【文档说明】福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(25)页，1.036 MB，由小赞的店铺上传

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福州第二中学2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22=，则1cossin+的值是（）A.22B.2C.2D.122.已知复数2i1iz−=+（其中i为虚数单位）

，则z=（）A.13i22−B.13i22+C.33i22−D.33i22+3.若0ab，则下列结论正确的是（）A.lnlnabB.22baC.11abD.1122ab4.已知(31)(1)nxx−+的展开式中所有项的系数之和为6

4，则展开式中含4x的项的系数为（）A.20B.25C.30D.355.已知函数()()()2sin0fxx=+的部分图像如图所示，则函数()fx的一个单调递增区间是（）A.75,1212−B.7,1212−−

C.,36−D.1117,12126.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C的左、右支分别交于点P、Q

.若1:1:2FPPQ=，且122cos3FQF=，则C的离心率为（）A.3B.2C.3D.27.等差数列()*12,,naaanN，满足121212111222nnnaaaaaaaaa+++=++++=++++++++122010333naa

a=+++=+++，则（）A.n的最大值是50B.n的最小值是50C.n的最大值是51D.n的最小值是518.对于曲线22:1Cxy−−+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C上任意一点到坐标原点距

离不小于2；③曲线C与曲线3xy+=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3二、多选题9.已知22()1xfxx=+，则下列说法正确的有（）A.()fx奇函数B.()fx的值域是[1,1]−C.()fx的递增区间是[1,

1]−D.()fx的值域是(,1][1,)−−+10.已知抛物线24yx=焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）A.PF最小值为2B.若PAPB=，则2ABPF=C.若8AB=，则22PF=D.若点

P不在x轴上，则2FAFBPF11.已知随机变量X、Y，且31,YXX=+的分布列如下：X12345Pm11015n310的的若()10EY=，则（）A.310m=B.15n=C.()3EX=D.7()3DY=12.已知

数列na满足2122nnnaaa+=−+，则下列说法正确的是（）A.当112a=时，()5124nanB.若数列na为常数列，则2na=C.若数列na为递增数列，则12aD.当13a=时，1221nna−=+三、填空题13.函数(

)()lg12xfxx+=+的定义域是_________．14.若一个圆的圆心是抛物线24xy=的焦点，且该圆与直线3yx=+相切，则该圆的标准方程是__________．15.已知函数()(),fxgx的定义域为R，且()

()()()6,24fxfxfxgx−=+−+=，若()1gx+为奇函数，()23f=，则311()kgk==__________．四、解答题16.ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC的面积3tan4SacB=.（1）求B；（2）若a､

b､c成等差数列，ABC面积为32，求b.17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车70282100的的间总计965221

50（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果(1)1.65ppppn−

+，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（15012.247）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.6

351082818.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosacaB=−.（1）证明：2BA=；（2）若3a=，26b=，求c．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比.赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛

中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者

组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A

）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B），若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1

）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列.20.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，且满足3sincos()1BAC++=.（1）求角B的大小；（2）若M为BC的中点，且AMAC=，求sinBAC.21.已知函数()()2111()R,axxfxxeaagxex+−=+−=−.（1）求函数()fx的单调区间；（2）对a∈(0

，1)，是否存在实数λ，1,,1,nmaaaa−−，使()2()0fgnm−成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.福州第二中学2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22=，则1co

ssin+的值是（）A.22B.2C.2D.12【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan22=，则212cos11cos2sin2sincos22+−+=2cos2sinco

s22=1tan2=12=.故选：D2.已知复数2i1iz−=+（其中i为虚数单位），则z=（）A.13i22−B.13i22+C.33i22−D.33i22+【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即

可得出．【详解】由已知()()()()2i1i13i1i1i22z−−==−+−，则13i22z=+.故选：B.3.若0ab，则下列结论正确的是（）A.lnlnabB.22baC.11abD.1122ab【答

案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D.【详解】因为函数lnyx=在()0+，上单调递增，0ab，所以lnlnba，A错误，因为0ab，由不等式性质可得220ab，B错误，因0ab，所以

0ab−，0ab，所以110abbaba−−=，故11ba，C错误，因函数12xy=在()0+，上单调递减，0ab，所以1122ab，∴D正确，故选：D.4.已知(31)(1)nxx−+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x的项的系数

