【文档说明】上海市嘉定区2022-2023学年高三下学期2月调研数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.304 MB，由小赞的店铺上传

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嘉定区高三数学调研试卷2023.02一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知全集1,2,3,4,5U=，集合4,5A=，则A=________．【答案】1,2,3【解析】【分析】根据补集的定

义计算可得.【详解】解：因为全集1,2,3,4,5U=，集合4,5A=，所以1,2,3A=.故答案为：1,2,32.不等式11xx−的解集为______.【答案】(),1−【解析】【分析】根据分式不等式的解法，即可得到结果.【详解】因为111001111xxxxxxx−−

−−−−，即10x−，解得1x，所以不等式的解集为(),1−故答案为:(),1−3.某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．【答案】1【解析】【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，求出底面积的侧面积，即可得结论．【详解】设圆柱底面半径为r，

高为h，由题意222rrh=，所以rh=，即1rh=．故答案为：1．4.直线2y=与直线310xy−+=的夹角的正弦值为______.【答案】31010##31010【解析】【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设

两直线夹角为，则tan3=，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】设2y=斜率为1k，由2y=得11tan0k==，设310xy−+=的斜率为2k，由310xy−+=得22tan3k==，设两直线夹角为，π0

,2，则2tantan3==，又sintan3cos==且22sincos1+=，解得310sin10=或310sin10=−（舍去）.故答案为：310105.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式商品盒子.已知某盲盒产品共有两

种不同玩偶，抽到的概率都是12，小明若一次购买2个盲盒，则他能集齐两种玩偶的概率是______.【答案】14##0.25【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生概率公式计算.【详解】由题意，抽到两种不同玩偶为相互独立

事件，所以他能集齐两种玩偶的概率111224P==，故答案为：146.已知(357)A−，，、(243)B−，，，设点A、B在yOz平面上的射影分别为1A、1B，则向量11AB的坐标为________．【答案】(0110)−，，【解析】【分析】根据题意可得1(057

)A−，，、1(043)B，，，进而得解.的的的【详解】点(357)A−，，、(243)B−，，在yOz平面上的射影分别为1(057)A−，，、1(043)B，，，∴向量11AB的坐标为(0110)−，，．故答案为：

(0110)−，，.7.已知120,(1)aa+的二项展开式中的第9项是7920，则实数a为__．【答案】2【解析】【分析】根据二项式定理确定开式中的第9项是894957920Ta==，再由0a，即可求得实数a的值.【详解】解：12(1)a+展开式中的

第9项是888912C4957920Taa===，解得2a=，又0a，所以2a=．故答案为：2.8.已知向量()2,1a=−，()1,bt=，且abab−=+，则t=____.【答案】2【解析】【分析】由abab−=+可得

：0ab=，进而计算求解.【详解】因为abab−=+，所以222222aabbaabb−+=++，则有0ab=，又(2,1)a=−，(1,)bt=，所以20abt=−=，解得：2t=，故答案为：2.9.已知RA，实数0，()sin6fxAx=

+，函数()yfx=的部分图像如图所示，若该函数的最小正零点是512，则=______.【答案】2【解析】【分析】根据函数图象得到2A=，再根据该函数最小正零点是512，由52sin0126+=求解.【详解】解：由图象知：2A=，因为该函数的最小正零点是512

，所以52sin0126+=，则5πππ126+=，即2=.故答案为：210.数列na是公比为()1qq的等比数列，nS为其前n项和.已知1316aa=，312Sq=，给出下列四个结论：①0q；②若存在m使得12m

aaa，，，的乘积最大，则m的一个可能值是3；③若存在m使得12maaa，，，的乘积最大，则m的一个可能值是4；④若存在m使得12maaa，，，的乘积最小，则m的值只能是2．其中所有正确结论的序号是

________.【答案】①②③【解析】【分析】求出数列的通项公式，求得前n项乘积，确定积的最大值和最小值，即可得．【详解】由题意2212116(1)12aqaqqq=++=，14aq=，的若14aq=−，则14aq=−，所以224(1)12qqq++−=，

