【文档说明】上海市南洋模范中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.219 MB，由小赞的店铺上传

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上海市南洋模范中学2021-2022学年高二下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.抛物线22yx=的焦点坐标是______.【答案】10,8【解析】【分析】将抛物线的方程化

为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212xy=，焦点坐标为0,2p，且14p=，所以焦点坐标10,8，故答案为：10,8.2.直线sin10xy−+=的倾斜角的取值范围是_______.【答案】30,,44

【解析】【分析】根据直线斜率1,1k−，可知tan1,1−，结合)0,可求得结果.【详解】由sin10xy−+=知：直线斜率sin1,1k=−，设直线倾斜角为，则tan1,1−，又)0,，30,,44

.故答案为：30,,44.3.圆225xy+=的过点(1,2)M的切线方程为_____________.【答案】250xy+−=【解析】【分析】因为点M在圆上，

所以过M点的切线和O(圆心)M垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.为【详解】根据题意，圆225xy+=的圆心为(0,0)O，半径5r=，点(1,2)M在圆上,则2OMk=,则切线的斜率12k=−,则切线的方程为()1212yx−=−−,变形可得250yx+−=;故答案为:2

50xy+−=4.若双曲线22221xyab−=(0a，0b)的渐近线方程为32yx=，则双曲线的离心率e=______．【答案】132【解析】【分析】由题知32ba=，再根据离心率公式求解即可.【详解】解：双曲线22221xyab−=(0a，0b)的渐近线方程为32byx

xa==，所以，双曲线的焦点在x轴上，且32ba=所以，双曲线的离心率229131142bea=+=+=．故答案为：1325.已知点2()1,M−，则点M关于直线:250lxy+−=的对称点Q的坐标是__．【答案

】(3,4)【解析】【分析】设出点M关于直线:250lxy+−=的对称点Q的坐标，根据对称的几何性质列出方程组，即可求得答案.【详解】设点2()1,M−关于直线250xy+−=的对称点Q的坐标为(,)ab，则()12250222112a

bba−+++−=−=−−，解得3a=，4b=，故点M关于直线:250lxy+−=的对称点Q的坐标是(3,4)，故答案为：(3,4)6.已知直线1:40lxy+=，2:0lmxy+=，3:234lxmy−=，若它们不能围成三角形，则m的取值所构成的集合为______

【答案】14,6−【解析】【详解】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算m的取值即可.【点睛】当1l与2l平行或重合时，4m=，当1l与3l平行或重合时，()432m−=，得16m=−，当2l与3l平行或重合时，()32mm−=，此时无解；当三条线经过同一点时，联

立2340xmymxy−=+=得2244,2323mmm−++，将2244,2323mmm−++代入40xy+=得2244402323mmm−=++，解得4m=故m的取值所构成的集合为14,6

−故答案为：14,6−7.方程22(cos)1,(0,π)xy+=表示的曲线可能为__.（填序号）①两条直线；②圆；③椭圆；④双曲线【答案】①③④【解析】【分析】根据(0,π)，讨论cos取不同范围内的值时，方程表示的曲线类型，即可得答案.【详解】

因为(0,π)，所以cos(1,1)−，当cos(0,1)时，22(cos)1xy+=即2211,11coscosyx+=，方程表示椭圆；当cos(1,0)−时，22(cos)1xy+=即2211,01coscosyx+=，方程表示双

曲线；当cos0=时，21,1xx==，方程表示两条直线，由于(0,π),cos1，故22(cos)1xy+=不可能表示圆，故答案为：①③④．8.已知P是椭圆2214xy+=上的一点，1F、2

F是椭圆的两个焦点，且1260FPF=，则12FPF△的面积是______.【答案】33【解析】【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出12PFPF的值，再利用三角形的面积公式可求得12FPF△的面积.【详解】在椭圆2214xy+=中，2a=，1b=，3c=，由椭圆的定义可得1224PF

PFa+==，1223FF=，在12FPF△中，1260FPF=，由余弦定理可得()22221212121212122cos603FFPFPFPFPFPFPFPFPF==+−=+−12163PFPF=−，解得1243P

FPF=，因此，121213sin6023PFFSPFPF==△.故答案为：33.【点睛】结论点睛：已知1F、2F是短轴长为2b的椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12FPF=，则12FPF△的面积为122tan2FPFSb=.9.