为（）A.20B.25C.30D.35【答案】B【解析】【分析】根据所有项的系数之和求解n，写出(1)nx+的展开式，求3x与二项式中含3x的项相乘所得的项，-1与二项式中含4x的项相乘所得的项，两项相加，即为(31)(1)nxx−+的

展开式中含4x的项.【详解】所有项的系数之和为64，∴(31)(11)64n−+=，∴5n=5(31)(1)(31)(1)nxxxx−+=−+，5(1)x+展开式第1r+项515rrrTCx−+=，2r=时，2333510TCxx==，3431030xxx=，1r=时，144255TCxx=

=，44(1)55xx−=−，44430525xxx−=，故选：B．5.已知函数()()()2sin0fxx=+的部分图像如图所示，则函数()fx的一个单调递增区间是（）为为A.75,1212−B.7,1212−−C.,36

−D.1117,1212【答案】D【解析】【分析】由图像得出解析式，再由正弦函数的单调性判断即可.【详解】根据函数()()2sin(0)fxx=+的部分图像，可得112254431

2T==−解得2=，∴函数()()2sin2fxx=+再把5,212代入函数的解析式，可得52sin26+=∴5sin1,2πZ,63kk+==−+（）故函数()2sin23fxx=−

.令222,232kxkkZ−−+剟，得51212kxk−+剟，当1k=时，函数()fx的一个单调递增区间是1117,1212.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与C的左、右支分别交于

点P、Q.若1:1:2FPPQ=，且122cos3FQF=，则C的离心率为（）A.3B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设1||PFx=，则||2PQx=，1|

|3QFx=，再由双曲线的定义可得2||2PFax=+，2||32QFxa=−，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a，c的关系，可求出离心率．【详解】1:1:2FPPQ=，设1||PFx=，则||2PQx=，1||3Q

Fx=，由双曲线的定义可得2||2PFax=+，2||32QFxa=−，因为122cos3FQF=，在12QFF中，由余弦定理有222121212122cosFFQFQFQFQFFQF=+−，即22224(3)(32)3(

32)32cxxaxxa−=+−−，①在2PQF中，由余弦定理有222222122cosPFPQQFPQQFFQF=+−，即2222(2)(32)(2)(32)(2)32axxaxxax−+=−+−，②由②可得83xa=，代入①可得229ca=，即3ca

=.所以C的离心率为：3cea==，故选：A.公众号：高中试卷君7.等差数列()*12,,naaanN，满足121212111222nnnaaaaaaaaa+++=++++=++++++++122010333naaa=+++=+++，则（）A.

n的最大值是50B.n的最小值是50C.n的最大值是51D.n的最小值是51【答案】A【解析】【分析】不妨设10a，0d，由对称性可得：2,*nkkN=.可得100kkaa+，130ka++.解得3d−.可得()121222010kkkkaaaaaa+++++−+++=，可得2

2010kd=−，解出即可得出.【详解】解：不妨设10a，0d，由对称性可得：2,*nkkN=.则100kkaa+，130ka++.()110akd+−，10akd+，130akd++∴3d−∴()121222010kkkkaaaaaa++

+++−+++=，∴22010kd=−，∴220103k−−，解得：670k，∴22670k，∴250k.∴n的最大值为50.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质､方程与不等式的解法，考查了

推理能力与计算能力，属于难题.8.对于曲线22:1Cxy−−+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C与曲线3xy+=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函

数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.【详解】①将曲线22:1Cxy−−+=中的x换成x−，将y换成y−，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x轴和y轴对称，故①正确；②设曲

线C上任一点为(),Pxy()22222222222222112224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当2222yxxy=，即222xy==时，等号成立，所以222xy+，曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；③曲线3

xy+=中的x换成x−，将y换成y−，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x轴和y轴对称，并且将x换成y，y换成x，方程不变，所以曲线也关于yx=对称，曲线2211:1Cxy+=中，21x且21y，将曲线2211:1Cxy+=中的x换成y，y换成x，方程

不变，所以曲线C也关于yx=对称，当0,0xy时，联立22111xyyx+==，得2xy==，当0,0xy时，2221111xyxx==+−−，当1x时，函数单调递减，因为223+，所以点()2,2在直线3xy+=的下方，如图，在第一象限有2个交点，根据两个曲线的对称性可

知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判断函数的单调性，即可判断.二、多选题9.已知22()1xfxx=+，则下列说法正确的有（）A.

