【文档说明】安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）.docx，共(19)页，1.444 MB，由小赞的店铺上传

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合肥六校联盟2022-2023学年第二学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥三中命题教师：赵蔓审题教师：张丽一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1.已知等差数列na前15项和为45，若310a=−，则13a=（）A.16B.55C.-16D.35【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质知，115313aaaa+=+，进而可得答案.【详解】依题意()11515452aa

+=，1156aa+=，所以3136aa+=，所以1316a=.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，熟练掌握公式以及性质是解题关键，属于基础题.2.设()fx在0xx=处可导，则()()000lim2xfxxfxx→+−=（）A.()012fxB.()02fx−C

.()0fxD.()02fx【答案】A【解析】【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.【详解】因为()fx在0xx=处可导,由导数的定义可得：()0000()()limxfxxfxfxx→+−=，所以，()()()()()00000001lim

lim2212xxfxxfxfxxxfxxfx→→+−+−==.故选：A.3.已知等比数列{na}，且151,5aa==，则3a的值为（）A.3B.5C.±5D.52【答案】B【解析】【分析】求

出公比，再根据等比数列的通项公式即可得解.【详解】设公比为q，因为151,5aa==，所以4515aqa==，所以25q=，所以2315aaq==.故选：B.4.已知数列na满足10a=，()1331nnnaanNa

++−=+，则20a=（）A.0B.3−C.3D.32【答案】B【解析】【分析】计算出na的前四项的值，可得出()3nnaanN++=，由此可求得20a的值.【详解】因为数列na满足10a=，()1331nnna

anNa++−=+，1213331aaa−==−+，2323331aaa−==+，3433031aaa−==+，L，由上可知，对任意的Nn+，3nnaa+=，2036223aaa+===−.故选：B.5.设函数()212fxx=−，()fx是()fx的导数，则函数()(

)cosgxfxx=的部分图像可以为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出()2cosgxxx=，利用函数奇偶性定义得到()2cosgxxx=为奇函数，排除BC选项，进而利用π(0,)2x时()0gx，排除D选项.【详

解】因为()2fxx=，所以()2cosgxxx=，定义域为R，且()()()()2cos2cosgxxxxxgx−=−−=−=−，所以()2cosgxxx=为奇函数，所以排除BC选项，又π(0,)2x，∴()0gx，所以排除D选项，故选：A.6

.5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同安排方法共有（）A.60种B.90种C.150种D.240种【答案】C【解析】【分析】先将5名同学分为3组，再将分好的三组安排到3个

小区，利用分步乘法计算原理求出.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分为3组，若分为1，2，2的三组，有22153122CCC15A=种分组方法，若分为1､1､3的三组，有35C10=种分组方法，则有10

1525+=种分组方法，②将分好的三组安排到3个小区，有33A6=种情况，则有256150=种不同的安排方法，的故选：C.7.定义12nnppp+++为n个正数12,,nppp的“均倒数”，若已知数{}na的

前n项的“均倒数”为131n+，又26nnab+=，则1223910111bbbbbb++=A.111B.1011C.910D.1112【答案】C【解析】【分析】先利用“均倒数”的定义，求得na的表达式，代入nb，利用裂项求和法求得所求的数值.【详解】根据“均倒数”的定义，有12131nnaaan

=++++，故()212313naaannnn+++=+=+，故，()()2121311naaann−+++=−+−，两式相减得62nan=−，当1n=时，1314a=+=也符合上式，故62nan=−.所

以nbn=，，注意到()111nn1nn1=−++，故1223910111bbbbbb++=1111119112239101010−+−++−=−=，故选C.【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，

考查运算求解能力.属于中档题.8.已知函数()242,0eln,0xxxfxxxx++=，若函数()()3gxfxm=−有4个不同的零点，则m的取值范围是（）A.20,3B.22,33−C.10,3

D.21,33−【答案】C【解析】【分析】将问题转化为()yfx=与3ym=图象有4个不同交点，利用导数可求得0x时()fx的单调性和最值，由此可得()fx的图象，采用数形结合方式可求得m的取值范围.【详解】若()()3gxfxm=−有4个不同零点，

则()yfx=与3ym=有4个不同交点；当0x时，()elnxfxx=，则()()2e1lnxfxx−=，当()0,ex时，()0fx¢>；当()e,x+时，()0fx；()fx\()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()maxe1

fxf==，又当1x时，()0fx恒成立，()10f=，由此可得()fx与3ym=大致图象如下图所示，由图象可知：当031m，即103m时，()fx与3ym=有4个不同交点；实数m的取值范围为10,3.故

