【文档说明】上海市行知中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1019.441 KB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年上海市行知中学高二年级下学期期中一、填空题（本大题共有10小题，满分46分）1.若直线1:210laxy−+=与2:(1)10lxay+++=互相垂直，则=a______.【答案】2−【解析】【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算

即可.【详解】因为直线1:210laxy−+=与2:(1)10lxay+++=互相垂直，所以()()1210aa+−+=，解得2a=−，故答案：2−.2.已知圆锥的表面积为28，其侧面展开扇形的圆心角大小为3，则这个圆锥的底面半径为______.【答

案】2【解析】【分析】根据圆锥展开图的特征列出关于半径r，母线长l的方程组，解出即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意，有228rlr+=①，由于侧面展开扇形圆心角大小为3，所以23lr=，即6

lr=②，由①②得12l=，2r=，即圆锥的底面半径为2，故答案为：2.3.已知数列na为等差数列，31a=，na的前n项和为nS，若742S=，则公差d=______.【答案】5【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，结合题意列出方程组，

即可求解.【详解】由题意，数列na为等差数列，且31a=，742S=，可得1121767422adad+=+=，即112136adad+=+=，解得5d=.为的故答案为：5.4.已知函数()3exxfx=−，则函数()fx在点(0,3)处的切线的斜率为______

.【答案】1−【解析】【分析】对函数求导，把0x=代入导函数中，即可得到答案.【详解】()1exxfx−=，'1(0)11f−==−故答案为：1−.5.设1F、2F是椭圆2216416xy+=的左右焦点，过1F的直线l交椭圆于A、B两点，则22AFBF+的最大值为______.【答案】2

8【解析】【分析】根据椭圆的定义，化简得22112232AFBFAFBFAFBFAB+++=++=，进而得到2232AFBFAB+=−，结合椭圆的焦点弦的性质，即可求解.【详解】由题意，椭圆2216416xy+=，可得2264,16ab==，即8,4ab==，根据椭圆的定义，可得121

216,16AFAFBFBF+=+=，则22112232AFBFAFBFAFBFAB+++=++=，所以2232AFBFAB+=−，当AB垂直于x轴时，AB取得最小值，此时22AFBF+取得最大值，此时2221648bABa=

==，所以22AFBF+的最大值为32428−=.故答案为：28.6.已知函数()fx导函数为()fx，且满足关系式2()2(1)lnfxxxfx=++，则(1)f=______.【答案】3−【解析】【分析】求导即得解.的【详解】解：由题得1()22(1),fxxfx=++所以(

1)22(1)1,(1)3fff=++=−.故答案为：3−7.已知直线1:43110lxy−+=和直线2:1lx=−，抛物线24yx=上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是____．【答案】3【解析】【详解】∵抛物线24yx=的焦点()1,0,FP到直线2l的距离等于

P到抛物线的焦点的距离.∴P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是()1,0F到直线1l的距离,即4113.5+=点睛：求抛物线上点到抛物线外一直线l与准线（或与准线平行的直线）的距离之和的最小值问题，通常把抛物线上点到准线距离转化为到焦点的距离，从而所求距离最

小值为焦点到直线l的距离．8.已知直线l交椭圆22186xy+=于,AB两点，且线段AB的中点为(1,1)−，则直线l的斜率为______.【答案】34##0.75【解析】【分析】运用“点差法”即可求得答案.【详解】由题意，设()()1122,,,

AxyBxy，因为AB的中点为()1,1−，所以12121212122212xxxxyyyy+=−+=−+=+=.又()()()()2211121212122222186086186xyxxxxyyyyxy+=+−+−+=+=.于是()()121212122

230864xxyyyyxx−−−−+==−，即所求直线的斜率为34.故答案为：34.9.已知椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点分别是1F，2F，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线1AF的斜率为427

，且112AFFF=，则椭圆的离心率为________．【答案】35．【解析】分析】由直线的斜率可知其倾斜角的正切值，再由同角三角函数关系求得其余弦值，同时由等腰三角形及椭圆的定义表示2AF，最后在焦点三角形中由余弦定理构建齐次方程求得离心率．【详解】设12AFF=，由直线

