【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：2.1.2求曲线的方程3 含解析【高考】.doc，共(14)页，257.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.1.2曲线与方程●三维目标1.知识与技能(1)理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；(3)学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；(4)强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方

程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；(2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；(3)在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思

维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互转化的思想方法．3．情感、态度与价值观(1)通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；(2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．●重点难点重点：“曲线的

方程”与“方程的曲线”的概念．难点：曲线与方程的对应关系．●教学建议“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．从知识上说，曲线与方程的概念对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，

不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念．从能力上说，通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，对培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容．“

曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个实例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题．因此可-2-用举反例的方法来解决困惑，通过反例

揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线与方程的对应关系，从而突破难点．-3-●教学流程复习旧知识，提出新问题：所给曲线与方程有什么关系？⇒引导学生结合图象及

方程得出曲线的方程和方程的曲线的概念.⇒通过引导学生回顾求轨迹的方法，总结出求曲线方程的一般步骤.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由方程研究曲线的方法.⇒回顾求曲

线方程的步骤，完成例3及其变式训练，从而解决直接法求轨迹方程问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简

单的曲线方程．(重点)2．理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系．(难点)【问题导思】1．在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x－y＝0有什么关系？【提示】直线上任一点M(x0，y0)，则x0＝y0，即点M(x0，y0)是方程x－y＝0的解；如果(x0，y0)是x

－y＝0的解，那么以(x0，y0)为坐标的点都在直线上．2．以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2有什么关系？【提示】圆上的任一点M(x0，y0)的坐标是方程(x－a)2

＋(y－b)2＝r2的解；反之，若(x0，y0)是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，则以(x0，y0)为坐标的点在圆上．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1

)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．-4-求曲线方程的步骤对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解例题1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2

之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【思路探究】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)

平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)到两坐标轴

的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的

解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.-5-规律方法1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时

满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．变式训

练判断下列命题是否正确，并说明原因．(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝x；(2)已知A、B两点的坐标分别为(－1,0)和(1,0)，则满足∠ACB＝90°的动点C的轨迹方程为x2＋y2＝1.【解】(1)不正确．因为到两坐标轴距离相等的点的

轨迹是两条直线，即l1：y＝x和l2：y＝－x.直线l1上的点的坐标都是方程y＝x的解，而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程y＝x的解．这显然与曲线和方程关系中的条件(1)，即“曲线上点的坐标都是方程的解”不相符．(2)不正确．根据题意可知，

动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A，B两点)，因此，尽管动点C的坐标都满足方程x2＋y2＝1，但以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上．由方程研究曲线例题2下列方程分别表示什么曲线：(1)(x

＋y－1)x－1＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.【思路探究】(1)方程(x＋y－1)x－1＝0中“x＋y－1”与“x－1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)我们在研究形如Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0的方程时常采用什么方法？【自主解答

】(1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得{x－1≥0，x＋y－1＝0或{x－1≥0，x－1＝0，-6-即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.∵2(x－1

)2≥0，(y＋1)2≥0，∴{2x－12＝0，y＋12＝0，解得{x＝1，y＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．规律方法1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟

悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．变式训练下列方程分别表示什么曲线，为什么？(1)x2＋xy－x－y＝0；(2)(x－2)

2＋y2－4＝0.【解】(1)原方程化为(x＋y)(x－1)＝0，∴x＋y＝0或x＝1.因此，原方程表示x＋y＝0和x＝1两条直线．(2)由(x－2)2＋y2－4＝0，得{x－2＝0，y2－4＝0，∴{x＝2

，y＝2，或{x＝2，y＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．求曲线方程例题3设△ABC的周长为18，|AB|＝8，求顶点C的轨迹方程．【思路探究】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系

？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，设C(x，y)．-7-曲线的几何特征是|AC|＋|BC|＝18－|AB|＝10.用两点间

的距离公式，列出方程x＋42＋y－02＋x－42＋y－02＝10.化简上式，得9x2＋25y2＝225.由于点C不能在x轴上，所以y≠0.故所求顶点C的方程为9x2＋25y2＝225(y≠0)．规律方法1．求曲线方

程的一般步骤为：(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根

据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．变式训练已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是

2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－22－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.显然(0,0)是这个方程的解，但不属于

已知曲线．∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．忽略题设条件对变量的限制致误-8-典例直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【错解】

设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得(x－52)2＋y2＝254.【错因分析】错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．【防范措施】由曲线求方程时，要

注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．【正解】设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|