选：C.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解

析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列选项正确是（）A.ln2y=，则12y¢=B.()21fxx=，则()2327f=−C.()323e3eexxxxxx+=D.22sin2cos2xxxx=【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函数的导数及导数的运算

法则求解即可.在的【详解】对于A，ln2y=，则0y=，故A错误；对于B，()221fxxx−==，则()32fxx=−，()2327f=−，故B正确；对于C，()()()33323eee3eexxxxxxxxxx=+=+，故C正确；对于D，()

()()2222442sin2sin2cos2sin22sinxxxxxxxxxxxx=−−=32cos4sinxxxx−=，故D错误.故选：BC.10.关于712xx−

的二项展开式，下列说法正确的是（）A.二项式系数和为128B.各项系数和为7−C.1x−项的系数为280−D.第三项和第四项的系数相等【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据二项式系数和为2n即可判断；对于B，赋值法即可判断；对于C，根据通项为()2717C2rrrrTx−+=−，取2

71r−=−计算即可判断；对于D，根据第三项的系数为84，第四项的系数为280−，即可判断.【详解】由题知，712xx−中二项式系数和为72128=，故选项A正确；将1x=代入二项式中可得各项系数和为7(1)1−=−

，故选项B错误；在712xx−中，第1r+项()()7271771C2C2rrrrrrrTxxx−−+=−=−，取271r−=−，即3r=，所以331147C(2)280Txx−−=−

=−，所以1x−项的系数为280−，故选项C正确.在712xx−中，根据()()7271771C2C2rrrrrrrTxxx−−+=−=−得第三项的系数为()2274C82−=，第四项的系数为()337280C2=−−，因为84280−，所以选项D

错误；故选：AC.11.设等差数列na的前n项和为Sn，公差为d．已知312a=，S12＞0，70a，则（）A.60aB.2437d−−C.Sn＜0时，n的最小值为14D.数列nnSa中最小

项为第7项【答案】ABD【解析】【分析】求得6a的正负情况判断选项A；求得公差d的取值范围判断选项B；求得Sn＜0时，n的最小值判断选项C；求得数列nnSa中最小项判断选项D.【详解】等差数列na的前n项和为

Sn，首项为1a，公差为d．由S12＞0，可得()()1126712602aaaa+=+，则670aa+又70a，则60a，则选项A判断正确；由312a=，S12＞0，70a，可得1112121211120260adadad+=

++，解之得2437d−−，则选项B判断正确；21(1)(1)5(122)(12)2222nnnnndSnadnddndn−−=+=−+=+−由25(12)022dndn+−可得245nd

−或0n（舍）由2437d−−，可得()24512,13d−，则Sn＜0时，n的最小值为13.则选项C判断错误；由1,6n时，0na，7n时，0na，1,12n时，0nS，13n时，0nS，可得7,12n时，0na，0nS，0nnSa，7,12n

时，0nnSa二次函数25(12)22dyxdx=+−开口向下，过原点，对称轴512136,22xd=−则在7,12n时，25(12)22ndSndn=+−单调递减，且0nS又7,12n时，

na为递减数列，na为递增数列，1na为递减数列则在7,12n时，数列nnSa为递增数列，则7n=时nnSa取得最小值.则数列nnSa中最小项为第7项，

则选项D判断正确.故选：ABD12.已知函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．则当x＞0时，下列说法中正确的是（）A.f（2）＝ln2＋1B.x＝2是函数f（x）的极大值点C.函数y＝

f（x）－x有且只有一个零点D.存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立【答案】AC【解析】【分析】通过函数f（x）满足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，可以求出()()fxfx，，进而可以分析函数f（x）的极大值点，求解f（2）的值，判断A,B选

项；对函数y＝f（x）－x，求导求零点，从而可以判断C选项；使用隔离参数法将k隔离之后，令()22lnxgxxx=+，从而可以判断D选项；【详解】因为xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，则()2lnfxxx=+，()22xfxx=−，则x∈（0，2）时，f（x）单调递减；x∈

（2，＋∞）时函数f（x）单调递增．∴函数f（x）只有一个极小值点e，即只有一个极小值f（2）＝ln2＋1，故选项A正确，选项B错误；()2lnyfxxxxx=−=+−，则2220xxyx+−−=，所以当x→0时，y→＋∞，当x＝e时21e0ey=+−，所以函数y＝

f（x）－x有且只有一个零点，故选项C正确；f（x）＞kx，可得22lnxkxx+，令()22lnxgxxx=+，则()24lnxxxgxx−+−=，令()4lnhxxxx=−+−，则()lnhxx=−，故x＞1时h（x）单调递减，0＜x＜1时，h（x）单调递增，所以h（x）≤

h（1）＜0，所以g（x）在x＞0上单调递增，无最小值，所以不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，故选项D错误；故选：AC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()()ln1fxx=+的图象在点

