【文档说明】山东省滕州一中东校区2020-2021学年高二上学期10月竞赛数学试题（实验班） 竞赛.doc，共(4)页，641.500 KB，由小赞的店铺上传

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滕州一中东校高二实验班三科竞赛试题（数学）2020年10月31日一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的)1．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有()A．1个B．2个C．3个

D．4个2．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A．1010B．3010C．21510D．310103．若双曲线x2a－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数a的值为()A．9B．3C．13D．194

．设P是双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．6C．7D．85．我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆

”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝()A．90°B．60°C．45°D．30°6．如图在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱12AA=且1160AADAAB==，则1AC=（）A．

22B．10C．23D．147.已知1F，2F是椭圆C：22214xyb+=的左、右焦点，离心率为12，点A的坐标为3(1,)2，则12FAF的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1C．3D．28.我们把焦点相同，且离心率

互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,FF是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260FPF=时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为A．33B．32C．22D．12二、多项选择题(本题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．对于双曲线C1：x24－y2＝1与双曲线C2：y2－x24＝1的下列说法正确的是()A．它们的实轴长和虚轴长相同B．它们的焦距相同C．它们的渐近线相同D．若它们的

离心率分别为12,ee，那么2212111ee+=10．已知点M(1,0)，A，B是椭圆x24＋y2＝1上的动点，当MA→·BA→取下列哪些值时，可以使MA→·MB→＝0()A．3B．6C．9D．1211．下列结论正确的是（）A．过点(2,3)且在两坐标轴上的

截距相等的直线l的方程为5xy+=;B．已知直线10kxyk−−−=和以(3,1),(3,2)MN−为端点的线段相交，则实数k的取值范围为1322k−;C．已知0ab，O为坐标原点，点(,)Pab是圆222xyr+=外一点，直线m的方程是2axbyr+

=，则m与圆相交;D．若圆()()()222:440Mxyrr−+−=上恰有两点到点(1,0)N的距离为1，则r的取值范围是(4,6).12．如右图，正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端点

），则下列结论正确的是A．直线1DP与AC所成的角可能是6B．平面11DAP⊥平面1AAPC．三棱锥1DCDP−的体积为定值D．平面1APD截正方体所得的截面可能是直角三角形三、填空题（本题共4题，共20分）1

3．如果点(,)Mxy在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10xyxy+−+++=，那么点(,)Mxy的轨迹方程为_____________________.14．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂

心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点(1,0),B−(0,3),CABAC=，则ABC的欧拉线方程为____________________.15．已知动点(,)Pxy满足22|||

|0xyxy+−−=，O为坐标原点，则||PO的最小值为________，最大值为_________________.16．已知1F，2F分别为双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限和第

三象限的交点分别为M，N，设四边形12FNFM的周长为p，面积为S，且满足232Sp=，则该双曲线的离心率为____________.四、解答题(本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆x21

00＋y2b2＝1(010b)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为6433，求b的值．18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，设直线1:0l

kxy−=，直线()()2:211740,lkxkykk−+−−+=R.(1)求证：直线2l过定点C，并求出点C的坐标；(2)当2k=时，设直线12,ll的交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离d，并求AB

CV的面积.19.（12分）已知等腰梯形ABCD，如图（1）所示，//ABCD，222ABADCD===，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥DABC−.（1）求证：图（2）中BC⊥平面

ACD；求图（2）中的二面角ABDC−−的正弦值.20．(12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．21．(12分)如图，在平

面直角坐标系xOy中，已知圆O：224xy+=，过点()0,3P且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点40,3Q.（1）若直线l的斜率2k=，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分

别为1k，2k，求证：12kk+为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使63MOMQ=，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.22．(12分)如图,已知椭圆22221xyab+=()0ab的左右焦点分别为12,FF,短

轴的两端点为,AB,且四边形12FAFB是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若,CD分别是椭圆的长轴的左右端点,动点M满足MDCD⊥(,MD为不同的两点），连接CM交椭圆于点P，证明OMOP为定值（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于,CD的定

点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP与MQ的交点，若存在，求出Q的坐标；若不存在，说明理由.