1AF的斜率为427，知sin42tancos7==，且22sincos1+=，即得7cos9=，由1122AFFFc==及椭圆定义知21222AFaAFac=−=−，由余弦定理即可得，22221121122cosAFAFFFAFFF=+−，即()()

()()()222722222229accccc−=+−，化简得()2249acc−=，故22222253220518909549aacccacecaee−+=−+=−+==或3（舍）即35e=．故

答案为：35【点睛】本题考查由椭圆的简单几何性质构建齐次方程，进而求离心率，属于中档题．10.已知数列,nnab满足111ab==，对任何正整数n均有221nnnnnaabab+=+++，221nnnn

nbabab+=+−+，设112()nnnncab−=+，记1nniiTc==，则limnnT→=______.【答案】2【【解析】【分析】由已知两个式子相乘或相加得到数列nnab+和nnab是等比数列，并写出通项公式，并代入求数列n

c的通项公式，并求nT，然后再求极限.【详解】221,nnnnnaabab+=+++①，221nnnnnbabab+=+−+②，两式相加可得()112nnnnabab+++=+，数列nnab+是公比为2等比数列，首项112ab+=

，*2,nnnabnN+=，两式相乘可得()()222112nnnnnnnnabababab++=+−+=，数列nnab是公比为2，首项111ab=的等比数列，1*2,nnnabnN−=，11122222nnnnnnnnnnnabcabab−−−−+

=+===，11112121212nnnT−−==−−，则1limlim1222nnnnT−→→−==故答案为：2二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）11.

已知,是两个不同平面，,mn是两不同直线，下列命题中不正确的是（）A.若//mn，m⊥，则n⊥B.若m，n=，则//mnC.若m⊥，m⊥，则//D.若m⊥，m，则⊥【答案】B【解析】【分析】由线面垂直、面面平行和垂

直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，A正确；的对于B，若m，n=，则m与n可能平行或相交，B错误；对于C，若一条直线垂直于两个平面，则两个平面平行，C正确；对于D，若一个平

面包含另一个平面的垂线，则两平面垂直，D正确.故选：B.12.已知两条直线1l与2l不重合，则“1l与2l的斜率相等”是“1l与2l的平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“1l与

2l的平行”则有“1l与2l的斜率相等”或“1l与2l的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解.【详解】解：因为两条直线1l与2l不重合，由“1l与2l的斜率相等”可得“1l与2l的平行”；由“1l与2l的

平行”则可得“1l与2l的斜率相等”或“1l与2l的斜率均不存在”，即“1l与2l的斜率相等”是“1l与2l的平行”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题.13.下列求导运算

正确的是（）A.()21logln2xx=B.2111xxx+=+C.()333logexx=D.()2cos2sinxxxx=−【答案】A【解析】【分析】由初等函数导数公式和导数运算法则直接判

断各个选项即可.【详解】对于A，由对数函数导数运算法则知：()21logln2xx=，A正确；对于B，()21111xxxxx+=+=−，B错误；对于C，()33ln3xx=，C错误；对于D，()22cos2cossinxxxxxx=−，D错误.故选：

A.14.若数列na满足：A，BR，0AB，使得对于*nN，都有21nnnaAaBa++=+，则称na具有“三项相关性”下列说法正确的有（）①若数列na是等差数列，则na具有“三项相关性”②若数列n

a是等比数列，则na具有“三项相关性”③若数列na是周期数列，则na具有“三项相关性”④若数列na具有正项“三项相关性”，且正数A，B满足1AB+=，12aaB+=，数列nb的通项公式为nnbB=，na与nb的前n项和分

别为nS，nT，则对*nN，nnST恒成立．A.③④B.①②④C.①②③④D.①②【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解】①若na为等差数列，则有211nnnnaaaa+++−=−即212nnnaaa++=−

