【文档说明】重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期开学测试数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，683.271 KB，由小赞的店铺上传

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数学学科测试卷（试卷满分：100分时间：90分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个四边形的四边长依次为a，b，c，d，且()20acbd−+−=，则这个四边形一定为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正

方形【答案】A【解析】【分析】由非负数和为零的意义得0ac−=，0bd−=，由平行四边形的判定方法即可求解．【详解】()20acbd−+−=，0ac−=，0bd−=，ac=，bd=，四边形一定是平行四边形．故选：A．2.若()2419xkx−++能用完全平方公式因式分解

，则k的值为（）A.6B.12C.13−或11D.13或11−【答案】C【解析】【分析】由题意可知，关于x的方程()24190xkx−++=有两个相等的实根，可得出0=，即可求得实数k的值.【详解】

由题意可知，关于x的方程()24190xkx−++=有两个相等的实根，则()()22214491120kk=+−=+−=，解得11k=或13−.故选：C.3.把2212xxyy−++分解因式的结果是（）A.()()()112xxyxy+−++

B.()()11xyxy++−−C.()()11xyxy−+−−D.()()11xyxy+++−【答案】D【解析】【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】2212xxyy−++()2221xxyy=++−2()1

xy=+−()()11xyxy=+++−．故选：D．4.150182+的结果在哪两个连续整数之间（）A.7与8B.8与9C.9与10D.10与11【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简再估算2的大小，进一步求解.【详解】125018523253222+

=+=+，21.414，4325，953210+.故选：C.5.将抛物线223yxx=−+通过某种方式平移后得到抛物线()244yx=−+，则下列平移方式正确的是（）A.向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度B.向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长

度C.向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度D.向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度【答案】A【解析】【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移法则即可判断.【详解】函数()222312yxxx=−

+=−+，对称轴轴为1x=，顶点为()1,2，函数()244yx=−+，对称轴为=4x，顶点为()4,4，故将抛物线223yxx=−+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到()244yx=−+的图象.故选：A6.若实数ab，且a，

b满足2850aa−+=，2850bb−+=，则代数式1111baab−−+−−的值为（）A.2B.－20C.2或－20D.2或20【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理可求1111baab−−+−−的值.【详解】因为2850aa−+=

，2850bb−+=，故,ab为方程2850xx−+=的两个根，故8,5abab+==.又()()()()()()22211222111111baabababbaababababab−+−+−+−+−−+==−−−++−++641610220581−−+==−−+，

故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.7.若不等式23208kxkx+−对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（）A.30k−B.30k−C.30k−D.3k−

或0k【答案】C【解析】【分析】由23208kxkx+−对一切实数x都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.【详解】解：23208kxkx+−对一切实数x都成立，①0k=时，308−恒成立，②0k时，20Δ30kkk=+，解得30

k−，综上可得，30k−，故选：C.8.若关于x的不等式组1024223xaax−−+无解，且一次函数()()52yaxa=−+−的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数a的和是（）A

.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】先解不等式组求出a的取值范围,再根据一次函数的图象不经过第一象限求出a的取值范围，从而可得符合条件的所有整数a,然后求和即可得到答案.【详解】因为1024223xaax−−+①

②，解不等式①得：2xa+，解不等式②得：32xa−，此不等式组无解,232aa+−，解得13a，一次函数()()52yaxa=−+−的图象不经过第一象限，5020aa−−，解得25a，综

上所述：25,a所以符合条件的所有整数a的和是2349++=故选:C二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.我们定义一种

新函数，形如22(0,40)yaxbxcabac=++−的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数223yxx=−−的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.图象与y轴的交点为(0,3)B.图象具有对称性

，对称轴是直线1x=C.当11x−或3x时，函数值y随x值的增大而增大D.当1x=时，函数的最大值是4【答案】ABC【解析】【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B；观察图象变化情况判断选项C；由函数图象得最值情况判断选项D.【详解】对于A，点(

0,3)的坐标满足函数223yxx=−−，所以函数图象与y轴的交点为(0,3)，A选项正确；对于B，观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线1x=，故B选项正确；对于C，根据函数图象和性质，发现当11x−或3x时，函数值y随x值的增大而增大，

故C选项正确；对于D，由图象可知，当1x−时，函数值y随x值的减小而增大，当3x时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当1x=时，函数值4并非最大值，D选项不正确.故选：ABC.

