【文档说明】湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题含答案.docx，共(12)页，794.514 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b834a5ad092819d6f5186f1aa0f78ada.html

以下为本文档部分文字说明：

湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：必修1~4占20%，必修5、选修2-1、2-2第一

章占80%。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合24Axx=−，2Bxx=，则AB=A.24xx−B.22xx

−C.24xxD.24xx2.已知命题:pxQ，xR，则p是A.xQ，xRB.xQ，xRC.xQ，xRD.xQ，xR3.函数()2xfxxe=−的图象在点()()0,0f处的切线方程为A.10xy

−−=B.10xy−+=C.10xy+−=D.10xy++=4.函数2111362yxx=−−+的定义域为A.3,12−B.31,2−C.)3,1,2−−+D.(3,1,2−−+5.2020年10月1日中秋节和国庆节双节同庆

，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在30,55内，按通行时间分为)30,35，)35,40，)40

,45，)45,50，50,55五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在)30,35的车辆有235台，则通行时间在)45,50的车辆台数是A.450B.325C.470D.5006.函数10xxxee

y−−=的图象大致为A.B.C.D.7.“()2kkZ=”是“sin22sin=”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设函数()fx的定义域为R，()fx是其导函数，若

()()0fxfx+，()01f=，则不等式()xfxe−的解集是A.()0,+B.()1,+C.()0,1D.(),0−二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，

部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知平面向量()2,am=，()1,2b=−，且22abab−=+，则A.2m=B.2m=C.3ab+=D.3ab+=10.已知函数()()()200cos2fxxfxfx=+−+，其导函数为(

)fx，则A.()01f=−B.()01f=C.()01f=D.()01f=−11.已知点()1,1P−是角终边上的一点，则A.函数()()sin2fxx=+的对称轴方程为()382kxkZ=+B.函数()()sin2fxx=+的对称轴方程为()82kxkZ=

+C.函数()5cos34gxx=++是奇函数D.函数()5cos34gxx=++是偶函数12.已知双曲线2222:1xyCab−=（0a，0b）与直线ykx=交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线P

A，PB的斜率分别为PAk，PBk，C的左、右焦点分别为1F，2F.若14PAPBkk=，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是A.2a=B.C的离心率为62C.若12PFPF⊥，则12PFF△的面积为2D.若12PFF

△的面积为25，则12PFF△为钝角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.椭圆22175xy+=的左焦点的坐标为_______.14.若0m，0n，31mnmn+=−，则

mn+的最小值为_______.15.已知函数()322fxxaxax=−−的一个极值点为1，则()fx在2,2−上的最小值为_______.16.有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6.

随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①13a

b+=+，②sin2cA=，③33bc=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC△，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，且sin3sinBA=，6C=？注：如果选择多个条件解答

，按第一个解答计分.18.（12分）设数列na的前n项和为nS，且12nnSa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnban=+，求数列nb的前n项和nT.19.（12分）在四棱锥PABC

D−中，底面ABCD是边长为2的正方形，90ADP=，PDAD=，二面角PADB−−为60，E为PD中点.（1）证明：CEPAD⊥平面.（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知函数()c

osxfxexax=−−.（1）当2a=时，证明：()fx在(),0−上单调递减.（2）若对任意0x，()cosfxxx−恒成立，求实数a的取值范围.21.（12分）已知圆()22:21Mxy+

−=，动圆P与圆M外切，且与直线1y=−相切.（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.（2）若直线:2lykx=+与曲线C交于A，B两点，分别过A，B作曲线C的切线，交于点Q.证明：Q在一定直线上.22.（12分

）已知函数()lnaxfxxx=+.（1）当1a=时，判断()fx的单调性，并求()fx在1,ee上的最值；（2）(00,xe，()02fxa+，求a的取值范围.高二数学试卷参考答案1.C24ABxx=.2.B全称量词命题的否定是存在量词命题.3.D因

为()2xfxxe=−，所以()01f=−.又因为()01f=−，所以所求切线方程为1yx=−−，即10xy++=.4.A由21110362xx−−+，得()()2231230xxxx+−=−+，

所以原函数的定义域为3,12−.5.C因为)30,35，)35,40，)40,45，50,55四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在)45,50的频率是10.10.250.40.050.2−−−−=，

通过的车辆台数是2352470=.6.A令()10xxxeefx−−=，其定义域为R.因为()()10xxxeefxfx−−−−==−，所以10xxxeey−−=是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；当0x时，0xxee−−，故010xxxeey−−=，排除D.7.