()()1,1f处的切线方程为___________.【答案】11ln222yx=+−【解析】【分析】求得()fx的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】因为()()ln1fxx=+，得()11fx

x=+，则()()11ln2,12ff==，所以切线的方程为()1ln212yx−=−，即11ln222yx=+−.故答案为：11ln222yx=+−.14.二项式5(13)(12)xx+−的展开式中的4x项的系数为

___________.【答案】160−【解析】【分析】先求出5(12)x−含4x，3x的项，再与13x+对应乘积即可得答案.【详解】5(12)x−展开式的通项为()()155C22CkkkkkkTxx+=−=−，0,1,2,3,

4,5k=，所以当4k=时，()4444552C80Txx=−=，当3k=时，()3333452C80Txx=−=−，所以二项式5(13)(12)xx+−的展开式中含4x项的系数为801(80)3160+−

=−.故答案为：160−.15.如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为___________.【答案】84【解析】【分析】按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原

理可得结果.【详解】按照使用了多少种颜色分三类计数：第一类：使用4种颜色，有44A24=种；第二类：使用3种颜色，必有2块区域同色，有31124322CCCA48=种；第三类：使用2种颜色，必然是A与C同色，且B与D同色，有2242CA12=种，所以

不同的信号总数为24481284++=种.故答案为：84.16.已知数列na满足()*1,1log1,2,nnnannnN==+，定义使123kaaaa（*kN）为整数的k叫做“幸福数”，则区间1,2022内所有“幸福数”的和为_

____．【答案】2036【解析】【分析】先用换底公式化简之后，将12kaaa表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.【详解】当2n时，lg(1)log(1)=lgnnnann+

=+，所以()()122lg1lg3lg4=1=log1lg2lg3lgkaaakkk++，若满足12kaaa为正整数，则12nk+=，即21nk=−，所以在12022，内的所有“幸福数”的和为：()1

0121021221212110203612k−=−+−++−=−=−,故答案为：2036.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）17.nS为等差数列na的前n项和，已知71a=，432S=−.（1）求数列na的通项公式；（2）求nS，并求n

S的最小值.【答案】（1）213nan=−；（2）212nnSn=−，6n=时，nS的最小值为36−.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n项和公式求出1a，d，代入通项公式即可求解.（2

）利用等差数列的前n项和公式可得nS，配方即可求解.【详解】（1）设na的公差为d，由71a=，432S=−，即1161434322adad+=+=−，解得1112ad=−=，所以()11213naandn=+−=−.（2）()221111122nnnSnadnnnn

n−=+=−+−=−，()2212636nSnnn=−=−−，所以当6n=时，nS的最小值为36−.18.设3x=−是函数()323fxaxbxxc=+−+的一个极值点，曲线()yfx=在1x=处的切线斜率为8.（1）求()fx的单调区间；（2

）若()fx在闭区间1,1−上的最大值为10，求c的值.【答案】（1）单调递增区间是(),3−−和1,3+，单调递减区间是13,3−（2）4【解析】【分析】（1）求导后，根据()()3018ff−==求出,ab，再利用导数可求

出单调区间；（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.【小问1详解】()2323fxaxbx=+−，由已知得()()3018ff−==，得276303238abab−−=+−=，解得1,4ab==．于是()

()()2383331fxxxxx=+−=+−，由()0fx¢>，得3x−或13x，由()0fx，得133x−，可知3x=−是函数()fx的极大值点，1,4ab==符合题意，所以()fx的单调递增区间是(),3−−和1,3+，单调递减

区间是13,3−.【小问2详解】由（1）知()3243fxxxxc=+−+，因为()fx在区间11,3−上是单调递减函数，在1,13上是单调递增函数，又()()1216fcfc=+−=+，所以

()fx的最大值为()1610fc−=+=，解得4c=.19.（1）高二（10）班元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目c和d．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，列出所有可能的排列.（2）甲乙丙丁戊已庚7个

人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少种不同排法？（结果用数字表示）（3）从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有2名男教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）【

答案】（1）acdbadcb，，bcda，bdca；（2）432；（3）80【解析】【分析】（1）利用排列的定义即得；（2）利用捆绑法，插空法即得；（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1

名女教师两类，即得.【详解】（1）歌唱节目记为a，b，相声节目记为c，d，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：acdbadcb，，bcda，bdca.（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再

