【文档说明】广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(19)页，688.803 KB，由小赞的店铺上传

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广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题命题组组长：聂检华考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请

将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数()ln21fxxx=−+，则12f=（）A.0B.12C.32D.522.若266CCn=，则n=（）A.2B

.3C.2或4D.3或43.随机变量X的分布列如表：则c=（）X1−01P0.30.5cA.0.2B.0.3C.0.5D.0.64.61xx−的展开式中，含2x−的项的系数是（）A.20−B.5C.15D.355.若函数32()(1)3fxxfx=

−+，则(1)f=（）A.1B.2C.3D.46.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有A.34种B.48种C.96种D.144种7.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的

合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()A.0.63B.0.24C.0.87D.0.218.已知函数()22,02,0exxxxfxxx−=，若关于x的方程()()()210fxfxaa−+−=恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A.

e21,e+B.22e21,e+C.22e21,e+D.e21,e+二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，

部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数求导正确的是（）A()32223566xxxx−+=−B.()1elnexxxx+=+C.1cossin333xx=D.2224241(1)xxxx+=−

−++10.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有

（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B.任取一个零件是次品概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为27D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为2711.关于函数

()2lnfxxx=+，下列判断正确的是（）A.2x=是()fx的极大值点B.函数()yfxx=−有且只有1个零点C.存在正实数k，使得()fxkx成立D.对两个不相等正实数1x，2x，若()()12fxfx=，则()121ln42++fxx.第II卷（非选择题

）三、填空题（每小题5分，共15分）.的的12.()5(23)xyxy+−的展开式中33xy的系数是__________.13.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有

___________种.14.若函数31()3fxxx=−在2(,10)aa−上有最小值，则实数a的取值范围为______________四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（1）计算45775354C+CAA−；（2

）已知423401234(31)xaaxaxaxax−=++++，求1234aaaa+++的值．16.某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为X，求X的分布列；（2）

如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.17.已知函数()2ln3fxaxxb=+（a、b为实数）的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+．（1）求实数a、b的值；（2）求函数()fx的单调区间和极值．18.

甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为1y，2y（单位：

元）与送货单数n（单位：单，nN）的函数关系式分别为1()yfn=，2()ygn=，求1()yfn=，2()ygn=的解析式．（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，

并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：.若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X元，求X的分布列和数学期望；②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所

学的统计知识为他进行选择，并说明理由．19设函数()()()()101ln1fxxxx=++.（1）求()fx的单调区间；（2）求()fx的取值范围；（3）已知不等式112(1)mxx++对任意(1,0)x−恒成立，求实数m的取值范围．.广东省东莞市三校2023-2024学年高二

下学期4月期中联考数学试题命题组组长：聂检华考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数()ln21fxxx=−+，则12f=

（）A.0B.12C.32D.52【答案】A【解析】【分析】求导，再令12x=即可得解.【详解】()12fxx=−，所以12202f=−=.故选：A.2.若266CCn=，则n=（）A.2B.3C.2或4D.3或4【答案】C【解析】【分析】根据组合数公式的

性质求解即可【详解】因为266CCn=，所以2n=或624n=−=，故选：C3.随机变量X的分布列如表：则c=（）X1−01P0.30.5cA.0.2B.0.3C.0.5D.0.6【答案】A【解析】【分析】由分布列中的概率和为

1可直接求得结果.【详解】由分布列性质知：0.30.51c++=，解得：0.2c=.故选：A.4.61xx−的展开式中，含2x−的项的系数是（）A.20−B.5C.15D.35【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理求解.【详解】由二项式定理：()6621661CC1rrrrrrrTx

xx−−+=−=−，令622r−=−，得4r=，所以2x−项的系数为()4461C15−=；故选：C.5.若函数32()(1)3fxxfx=−+，则(1)f=（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】求出函数()fx的导数，再赋值计算即得.【详解】函数32()(

1)3fxxfx=−+，求导得2()32(1)fxxfx=−，当1x=时，()()1321ff=−，所以(1)1f=.故选：A6.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排

法有A34种B.48种C.96种D.144种【答案】C【解析】【详解】试题分析：4242296AA=,故选C.考点：排列组合.7.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()A.0

