【文档说明】山东省乳山市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(22)页，1.687 MB，由小赞的店铺上传

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数学一、选择题(每小题5分，共8小题40分)1.已知向量()()1,1,0,1,0,2,ab==−且kab+与2ab−互相垂直，则k=（）A.75B.1C.35D.15【答案】A【解析】【分析】首先表示出kab

+与2ab−的坐标，再根据kab+与2ab−互相垂直，得到()()20kabab+−=计算可得；【详解】解：因为()1,1,0a=r，()1,0,2b=−r()1,,2kabkk+=−，()23,2,2ab−=−又因为k

ab+与2ab−互相垂直，所以()()20kabab+−=，33240kk−+−=，解得75k=故选：A.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.2.过点()3,1A−且与直线230xy+−=垂直的直线方程是（）A.210xy++=B.210xy+−=C

.270xy−+=D.270xy−−=【答案】D【解析】【分析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.【详解】因为直线230xy+−=可化为1322yx=−+当直线垂直

时的斜率乘积为1,所以2k=因为经过点()3,1A−由点斜式可知直线方程为()123yx+=−化简可得270xy−−=故选:D【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.3.在空间四边形OABC中，G是ABC的重心，若

,,OAaOBbOCc===，则OG等于（）A.111333abc++B.111222abc++C.abc++D.333abc++【答案】A【解析】【分析】由G是ABC的重心，则()1323CCACBGC

M==+,根据向量的加法有23OGOCCGOCCM=+=+，从而可得答案.【详解】由G是ABC的重心，则()1323CCACBGCM==+,()221332OGOCCGOCCMOCCACB=+=+=++()()13OCOAOCOBOC=+−+−123OCOAOCOB=+−+

111311133333OCOAOBabc=++++=故选：A4.圆221:20Cxyay+−=和圆222:(1)4Cxy−+=相交，则实数a的取值范围是（）A.33,44−B.3,4−−

C.(,1)(1,)−−+D.33,,44−−+【答案】D【解析】【分析】首先求出两圆的公共弦方程，则圆心2C到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为圆221:20Cx

yay+−=①和圆222:(1)4Cxy−+=②相交，所以①减②得2230xay−+=，即两圆的公共弦方程为2230xay−+=，则圆222:(1)4Cxy−+=的圆心()21,0C到公共弦的距离小于半径2，()225222

da=+−，解得34a或34a−，故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系求参数的取值范围，解答的关键是利用两圆方程作差求出公共弦方程，利用点到直线的距离小于半径即可求出参数的取值范围；5.若直线1(1)10l

axy−+−=：和直线2:620lxay++=平行，则a=（）A.-2B.-2或3C.3D.不存在【答案】C【解析】∵直线()1110laxy−+−=：和直线2:620lxay++=平行，∴()160

aa−−=，解得：23a=−或经检验：2a=−两直线重合，3a=两直线平行，故选C6.双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为3，则其渐近线方程为（）A.2yx=B.3yx=C.22y

x=D.32yx=【答案】A【解析】【分析】根据双曲线离心率的定义可得3ca=，结合222cab=+，可求得2ba=，则根据渐近线的定义可求出渐近线方程.【详解】双曲线22221(0,0)xyabab−=

的离心率为3，3ca=，则22223caab==+，解得2ba=，2ba=，所以双曲线的渐近线方程为2byxxa==.故选：A.7.已知两点(1,0),(0,1)AB−，点P是椭圆221169xy+=上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值

为（）A.42B.32C.6D.62【答案】B【解析】【分析】先求出直线AB的方程，然后结合图形，将点到直线的的最大距离转化为求与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的最大距离，再利用两平行线间的距离求出即可【详解】由两点A（-1，0），B（0，1），则直线A

B的方程为y=x+1，由图可知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．联立方程得221169yxmxy++＝＝，整理得25x2+32mx+16m2-144=0由于直线y=x+m和椭圆相切

，则△=（32m）2-4×25×（16m2-144）=0，解得m=-5或m=5（舍去）由于y=x+1与直线y=x-5的距离为()()22153211d−−==+−则点P到直线AB距离的最大值为32，故选B.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置

关系有关的最值问题，涉及了根据两点求直线方程，两平行直线间的距离公式；椭圆中求最值的方法有两类:函数法和数形结合法，本题采用数形结合法，关键是理解与直线AB平行且与椭圆相切的直线所经过的切点到直线AB的距

