【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：2.1.2求曲线的方程1 含解析【高考】.doc，共(8)页，2.167 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2.1.2求曲线的方程【学情分析】：通过上节课的学习，领会了“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；对坐标法求点的轨迹方程有一定了解；【教学目标】：知识与技能1、了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程2、画

出方程所表示的曲线3、能利用曲线的方程研究曲线的性质过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.了解求点的轨迹方程的几种常用方法3.体会研究解析几何的基本思想和

解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤【教学难点】：利用方程研究曲线的性质【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：

教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程0),(=yxf的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）新疆学案王新敞(2

)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴

趣。二．坐1.坐标法新疆学案王新敞能过对数学史的介绍激-2-标法与解析几何主要研究问题在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程0),(=yxf的解都是不确定的新疆学案王新敞对于这种“不定方程0),

(=yxf”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把yx,看成是未知数，而是创造性地把x看成是变量(从

此，变量引入了数学)，让x连续地变，则对每一个确定的x的值，一般来说都可以从方程0),(=yxf算出相应的y值(这就是函数思想的萌芽)新疆学案王新敞然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C新疆学案王新敞由这样得出的曲线C和方程0),(=yxf有非常密切的关系：曲线上每一

个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上新疆学案王新敞这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系新疆学案王新敞这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究新疆学案王新敞这

种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法新疆学案王新敞（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）新疆学案王新敞2．解析几何的创立意义及其基本问题在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何新疆学案王新敞它是一门用代数方法研究几何问题的数

学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人新疆学案王新敞另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者新疆学案王新敞他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了新疆学案王新

敞解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域新疆学案王新敞3．平面解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质新疆学案王新敞发学生学习数学的兴趣。三．例1．例2：设A、B两点的坐标分别是（－1,－1），（3,7），求

-3-题线段AB的垂直平分线的方程解：如图设点M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是属于集合：{|||||}PMMAMB==由两点间的距离公式，点M的条件可表求为：2222(1)(1)(3)(7)xyxy+++=−

+−上式两边平方，并整理得：270xy+−=①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程。（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标都是方程①的解；（2）设点1M的坐标11(,)xy是方程①的解，即11270xy+−=，即1172xy=−点1M到A、B的距离分别是22221111121

1(1)(1)(82)(1)5(613)MAxyyyyy=+++=−++=−+222211111211(3)(7)(42)(7)5(613)MBxyyyyy=−+−=−+−=−+所以11MAMB=，即点M在线段AB的垂直平分线上由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂

直平分线的方程2．讨论，求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的？引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；学生通过讨论归纳，培养-4-（2）写出适合

条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程0),(=yxf;（4）化方程0),(=yxf为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般地，步骤（5）可以省略不写，如有

特殊情况，可以适当说明。3．例3：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。引导学生分析探索解题思路，由学生板演解题过程解：如图，取

直线l为x轴，过点F且垂直于直线l为y轴，建立坐标系xOy设点M（x，y）是曲线上任意一点，作MBx⊥轴，垂足为B，则点M属于集合{|2}PMMFMB=−=由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为22(2)2xyy+

−−=①将①式移项后两边平方，得222(2)(2)xyy+−=+化简得218yx=因为曲线在x轴的上方，所以0y．虽然原点的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是218y

x=（0x）它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点．学生总结归纳能力及合作交流精神。例题巩固。-5-五．练习1．教科书P37练习32．设A、B两点的坐标是(1，0)、(-1,0),若1−=

MBMAkk，求动点M的轨迹方程新疆学案王新敞解：设M的坐标为),(yx，M属于集合P=｛Ｍ｜1−=MBMAkk｝.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为)1(111−=+−xxyxy，整理后得122=+yx(x≠±1)新疆学案王新敞下面证明122=+yx(x≠±1)是点M的轨迹方程新疆学