.63B.0.24C.0.87D.0.21【答案】C【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝

0.7，P(B)＝0.3，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率

为：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故选：C．8.已知函数()22,02,0exxxxfxxx−=，若关于x的方程()()()210fxfxaa−+−=恰有四个不同的

实数根，则实数a的取值范围是（）A.e21,e+B.22e21,e+C.22e21,e+D.e21,e+【答案】D【解析】【分析】先将原方程变形为()1fx=或()1fxa=−，然后

分析()fx的单调性，再对不同的a进行分类讨.论即可得到结果.【详解】由于()()()()()()()2111fxafxafxfxa−+−=−−+，故原方程等价于()1fx=或()1fxa=−.由于当0x时，()()

22211fxxxx=−=−−，故()fx在(,0−上单调递减.而当0x时，有()2exxfx=，故此时()()21exxfx=−，从而当01x时()0fx，当1x时()0fx，所以()fx在(0,1上单调递增，在)1,+上单调递减.从而当0x时，有()(

)211efxf=，而()fx在(,0−上单调递减，()211f−+=，所以()1fx=有唯一解21x=−+.若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数x满足()1fx=或()1fxa=−，而()1fx=只有一个解，所以方程

()1fxa=−至少有三个解.假设10a−，则当0x时()()22201fxxxxxa=−=−−，当0x时()201exxfxa=−，所以()1fxa=−至多有一个解，矛盾，所以10a−假设21ea−，则当0x，1x时有()()211efxfa=−，从而

()1fxa=−在()0,+上至多有一个解，由()fx在(,0−上单调递减知()1fxa=−在(,0−上至多有一个解，所以()1fxa=−至多有两个解，矛盾，所以21ea−.综上，有201ea−，即211ea

+；另一方面，当211ea+即201ea−时，设()91111fua=+−，由于()21faaaaa−=+−，()001fa=−，()211efa=−，的.且()()()()()()222222288888211119181e21ee1

1uuuuuuufuffffaffuuuaa=====−+−−.故()1fxa=−在(),0a−，()0,1，()1,u上各有一个解，从而至少有三个解.而()211f−+=，11a−（因为211ea−），所以()1f

x=或()1fxa=−有四个解.综上，a的取值范围是21,1e+，即e21,e+，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含

充分性和必要性两方面.二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数求导正确的是（）A.()32223566xxxx−+=−B.()1el

nexxxx+=+C.1cossin333xx=D.2224241(1)xxxx+=−−++【答案】ABD【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及复合函数求导方法计即可判断．【详解】对于A：()32223566xxxx−+=−，故A正确；

对于B：()1elnexxxx+=+，故B正确；对于C：令3xu=，则cos3x()1cossinsin33xuuu==−=−，故C错误；对于D：241xx++()2222242411(1)xxxx−−

=−+−+=−−+，故D正确．故选：ABD．10.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出

来的次品概率为0.015B.任取一个零件是次品的概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为27D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为27【答案】ABC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求

概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%25%1.5%=，正确；B：由题设，任取一个零件是次品的概率为6%25%5%30%5%45%5.25%++=，正

确；C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为5%30%26%25%5%30%5%45%7=++，正确；D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为5%45%36%25%5%30%5%

45%7=++，错误.故选：ABC11.关于函数()2lnfxxx=+，下列判断正确的是（）A.2x=是()fx的极大值点B.函数()yfxx=−有且只有1个零点C.存在正实数k，使得()fxkx成立D.对两个

不相等的正实数1x，2x，若()()12fxfx=，则()121ln42++fxx.【答案】BD【解析】【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；③利用参数分离

法，构造函数()22lnxgxxx=+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；④设1202xx，则142x−，构造函数并结合函数的单调性，可证明()()1211(4)(4)0fxfxfxfx−−=−−，再结合()fx的单调性，可得到124xx−，即可得到124

xx+，从而可得证.【详解】A.函数的定义域为()0,+，函数的导数()22212xfxxxx−=−+=，∴在()0,2上，()0fx，函数单调递减，()2,+上，()0fx¢>，函数单调递增，∴2x=是()fx的极小值点