2410qq++=，150=−，无实解，若14aq=，则14aq=，224(1)12qqq++=，2210qq−−=，又1q，所以12q=−，①正确，18a=−，141(1)8()22nnnna−−−=−−=18a=−，

24a=，32a=−，41a=，512a=−，614a=，718a=−，因此1271aaa=，又5n时，112na，所以7n时，121naaa，18a=−，1232aa=−，12364aaa=，123464aaaa=，1234532aaaaa=−，1234568aaaaa

a=−，所以3n=或4n=时，12naaa取得最大值，2n=或5n=时，12naaa取得最小值，因此②③正确，④错误，故答案为：①②③．11.如图，直三棱柱111ABCABC-中，AC⊥BC，7AC=，3BC=，点P在棱1BB上，且1PAPC⊥，当1

APC的面积取最小值时，三棱锥−PABC的外接球的表面积为______．【答案】28π【解析】【分析】先设出BP=x，1BPy=，利用22211PAPCAC+=求出9xy=，结合基本不等式求出3323,2xy==时，1APC面积取得最小值，补形后三棱锥−PABC的外接球即该长方体AP的外接球，求

出外接球半径和表面积.【详解】由勾股定理得：22794ABACBC=+=+=，设BP=x，1BPy=，则216PAx=+，22211119PCBCBPy=+=+，()222117ACACCCxy=+=++，由22211PAPCAC+=得：()2221697xyxy+++=++

，解得：9xy=，因为1PAPC⊥，故122221169111225169222APCxSAPPCxyy==++=++由基本不等式得：2216924216yxxy+=，当且仅当43yx=，即3323,2xy

==时，等号成立，将三棱锥−PABC补形为长方体AP，则三棱锥−PABC的外接球即该长方体AP的外接球，其中长方体AP的外接球的直径为222791227ACBCBP++=++=，故半径为7，故三棱锥−PABC的外接球的

表面积为24π728π=.故答案为：28π12.定义两个点集S、T之间的距离集为(),,dSTPQPSQT=，其中PQ表示两点P、Q之间的距离，已知k、Rt，(),,RSxyykxtx==+，()2,41,RTxyyxx==+，若()(),1,dS

T=+，则t的值为______.【答案】5−【解析】【分析】集合T表示双曲线2241yx−=上支的点，集合S表示直线ykxt=+上的点，()(),1,dST=+，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即0t，且与渐近线

的距离为1，计算得到答案.【详解】241yx=+，即2241yx−=，0y，故集合T表示双曲线2241yx−=上支的点，集合S表示直线ykxt=+上的点，()(),1,dST=+，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即0t，且与渐近线的距离为1.双曲线的渐近线为2yx=，不妨取20xy+

=，则2yxt=−+，即20xyt+−=，平行线的距离114td==+，故5t=−或5t=（舍去）.故答案为：5−.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且

与渐近线的距离为1是解题的关键.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13.如图是根据,xy的观测数据(),iixy()1,2,,10i=L得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（）A.①②B.③④C.②③D.①④【答案】B【

解析】【分析】根据变量,xy具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可.【详解】根据变量,xy具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，所以③④图的变量,xy具有线性相关关系.故选：B14.已知复数0z，则“1z=”是“1R

zz+”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】当221zab=+=时，即221ab+=，12Rzaz+=，充分性；取2z=，则15R2zz+=，2z=，不必要，得到答案.【详解】设izab=+，,Rab，当221zab=+=时，

即221ab+=，2211iii2Riabzababazabab−+=++=++=++，充分性；取2z=，则15R2zz+=，2z=，不必要性.综上所述：“1z=”是“1Rzz+”的充分不必要条件.故选：A15.已知直线m、n及

平面，其中//mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①④D.②④【答案】B【解析】【分析】设一个平面，该面满足//,//mn，

且,mn到平面的距离相等且异侧，全面考虑平面与平面位置关系的几种情况，判断即可.【详解】设一个平面，该面满足//,//mn，且,mn到平面的距离相等且异侧，如图则平面的所有点到两条直线m、n距离