案王新敞(1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程122=+yx(x≠±1)的解；(2)设点1M的坐标),(11yx是方程122=+yx(x≠±1)的解，即)1(1),1(11212112121−==+xxyxyx，

1111111−=+−xyxy∴111−=BMAMkk由上述证明可知，方程122=+yx(x≠±1)是点M的轨迹方程新疆学案王新敞说明：所求的方程122=+yx后面应加上条件ｘ≠±１RMQxOy六．小

结1.求简单的曲线方程的一般步骤2.求动点的轨迹方程中的注意点：（1）.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。（2）.注意平面几何知识的运用。（3）.注意要求是求轨迹方程还是轨迹3.求点的轨迹的常用方法-6-1.直接法;2.定义法（和几何法联系）3.相关点法;4.参数法五

、作业教科书习题2.1A组3、4、5B组1、2练习与测试：1.由动点P向圆122=+yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，=60APB，动点P轨迹方程是2．已知A﹑B﹑D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），|AD|=2，AE=12(

AB+AD).则E点的轨迹方程是；3．已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足10,.2HPPMPMMQ==当点P在y轴上移动时，则点M的轨迹方程为4．求点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0

的距离小1的点的轨迹方程新疆学案王新敞5．过点P(2,4)作互相垂直的直线1l,2l，若1l交x轴于A，2l交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程6．已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹

是什么曲线新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆练习与测试解答：1.422=+yx由圆的几何性质知P

、A、O组成一个以=30APO，=90OAP，且1=OA的直角三角形，故1=OP，∴点P轨迹方程为422=+yx2．x2+y2=1解：设E(x，y)，AC=AB+AD，则四边形ABCD为平行四边

形，而AE=12(AB+AD)，∴E为AC的中点，∴OE为ΔABD的中位线，∴|OE|=12|AD|=1，∴E点的轨迹方程是x2+y2=1-7-3．28.yx=（0x）解：设点M的坐标为),0,3()

,23,0(,21),,(xyPMQPMyx得则=由230,(6,)(,)0,8.22yyHPPMxyx=−==得所以由点Q在x轴的正半轴上，得0x.故，所求点的轨迹方程为：28.yx=（0x）4．解：设P),(yx为所求轨迹上任意一点，∵点

P到F的距离比它到直线x+5=0的距离小1.故点P到F（4，0）的距离与点P到直线x+4=0的距离｜PD｜相等新疆学案王新敞∴｜PF｜=｜PD｜∴22)4(yx+−=｜x-(-4)｜∴xy162=新疆学案王新敞5．解法一

：设M),(yx为所求轨迹上任一点，∵M为AB中点，∴A（2x,0),B(0,2y),∵1l⊥2l且1l,2l过点P（2，4），∴PA⊥PB∴1−=PBPAkk∵PAk=x224−(x≠1),PBk=224y−∴x224−·224y−=-1即x+2y-5=0(x≠1)新疆学

案王新敞当x=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程x+2y-5=0.∴所求点M的轨迹方程为x+2y-5=0新疆学案王新敞解法二：连结PM.设M),(yx,则A（2x,

0),B(0,2y)∵1l⊥2l,∴△PAB为直角三角形∴｜PM｜=21｜AB｜即22224421)4()2(yxyx+=−+−PBMAxOy-8-化简：x+2y-5=0∴所求点M的轨迹方程为x+2y-5=0新疆学案王新敞6．解新疆王新敞特级教师源头学子小屋http://www.xjktyg.c

om/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源头学子小屋特级教师王新敞新疆以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|AB|=2a,则A(－a,0）,

B(a,0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆设M(x,y）是轨迹上任意一点新疆源头

学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆则

由题设，得||||MBMA=λ,坐标代入，得2222)()(yaxyax+−++=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)新疆源头学子小屋特级教师

王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+221)1(2−

+ax+a2=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王

新敞特级教师源头学子小屋新疆点M的轨迹是以(－221)1(−+a，0）为圆心，|1|22−a为半径的圆