【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高三上学期10月阶段性检测理科数学试题 含解析.docx，共(20)页，2.243 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中南校区2024届高三期中考试理科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅

笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题1.已知

集合24xAx=，11Bxx=−，则AB=（）A.()0,2B.)1,2C.1,2D.()0,1【答案】B【解析】【分析】化简集合A和B，即可得出AB的取值范围.【详解】解：由题意

在24xAx=，11Bxx=−中，2Axx=，12Bxx=∴12ABxx=故选：B.2.已知复数z满足i2iz=−，其中i为虚数单位，则z为（）A.12i−−B.12i+C.12i−+D.12i−【答案】C【解析】【分析】计算12iz=−−，再计算共轭复数得到答

案.【详解】()()()2ii2i12iiiiz−−−===−−−，则12iz=−+.故选：C3.执行如图所示的程序框图，将输出的y看成输入的x的函数，得到函数()yfx=，若144ff=，则=a（）A.1−B.32−C

.1−或32−D.1【答案】B【解析】【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出14f，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.【详解】由程序框图可得()2,12,1xxyfxxax

==−，则1112442faa=−=−，若112a−，即12a−时，11213442ffaaa=−−=−=，解得1a=−（舍去）；若112a−≥，即12a−时

，12212424aff−===，解得32a=−.故选：B4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A.7.6B.7.8C.8D.8.2【答案】B【解析】【分析】首

先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数

字为9，又极差3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9、9，所以平均数为678997.85++++=.故选：B5.已知空间中a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）．A.若a

b⊥rr，bc⊥，则ac∥B.若⊥，⊥，则⊥C.若a⊥，b⊥，则ab∥D.若a⊥，a⊥，则⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面即可判断A；根据空间中两平面的位置关系即可判断B；根据空间中两直线的位置

关系即可判断C；根据线面垂直的性质判断面面平行即可判断D．【详解】对于A，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可以是平行、相交，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故C正确；对于D，垂直于同一条直线的两个平

面平行，故D错误．故选：C．6.“1a=”是“()lg1axfxax+=−是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为【分析】由()lg1axfxax+=−是奇函数，逐步化简，计算可得1a=，由此即可得到本题答案.【详解】当1

a=时，()1lg1xfxx+=−，由101xx+−得11x−，则()fx的定义域关于原点对称，又()()11lglg11xxfxfxxx−+−==−=−+−，则()fx是奇函数，故充分性成立；若()

lg1axfxax+=−是奇函数，则()()0fxfx−+=，即lglg011axaxaxax−++=+−，所以2222lg01axax−=−，则222211axax−=−，故22221axax−=−，所以21a=，故1a=，不一定推得1a=，从而必要性不成立；所以

“1a=”是“()lg1axfxax+=−是奇函数”的充分不必要条件.故选：A7.已知()2,0a=，13,22b=，则ab−与12ab+的夹角等于（）A.150B.90C.60D.30【答案】C【解析】【分析】根据向量模的坐标公

式,向量夹角的坐标公式，即可求解.【详解】因为向量()2,0a=，13,22b=，所以33,22ab−=−，则2233223ab+−=−=，同理,133222ab+=，312ab+=所以()131

122cos,12322abababababab−+−+===−+，所以ab−与12ab+的夹角为π3.故选：C.8.已知数列na和2nna均为等差数列，nS是数列na的前n项和，则510Sa=

（）A.1B.32C.2D.52【答案】B【解析】【分析】根据题意结合等差数列的性质分析可得10ad=，进而可得1naan=，代入运算即可.【详解】根据题意，设等差数列()11naand+−=，又因为()22111nnanddnad=+−+−是关于n的一次式，可得10ad=，则()111n

aandan=+−=，所以5111101253102Saaaaa+++==L.故选：B．9.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指

古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中PA⊥平面ABC，22,2,90PAABACBAC====，则该球的体积为（）A.16πB.16π3C.32π3D.8π【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥−PABC的

外接球即为以,,PAABAC为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线PD的长，得到该球的半径和体积.【详解】因为PA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以,PAABPAAC⊥⊥，又90BAC=，所以,,PAABAC两两垂直，所以三棱锥−PABC的外

接球即为以,,PAABAC为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线PD的长，因为22,2PAABAC===，所以2224PDPAABAC=++=，所以该球的半径为2，体积为34π32π233=.故选：C10.为了加强新型冠状病毒疫情防

控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（）A.24种B.36种C.48种D.64种【答案】B【解析】【分析】分