带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则共有__种不同放法．【答案】240【解析】【分析】先选出2个球，分成4组，再放进4个盒子即可.【详解】五个不同的球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有2454CA240=种不同的放法．故答案为：240.10.若A、

B是抛物线24yx=上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点()4,0P，则弦AB中点的横坐标为___________.【答案】2【解析】【分析】设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将()4,0P代入计

算作答.【详解】设点A、B的坐标分别是11(,)xy、()()2212,xyxx，则2114yx=，2224yx=，两式相减得()()()1212124yyyyxx+−=−，因12xx，即有120yy+，设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是(,)MM

Mxy，则12121242Myykxxyyy−===−+，从而AB的垂直平分线l的方程为()2MMMyyyxx−=−−，又点()4,0P在直线l上，所以()42MMMyyx−=−−，而0My，解得2Mx=，弦AB中点的横坐标

为2.故答案为：211.3个男生和3个女生排成一排，要求男生互不相邻，女生不全相邻，则不同的排列方法有___________种.【答案】144【解析】【分析】考虑三男三女均不相邻，与3男不相邻且3女中有2女相邻两种情况，进而根据排列组合方法求得答案.【详解】若3男3女均不相

邻，则先排男生，出现4个空位，进而将女生排入前3个或后3个空位，有()3333A2A72=种情况；若3男不相邻，3女中有2女相邻，出现4个空位，进而将女生排入中间2个空位，有()31223322ACAA72=种情况.所以，一共有1

44种情况.故答案为：144.12.若实数x，y满足||||149xxyy+=，且|32|xyt+−的最大值为32，则实数t的值是______.【答案】32【解析】【分析】根据象限取绝对值符号，根据|32|xyt+−的几何意义

，然后数形结合可得.【详解】当0,0xy时，曲线为椭圆22149xy+=在第一象限的图象，当0,0xy时，曲线为双曲线22149xy−=在第四象限的图象，当0,0xy时，曲线为双曲线22194yx−=在第二象限的图象，当0,0xy时，原方程无实数

解.因为直线320xy+=是双曲线22149xy−=和22194yx−=的渐近线，令320xyt+−=，则3213xyt+−表示曲线上的点到直线320xyt+−=的距离，因为|32|xyt+−的最大值为32，所以3213xyt+−的最大值为32613由图知，曲线上到直线320xy+

=距离最大的点在椭圆22149xy+=上，设椭圆上动点坐标为(2cos,3sin),(0,)2，由点到直线的距离公式得2262sin()6cos6sin6264131332++=+因为6263261313，所以3213x

yt+−要想有最大值32613，直线320xy+=需向上平移，使得平移后的直线与直线320xy+=的距离为626326326131313−=，即直线320xy+=与直线320xyt+−=的距离为32613，所以32

61313t=，解得32t=，故答案为：32二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（）A.10B.15C.30D.60【答案】A【解析

】【分析】利用组合知识进行计算即可.【详解】圆上有5个点，过每3个点画一个圆内接三角形，属于组合问题，故一共可以画的三角形个数为3510C=.故选：A14.命题p：直角坐标系中动点(),Pxy到定点()1

,0F的距离比到y轴的距离大1；命题q：动点(),Pxy的坐标满足方程24yx=，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出平面内到定点()1,0F的距离比到y轴的距离大1的动点P的

轨迹方程，结合充分、必要条件的定义判定得答案．【详解】解：p：动点(),Pxy到定点()1,0F的距离比到y轴的距离大1.当命题p成立时，()2211xyx−+=+,当0x时，()2211xyx−+=−+,两边平方并整理得0y=当0x时，()2211xyx−+=+,

两边平方并整理得24yx=则动点P的轨迹为24yx=或0(0)yx=；q：动点(),Pxy满足方程24yx=，可知p不能推出q，q能够推出p，则p是q的必要不充分条件．故选：B．15.已知(),2kk+RZ，设直线:tanlyxm=+，其中0m，给出下列结论：

①直线l的方向向量与向量(cos,sin)a=共线；②若04，则直线l与直线yx=的夹角为4−；③直线l与直线sincos0()xynnm−+=一定平行；上述结论是真命题的个数是（）A.1个B.

2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合.【详解】对于①，直线l的方向向量是(1,tan)，它与向量(c

os,sin)a=共线，是真命题；对于②，当04时，直线l的斜率是tan，倾斜角是，直线yx=的斜率是1，倾斜角是4，两直线的夹角为4−，是真命题；对于③，直线l的斜率是tank=，在y轴上的截距是m，.直线sincos0xyn−+=的斜率是t

ank=，且在y轴上的截距是cosn，当cos=nm时，两直线重合，不平行，是假命题.综上，真命题的序号是①②.故选：B．16.一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆

柱底面圆半径为r，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为02，则下列对椭圆E的描述中，错误的是（）A.短轴为2r，且与大小无关B.离心率为cos，且与r大小无关C.焦距为2tanrD.面积为2cosr【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的性质，结合题中的数

据对，对每个选项逐一分析即可.【详解】由题意得椭圆短轴长22br=，而长轴长随变大为变长且22cosra=，所以22tancabr=−=，故sincea==，焦距为22tancr=，由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos等于圆的