()fx奇函数B.()fx的值域是[1,1]−C.()fx的递增区间是[1,1]−D.()fx的值域是(,1][1,)−−+【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用奇函数定义进行判断；对于B，D，

利用判别式法求其值域；对于C，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A，()221xfxx=+，其定义域为R，有()()221xfxfxx−=−=−+，为奇函数，A正确；对于B，221xyx=+，变形可得

220yxxy−+=，则有2440y=−，解可得11y−，即函数的值域为1,1−，B正确，对于C，()221xfxx=+，任取12,xxR，且12xx，则1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)xxxxxxfxfxx

xxx−−−=−=++++，当12,[1,1]xx−，所以12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以()fx的递增区间是[1,1]−，所以C正确，对于D，由选项B的结论，D错误，故选：ABC．10.已知抛物线2

4yx=的焦点为F，点P在准线上，过点F作PF的垂线且与抛物线交于A，B两点，则（）A.PF最小值为2B.若PAPB=，则2ABPF=C.若8AB=，则22PF=D.若点P不在x轴上，则2FAFBPF【答案】A

BC【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F，抛物线的准线方程为=1x−，设()1,Pm−，2221(1)442PFmm=−−+=+=，所以点P在横轴上时PF有最小值2，所以选项A正确；若PAPB

=，根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，的把1x=代入24yx=中，得2y=，()224AB=−−=，此时2PF=，于是有2ABPF=，所以选项B正确；因为8AB=，显然点P不在横轴上，则有22PFABmkkm==−，所以直线AB的方程为

()21yxm=−代入抛物线方程中，得()2244240xxm−++=，设()()1122,,,AxyBxy，2122xxm+=+22121182284ABxxmm=+++=++==，2224422PFm=+=+=，所以选项C正确，点P不在x轴上，由上可知：2122xxm

+=+，121=xx，()()22121212111224xxxxxxFAFBmm=++=+++=++=+，而224PFm=+，显然2FAFBPF=，所以选项D不正确，故选：ABC11.已知随机变量X、

Y，且31,YXX=+的分布列如下：X12345Pm11015n310若()10EY=，则（）A310m=B.15n=C.()3EX=D.7()3DY=【答案】AC【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出,mn可判断ABC；由方差公式可判断D.【详解】由113110510mn+

+++=可得：25mn+=①，又因为()()()313110EYEXEX=+=+=，解得：()3EX=，故C正确..所以()1132345310510EXmn=++++=，则7410mn+=②，所以由①②可得：13,1010nm==，故A正确，B错误；()()()()()2222231113

()1323334353101051010DX=−+−+−+−+−3113134114101010105=+++=,()()13117()319955DYDXDX=+===，故D错误.故选：AC.12.已知数列na满足2122nnnaaa+=−+，则下列说法正确的是

（）A.当112a=时，()5124nanB.若数列na为常数列，则2na=C.若数列na为递增数列，则12aD.当13a=时，1221nna−=+【答案】AD【解析】【分析】令1nnba=−可得21nnbb+=，据此判断A，令nat=

，由递推关系222ttt=−+求出即可判断B，根据B及条件数列na为递增数列，分类讨论求出10a或12a时判断C，通过对21nnbb+=取对数，构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A，当112a=时，254a=，令1nnba=−，则21nnbb+=，214b=，故()1

024nbn，即()5124nan，A正确；对于B，若数列na为常数列，令nat=，则222ttt=−+，解得1t=或2,1nta==或2na=，B不正确；对于C，令1nnba=−，则2

1nnbb+=，若数列na为递增数列，则数列nb为递增数列，则210nnnnbbbb+−=−，解得0nb或1nb.当11b−时，2211bb=，且21nnbb+=，2312,nbbbbb

，此时数列nb为递增数列，即数列na为递增数列；当110b−时，201b，且21nnbb+=，2312,nbbbbb，此时数列nb不为递增数列，即数列na不为递增数列；当11b时，21nnbb+=，123nbbbb

，此时数列nb为递增数列，即数列na为递增数列.综上，当11b−或11b，即10a或12a时，数列na为递增数列，C不正确；对于D，令1nnba=−，则21nnbb+=，12b=，两边同时取以2为底的对数，得212

log2lognnbb+=，21log1b=，数列2lognb是首项为1，公比为2的等比数列，12log2nnb−=，即11222,21nnnnba−−==+，D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比