10.已知不等式23210axax++，则下列说法正确的是（）A.若1a=−，则不等式的解集为11,3−B.若不等式的解集为42,3−，则18a=−C.若不等式的解集为()12,xx，则120xx的D.若不等式的解集为()12,xx，1223xxxx++−【答案】

ABD【解析】【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.【详解】对于A，1a=−时，不等式2321

0xx−−+，即23210xx+−，即()()3110xx−+，解得113x−，所以不等式的解集为11,3−，A正确；对于B，若不等式的解集为42,3−，则二次函数2321yaxax=++的图象开口向下，即0a，且23210axax++=方程的两

根为42,3−，故14233a=−，所以18a=−，B正确；对于C，若不等式的解集为()12,xx，则二次函数2321yaxax=++的图象开口向下，即0a，且23210axax++=方程的两根为12,xx，故12103xxa=，C错误；对于D，若不等式的解集为()12,x

x，则二次函数2321yaxax=++的图象开口向下，即0a，且23210axax++=方程的两根为12,xx，故1223xx+=−，所以()()12121223xxxxxxxxxx++−+−−=+=，当

且仅当()()120xxxx+−时，等号成立，D正确.故选：ABD.11.已知抛物线212yxbxc=−+，当1x=时，0y；当2x=时，0y．下列说法正确的是（）A.22bcB.若1c，则32bC.已知点()()1122,,,AmnBmn在抛物线212yxbxc=−+上，当12mmb

时，12nnD.若方程2102xbxc−+=的两实数根为12,xx，则123xx+【答案】BC【解析】的【分析】对于A,利用根的判别式可判断;对于B,把𝑥=1,代入,得到不等式,即可判断;对于C,求得抛物线的对称轴为直线xb=,利用二次函数的性质即可判断;对于D,利用根与系数的关系即可

判断.【详解】对于A,102a=,开口向上,且当𝑥=1时,0y；当𝑥=2时，0y，抛物线212yxbxc=−+与x轴有两个不同的交点,22Δ420,bacbc=−=−22bc,故A不正确;对于B,当�

�=1时,0y,102bc−+,即12bc+,312cb,故B正确;对于C,抛物线212yxbxc=−+的对称轴为直线xb=,且开口向上,当xb时，y的值随x的增加反而减少，当12mmb

时，12nn,故C正确；对于D,方程2102xbxc−+=的两实数根为12,xx,122xxb+=,当1c时32b,123xx+,但当1c时,则b未必大于32,则123xx+的结论不成立,故D不正确

;故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分．12.多项式22244625xxyyx−+++的最小值为_______．【答案】16【解析】【分析】将多项式分别按照,xy的二次项与x的二次项进行配方，分析即可求得.【详解】()()22222244625446916xxyyxxx

yyxx−+++=−+++++()()222316xyx=−+++，因对任意实数,xy，都有()()2220,30xyx−+成立，,故当且仅当2030xyx−=+=，即323yx=−=−时，多项式取得最小值16.故答案为：16

13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sincossin2bACaB=，6ab=，则△ABC的面积为______．【答案】332【解析】【分析】根据正弦定理化简1sincossin2bACaB=可得.【详解】由正弦定理，1sinsincossinsin2B

ACAB=，因为sin0,sin0AB，故1cos2C=.又()0,πC，故π3C=，故133sin22ABCSabC==V.故答案：33214.对于每个x，函数y是16yx=−+，22246yxx=

−++这两个函数的较小值，则函数y的最大值是________.【答案】6【解析】【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.【详解】函数16yx=−+，22246yxx=−++的图像如图，函数y取两个函数的较小值，图像是如图的实线部分，两个函数图像都过()0

,6点.当0x时，12yy，函数y的最大值是6，当0x时，函数y无论在16yx=−+上取得，还是22246yxx=−++上取得，总有6y，即0x时，函数y的图像是下降的.所以函数y的最大值是6.为故答案为：6.四、解答题：本题共5小题，

共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于x的一元二次方程()222221xkxkx−++=−有两个实数根12,xx．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根12,xx，满足xxxx+=−12126，求k

的值．【答案】（1）12k；（2）4−.【解析】【分析】（1）利用一元二次方程有实根的等价条件，列出不等式求解即得.（2）利用韦达定理，结合已知列出方程并求解即得.【小问1详解】方程22222(1)xkxkx−+

+=−，整理得222(1)0xkxk−−+=，由该方程有两个实数根12,xx，得224(1)40kk=−−，解得12k，所以实数k的取值范围是12k.【小问2详解】由12,xx是方程222(1

)0xkxk−−+=的两个实数根，得2121221(),xxkxxk−+==，而xxxx+=−12126，则2|2(1)|6kk−=−，由（1）知，2()10k−，于是2280kk+−=，又12k，解得4k=−，所以k的值为4−.16.已知函数21xayx+=+．（1）当1x

−时，函数值y随x的增大而增大．求a的取值范围；（2）若1a=，求0,2x时，函数值y的取值范围．【答案】（1）2a（2）51,3【解析】【分析】(1)将21xayx+=+变形为221ayx−=++，根据反

比例函数的性质可求出a的取值范围；(2)将1a=代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域.【小问1详解】()212222111xaxaayxxx++−+−===++++，因为当1x−时，函数值y随x的增大而增大，根据反比例函数性质可知20a−，即2a，所以a的取值范围是2

a.【小问2详解】因为1a=，所以211211xyxx+==−++，因为当0,2x时，函数值y随x的增大而增大，所以当0x=时，y有最小值12101−=+；当2x=时，y有最大值152213−=+，所

