据20222aa=可得结果.【详解】由题意得:212312a+==−−,3131132a−=
=−+,411121312a−==+,51132113a+==−,数列na是周期为4的周期数列,20224505223aaa+===−.故答案为:3−.16.过抛物线24Myx=:的焦点F作两条相互
垂直的弦AB,CD,分别交M于A,B,C,D则ABCD+的最小值为______【答案】16【解析】【分析】设直线AB的方程()()10ykxk=−,与抛物线方程联立,利用韦达定理法结合焦点弦公式求出弦AB和CD,从而利用基本不等式求ABCD+的最小值.【详解】由抛物
线M:24yx=可知()1,0F,由题可知直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为()()10ykxk=−,()11,Axy,()22,Bxy,直线AB的方程与抛物线方程24yx=联立,得:()2222240kxkxk−++=,∴212
224kxxk++=,122424ABxxk=++=+,同理244=+CDk,∴2248416ABCDkk+=++,当且仅当1k=时等号成立,即ABCD+的最小值为16.故答案为:16.四、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或
推理过程)17.设等比数列na的前n项和为nS,已知2136,630aaa=+=,求na和nS.【答案】132nna−=,3(21)nnS=−或123nna−=,31nnS=−.【解析】【分析】由条件求得首项和公比,再利用等比数列通项公式和前n项和公式求解.【详解】解:设na的公
比为q,由题意得12116630aqaaq=+=,解得132aq==或123aq==,当13,2aq==时,13(12)32,3(21)12nnnnnaS−−===−−;当12,3aq==时,12(13)23,3113nnnnnaS−−===−−.18.已知数列
na的前n项和为na的前n项和为210nSnn=−.(1)求数列na的通项公式;(2)求1220aaa+++.【答案】(1)211nan=−(2)250【解析】的【分析】(1)利用na与nS
的关系式可求得na的通项公式;(2)由(1)可得到0na与0na的项,由此利用等差数列前n项和公式即可求解.【小问1详解】因为210nSnn=−,所以当1n=时,21111019aS==−=−,当2n时,()()22111011211nSnnnn−=−−−=−+,所以12
11nnnaSSn−=−=−,经检验:19a=−满足211nan=−,所以211nan=−.【小问2详解】由(1)可知,令0na,则2110n−,得112n,又*Nn,所以当6n时,0na;当5n时,0na;所以122012205
6aaaaaaaa++−−+++=−−+()()5121220562aaaaaaaa=+++−+++++++()22520225105201020SS=−=−−−++250=.1
9.在ABC中,设角,,ABC的对边分别为,,abc,已知222cossincossinsinABCAB=++.(1)求角C的大小;(2)若3c=,求ABC周长的取值范围.【答案】(1)23;(2)(23
,23+【解析】【分析】(1)由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出(2)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】(1)由题意知2221sinsin1sinsinsinABCAB−=+−+,即222sinsinsinsinsinABCAB+−=
−,由正弦定理得222abcab+−=−由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−−===−,又20,3CC=.(2)32,2sin,2sin2sinsinsinsin3abcaAbBABC======,则ABC的周长()2sinsin32sin
sin32sin333LabcABAAA=++=++=+−+=++.230,,sin1333323AAA++,232sin3233A+++,ABC周长的取值范围是(23,23
+.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系,正余弦定理,两角和差的正弦公式,三角函数的单调性,属于中档题.20.如图,在四棱锥PABCD−中,PA⊥平面ABCD,//ABCD且2CD=,1AB=,22BC=,1PA=,ABBC⊥,N为PD的中点.(1)求证://AN平面PBC.(2)求平面P
AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)根据垂直关系建立空间直角坐标系,然后利用AN与平面PBC的法向量垂直即可得证.(2)求出两个平面的法向量的夹角的余弦值即可求解.【小问1详解】过A作AE
CD⊥于点E,则1DE=,以A为原点,AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0A,()0,1,0B,()22,0,0E,()22,1,0D−,()22,1,0C,()0,0,1P,因为N为PD的中点,所以1122
2N−,,,所以11222AN=−,,,()011BP=−,,,()2200BC=,,,设平面PBC的法向量为(),,mxyz=,则0220mBPyzmBCx=−+===,令1y=,则0x=,1z=,所以平面PBC的法向量为(0,1,1)m=,因为
11022ANm=−+=uuurur,所以ANm⊥uuurur,又因为AN平面PBC,所以//AN平面PBC.【小问2详解】由(1)知,()0,0,1AP=,()22,1,0AD=−,平面PBC的法向量为(0,1,1)m=,设平面PAD的法向量为(,,)nabc=
,则0220nAPcnADab===−=,令1a=,则22b=,0c=,所以平面PAD的法向量为(1,22,0)n=r,所以222cos,3||||23mnmnmn===,故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为23.2
1.已知椭圆C:22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为1A,2A,右焦点为2(1,0)F,点31,2B在椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:(4)(0)ykxk=−与椭圆C交于M,N两点,已知直线1AM与2AN相交于点G,证
明:点G在定直线上,并求出此定直线的方程.【答案】(1)22143xy+=;(2)证明见解析,定直线方程为:x=1.【解析】【分析】(1)由题意知:222219141abab=++=即可求
出a,b即可;(2)由椭圆对称性知G在0xx=上,由特殊点求出x=1,再求出一般性也成立即可.【详解】解:(1)因为2(1,0)F,所以c=1,由题意知:222219141abab=++=,解得23ab==,则椭圆的方程为:22143xy+=.(2)由
椭圆对称性知G在0xx=上,假设直线l过椭圆上顶点,则(0,3)M,则34k=−,而833,55N,13:(2),2AMlyx=+233:(2),2ANlyx=−−其交点331,2G所以G在定直线x=1上;的,当M不在椭圆顶点时,设()
()1122,,,MxyNxy,由22(4)143ykxxy=−+=,整理得:()2222343264120kxkxk+−+−=,则22121222326412,3434kkxxxxkk−+==++,111:(2),2AMylyxx=++222:(
2),2ANylyxx=−−当x=1时,1212322yyxx−=+−,得()()121234422kxkxxx−−−=+−,得()12122580xxxx−++=,得222264123225803434kkkk−−+=++,上式显然成立,所以G在
定直线x=1上.22.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值.【答案】(1
)x2=4y(2)当t=﹣时,|MN|的最小值是【解析】【详解】(I)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)则=1,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1由消去
y,整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为xM===,同理可得点N的横坐标为xN=所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t,t不为0,则k=当t>0时,|MN|=
2>2当t<0时,|MN|=2=2≥综上所述,当t=﹣时,|MN|的最小值是获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com