离.最大或最小.8.已知F是椭圆C：22221(0)xyabab+=的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆22239cbxy−+=相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距)，且2PQQF=，则椭圆C的离心率为（）A.53B.52C.13D.12【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点

为F1，确定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a﹣b，即可求得椭圆的离心率．【详解】设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵22239cbxy−+=∴圆心坐标为(,0)3c，半径为r=3b∴|

F1F|=3|FC|∵2PQQF=∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆22239cbxy−+=（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴32ab=

∴2252cabb=−=∴53cca==故选A．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，结合

222bca=−转化为,ac的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).二、多选题(每小题5分，共4小题20分)9.已知两圆方程为2216xy+=

与222(4)(3)(0)xyrr−++=，则下列说法正确的是（）A.若两圆外切，则1r=B.若两圆公共弦所在的直线方程为86370xy−−=，则2r=C.若两圆在交点处的切线互相垂直，则3r=D.若两圆有三条公切线，则2r=【答案

】ABC【解析】【分析】根据两圆外切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0,0)，(4,3)−，半径分别为4

,r，所以圆心距为5，若两圆外切，则45r+=，1r=，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为286410xyr−−+=，所以24137r−+=−，解得2r=，故B正确

；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距，两圆半径必构成一个直角三角形，故22254r=+，解得3r=，故C正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：两圆的位置关系可通过圆心距与

半径之间的关系确定，两圆的公共弦所在直线的方程可利用两圆方程作差求解，当两圆的交点处的切线垂直时，一个圆的切线必过另一个圆的圆心.10.给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量//abrr，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底

C.A，B，M，N是空间四点若,,BABMBN不能构成空间的一个基底那么A，B，M，N共面D.已知向量组,,abc是空间的一个基底，若mac=+，则,,abm也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】

选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B中，因为//abrr，根据空间基底的概念，可得B不正确；选项C中，由,,BABMBN不能构成空间的一个基底，可得,,BABMBN共面

，又由,,BABMBN过相同点B，可得,,,ABMN四点共面，所以C正确；选项D中：由,,abc是空间的一个基底，则基向量,ab与向量mac=+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空

间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（）A.设,AB为两个定点，k为非零常数，||||PAPBk−=‖‖，则动点P的轨迹为双曲线B

.过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆C.方程22520xx−+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D.双曲线221259xy−=与椭圆22135xy+=有相同的焦点【答案】CD【解析】【

分析】选项A根据双曲线的定义可判断，选项B,P是AB的中点，根据垂径定理,CPAB⊥,可得P在以CA为直径的圆上运动，选项C方程225+2=0xx−的两根分别为12和2；选项D直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断.【详解】A不正确；若动点P的

轨迹为双曲线，则k要小于,AB两个定点间的距离，当点P在AB的延长线上时，kAB=，显然这种曲线是射线，而非双曲线；B不正确；P是AB的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，圆心为C，那么有CPAB⊥即CPB恒为直角，由于CA是圆的半径，是定长，而CPB恒为直角，也就

是说，P在以CA为直径的圆上运动，所以P点的轨迹是一个圆.C正确；方程225+2=0xx−的两根分别为12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率，D正确，双曲线221259xy−=与椭圆22135xy+=焦点坐标都是()34,0，故选:CD12.在长方体ABCDABCD

−中，2AB=，3AD=，1AA=，以D为原点，以,,DADCDD分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A.(3,2,1)BD=−−B.异面直线AD与BD所成角的余弦值为23535C.平面ACD的一个法向量为

(2,3,6)−−D.二面角CADD−−的余弦值为37【答案】ACD【解析】【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案.【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0ABC,()()

()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1DACB选项A:所以(3,2,1)BD=−−，则A正确.选项B:()3,0,1DA=,(3,2,1)BD=−−,所以,8cos,1014DABDDABDDABD

−==35435−=所以异面直线AD与BD所成角的余弦值为43535，则B不正确.选项C：设平面ACD的一个法向量为(),,nxyz=由()3,0,1DA=,()0,2,1DC=，则00nDAnDC==所以

3020xzyz+=+=，取6z=，得()2,3,6n=−−，则C正确.选项D：由上可得平面ACD的一个法向量为(2,3,6)n=−−又平面ADD的法向量为()0,1,0m=ur则3cos,17nmnmnm−==所以二面角CADD−−