较高，求解时将已知条件变为()2111nnaa+−=−是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的

作用.公众号：高中试卷君三、填空题13.函数()()lg12xfxx+=+的定义域是_________．【答案】()1,−+【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解：由1020xx++，可得1x

−，所以函数()()lg12xfxx+=+的定义域是()1,−+，故答案为：()1,−+.14.若一个圆的圆心是抛物线24xy=的焦点，且该圆与直线3yx=+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】()2212xy+−=【解析】【分析】求出圆心和半径可得答案.【详解

】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为01322R−+==，故圆的方程为：22(1)2xy+−=．故答案为：22(1)2xy+−=．15.已知函数()(),fxgx的定义域为R，且()()()()6,24fxfxfxgx−=+−+=，若()1gx+为奇函数，

()23f=，则311()kgk==__________．【答案】1−【解析】【分析】由()fx的对称性及()()24fxgx−+=得()()2gxgx=−−，再由()1gx+为奇函数得()()4gxgx=−−，从而得()()8gxgx−=，即()gx是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.

【详解】由()1gx+为奇函数，得()()11gxgx−+=−+，即()()2gxgx−=−，由()()6fxfx−=+，得()()()2422fxfxfx−=+=−−−，又()()24fxgx−+=，于是()()4

42gxgx−=−−−，即()()2gxgx=−−，从而()()22gxgx−=−−−，即()()4gxgx+=−，因此()()()84gxgxgx−=−−=，函数()gx的周期为8的周期函数，显然(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)0gggggggg+=+

=+=+=，又(32)(0)4(2)1ggf==−=，所以83111()4()(32)4011kkgkgkg===−=−=−.故答案为：1−【点睛】结论点睛：函数()fx关于直线xa=对称，则有()()faxfax+=−；函数()fx关于(,)ab

中心对称，则有()2()2faxfxb−+=；函数()fx的周期为2a，则有()()fxafxa−=+.四、解答题16.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC的面积3tan4SacB=.（1

）求B；（2）若a､b､c成等差数列，ABC面积为32，求b.【答案】（1）6（2）13+【解析】【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B；（2）由a､b､c成等差数列，可得22242

acbac+=−，再由ABC的面积为32，可得6ac=，然后利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵13sintan24SacBacB==，∴13sinsin24cosBBB=，即3cos2B=，∵0B，∴6B

=.【小问2详解】∵a､b､c成等差数列，∴2bac=+，两边同时平方得：22242acbac+=−，又由（1）可知：6B=，∴113sin242SacBac===，∴6ac=，222412acb+=−，由余弦定理得，2222

2241243cos21242acbbbbBac+−−−−====，解得2423b=+，∴13b=+17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：的优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果(1)1.65ppppn−+，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（15012.2

47）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1

）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算(1)1.65pppn−+，结合题意分析判断.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()221502630247075

4.687550100965416K−===，因为3.8414.68756.635，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则()()10.510.50.51.650.51.650.51.650.56815012.247pppn−−+

=++，可知(1)1.65ppppn−+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosacaB=−.（1）证明：2BA=

；（2）若3a=，26b=，求c．【答案】（1）证明见解析（2）5c=【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简2cosacaB=−可得sinsin()ABA=−，结合角的范围，可证明结论；（2）由正弦定理可得sin26sin3BA=，结合（1）的结论利用二倍角公式

可求出6cos3A=，继而求得cosB，结合已知条件即可求得答案.【小问1详解】由2cosacaB=−及正弦定理得sinsin2sincosACAB=−，因为πABC++=，所以()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+，所以sincossinsinc

ossin()AABABBA=−=−．因为0πA，0πB，所以ππBA−−，所以BAA−=，或πBAA−+=（即Bπ=，不合题意，舍去），所以2BA=．【小问2详解】由正弦定理可得sin26sin3BbAa=

=，由（1）知sinsin22sincosBAAA==，代入上式可得6cos3A=，所以21coscos22cos13BAA==−=，再由条件可得12cos3653caaB=+=+=．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参

赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则

降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A

）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B），若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙

、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列.【答案】（1）47；（2）①4

27；②答案见解析.【解析】【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求

解即可②由题意可得3,4,5,6,7，然后求出各自对应的概率，从而可得的分布列【详解】（1）8人平均分成四组，共有2222864244CCCCA种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A，所以()35222286