，①正确②21nnaqa++=，1nnaqa+=，（0q）即()211nnnaqaqa++=−+易知1q，显然成立1q=时，21nnnaaa++==，取12AB==有211122nnnaaa++=+，也成立，所以②正确③周期数列：0，0，1，0，0，1，1n=时，100AB=+

，显然不成立，③错误④()211nnnaBaBa++=−+即()211nnnnaaBaa++++=+，12aaB+=∴121nnnnaaBBB−+++==，1B易知()211nnnnnaaBaaa++++=+即nnba，*nN，故：nnST，④正确综上：①②④正确故选：B三、解答题

（本大题满分84分）15.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，已知2ACBC==，132AA=，22AB=.（1）求四棱锥11ABCCB−的体积；（2）求直线1AC与平面11ABBA所成的角的余弦值.【答案】（1）2；（2）1

75.【解析】【分析】（1）由题意可证AC⊥面11BCCB，则四棱锥11ABCCB−的体积为11111=3ABCCBBCCBVSAC−，即可得到答案.（2）取11AB的中点为D，连接1CD，AD，可证得1CAD为直线1AC与平面11ABBA所成的角，设为，则1cosADA

C=，即可得到答案.【小问1详解】由题意知，三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，故1CC⊥面ABCAC面ABC1CC⊥AC2ACBC==，22AB=ACBC⊥1CCBCC=，1,CCBC面11BCCBAC⊥面11BCCB113232BCCBS==111111=32233ABCCB

BCCBVSAC−==【小问2详解】取11AB的中点为D，连接1CD，AD由题意知1AA⊥面111ABC，1CD面111ABC1AA⊥1CD111ABC为等腰直角三角形，D为11AB的中点111CDAB⊥1111111,,AAABAAAAB=面11ABBA1CD

⊥面11ABBA1CAD为直线1AC与平面11ABBA所成的角，设为22135222AC=+=()22317222AD=+=117cos5ADAC==故直线1AC与平面11ABB

A所成的角的余弦值为175.16.（1）团队在O点西侧、东侧10千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||10PAPB−=千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直

角坐标系，P在北偏东60°处，求P点坐标以及右焦点到渐近线的距离.（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||16QAQB−=千米，||||10QCQD−=千米，求||OQ（精确到1千米）和Q点位置（精确到1°）【答案】（1）15256(,)44P；右焦点到渐近

线的距离为53.（2）13千米，东偏北29【解析】【分析】（1）由双曲线的定义求得双曲线方程，联立直线OP方程即可求得P点坐标，由点到直线距离即可求得右焦点到渐近线的距离.（2）先求出双曲线方程，联立双曲线方

程求得Q点坐标，再由距离公式和正切的定义计算||OQ和Q点位置即可.【详解】（1）设双曲线的方程为()222210,0,xyabxaab−=，由双曲线的定义知：210,10ac==，则22275bca

=−=，故双曲线的方程为()22152575xyx−=，易知3:3OPyx=，联立可得22125225xx−=，解得1524x=，315256344y==，故15256(,)44P，又双曲线渐近线3yx=，右焦点

()10,0，故右焦点到渐近线的距离为()21035331=+.（2）由||||16QAQB−=知Q在A、B为焦点的双曲线上，设该双曲线方程为()222210,0,xymnxmmn−=，则22

2216,10mmn=+=，解得236n=，故双曲线方程为221(8)6436xyx−=，由||||10QCQD−=知Q在C、D为焦点的双曲线上，同理求得双曲线方程为221(5)25200yxy−=，

联立两方程得4427732317xy==，即44273231,77Q，2244273231891113||777OQ+==千米，333tan461QOx=，29QOx，Q点位置为东偏北

29.17.已知圆()()22:10Cxyaa++=，定点()(),0,0,AmBn，其中,mn为正实数，（1）当9a=时，若对于圆C上任意一点P均有PAPO=成立（O为坐标原点），求实数,m的值；（2）当2,4mn=

=时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点,MN，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围【答案】（1）8,3m==（2）1736[,)95【解析】【分析】（1）设点(,)Px

y，由PAPO=，得到即22222(1)(1)20xymxm−+−+−=，结合()2219xy++=，得到2222(1)8(1)0mxm−+−+−=，根据因为点P为圆C上任意一点，得出方程组，即可求解.