面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为2cosrS=，综上，ACD正确，B错误，故选:B．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知直线1:210lxy−−=和2:20lxy−+=的交点为P，求：（1）以点P为圆心，且与直线3

410xy++=相交所得弦长为12的圆的方程；（2）直线l过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92，求直线l的方程．【答案】（1）22(3)(5)72xy−+−=（2）30xy+−=或460xy+−=【解析】【分析】(1)求出两

直线交点P的坐标，根据弦长求出所求圆的半径，即可得答案；（2）设出所求直线的方程，求出与坐标轴的交点坐标，根据三角形面积列出方程，解方程，即可求得答案.小问1详解】直线1:210lxy−−=和2:20lxy−+=的交点为P，由21020xyxy−−=−+=

，得35xy==，即(3,5)P，点(3,5)P到直线3410xy++=的距离22|33451|306534++===+d，设所求圆半径为r，由垂径定理得弦长222223612lrdr=−=−=，解得272r=，所以所求圆的方程为22(3)(5)72xy−+−=；【小问2详解】设

过点(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为92的直线l的斜率为k，则0k，所以l的方程为2(1)ykx−=−，即20kxyk−−+=，它与两个坐标轴的交点分别为(0,2)−k，2(,0)kk−，则129(2)22−−=kkk，解得1k=−或4k=−，当

1k=−时，直线l的方程为30xy+−=，当4k=−时，直线l方程为460xy+−=，综上，直线l的方程为30xy+−=或460xy+−=．18.我们称n（*nN）元有序实数组12(,,,)nxxx为n维向量

，12||||||+++nxxx为该向量的范数，【的的已知n维向量12(,,,)=naxxx，其中{1,0,1}−ix，1,2,,in=，记范数为奇数的n维向量a的个数为nA，这nA个向量的范数之和为nB.（1）求2A和2B的值；（2）当n为正偶数时，求nA的通项公式．【答案】

（1）24A=，24B=（2）312nnA−=【解析】【分析】（1）由定义用列举法求nA、nB即可；（2）按照含0个数为1，3，…，n1−进行讨论，可得11331C2C2C2nnnnnnnA−−−=+++，结合(21)n+、(21)n−的展开

式，即可得nA的通项公式.【小问1详解】范数为奇数的二元有序实数对有(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)−−，它们的范数依次为1，1，1，1，所以24A=，24B=.【小问2详解】当n为偶数时，在向量12(,,,)=naxxx的n个坐标中，要使得范数

为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为1，3，…，n1−进行讨论：a的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或1−，共有1-1C2nn个，每个a的范数为n1−；a的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或

1−，共有3-3C2nn个，每个a的范数为3n−；…a的n个坐标中含n1−个0，其余坐标为1或1−，共有1C2nn−个，每个a的范数为1；所以11331C2C2C2nnnnnnnA−−−=+++，因为0111(21)C2C2C2Cnnnnnnnnn−−+=+++

+①，011(21)C2C2(1)Cnnnnnnnn−−=−++−②，①-②得，1133131C2C2C22nnnnnnnnA−−−−=+++=.19.如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向）

，Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区，已知tan3MON=−，6OA=（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），6105（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处

修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路AB的长；（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，2rat=（百米）（09t，01a）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休

息区B沿（1）中的轨道BA以2（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）92；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【解析】【分析】（1

）建立如图平面直角坐标系，易得()60A，，直线ON的方程为3yx=−，()0,3Qx()00x，由点到直线距离，求出()33Q，，从而直线AQ的方程为()6yx=−−，联产方程组求出B的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆P，由题意得()39P，，生

成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则2BCt=，09t，从而()39Ctt−+−，，若喷泉不会洒到观光车上，则22PCr对09t，恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O为坐标原点，

直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：()6,0A，直线ON的方程为3yx=−，()0,3Qx（00x）.由033610510x+=，解得03x=，所以()3,3Q.故直线AQ的方程为()6yx=−−，由360yx

xy=−+−=得3,9,xy=−=即()3,9B−，故()2236992AB=−−+=，答：水上旅游线AB的长为92km.（2）将喷泉记为圆P，由题意可得()3,9P，生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则2BCt=

，09t，所以()3,9Ctt−+−.若喷泉不会洒到观光车上，则22PCr对0,9t恒成立，即()22226212364PCttttat=−+=−+，当0=t时，上式成立，当(0,9t时，1826att+−，min186626tt+

−=−，当且仅当32t=时取等号，因为()0,1a，所以rPC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车

上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.20.已知12(2,0),(2,0)FF−，点P满足122PFPF−=，记点P的轨迹为.斜率为k的直线l过点2

F，且与轨迹相交于,AB两点.（1）求轨迹的方程；（2）求斜率k的取值范围；（3）在x轴上是否存在定点M，使得无论直线l绕点2F怎样转动，总有MAMB⊥成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）221(0