4244APACCCCA=47=（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333333+427=②若甲在第一轮获胜，3,4,5,6,7.当3

=时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即()1113339P===.当4=时，有两种情况：（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327=；（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为12211

433327C=，所以()844427279P==+=当5=时，有两种情况：（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327=；（ii）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第

5场败，概率为1221218333381C=；所以()48205278181P==+=.当6=时，有两种情况：（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为2212833381=；（

ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243=；所以()8832681243243P==+=.当7=时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即()41216733243P===.所以的分布列为：

34567P194920813224316243【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确理解题意，求出3,4,5,6,7=对应的概率，考查分析问题的能力

，考查计算能力，属于中档题20.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3sincos()1BAC++=.（1）求角B的大小；（2）若M为BC的中点，且AMAC=，求sinBAC.【答案】（1）3（2）217【解析】【分析】

（1）利用诱导公式及辅助角公式计算可得；（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【小问1详解】解：在ABC中，ABC++=，∵()3sincos1BAC++=，∴()3sincos1BB+−=，∴3sincos1BB−=，∴2sin16B−=，即1sin62B−=

，∵0B，∴5666B−−，∴66B−=，∴3B=；【小问2详解】解：在ABC中，222222cosACacacBacac=+−=+−，在ABM中，2222212cos2242aaaAMccBcac=+−=+−，又AMAC=，2222142a

acaccac+−=+−，32ac=，代入上式得72aAC=，在ABC中，sin21sin7BCBBACAC==．21.已知函数()()2111()R,axxfxxeaagxex+−=+−=−.（1）求函数()fx的单调区间；（2）对a∈(0，1)，是否存在实数λ，

1,,1,nmaaaa−−，使()2()0fgnm−成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在，e.【解析】【分析】（1）求函数导数，分0,0,0aaa=三种情况，分析()fx与0的关系，即可求

出函数的单调区间；（2）由题意转化为0且2minmin[()]()fngm，利用导数求出min22[()](1)fna=−，min()(1)0gxg==，即转化为21(1)aaea−−−，构造函数21(1)(),[0,

1)xxhxxex−−=−，利用导数可求出21(1)aaeea−−−，即可求解.【详解】（1）()211axfxxea+=+−(R)a的定义域为(,)−+，1()(2)axfxxaxe+=+，①当a=0时，0

,()0,0,()0xfxxfx，所以函数()fx的单调递增区间为(0,)+，单调递减区间为(,0)−.②当a>0时，22,,()0,,0,()0,(0,)xfxxfxxaa−−−

+，()0fx，所以函数()fx的单调递增区间为2,,(0,)a−−+，单调递减区间为2,0a−.③当a<0时，22(,0),()0,0,,()0,,xfxxfxxa

a−−−+，()0fx所以函数()fx的单调递减区间为2(,0),,a−−+，单调递增区间为20,a−.（2）由1()xgxex−=−，得1()1xgxe−=−，

当1x时，()0,1gxx时，()0gx，故()gx在(,1)−上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以min()(1)0gxg==，故当[1,]maa−时，1min()()0agmgaea−==−当(0,1)a时，21aa−−，由（1）知，当[1,]n

aa−时，min()(0)10fnfa==−所以min22[()](1)fna=−，若对[1,],[1,]maanaa−−使2[()]()0fngm−成立，即2[()]()fngm则0

且2minmin[()]()fngm.所以()21(1)eaaa−−−，所以21(1)aaea−−−.设21(1)(),[0,1)xxhxxex−−=−，则()()1121(1)31()xxxxexexhxe

x−−−−−−−=−，令11()3ee1,[0,1]xxrxxxx−−=−−−则1()(2)e1xrxx−=−−，当[0,1)x时，由1xex+，故1e2xx−−，所以1(2)1xxe−−，故

()0rx，所以()rx在[0,1]上单调递减，所以[0,1)x时，()(1)0rxr=，即()0rx,又[0,1)x时,10x−,所以当[0,1)x时，()0,()hxhx单调递减，所以当(0,1)x时，()(

0)hxhe=，即(0,1)a时，21(1)aaeea−−−，故e….所以当e…时，对(0.1),[1,],[1,]amaanaa−−使2[()]()0fngm−成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，

恒成立问题，转化思想，分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.