3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有133318CA=种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有233318CA=种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B11.已知函数()

fx为R上的奇函数，()1fx+为偶函数，则（）A.()()20fxfx−−+=B.()()1fxfx−=+C.()()22fxfx+=−D.()20230f=【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用函数的

奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于A中，函数()1fx+为偶函数，则有()()11fxfx+=−，可得()()2fxfx+=−，又由()fx为奇函数，则()()()()22,fxfxfxfx−−=−+−=−，则有()()2fxfx−−=−−，所以()(

)2fxfx−−−=−，即()()2=fxfx−−，所以A错误；对于B中，函数()1fx+为偶函数，则有()()11fxfx+=−，所以B不正确；对于C中，由()()()2+==fxfxfx−−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以()

fx是周期为4的周期函数，所以()()22fxfx+=−，所以C正确；对于D中，由()fx是周期为4的周期函数，可得()()()()15023140261ffff=−+=−=−，其中结果不一定为0，所以

D错误.故选：C.12.已知32a=，53b=，则下列结论正确的有（）①ab②11abab++③2abab+④baaabb++A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】求出a、b的值，比较a、b的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本

性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为32a=，53b=，则3log2a=，5log3b=.对于①，3223，则2323，从而2333320log1log2log33a===，3235，则2335，则235552log5lo

g3log513b===，即2013ab，①对；对于②，()()()11111ababababababab−−+−+=−+−=，因为2013ab，则0ab−，01ab，所以，11abab++，②错；对于③，35

5522log2log32log2log4ab===，所以，355353542log2log3log4log2loglog3log503abab+−=+−=−−=，所以，2abab+，③错；对于④，构造函数()l

nxfxx=，其中0ex，则()21lnxfxx−=.当0ex时，()0fx¢>，则函数()fx在()0,e上单调递增，因为01ab，则()()fafb，即lnlnabab，可得baab，所以，baaabb++

，④对.故选：B.二、填空题13.已知等差数列na满足13512aaa++=，10111224aaa++=，则na的前13项的和为__________【答案】78【解析】【分析】利用等差数列性质可计算得34a=，118a=，代入等差数列前n项和公式

即可求出结果.【详解】由等差数列性质可知1353312aaaa+==+，解得34a=；由10111211324aaaa++==，可得118a=；则数列na的前13项的和为()()()113311131313134878222aaaaS+

++====.故答案为：7814.()52xy−的展开式中23xy的系数为________．【答案】－40【解析】【详解】二项式展开式的通项公式为：()()552rrrCxy−−,令3r=可得：23xy的系数为：()3

3252140C−=−.故答案为-40.点睛：在Tr＋1＝rnrrnCab−中，rnC是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rnC，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有

关，可正可负．15.已知定义在R上函数()fx满足()()11fxfx−=+，且()1fx−是偶函数，当13x时，()124xfx=+，则()2log40f=__________【答案】114##2.75【解析】【分析】利用函数的奇偶性、周期性结合对数运算法则计算即可.【详解

】由()1fx−是偶函数，()()11fxfx−=+，所以()()()()()11131fxfxfxfxfx−−=−−+=−=+，即()()4fxfx=+，故()fx的一个周期为4，所以()()25log222251

11log40log404log2244fff=−==+=.故答案为：11416.锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a=，且cos2cosbABa−=，则2cb−的取值范围为___________.【答案】30,3【解析】【分析】根据正弦

定理结合已知可得2BA=，于是由锐角三角形ABC，可得ππ64A，再用正弦定理与二倍角及和差角公式可将2cb−转化为212coscoscAbA−=−，由函数单调性可得其范围.【详解】解：因为2a=，且co

s2cosbABa−=，所以coscosbAaBa−=由正弦定理sinsinabAB=得：sincossincossinBAABA−=，所以()sinsinBAA−=又锐角三角形ABC中，π,0,2AB

，则BAA−=，即2BA=的所以ππ3CABA=−−=−，由于锐角三角形ABC，所以π02π022π0π32AAA−，解得ππ64A所以()223sin2sin2sinsin2sincoscossinsinsins

insin22sincosAAAccaCAAAAAAAbbBAAA+−−−−+−−====22222coscossin14cos212cos2cos2coscosAAAAAAAA+−−−===−由于ππ64A，则cosyA=在ππ,64

上递减，1cosyA=在ππ,64上递增所以212coscoscAbA−=−在ππ,64上递减，于是有132cos0,cos3AA−，即2cb−的取值范围为30,3