相等，若平面与平面相交于l时，则l上的所有点到两条直线m、n距离相等，故①正确；若平面与平面平行时，则平面上没有点到两条直线m、n距离相等，故④正确；若平面与平面重合时，则平面上所有点到两

条直线m、n距离相等，故②正确；故任何时候都不可能只有一个点满足条件，所以正确的有①②④.故选：B.16.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0

.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是()A.6523B.5523C.6623D.5623【答案】B【解析】【分析】明确

恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率5243146212()()333PC==；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在

首尾两类，此时概率6111143223326212()()()333PCCCC=+=，所求概率56512665222333PPP=+=+=；故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的

核心素养.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，()()()0acacbba−++−=．（1）求C；（2）若3c=，ABC的面积是32，求ABC的周长．【答案】（1）π3.（2）3+3.【解析】【

分析】（1）将()()()0acacbba−++−=化为222abcab+−=，由余弦定理即可求得角C.（2）根据三角形面积求得2ab=，再利用余弦定理求得3ab+=，即可求得答案.【小问1详解】由题意在ABC中，()()()0acacbba−++−=，即222ab

cab+−=，故2221cos22abcCab+−==，由于(0,π)C，所以π3C=.【小问2详解】由题意ABC的面积是32，π3C=，即133sin,2242ABCSabCabab====，由3c=，2222coscababC=+−得2223()6,3a

bababab=+−=+−+=，故ABC的周长为3+3abc++=.18.已知数列na的前n项和为11,1,0,1nnnnnSaaaaS+==−，其中为常数．（1）证明：2nnaa+−=；（2）是否存在，使得na为等差数列？

并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）4=.【解析】【详解】试题分析：（I）对于含,nnaS递推式的处理，往往可转换为关于项na的递推式或关于nS的递推式．结合结论，该题需要转换为项na的递推

式．故由11nnnaaS+=−得1211nnnaaS+++=−．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由11a=，21a=−，31a=+，列方程得2132aaa=+，从而求出4=．得24nnaa+−=，故数列na的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差

数列．分别求通项公式，进而求数列na的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I）由题设，11nnnaaS+=−，1211nnnaaS+++=−．两式相减得，121()nnnnaaaa+++−=．由于10na+，所以2nnaa+−=．（II）由题设，11a=，1

211aaS=−，可得21a=−，由（I）知，31a=+．令2132aaa=+，解得4=．故24nnaa+−=，由此可得，21na−是首项为1，公差为4的等差数列，211(1)443nann−=+−=−；2na是首项为3，公差为4的等差数列，23(1)441nann=+−=−．

所以21nan=−，12nnaa+−=．因此存在4=，使得na为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作

为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损

零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求X的分布；（2）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n=与20n=之

中选其一，应选用哪个？并说明理由.【答案】（1）X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04；（2）19n=，理由见解析【解析】【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；（2

）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出19n=、20n=时费用的期望即可下结论.【小问1详解】由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9

，10，11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而()160.20.20.04PX===，()1720.20.40.16PX===，()1820.20.20.40.40.24PX==+=，(

)1920.20.220.40.20.24PX==+=，()2020.20.40.20.20.2PX==+=，()2120.20.20.08PX===，()220.20.20.04PX==

=，所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04【小问2详解】记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，当19n=时，()()()192000.68192005000.21920025

000.08EY=++++()1920035000.044040++=当20n=时，()()()202000.88202005000.082020025000.044080.EY=++++=

因为40404080，可知当19n=时所需费用的期望值小于20n=时所需费用的期望值，故应选19n=．20.已知曲线22Γ:3412xy+=左､右焦点分别为12FF､，直线l经过1F且与Γ相交于AB､两点.（1）求12FAF的周长；（2）若以2F为圆心的圆截y轴所得的弦长为22，且l与圆2F