在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有332334AAA432=种排法.（3）选2名男教师与2名女教师，共有2245CC60=种选法；选3名男教师与1名女教师，共有3145CC20=种选法，所以共有602080+=种选法.20.如图所示，AB为沿海岸

的高速路，海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km，在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C到B的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度为50km/h．（参考数

据：31.7．）（1）写出运输时间()tx关于x的函数；（2）当C选在何处时运输时间最短？【答案】（1）()()214400300030050100xxtxx+−=+（2）当点C选在距B点68km时运输时间最短【解析】【分析】（1）由题意知，OB⊥AB，可求得OC，AC，

进而得出()tx；（2）求出()tx的导数，结合函数的单调性求得结果．【小问1详解】由题意知，OB⊥AB，则22120,300OCxACx=+=−，∴()()214400300030050100xxtxx+−=+【小问2详解】()tx

()122222120211125010010050120xxxx−+=−=−+，令()0tx=，得403x=，当0403x时，()0tx，()tx单调递减；当403300x时，()0

tx，()tx单调递增，所以40368x=时，()tx取最小值.所以当点C选在距B点68km时运输时间最短.21.已知数列na的前n项和为nS，当*Nn时，22nnSa+=；数列nb中，11b=.直线xy−+10=经过点()1,nnPbb+．（1）求数列

nnab、的通项公式na和nb；（2）设nnncab=，求数列nc的前n项和nT，并求2022nT的最大整数n．【答案】（1）2nna=，nbn=（2）()1122nnTn+=−+，7【解析】【分析】（1）根据,nnS

a之间的递推关系，可写出()11222nnSan−−=−。，采用和22nnSa=−相减得方法，可求得na，由题意可推得nb为等差数列，利用等差数列的通项公式可求得答案；.（2）写出nnncab=的表达式，利用错位相减法可求得数列nc的前n项和nT，进而利用数列的单

调性求2022nT的最大整数n．【小问1详解】∵22nnSa+=，∴22nnSa=−，则()11222nnSan−−=−，∴122nnnaaa−=−，即12nnaa−=，得()122nnana−=．又11aS=，∴1122aa=−，即12a=，可得数列

na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nna=；∵点()1,nnPbb+在直线10xy−+=上，∴110nnbb+−+=，∴11nnbb+−=，即数列nb是等差数列，又11b=，∴()111nbnn=+−=；【小问2

详解】∵nnncab=，∴2nncn=，∴2311221222322nnnnTabababn=+++=++++，∴()231222122nnnTnn+=+++−+，两式相减可得：123122222nnnT

n+−=++++−()()11212212212nnnnn++−=−=−−−，∴()1122nnTn+=−+设()1()122nfnn+=−+，则()211(1)()22[122](1)20nnn

fnfnnnn++++−=+−−+=+，故()1()122nfnn+=−+，*nN是单调递增的故当*nN时，()1122nnTn+=−+单调递增的，当7n=时，1538nT=；当8n=时，3

586nT=，故满足2022nT的最大整数7n=．,22.设函数()e2xfxax=−−（1）求()fx的单调区间（2）若1a=，k为整数，且当0x时()()10xkfxx−++，求k的最大值【答案】（1）答

案见解析（2）2【解析】【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按照a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.(2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为11xxkxe++−，由此将转化

为求1()1xxgxxe+=+−在给定区间的最值问题.【小问1详解】函数()e2xfxax=−−的定义域是R，'()exfxa=−，当0a时，'()e0xfxa=−，所以函数()e2xfxax=−−在(,)−+上单调递增，当0a时，(,ln)xa−时，'()e0

xfxa=−，当(ln,)xa+，'()e0xfxa=−所以，函数()fx在(,ln)a−上单调递减，在(ln,)a+上单调递增.【小问2详解】由于1a=，所以'()()1()(e1)1xxkfxxxkx−++=−−++，故当0x，'()()10xkfxx−++，等

价于11xxkxe++−令1()1xxgxxe+=+−，①则()()'22e1e(e2)()1e1e1xxxxxxxgx−−−−=+=−−，由(1)可知，当1a=时，函数()e2xhxx=−−在(0,)+上单调递增，而(1)0,(2)0hh，所以()

e2xhxx=−−在(0,)+存在唯一零点，故'()gx在存在唯一零点，设此零点为a，则有(1,2)a，当(0,)xa时，'()0gx，当(,)xa+时，()'0gx，所以()gx在(0,)+上的最小时为()ga，又由'()0ga=，可得e2aa=+，所以()1(2,3)gaa=

+，由于①等价于()kga，故整数k的最大值为2.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点

、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com