)3yxx−=；（2）(,3)(3,)−−+；（3）存在，()1,0M−.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；（3）假设存在点M，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据0MAMB=结合韦达定理求解.【详解】（1）因为

12(2,0),(2,0)FF−，点P满足12122PFFPFF−=，所以点P的轨迹为以12(2,0),(2,0)FF−为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，设其方程22221,(0)xyxab−=，则2,1,3cab===，所以轨迹的方程：221,(

0)3yxx−=；（2）斜率为k的直线l过点2F，直线方程为()2ykx=−，代入2213yx−=，()22230443xkxx−+−−=，即()222234430kxkxk−+−−=有两个不等正根12,xx，()()24222122212230164343

00343043kkkkkxxkkxxk−=−−−−+=−−−−=−，由22034kk−−得23k，当23k时，224303kk−−−且()()4221643430kkk=−−−−即不等式组的解：23k

所以()(),33,k−−+；（3）假设存在，设点()()()1122,0,,,,MmAxyBxy，使MAMB⊥，由（2）：斜率为k的直线l过点2F，直线方程为()2ykx=−，代入2213yx−=，()22230443xkxx−+

−−=，即()222234430kxkxk−+−−=有两个不等正根12,xx，()()2422212221223164343034433kkkkkxxkkxxk=−−−−+=−−−−=−，MAMB⊥，所以()

()11220,,,0MAMBxmyxmy=−−=，()()12120xmxmyy−−+=()()()()1212220xmxmkxkx−−+−−=()()()222212121240kxxkmxxmk+−++++=()()22222222443124033kkkkmm

kkk−−+−+−++=−−4242222244738314240kkkkmmkmkk−−−+++−+−=()22245330kmmm−+++−=，对23k恒成立，所以22450330mmm−++=−=，解得

1m=−，即()1,0M−，当直线l斜率不存在时，直线方程2x=，此时()()2,3,2,3AB−，()()3,33,30MAMB=−=，仍然满足MAMB⊥，所以这样的点存在，()1,0M−.【点睛】此题考查求双曲线方程

，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.21.曲线2211xya−=与曲线22149xya+=()0a在第一象限的交点为A.曲线C是2211xya−=(1Axx≤≤)和22149xya+

=(Axx≥)组成的封闭图形.曲线C与x轴的左交点为M､右交点为N.（1）设曲线2211xya−=与曲线22149xya+=()0a具有相同的一个焦点F，求线段AF的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF=，请说明理由.（3）设

过原点O的直线l与以(),0Dt()0t为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T.直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P.Q.当22211+=OTOPOQ对任意直线l恒成立，求t的值.【答案】（1）42075335yxx=−+

≤≤或()375545yxx=+−≤≤；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）先求曲线的焦点，再求点A的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段AF的方程；（2）分点S在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说

明点S的个数；（3）首先设出直线l和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线C相交，分别表示22211+=OTOPOQ，并计算得到2t的值.【详解】（1）两个曲线相同的焦点，149aa+=−，解得：24a=，即双曲线方程是2

2124yx−=，椭圆方程是2214924xy+=，焦点坐标是()()5,0,5,0−,联立两个曲线222212414924yxxy−=+=，得75x=，245y=，即724,55A，当焦点是右焦点时，()5,0F线段AF的方程420

75335yxx=−+≤≤当焦点时左焦点时，()5,0F−724,55A，()5,0F−，线段AF的方程()375545yxx=+−≤≤（2）()7,0N，2NF=假设点S在曲线221124xy−=上()()(

)2222277724125145015SNxyxxxxx=−+=−+−=−+≤≤单调递增∴6SN≥所以点S不可能在曲线221124xy−=上所以点S只可能在曲线2214924xy+=上，根据NFNS=得()22227414924xyxy−+=

+=可以得到16148,2525S当F左焦点，12NF=，同样这样的S使得NFNS=不存在所以这样的点S一共2个（3）设直线方程ykx=，圆方程为()()22201xtyrr−+=直线与圆相切，所以221ktrk=+2222221tOTOTODDTk==−=+22221Py

kxaxyakxa==−−=，()()222221111PakkxkaOP−==++22224949149Qykxaxxyaka==++=，()()2222211491491QakkxkaOQ+==++()()22222211491491akak

kakaOPOQ−++=+++()()222214950491491akakaakk−+=+=++根据22211+=OTOPOQ得到25052497tt==补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a的影响，蕴含着如下关系，∵222505011491491krkk==−++

，2407ak当2212001117649ara+≤，存在T，否则不存在T这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线C有两个交点的大前提，当共焦点时()2420,0,135r存在52

7t=242135r，不存在.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线C由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线C上的点时，需分两种情况研究问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com