相切，求l的方程；（3）设l的斜率为k，在x轴上是否存在一点M，使得MAMB=且5tan5MAB=？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）周长为6（2）()31yx=+（3）存在，4,019M−【解析】【分析】（1）由椭圆方程求出2a=，1

c=，然后根据椭圆的定义可求出12FAF的周长，（2）设圆2F的方程为222(1)(0)xyrr−+=，由题意可求得3r=，由l与圆2F相切，利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，（3）假设在x轴上存在一点()0,0Mx，设

直线l的方程为()()10ykxk=+，()()1122,,,AxyBxy，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出线段AB的中点C的坐标，从而可表示出线段AB中垂线1l的方程，则可表示点M的坐标，然后表示出M到直线l的

距离，再利用5tan5MAB=列方程可求出k的值，从而可得答案.【小问1详解】的根据题设条件，可得22143xy+=，故2a=，3b=，所以1c=，根据椭圆定义，可知1224AFAFa+==，因为1222FFc==，所以12126AFAFFF++=，得12FAF的周长为6，【小问2详解

】设圆2F的方程为222(1)(0)xyrr−+=，令0x=，得21yr=−，故22122r−=，得3r=.由题意可得直线l的斜率存在，由l与圆2F相切，得()21,0F到直线():1lykx=+的距离2231kdk==+.解得3k=

，故直线l的方程为()31yx=+【小问3详解】假设在x轴上存在一点()0,0Mx，设直线l的方程为()()10ykxk=+，将直线l的方程和椭圆的方程联立，得()2213412ykxxy=++=

，消去y并整理，得()()2222348430kxkxk+++−=，必有Δ0令()()1122,,,AxyBxy，则2122212283441234kxxkkxxk+=−+−=+()()()()()2222212121221

2114134kABxxkxxxxkk+=−+=+−+=+故线段AB的中点C的坐标为22243,3434kkkk−++，则线段AB中垂线1l的方程为2223143434kkyxkkk−=−+++令0y=，得20234kxk=−+，点

22,034kMk−+到直线l的距离223134kkdk+=+，又因为MAMB=，所以5tan152dMABAB==，即()2222121315341034kkkkk++=++化简得22515kk+=，解得24k=，故4,019M−.21.设函数21()(1

)2fxxaxalnx=−+−，1a．（1）曲线()yfx=在点()()2,2f处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）证明：若5a，则对任意1x，2(0,)x+，

12xx，有1212()()1fxfxxx−−−．【答案】（1）3a=（2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求得切线斜率，令斜率等于0，解方程可得a的值；（2）根据对数函数定义域为大于0的数，求出()fx讨论1a−与1的大小关

系，分别求得函数的单调区间；（3）构造函数()()gxfxx=+，求出导数，根据a的取值范围得到导函数一定大于零，则可判断函数()gx为单调递增函数，利用当120xx时有12()()0gxgx−即可得证.【小问1详解】函数21()(1)2fxxaxalnx=

−+−的导数为1()afxxax−=−+，()yfx=在点()()2,2f处的切线斜率为()2kf=1202aa−=−+=，解得3a=；【小问2详解】()fx的定义域为(0,)+，()211()xaxaafxxaxx−+−−=−+=()()11xaxx−−−=

，()i若11a−=即2a=，则2(1)()xfxx−=，故()fx在(0,)+单调递增．()ii若11a−，而1a，故12a，则当(1,1)xa−时，()0fx；当(0,1)xa−

及(1,)x+时，()0fx故()fx在(1,1)a−单调递减，在(0,1)a−和(1,)+单调递增．()iii若11a−，即2a，同理可得()fx在(1,1)a−单调递减，在(0,1)和(1,)a−+单调递增．【小问3详解】欲证1212()()

1fxfxxx−−−成立，即证明121212()()fxfxxxxx−+−−112212()()0fxxfxxxx+−+=−，设函数21()()(1)2gxfxxxaxalnxx=+=−+−+则211()1211(11)aagxxaxaaxx−−=−++−+=

−−−…，由于15a，故()0gx，即()gx在(0,)+单调增加，从而当120xx时有12()()0gxgx−，即1212()()0fxfxxx−+−，故1212()()1fxfxxx−

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