以当1a=，0,2x时，函数值y的取值范围是51,3．17.已知二次函数2yaxbxc=++的图象经过点(2,)Ac，（1）求该抛物线的对称轴；（2）若点1(,)ny和点2()2,ny−均在该抛物线上，当2n时．请你比较12,yy的大小；（3）若1c=，且当12x−时，

y有最小值13，求a的值．【答案】（1）1x=；（2）答案见解析；（3）23或29−.【解析】【分析】（1）把(2,)c代入二次函数解析式，求出,ab的关系，再求出对称轴.（2）把1(,)ny和2()2,ny−分别代入二次函数解析式，作差分

类即可判断.（3）按二次项系数的正负分类求出最小值即可得解.【小问1详解】由二次函数2yaxbxc=++的图象过点(2,)Ac，得42abcc++=，解得2ba=−，所以该抛物线的对称轴为直线2bxa=−，即1

x=.【小问2详解】由（1）得抛物线的解析式为22yaxaxc=−+，依题意，212yananc=+−，222(()22)yananc−−=−+，则2212)2[2()()2]4(22yyanancanancan+−−−=−=+−−−，而2n，当0a时，有420()an−，因此12yy；当

0a时，有420()an−，因此12yy，所以当0a时，12yy；当0a时，12yy.【小问3详解】由1c=，得抛物线的解析式为221yaxax=−+，当0a时，则当1x=时，y有最小值，即1213aa−

+=，解得23a=；当0a时，即当1x=−时，y有最小值，即1213aa++=，解得29a=−，所以a的值为23或29−.18.已知123a=+，求2281aa−+的值，小明是这样分析与解答的：∵()()1232323232

3a−===−++−，∴23a−=−，∴()223a−=，即2443aa−+=，∴241aa−=−，∴()()222812412111aaaa−+=−+=−+=−．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）若152a=−，求23121aa−−的值；（2）求11

1121324310099++++++++的值；（3）比较20252024−与20242023−的大小，并说明理由．【答案】（1）2（2）9（3）2025202420242023−−，理由见解析【解析】【分析】(1)根据小明的分析过程，152a=−，化为52a=+，

则25a−=，两边平方得241aa−=，由()223121341aaaa−−=−−即可求解；(2)根据小明的分析过程，将111121324310099++++++++的每一项分母有理化，即可求得结果；(3)因为2

02520242023，可得202520240−，202420230−，由12025202420252024=+−，12024202320242023=+−，可得结论.【小问1详解】∵()()15252525252a+=

==+−−+，∴25a−=，∴()225a−=，即2445aa−+=，∴241aa−=，∴()2231213413112aaaa−−=−−=−=.【小问2详解】111121324310099+++++++

+()()()()()()213243212132324343−−−=+++−+−+−()()100991009910099−+++−2132431009910019=−+−+−++−=−=.【小问3详解】2025202420242023−−，理由如下：∵20

2520242023>>，∴202520242023，∴202520240−，202420230−，∵()()120252024202520242025202420252024+=−−+20252024=+，()()1202420232024202320242023202420

23+=−−+20242023=+，又2025202420242023++，∴112025202420242023−−，∴2025202420242023−−.19.已知某二次函数图象的顶点坐标为()3,4−，且图象经过点()

0,5．（1）求该二次函数的解析式，（2）若当2xt时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值；（3）已知点()()2,,5,4MmN−，若该函数图象与线段MN只有一个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）265yxx=−+

.（2）6（3）4m=−或3m−【解析】【分析】（1）利用顶点设出抛物线标准方程，代入点()0,5，计算即得函数解析式；（2）根据抛物线的对称轴与给定的x的范围分类讨论，列方程计算即得t的值；（3）作出二次函数图象，就直线2x=上的动点()2,Mm的两个特殊位置1(2,3)

M−和2()2,4−M,分别结合图象即可判断得到m的取值范围.【小问1详解】的由二次函数图象的顶点坐标为(3,−4)，设该二次函数的解析式为2(3)4yax=−−，∵图象经过点()0,5，∴945a−=，解得1a=.∴该二次函数的

解析式为22(3)465yxxx=−−=−+.【小问2详解】①当23t时，最小值为265ytt=−+，最大值为226253y=-?=-，由23(65)9tt−−−+=可得26170tt−+=，此时方程无实数解；②当3t时，2(3)4yx=−−的最

小值为－4，若34t，则2(3)4yx=−−的最大值为2(23)43−−=−，此时3(4)19−−−=，不合题意；若4t，则2(3)4yx=−−的最大值为265ytt=−+，此时，265(4)9tt−+

−−=，解得0t=或6t=，因4t，故6t=.综上，当6t=时，二次函数的最大值与最小值的差是9.【小问3详解】如图，函数265yxx=−+的图象大致如下，由题意，知点()2,Mm是直线2x=上的动点，在抛物线265yx

x=−+上，由2x=可得=3y−，此时点1M的坐标为(2,3)−，因()5,4N−，由图可知：①当3m−时，点M在点1M上方，此时函数265yxx=−+的图象与线段MN只有一个公共点，符合题意；②又当4m=

−时，图中点2()2,4−M,也满足函数265yxx=−+的图象与线段MN只有一个公共点．综上所述，m的取值范围为4m=−或3m−.