（2）求得直线AB的方程为124xy+=，设(,42),(,)PttNxy−，求得M的坐标，根据,MN都在圆C，得出方程组化简得到()()()222212324xyaxtyta++=++++−=，结合,xy的方程组有解，转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系，得到关于a的不等式组，结

合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：设点(,)Pxy，则2222,()POxyPAxmy=+=−+，因为PAPO=，可得22222()()xmyxy−+=+，即22222(1)(1)20xymxm−+−+−=，又由9a=时，圆()22:19Cxy++=，即2228

0xyx++−=，可得2282xyx+=−，代入上式可得22(1)(82)20xmxm−−+−=，整理得2222(1)8(1)0mxm−+−+−=，因为点P为圆C上任意一点，所以222108(1)0mm−+=−

+−=，又由0,0m，解得8,3m==.【小问2详解】解：当2,4mn==时，可得()()2,0,0,4AB，此时直线AB的方程为124xy+=，设(,42)Ptt−，(其中02)t，(,)Nxy，因为点M为PN的中点，所以(,2)22xtyMt+−+，又因为,MN都在圆(

)()22:10Cxyaa++=，可得()222211222xyaxtyta++=+++−+=，即()()()222212324xyaxtyta++=++++−=，由关于,xy的方程组有解，即以(1,0)

−为圆心，a为半径的圆与以(2,24)tt−−−为圆心，2a半径的圆有公共点，所以222(1)(24)2aattaa−++−+，即22(1)(24)9atta++−，又由点P为线段AB上的任意一点，所以22(1)(24)9

atta++−对所有02t成立，由()222736(1)(24)5()55ftttt=++−=−+在0,2上的值域为36[,17]5，所以365917aa，即173695a，又由线段AB与圆C无公共点，所以2045a−+−，即365a，所以实数a的取值

范围是1736[,)95.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率23e=，左顶点为()6,0A−，过点A作斜率为()0kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E（1）求椭圆C的方程（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的()0

kk都有OPEQ⊥，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求ADAEOM+的最小值.【答案】（1）2213620xy+=（2）存在定点10,03Q−

，使得OPEQ⊥（3）22【解析】【分析】（1）根据左顶点坐标、离心率和椭圆,,abc之间关系可直接求得结果；（2）设直线():6lykx=+，与椭圆方程联立可求得D点坐标，利用中点坐标公式可得P点坐标；由l方程可求得E点坐标；设存在定点(),Qmn，利用OPEQ⊥可得0OPEQ=，由数

量积的坐标运算可整理得到()30541800nmk−+=，令541800300mn+==可求得定点坐标；（3）设直线:OMykx=，与椭圆方程联立可求得M点横坐标；根据平行关系可确定2DAMADAExx

OMx+−=，整理可得2211059559ADAEkOMk+=+++，利用基本不等式可求得最小值.【小问1详解】()6,0A−为椭圆C的左顶点，6a=，又23cea==，4c=，22220bac=−=，椭圆C的方程为：2213620

xy+=.【小问2详解】设直线():6lykx=+，由()22613620ykxxy=++=得：()2222591083241800kxkxk+++−=，设(),yDDDx，则22324180659Dkxk−−=+，解得：22305459Dkxk−=+，()26

0659DDkykxk=+=+，即222305460,5959kkDkk−++，P为AD的中点，2225430,5959kkPkk−++；令0x=，解得：6yk=，()0,6Ek；假设存在定点(),Qmn，使得OPEQ⊥，则0OPEQ=，()2225430

605959kkmnkkk−+−=++，整理可得：()30541800nmk−+=，令541800300mn+==，解得：1030mn=−=，即10,03Q−，存在定点10,03Q−，使得OPEQ⊥.【小问3详解】

设直线:OMykx=，由2213620xyykx+==得：()2259180kx+=，26559xk=+；//OMl，2DAEADAMMADAExxxxxxOMxx+−+−−==，2222222222305490541215