，即A错误；B.()2lnyfxxxxx=−=+−，∴22221210xxyxxx−+−=−+−=，函数在()0,+上单调递减，且()112ln1110f−=+−=，()221ln22ln210f−=+−=−，∴函数()yf

xx=−有且只有1个零点，即B正确；C.若()fxkx，可得22lnxkxx+，令()22ln+=xgxxx，则()34lnxxxgxx−+−=，令()4lnhxxxx=−+−，则()lnhxx

=−，∴在()0,1x上，函数()hx单调递增，()1,x+上函数()hx单调递减，∴()()10hxh，∴()0gx，∴()22lnxgxxx=+在()0,+上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得()fxkx恒成立，即C不正确；D.令()0,2t，则()20,

2t−，22t+，令()()()()2222ln222=+−−=++−−+−gtftftttt()242ln2ln42+−=+−−ttttt，则()()()()()222222222448222416424244−−−−++−−

=+=+=+−−−−ttttttgtttttt()222804−−tt，∴()gt在()0,2上单调递减，则()()00gtg=，令12xt=−，由()()12fxfx=，得22xt+，则12224xxtt+−++=，当24

x时，124xx+显然成立，∴对任意两个正实数1x，2x，且21xx，若()()12fxfx=，则124xx+，所以()()1214ln42+=+fxxf.故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，

涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断124xx+.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.()5(23)xyxy+−的展开式中33x

y的系数是__________.【答案】360−【解析】【分析】写出5(23)xy−的展开式的通项，然后对r分类求得答案．【详解】5(23)xy−展开式的通项为()()()555155C23C23rrrrrrrrrTxyxy−−−+=−=−，0

,1,2,,5r=，①令2r=，则()22332335C23720yxyxy−=；②令3r=，则()33223335C231080xxyxy−=−；综上可得：展开式中33xy项的系数为7201080360−=−．故答案为

：360−．13.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.【答案】13【解析】【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.【详解】若脱落1

个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.若脱落4个

，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有264113+++=种情况.故答案为：13.14.若函数31()3fxxx=−在2(,10)aa−上有最小值，则实数a的取值范围为______________【答案】21a−【解析】【详解】f′(x)＝x2－1＝(x＋

1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．所以要使函数f(x)＝13x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需2110(

)(1)aafaf−，即231103112233aaaaaa−−−−−⇒－2≤a＜1.四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）计算45775

354C+CAA−；（2）已知423401234(31)xaaxaxaxax−=++++，求1234aaaa+++的值．【答案】（1）712；（2）15【解析】【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可；（2）利用

赋值法求解即可．【详解】（1）45775354CC35217AA1202412++==−−；（2）令1x=，得()4012343116aaaaa+=+++−=，令0x=，得01a=，所以123415aaaa+++=．16

.某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为X，求X的分布列；（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师

的概率.【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列．（2）利用条件概率转化求解即可．【小问1详解】由题可知X的所有可能取值为0，1，2，依题意得：3335C1(0)C10PX===，213235

CC3(1)C5PX===，123235CC3(2)C10PX===，X的分布列为：X012P11035310【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件A，第2次抽到男老师为事件B，则第1次和第2次都抽到男老师为事件AB，根据分步计数原理1134()AA12nA==，23()A6nAB==．所

以()61()()122nABPBAnA===．17.已知函数()2ln3fxaxxb=+（a、b为实数）的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+．（1）求实数a、b的值；（2）求函数()fx的单调区间和极值．

【答案】（1）1223ab==（2）减区间为10,e，增区间为1,e+，极小值为112eef=−+，无极大值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于a、b的方程组，即可得出实数a、b的值；（2

）利用导数分析函数()fx的单调性，结合极值的定义可得结果.【小问1详解】解：因为()2ln3fxaxxb=+，该函数的定义域为()0,+，()()21lnfxax+=，因为函数()2ln3fxaxxb=+（a

、b为实数）的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+，则()()121132fafb====，解得1223ab==.【小问2详解】解：由（1）可得()ln2fxxx=+，该函数的定义域为()0,+，(

)1lnfxx=+，由()0fx=可得1ex=，列表如下：x10,e1e1,e+()fx−0+()fx减极小值增所以，函数()fx的减区间为10,e，增区间为1,e+，极