2，∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，整理得(x－52)2＋y2＝254.∵点M应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组x－522＋y2＝254，x2＋y2＝16得两曲线交点的横坐标为x＝165，故所求轨迹方程为(x－52)2＋y2＝254(0≤x＜165)．课堂小结1．曲

线与方程的定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集为{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质．2．求曲线方程的一般步骤为：(1)

建系设点，(2)写集合(找条件)，(3)列方程，(4)化简，(5)证明(查缺补漏)．3．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形

，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等.当堂双基1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，则点M(4，－1)()A．不在圆C上，但在直线l上B．在圆C上，但不在直线l上C．既在圆C上，也在直

线l上D．既不在圆C上，也不在直线l上-9-【解析】把M(4，－1)代入圆、直线方程时，均使方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上．【答案】C2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是()A．圆B．两条直线C．一个点D．两个点

【解析】由(x－2)2＋(y＋2)2＝0得x＝2，y＝－2，故方程表示点(2，－2)．【答案】C3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为________．【解析】由题意P的轨迹是以(1，－2)为圆心，以3的长为半径的圆

，其方程应为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝94．观察下表中的方程与曲线，判断它们有怎样的关系：序号方程曲线①y＝x②x＝y③x2＋y2＝1【解】①已知曲线只是方程所表示曲线的一部分；②方程所表示的曲线是已知曲线的一部分；③方程与

曲线相对应.课后检测一、选择题1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是()-10-A．(4,0)和(－1,0)B．(4,0)和(－2,0)C．(4,0)和(1,0)D．(4,0)和(2,0)【解析】在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0

，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】A2．(2013·蒙阴高二期末)方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是()A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点【解析】由(x2－4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)(y－2)

＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．【答案】B3．(2013·吉林高二检测)方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()【解析】∵x＋|y－1|＝0，∴x≤0，应选B.【答案】B4．到A(2，－3)和B(4，－1

)的距离相等的点的轨迹方程是()A．x－y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0【解析】与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即：k＝－1kAB＝－1且过AB的中点(3，－2)，∴轨迹方程为y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.【答案】C5．如图所示，图形

与方程对应正确的是()-11-【解析】A项不正确，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x2＋y2＝1的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)适合方程x2＋y2＝1，但不在所给的曲线上；

B项不正确，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给的曲线上；C项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lgx＋lgy＝1的解；D项正确．【答案】D二、填空题6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的___

_____条件．【解析】“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分7．方程x－3·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________．【解析】由方程得x＋y＋1＝0x－3≥

0或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.【答案】一条射线和一条直线8．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解

析】设动点P(x，y)，依题意|PA|＝2|PB|，∴x＋22＋y2＝2x－12＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，-12-因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π三、解答题9．(2013·福州高二检测)已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1

，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(m2，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．【解】(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋

(y－1)2＝10表示的曲线上，而点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)若点M(m2，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲线上，则(m2)2＋(－m－1)2＝10，解之得m＝2或m＝－185.10．

在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP→·MN→＝4，求动点P的轨迹方程．【解】由已知得M(0，y)，N(x，－y)，∴MN→＝(x，－2y)，∴OP→·

MN→＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.11．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【解】法一设点

M的坐标为(x，y)，∵M为线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，-13-∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，而kPA＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，kPB＝4－2y2－0＝2－y1，∴21－x·2－y1＝－

1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.法二设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别

是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.而|PM|＝x－22＋y－42，|AB|＝2x2＋2y2，∴2x－22＋y－42＝4x2＋4y2，化简，得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.备选例题当k为何值

时，曲线xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直线x－y－k＝0的交点在第一象限？【自主解答】由xy＋y＋k－5x＋2＝0，x－y－k＝0得x2－4x＋2－k＝0.若曲线的交点落在第一象限，则应满足Δ＝42－42－k≥0，x＝2±k＋2＞0，y＝2±k＋2－k＞0，解得－2≤k＜5－172.

∴当－2≤k＜5－172时，两曲线的交点在第一象限．备选变式已知曲线C：y＝－x2＋mx－1，点A(3,0)，B(0,3)，求曲线C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围．-14-【解】线段AB所在的直线方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)．联立x＋y－3＝0，y＝－x2＋mx－1

，消去y，得x2－(m＋1)x＋4＝0.令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则f(x)＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是Δ＝m＋12－4×1×4＞0，0＜m＋12＜3，f0＝4＞0，f3＝32－3m＋1＋4≥0，解得3＜m≤103.故所求m的取值范围是3＜m

≤103.