911059595965655559595959kkADAEkkkkOMkkkk−++++++====++++++222105922559kk+=+（当且仅当22105959kk+=+，即53k=时取等号），

ADAEOM+的最小值为22.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、定点问题和最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够利用平行关系将所求式子转化为,,ADM点横坐标之间的关系，进而将所求式子转化为关于斜率k的符合基本不等式的形式，利用基

本不等式求得最值.19.设集合*()()TkkN是满足下列两个条件的无穷数列na的集合：①12nnnaaka+++=；②存在常数,ABR，使得nAaB（1）已知119()52nna−=−−，且()naTk，求BA−的最小值（2

）是否存在(1)naT，且满足10nnaa+恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列na；若不存在，请说明理由；（3）若()naTk且*naN，求数列na的通项公式.【答案】（1）BA−的最小值为272；（2）不存在符合条件的

数列，理由见解析；（3）nat=，tN.【解析】【分析】(1)由数列的通项公式求数列的最大值和最小值由此可求BA−的最小值；(2)由条件121nnnaaa+++=求出数列na的通项公式，并检验其是否满足nAaB条件，(3

)由条件()naTk求数列na的通项，结合条件nAaB求出k及数列的通项公式.【小问1详解】因为119()52nna−=−−，由已知nAaB，所以()minnAa，()maxnaB，设1159()2nnnba−=+=−，则+214nnbb=，19b=，292

b=−，所以1321nbbb−，242nbbb，所以992nb−，所以9+592na−，故1942na−，所以192A−，4B，所以272BA−，所以BA−的最小值为272，【小问2详解】因为(1)naT，

所以121nnnaaa+++=，所以12nnnaaa+++=，设()211+1nnnnatataa+++=++，令111tt+=，则210tt+−=，所以152t−=，记1152t−−=，21+52t−=所()()21111+1nnnnatatata+++=++，()()2

2112+1nnnnatatata+++=++，所以()()1112111+1nnnataatat−+=++，()()1122212+1nnnataatat−+=++，所以()()()()()11212212211111nnnttaatatatat−−−=+

+−++，所以()()1122121121212111nnnataataatttttt−−++=+−+−−，所以()()1122121115151225nnnaataata−−+−=+−+又10nnaa+，所以120,0aa

或120,0aa当120,0aa，取n为奇数，函数()1221152nyata−+=+单调递增，111551=22nny−−−−=单调递减，其取值随n的增大趋近与0，所以不存在B使得()()112212111

5151225nnnaataata−−+−=+−+满足nAaB，【小问3详解】因为12nnnaaka+++=，所以2111nnnaaakk++=+，设21111+nnnnatataak

k+++=++，令111tkkt+=，则210ttkk+−=，所以2114114=22kkkktk−+−+=，记11142ktk−−+=，21+142ktk−+=所()211111+nnnnatatatak+++=++，(

)221121+nnnnatatatak+++=++，所以()11121111+nnnataatatk−+=++，()11222121+nnnataatatk−+=++，所以()()()11212212211111nnnttaatatatatkk−−

−=++−++，所以1122121121212111nnnataataattttkttk−−++=+−+−−，所以()()112212111141142241nnnkkkaataatakkk−−++−+

=+−++因为210ata+，因为244141kkk+++，所以2141kk++，所以411102kk+−当n为奇数时，11412nkyk−−+=单调

递减，其取值随n的增大趋近与0，若11412kk++，则()12211142nkyatak−++=+单调递增，与条件相矛盾，若11412kk++，所以2k，则()12211142nkyatak−++=+单调递减，与*naN矛盾，当2k=，()121211

12223nnaaaaa−=+−−−当n为奇数时，若210aa−，则()12112nyaa−=−−的取值随n的增大趋近与0，与*naN矛盾，又*naN，所以210aa−=，所以数列na的通项公式为nat=

，tN，此时2k=.【点睛】本题解决的关键由条件()naTk确定数列的通项公式.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com