B若()2kkZ=，则sin2sin40k==，2sin2sin20k==，sin22sin=成立.若sin22sin=，则2sincos2sin=，得sin0=，或cos1=.当sin0=时，()kkZ=；当cos1=时，

()2kkZ=.故“()2kkZ=”是“sin22sin=”的充分不必要条件.8.D令()()xgxefx=，则()()()xxgxefxefx=+，因为()()0fxfx+，所以()0gx，所以

()gx在R上单调递减.因为()()001gf==，所以()xfxe−等价于()()0gxg，解得0x，所以不等式()xfxe−的解集是(),0−.9.AC因为22abab−=+，所以220abm=−=，则2m=.因为()3,0ab+=，所以22303ab+=+=.10.

BC因为()()()200cos2fxxfxfx=+−+，所以()()020ff=−.因为()()()200sinfxxffx=++，所以()()00ff=.故()()001ff==.11.AD根据题意知角为第

四象限角，且tan1=−，则()24kkZ=−+，所以()sin24fxx=−，令()242xkkZ−=+，解得()382kxkZ=+，所以函数()()sin2fxx=+的对称轴方程为()38

2kxkZ=+.()()5cos3cos3cos34gxxxx=++=+=−为偶函数.故选AD12.AD设点()11,Axy，()11,Bxy−−，()00,Pxy，则2211221xyab−=，且

2200221xyab−=，两式相减得2222010122xxyyab−−=，所以2220122201yybxxa−=−.因为()()()()0101010114PAPByyyykkxxxx−+==−+，所以2214ba=，12b

a=，故双曲线C的渐近线方程12yx=.因为焦点(),0c到渐近线12yx=的距离为1，所以15c=，5c=，所以2a=，1b=，离心率为52，故A正确，B错误.对于C，不妨设P在C的右支上，记2PFt=，则14PFt=+.因为12PFPF⊥，所以()22420t

t++=，解得62t=−或62t=−−（舍去），所以12PFF△的面积为()()12116262122PFPF=−+=，故C不正确.对于D，设()00,Pxy，因为1200125252PFFScyy===△，所以02y=，将02y=代入22:14xCy−=，得2020x=，即

025x=.由对称性，不妨取P的坐标为()25,2，则()22225523PF=−+=，()22125527PF=++=，因为22221212121292049cos022325PFFFPFPFFPFF

F+−+−==，所以21PFF为钝角，所以12PFF△为钝角三角形，故D正确.13.()2,0−因为2752c=−=，所以2c=，所以左焦点的坐标为()2,0−.14.2因为22mnmn+，所以231312mnmn+

−−.因为31mnmn+=−，所以2312mnmn++−，即()()23440mnmn+−+−，所以()()3220mnmn+++−.因为0m，0n，所以2mn+，即mn+的最小值为2，当且仅当

mn=时取等号，此时1mn==.15.20−因为()262fxxaxa=−−，所以()1630fa=−=，得2a=.因为()()()26422131fxxxxx=−−=−+，所以()fx在12,3−−，()1,2上单调递增，在1,13−上单

调递减.因为()220f−=−，()12f=−，所以()fx在2,2−上的最小值为20−.16.59若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，基本事件的总数有6636=种，其中既没有3，也没有6的基本事件共有

4416=种，则所求概率为1651369−=..17.解：选①：∵sin3sinBA=，∴3ba=.………………………………………………………3分∵13ab+=+，∴1a=，3b=.………………………………………………………

…………6分∵2222coscababC=+−，6C=，∴1c=.………………………………………………………………………………………………………9分符合acb+，故存在满足条件的ABC△.……………………………………………………

……10分选②：∵sin2cA=，∴sin2aC=.……………………………………………………………3分∵6C=，∴4a=.………………………………………………………………………………………5分∵sin3sinBA=，∴3ba=，∴43b=.………………………………………………………7分由222

32cos16482443162cababC=+−=+−=得4c=.……………………………9分符合acb+，故存在满足条件的ABC△.…………………………………………………………10分选③：∵33bc=，∴3cb=.……………………………………………………………

…………2分∵sin3sinBA=，∴3ba=.………………………………………………………………………5分∵2222cosabcabC+−=，∴2223923cos6aaaaa+−=，得2253aa−=，不成立.…………………………………………………………………………………

9分故不存在满足条件的ABC△.…………………………………………………………………………10分18.解：（1）当1n=时，1112Sa+=，解得11a=.……………………………………………………1分因为21nn

Sa=−，①所以当2n时，1121nnSa−−=−，②①-②得1122nnnnSSaa−−−=−，……………………………………………………………………2分所以.12nnaa−=.………………………………………………………

………………………………4分故数列na是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12nna−=.………………………6分（2）由题知，()12nnbn=+.………………………………………………………………………7分所以()12322324212nnTn=+++++，③()