的余弦值为37，则D正确.故选：ACD三、填空题(每小题5分，共4小题20分)13.平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA=11120AADAAB==，则对角线1BD的长度为___.【答案】2【解析】【分析】利用11BDADAA

AB=+−，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得1BD.【详解】对11BDADAAAB=+−两边平方并化简得21BD2221ADAAAB=++11222ADAAADABAAAB+−−211212cos12

00212cos1204=+++−−=,故12BD=.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.14.一束光线从点()1,1A−出发，经x轴反射到圆()()22:231Cxy−+−=上的最短

路径的长度是______．【答案】4【解析】【分析】求出点A关于x轴的对称点A，则最短路径的长为ACr−（圆的半径），计算求得结果.【详解】由题意可得圆心()2,3C，半径1r=，点()1,1A−关于x轴的对称点()1,1A−−，如图：所以()()2221315AC

=+++=，最短路径的长514ACr−=−=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．15.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，2bBFa=，AFca=−，即可根据

斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221xcxyababc=−==+，解得2xcbya==，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AFca=−，即()2223bcaacaaca−==−−，变形得

3caa+=，2ca=,因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．16.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为32，

四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A、B两点，且线段AB的中点为()2,1M−，则直线l的方程为__________．【答案】240xy−+=【解析】【分析】根据离心率及四边形面积公式，结合椭圆中a、b、c的关系，即可

求得椭圆的标准方程；然后利用点差法即可求得直线斜率，再由点斜率求得直线方程即可．【详解】椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12四个顶点构成的面积为212ab=所以22232212ce

aababc====+，解方程组得233ab==所以椭圆的标准方程为221123xy+=因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），所以设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4，y1+y2=2，将A、B坐

标代入椭圆方程得2211222211231123xyxy+=+=，两式相减得12121121231122yyxxkxxyy−+==−=−+则直线l的方程为()1212yx=++，即240xy−+=【点睛】本题考查了椭圆

标准方程的求法，点差法在涉及中点问题中的应用，属于中档题．四、解答题(第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分)17.三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（

2）BC边上高线AD所在直线的方程．【答案】（1）x+2y-4=0（2）2x-y+6=0【解析】【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．【详解】（1）B

C边所在直线的方程为：131y−−=222x−−−，即x+2y-4=0；（2）∵BC的斜率K1=-12，∴BC边上的高AD的斜率K=2，∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），即2x-y+6=0．【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基

础题．18.已知圆心为C的圆经过点()1,1A和()2,2B−，且圆心C在直线:50lxy++=上．（1）求圆C的方程；（2）若过点()1,1D−−的直线m被圆C截得的弦长为221，求直线m的方程．【答案】（1）()()223225xy+++=；（2）

直线m的方程为1x=−或3470xy++=．【解析】【分析】（1）由圆的性质可得：AB的垂直平分线方程与直线:50lxy++=联立方程组求得圆心为()3,2−−，用两点之间距离公式求得()()2231215rCA==−−+−−=，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦

长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距()22212dr=−=，再利用圆心到直线的距离为2求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.【详解】（1）因为()1,1A，()2,2B−，所以线段AB的中点坐标为31,22

−，直线AB的斜率21321ABk−−==−−，因此线段AB的垂直平分线方程是：113232yx+=−，即330xy−−=．圆心C的坐标是方程组33050xyxy−−=++=的解．解此方程组得：32xy=−=−，所以圆心C的坐标是()3,2−−．圆C的半径

长()()2231215rCA==−−+−−=，所以圆心为C的圆的标准方程是()()223225xy+++=．（2）因为()()22131225−++−+，所以()1,1D−−在圆内.又因为直线m被圆C截得的弦长为221，所以圆心C到直线m的距离()22212dr=−=①当直线m的斜率不存在时，

:1mx=−，()3,2−−到1x=−的距离为3(1)2−−−=，符合题意．②当直线m的斜率存在时，设():11mykx+=+，即10kxyk−+−=．所以232121kkk−++−=+，21221kk−=+22(12)4(1)kk−=+，解得34k=−，直线m为：31(1)4yx+=

-+，即：3470xy++=综上：直线m的方程为1x=−或3470xy++=．【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19.如图，直三

棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等腰直角三角形，1,2,3,ABACABACAAM⊥===是侧棱1CC上一点.（1）若1BMAC⊥，求1CMMC的值；（2）若2MC=，求直线1BA与平面ABM所成角的正弦值.【答案】（

1）154CMMC=（2）32626【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合几何关系可得154CMMC=；(2)结合(1)中的空间直角坐标系和题意可得直线1BA与平面ABM所成角的正弦值为32626.试题解析：（1）以A为坐标

原点，以射线AB、AC、1AA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B,()10,0,3A，()0,2,0C，设MCh=，则()0,2,Mh()2,2,BMh=−，()10,2,3AC=−由1BMAC⊥得10BMAC=，即2230h−=解得43h

=，故154CMMC=；(2)因为2MC=，所以()0,2,2M，()()()12,0,0,0,2,2,2,0,3ABAMBA===−设平面ABM的一个法向量为(),,nxyz=，由00nABnAM==得00xyz=

+=，所以()0,1,1n=−，则1113326cos,26213nBAnBAnBA−−===，设直线1BA与平面ABM所成的角为,所以1326sincos,26nBA==，所以直线1BA与平面ABM所成的角正弦

值为32626.20.已知椭圆()2222:10xyEabab+=，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，且2ba=，其离心率为22，过点()0,1M的动直线l与椭圆相交于A，B两点.(1)求椭圆E的标

准方程；(2)当453AB=时，求直线l的方程【答案】（1）22142xy+=；（2）1yx=+或112yx=+.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到2222,2,2,bacaabc===+，再解方程组

即可得到答案.（2）首先设出直线方程1ykx+，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程424510kk−+=，再解方程即可得到答案.【详解】（1）由题意知2222,2,2,bacaabc===+解得24a=，22b=.所以椭圆的

标准方程为22142xy+=.（2）当直线l的斜率不存在时，22AB=，不符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx+，联立221421xyykx+==+，得()2221420kxkx++−=，其判别式()()222(4)8218410kkk=++=+.设点A，B

坐标分别为()11,xy，()22,xy，则222421kxxk+=−+，122221xxk=−+.所以()222212122224145141213kABkxxxxkk+=++−=+=+，整理得424510kk−+=，解得21k=或214k=，所以1k

=或12k=.综上，直线l的方程为1yx=+或112yx=+.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的

计算能力，属于中档题.21.在直三棱柱中，13,2,AAABBCACD====是AC中点.（Ⅰ）求证：1BC//平面1ABD；（Ⅱ）求点1B到平面1ABD的距离；（Ⅲ）求二面角11ADBB−−的余弦值.【答案】(1)见解析（2）31010（3）31010【解析】【分析

】试题分析：（1）由线面平行的判定定理，证明；（2）利用空间直角坐标系解决；（3）利用空间直角坐标系解决．试题解析：（1）连结1AB交1AB于E，连结DE.1111////DEBCBCABDDEABD平面平面(2)如图建立坐标系，则()10,22,3B,()0,22,0B

,()11,0,3A−()10,22,3DB=,()0,22,0DB=()11,0,3DA=−设平面1ABD的法向量为(),.nxyz=，22030yxz=−+=所以()3,0,1n=.131010nDBdn==（3）平面1DBB的法向量为()1,0,0DC=.所以31

0cos,10DCn=所以二面角的余弦值为31010【详解】22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(0,1)M−，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点(2,1)N且与椭圆C相交于A，B两点（异于点M），记直线MA的斜率为1k，直线MB

的斜率为2k，证明：12kk+为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据经过点M（0，﹣1），长轴长是短轴长的2倍，可得b＝1，a＝2，得出椭圆方程；（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简．

【详解】（1）∵椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点()0,1M−，∴1b=.又∵24ab=，∴2a=.椭圆C的标准方程为：2214xy+=.（2）若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为2x=，此时直线与

椭圆相切，不符合题意.设直线AB的方程为()12ykx−=−，即21ykxk=−+.联立222114ykxkxy=−++=，得()()222148211616kxkkxkk+−−+−0=.设()11,Axy，()22,Bxy，则12121211yykkxx+++=−()()2112

122222xkxkxkxkxx−++−+=()()121212222kxxkxxxx−−+=()()1212222kxxkxx−+=−()()()228212161kkkkkk−−=−−()2211kk=−−=.

∴12kk+为定值，且定值为1.【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．