小值为112eef=−+，无极大值.18.甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．（1）设甲、乙两家快递

公司的“快递小哥”日工资分别为1y，2y（单位：元）与送货单数n（单位：单，nN）的函数关系式分别为1()yfn=，2()ygn=，求1()yfn=，2()ygn=的解析式．（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其

100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X元，求X的分布列和数学期望；②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选

择，并说明理由．【答案】（1）1?70yn=+，nN；2100,45,6170,45,nnynnn=−NN；（2）①分布列见解析；期望为112；②推荐小赵去甲快递公司应聘；理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知可求得甲快递公司的“快递小哥”的日工资1y和乙快递公司的“快递小

哥”的日工资2?y与送货单数n的函数关系式．（2）①由条形图得x的取值范围为100,106,118,130，分别求得(100)PX=，(106)PX=，(118)PX=，(130)PX=，由此可得X的分布列，根据数

学期望公式可得答案.②求得甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较可得结论．【详解】解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资1y中与送货单数n的函数关系式为1?()70yfnn==+，nN．乙快递公司的“快递小哥”的日工资2?y与送货单数n的函

数关系式为2100,45,()6170,45,nnygnnnn==−NN．（2）①由条形图得x的取值范围为100,106,118,130，1010(100)0.2100PX+===，30(106)0.3100PX===，40(118)0.4100PX===

，10(130)0.1100PX===，所以X的分布列为X100106118130P0.20.30.40.1故X的数学期望为()1000.21060.31180.41300.1112EX=+++=．②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为42

0.2440.4460.2480.1500.145++++=，所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为7045=115+（元），由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去甲快递公司

应聘．19.设函数()()()()101ln1fxxxx=++.（1）求()fx的单调区间；（2）求()fx的取值范围；（3）已知不等式112(1)mxx++对任意(1,0)x−恒成立，求实数m的取值范围．【答案

】（1）单调递增区间是11,1e−−，单调递减区间是()11,0,0,e−+；（2）((),e0,−−+；（3）eln2m−．【解析】【分析】（1）解决不含参数函数的单调性问题，先求原函数的导函数，接着分析导函数的正负即可得解；（2）由已知函数的单调区间，先分

析函数的极值，进而求出它一定属于的范围，再用零点存在定理验证能取遍整个范围即可（3）在不等式两边取自然对数分离参数m，将证明不等式的恒成立问题转变为求不含参数的函数的最值问题解决即可.小问1详解】因为函数

()()()()101ln1fxxxx=++，则()()()()22ln111ln1xfxxx++=−++．当()0fx时，即()ln110x++，这等价于101ex+，解得111ex−−；当()0fx时，即()l

n110x++且0x，这等价于11ex+且0x，解得110ex−或0x；所以函数()fx的单调递增区间是11,1e−−，函数()fx的单调递减区间是()11,0,0,e−+．【小问2详解】当()0fx=时，11ex=−，【由（1）可知()fx在11

,1e−−上递增，在()11,0,0,e−+上递减，如图所示：一方面，在区间()1,0−上，根据()fx在11,1e−−上递增，在11,0e−上递减，可知()11eefxf−=−；而区间()0,+上，显然()()()101

ln1fxxx=++.故()((),e0,fx−−+.另一方面，设()()()1ln1gxxx=++.对(,ea−−，有()111100eegga−=−=，所以存在11,0eu−使得()1gua=，即()fua=.而对()0,b+，有()11

111123ln33ln3300ggbbbbbb+=++++=，所以存在10,2vb+使得()1gvb=，即()fvb=.综上，函数

()fx的取值范围为((),e0,−−+．【小问3详解】因为()1,0x−，所以()10,1x+，从而111x+在不等式112(1)mxx++两边同时取自然对数可得：()()ln21ln1mxx++对()1,0x−恒成立，

在即m大于()()ln21ln1xx++在()1,0x−时的最大值.由（2）可知，此时()()ln21ln1xx++在11ex=−处取得取得最大值eln2−，所以m的取值范围是eln2m−．【点睛】本题是函数导数综合题，考查借助导数研究函数的单调性、极值（最值）以及证

明不等式的恒成立，属于难题.函数导数综合题的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．