2341222324212nnTn+=+++++，④…………………………………………………9分③-④得()()12312222212nnnTn+−=+++++−+()()121221212nnn+−=+−+

−12nn+=−，……………………………………………………………………………………………11分所以12nnTn+=.………………………………………………………………………………………12分19.（1）证明：：四边形ABCD为正方

形，∴ADCD⊥.∵90ADP=，CDDPD=，∴ADPCD⊥平面.∵CEPCD平面，∴ADCE⊥.…………………………………………………………………2分∵二面角PADB−−为60，∴60PD

C=.∵PDAD=，CDAD=，∴PCD为等边三角形.∵E为PD中点，∴CEDP⊥.∵ADDPD=，∴CEPAD⊥平面.……………………………………………………………4分（2）解：过P作POCD⊥，垂足为O，易知O为CD中点

.∵PCDABCD⊥平面平面，PCDABCDCD=平面平面，POPDC平面，∴POABCD⊥平面.设AB中点为Q，则//OQAD，OQPDC⊥平面.以O为坐标原点，OQ的方向为x轴正方向，DC的方向为y轴正方向，OP的方

向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−.∵正方形ABCD的边长为2，∴()2,1,0A−，()2,1,0B，()0,1,0C，()0,1,0D−，()0,0,3P，130,,22E−，∴()0,2,0AB=，132,

,22AE=−，330,,22CE=−.……………………7分∵CEPAD⊥平面，∴CE为平面ADE的一个法向量.设(),,nxyz=是平面ABE的法向量，则20,1320,22nABynAExyz===−++=

令4z=，得()3,0,4n=.………………………………………………………10分∵23219cos,19319CEnCEnCEn===，∴平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919.…………………………………………12分20.（1）证明：当2a=时，函数()cos

2xfxexx=−−，()sin2xfxex=+−，………………1分若0x，则1xe.…………………………………………………………………………………2分因为sin1x，所以()sin20xfxex=+−，……………

………………………………4分故()fx在(),0−上单调递减.…………………………………………………………………5分（2）解：当0x=时，()01fx=−，对aR恒成立；………………………………6分当0x时，由()cosfxxx−，整理得1xeax−.………………………………………7分

设()1xegxx=−，则()()21xexgxx−=.…………………………………………………………8分令()0gx，得1x，则()gx在()1,+上单调递增；………………………………………9分令()0gx，得01

x，则()gx在()0,1上单调递减.…………………………………………10分所以()()min11gxge==−，1ae−.………………………………………………………………11分综上，实数a的取值范围是(,1e−−……………

……………………………………………………12分21.（1）解：设P到直线1y=−的距离为d，则1dPM=−，所以P到直线2y=−的距离等于P到()0,2M的距离，由抛物线的定义可知，P的轨迹C的方程为28xy=.……………………………………………………4分（2）证明：设211,8xAx

，222,8xBx，()00,Qxy，联立方程组28,2,xyykx==+得28160xkx−−=，则128xxk+=，1216xx=−，264640k=+.………………………………………………………6分由28xy=，得28xy

=，所以4xy=，所以切线AQ的方程为21148xxyx=−，①同理切线BQ的方程为22248xxyx=−.②………………………………………………………………10分由①2x—②1x，得12028xxy==−，所以点Q在直线2

y=−上.………………………………………………………………………………12分22.解：（1）当1a=时，()lnxfxxx=+，定义域为()0,+，()2221ln1ln1xxxfxxx−+−=+=.……

………………………………………………………………1分设()21lngxxx=+−，则()()()2212121xxxgxxx+−−==，………………………………2分令()0gx=，得22x=，所以()gx在20,2上单调递减，在2,2+

上单调递增，则()min23ln20222gxg==+，…………………………………………………………………3分所以()fx在()0,+上为增函数.………………………………………………………………………4分

故()fx在1,ee上的最大值为()1feee=+，最小值为11feee=−.……………………………5分（2）不等式()02fxa+可转化为()200002lnxxaxx−−，…………

……………………………6分令()()ln0Fxxxx=−，则()()10xFxxx−=.当01x时，()0Fx，()Fx在()0,1上单调递减；当1x时，()0Fx，()Fx在()1,+上单调递增.…………………………………………………7分所

以()()min110FxF==，于是200002lnxxaxx−−，…………………………………………………8分记()22lnxxGxxx−=−，(0,xe，则()()()()()()()()()2222ln2112ln2lnlnxxxxxxxxGxxxxx−−−−−−−+==−−，

……………………………9分因为()22ln21ln0xx−=−，所以()Gx在()0,1上单调递减，在()1,e上单调递增.…………………………………………………10分所以()()min11GxG==−，从而1a−，……………………………………………………………11

分故a的取值范围是)1,−+.………………………………………………………………………………12分