.故答案为：30,3.三、解答题17.已知数列na满足0na，()()()()()*12313131313Nnnaaaaan+=+++．（1）证明：数列1na是等差数

列；（2）求数列1nnaa+前n项和nT．【答案】（1）证明见解析（2）nT()*N64nnn=+【解析】【分析】（1）利用退一作商法，结合等差数列的知识证得数列1na是等差数列.（2

）利用裂项求和法求得nT.【小问1详解】的因为()()()()12313131313nnaaaaa++++=①，所以当2n时，()()()()1231113131313nnaaaaa−−++++=

②．因为0na，所以由①②得113nnnaaa−+=，即113nnnnaaaa−−+=．所以1113nnaa−+=，即1113nnaa−−=−．由()()()()12313131313nnaaaaa++++=，得1113aa+=，所以

112a=−，所以12na=−．所以数列1na是以-2为首项，-3为公差的等差数列．小问2详解】由（1）得()()*123131Nnnnna=−−−=−+，即()*1N31nann=−−，所以11

1111313233132nnaannnn+=−−=−−+−+．所以1223341nnnTaaaaaaaa+=++++111111111111325358381133132nn

=−+−+−++−−+111111111325588113132nn=−+−+−++−−+1113232n=−+()*64nnn=+N．18.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，D是AC的中点.【（1）证明：1

AB//平面1BCD.（2）若1,90,45ABBCABCBAB===，求二面角11BCDB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）以B为坐标原点，分别以1,,BCBABB的方向

为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面11BCD和平面1CDB的法向量，由二面角的向量公式即可求出答案.【小问1详解】证明：连接1BC交1BC于点E，则E是1BC的中点，连接DE，又D是AC的中点，所以1DEAB∥.又1AB平面1,

BCDDE平面1BCD，所以1AB//平面1BCD.【小问2详解】解：以B为坐标原点，分别以1,,BCBABB的方向为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设2AB=，则()()()()1110,0,0,2,0,2,1,1,0,0,0,2,(1BCDBDC=，()()11

,2),1,1,2,1,1,0DBBD−=−−=.设()1111,,nxyz=是平面1BCD的法向量，由1110,0,nDCnBD==可得1111120,0,xyzxy−+=+=令11y=，得()11,

1,1n=−.设()2222,,nxyz=是平面11BCD的法向量，由21210,0,nDCnDB==可得22222220,20,xyzxyz−+=−−+=令21z=，得()20,2,1n=.所以121212315cos,535nnnn

nn===，即二面角11BCDB−−的余弦值为155.19.某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：

亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求

的分布列及期望；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X4080X80120X120X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损

800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】（1）()0.3E=（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机【解析】【详解】试题分析：(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机．试题解析：（1）依题

意，(120)0.1PX=，由二项分布可知，()~3,0.1B.()()303010.10.729PC==−=,()()21310.110.10.243PC==−=,()()22320.110.10.027PC==−=,()33330.

10.001PC===,所以的分布列为01230.7290.2430.0270.001()30.10.3E==.（2）记水电站的总利润为Y（单位：万元），①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于

40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y=，()500015000EY==；②若安装2台发电机，当4080X时，只一台发电机运行，此时50008004200Y=−=，()42000.2PY==，当80X时，2台

发电机运行，此时5000210000Y==，()100000.8PY==，()42000.2100000.88840EY=+=.③若安装3台发电机，当4080X时，1台发电机运行，此时500028003400Y=−=，()34000.2

PY==，当80120X时，2台发电机运行，此时500028009200Y=−=，()92000.7PY==，当120X时，3台发电机运行，此时5000315000Y==，()150000.1PY==，()34000.292000.7150000.18620EY=++

=综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.20.如图，在平面四边形ABCD中，7AC=，3AB=，DACBAC=，21sin14BAC=．（1）求ABC；（2）若2π3CDA=，求BCD△的面积．【答案】（1）π3ABC=；（2）BCD△的面积为5

328.【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长，再由正弦定理求ABC；（2）利用正弦定理求CD，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求sinBCD，进而求得BCD△的面积．【小问1详解】因为21sin14BAC=，BAC为锐角，所以22157cos1141

4BAC=−=．因为7AC=，3AB=，在ABC中，由余弦定理得2222cosBCACABACABBAC=+−，即25779273114BC=+−=，得1BC=．在ABC中，由正弦定理得sin

sinACBCABCBAC=，所以71sin2114ABC=，所以213sin7142ABC==，因为ACAB，所以ABCACB??，故π02ABC，所以π3ABC=；【小问2详解】在ADC△中，由正弦定理得sinsin

CDACDACCDA=，又7AC=，21sinsin14DACBAC==，2π3CDA=，即7213142CD=，所以1CD=．因为2πABCBCDCDADAB+++=，2π3CDA=，π3ABC=，所以πBCDDAB+=，所以()sinsinπs

in2sincosBCDDABDABBACBAC=−==，所以215753sin2141414BCD==，所以BCD△的面积115353sin11221428SBCCDBCD===.21.已知函数()()21xfxeaxex=−−−.（1）当0a=时，

求()fx的单调区间；（2）当0x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.参考数据：2.72e，ln20.69.【答案】（1）减区间为(),1−，增区间为()1,+；（2）(,1−.【解析】【分析】（1）当0a=时，求得()xfxee=−，分析导数的符号变化，由此可求

得函数()yfx=的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f可得1a，可得出()()21xfxexex−−−，构造函数()()21xgxexex=−−−，利用导数证明出()0gx对一切0x恒成立，由此可求得实数a的取值范围.【详解

】（1）当0a=时，()xfxeex=−，则()xfxee=−.令()0fx，得1x；令()0fx¢>，得1x.故函数()yfx=的单调递减区间为(),1−，调递增区间为()1,+；（2）因为当0x时，()0fx恒成立，且()

10f=，由()010fa=−，可得1a.因为1a，所以()()()2211xxfxeaxexexex=−−−−−−，设()()21xgxexex=−−−，则()()21xgxexe=−−−.设()()()21xhxgxexe==−−

−，则()e2xhx=−.令()0hx，得ln2x；令()0hx，得0ln2x.故函数()yhx=在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+上单调递增，因为()()0030hge==−，()()ln2ln242ln20hge==−−，()()110hg==

，所以存在()00,ln2x，使()00gx=.当00xx或1x时，()0gx；当01xx时，()0gx.则函数()ygx=在()00,x上单调递增，在()0,1x上单调递减，在()1,+上单调递增.因为()()010gg==，所以()0gx对一切的0x恒成立.故a

的取值范围为(,1−.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cos1s

inxtyt=+=+（t为参数），)0,π．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=．（1）求2C的直角坐标方程；（2）已知点(1,1)P，设1C与2C的交点为A，B．当22111PAPB+=时，求1C的极坐标方程．

【答案】（1）224xyx+=（2）()πR4=【解析】【分析】（1）根据222cosxyx=+=将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线1C的参数方程代入2C的直角坐标方程，根据t的几何

意义可设1PAt=，2PAt=，列出韦达定理，由22111PAPB+=求出，即可求出1C的普通方程与极坐标方程.【小问1详解】因为曲线2C的极坐标方程为4cos=，即24cos=，因为222cosxyx=+=，

所以224xyx+=，所以2C的直角坐标方程为224xyx+=.【小问2详解】将曲线1C参数方程为1cos1sinxtyt=+=+（t为参数）代入2C的直角坐标方程，整理得()22sincos20tt+−−=，由t的几何意义可设1P

At=，2PAt=，因为点(1,1)P在2C内，所以方程必有两个实数根，所以()122sincostt+=−−，122tt=−，因为()()()2222212121222222212122112sin21ttttPBPAttPAPBPAPBtttt+−+===

−++==，所以sin21=，因为)0,π，所以π22=，即π4=，所以1C的普通方程为yx=，则1C的极坐标方程为()πR4=.23.已知函数()2322fxxx=++−，()sin2gxx=．（1）求函数()()fx

gx+的最小值；的（2）设,(1,1)ab−，求证：211222abab+−−+．【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）写出()fx分段函数形式，分析()fx、()gx的性质及最值，即可

确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明||1abab++，进一步转化为证22()11(0)ab−−即可.【小问1详解】由题设()341,235,1241,1xxfxxxx−−−=−+，而()sin2gxx=在3

(,]2−−、3(,1]2−、(1,)+上均能取到最小值1−，对于()fx在3(,]2−−上递减，3(,1]2−上为常数，(1,)+上递增，且连续，所以()()fxgx+的最小值在3(,1]2−上取得，即π4x=−时，最小值为4.【小问2详解】由21

1221122||ababab+−−+−+=+，仅当(21)(12)0ab+−取等号，要证211222abab+−−+，即证||1abab++，则22()(1)abab++，需证22222()1(1)(1)0ababab−−+=−−，而,(1,1

)ab−，即22,[0,1)ab，所以22()11(0)ab−−恒成立，故211222abab+−−+得证.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com