【文档说明】四川省内江市第六中学202025届高三上学期第二次月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，974.286 KB，由小赞的店铺上传

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内江六中2024-2025学年（上）高2025届第二次月考数学试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题（满分58分）一、单选题（每题5分，共40分．）1.已知集合230,0,1,2,3,4xAxxB=−=∣，则AB=（）A

.{0}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{3,4}【答案】C【解析】【分析】根据所给集合，把集合B中元素代入集合A中检验即可得解.【详解】由230,{0,1,2,3,4}xAxxB=−=∣，

把0,1,2,3,4代入230xx−检验，可得0,4成立，故{0,4}AB=，故选：C2.下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（）A.3()fxx=−B.3()fxxx=−C.()22xxfx−=−D.()ln|1|ln|1|fxxx=++−【答案】C【解析】【分析】分别判

断各函数的单调性和奇偶性即可.【详解】A选项，3()fxx=−在R上单调递减，不合题意；B选项，3()fxxx=−，2()31xfx=−，当33,33x−时，()0fx，()fx单调递减，不合题意；C选项，()22xxfx−=−，定义域为R，()()2222()xxxxfx

fx−−−=−=−−=−，函数为奇函数，由函数2xy=和2xy−=−都是R上的增函数，所以()fx为R上的增函数，C选项正确；D选项，2()ln1ln1ln1fxxxx=++−=−，当1x−时，结合二次函数性质可知，函数21yx=−单调递减，则()fx单调递减，不合题意.故选：C.3.

若随机事件A，B满足()13PA=，()12PB=，()34PAB=，则()PAB=（）A.29B.23C.14D.16【答案】D【解析】【分析】先由题意计算出()PAB，再根据条件概率求出()PAB即可.【详解】由题意知：()3()(

)()4PABPAPBPAB==+−，可得1131()32412PAB=+−=，故()1()1121()62PABPABPB===.故选：D.4.已知()fxx=是幂函数，则“是正偶数”是“()fx的值域为)0,+”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.【详解】当是正偶数时，显然()0fxx=，即其值域为)0,+．当()fxx=时，()fx的值域为)0,+，但不是正偶数．故“是正

偶数”是“()fx值域为)0,+”的充分不必要条件．故选：A5.已知()()()()1fxxxaxb=+++为奇函数，则()yfx=在0x=处的切线方程为（）A.0xy+=B.0xy−=C30xy+=D.30xy−=【答案】A的.【解析】【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导

数和切线相关知识求解切线方程即可.【详解】因为()()()()()()211fxxxaxbxxabxab=+++=++++()()321xabxababxab=+++++++，所以()()()321fxxabxababxab−=−+++−+++，因为(

)fx为奇函数，所以()()()22120fxfxabxab−+=+++=对Rx恒成立，所以100abab++==，代入函数表达式得()3fxxx=−，所以()231fxx=−，则()()00,01ff==−，所以()yfx=在

0x=处的切线方程为yx=−，即0xy+=.故选：A6.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在

百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）A.12B.23C.34D.56【答案】C【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是

千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244CC24=种可能．要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224CC12=种；若上珠拨

的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有1123CC6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=，故选：C．7.设,abR，若22426abab++=，则2232ab+的最小值为（）A.6B.33C.26D.4【答案】D【解析】【分析】由基本不等式结合待定

系数比例即可得解.【详解】设0t，222222222222221424244(1)aaabababtbabtbatbttt++=+++++=+++，令2214312tt+=+，解得2t=，所以229362ab+，即22324ab+，当且仅当287

a=，227b=时，等号成立．故选：D.8.已知函数3e,0()3,0xxfxxx=，()22gxxx=−+（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程()(())Fxgfxm=−恰有三个不同的零点123,

,xxx，且123xxx，则12333xxx−+的最大值为（）A.31ln4+B.41ln3+C.3ln3−D.3ln3+【答案】A【解析】【分析】根据解析式研究()fx、()gx的函数性质，由()Fx零点个数知，曲线()

gx与直线ym=的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+上，数形结合可得01m，12()()gtgtm==且12012tt，122tt+=，进而可得112123ln,,333tttxxx===代入目标式，再构

造函数研究最值即可得解.【详解】由()fx解析式，在(,0]−上()fx单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+上()fx单调递增且值域为(0,)+，函数()fx图象如下：所以，()fx的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在(1,)+上任意函数值都有一个x值与之对应，要

使()(())Fxgfxm=−恰有三个不同的零点123,,xxx，则曲线()gx与直线ym=的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+上，由2()2gxxx=−+开口向下且对称轴为1x=，由上图知：01m，此时12()

()gtgtm==且12012tt，122tt+=，结合()fx图象及123xxx有1321e3xxt==，323xt=，则112123ln,,333tttxxx===，所以11123121433lnln233ttxxxttt−+=−+=−+，且

101t，令4()ln23hxxx=−+且01x，则1434()33xhxxx−==−，当3(0,)4x时()0hx，()hx递增；当3(,1)4x时()0hx，()hx递减；所以max33()()ln144hxh==+，故12333x

xx−+最大值3ln14+.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断()gx与ym=的交点横坐标12,tt的范围，进而得到为123,,xxx与12,tt的关系，代入目标式并构造函数研究最值.二、多选题（每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项

中，有多个选项是符合要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.一组数据122023,,,xxx是公差为2的等差数列，若去掉三项110122023,,xxx后，则（）A.平均数没变B.中位数没变C.方

差没变D.极差没变【答案】AB【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A，由中位数的概念可判断B，由方差及数列求和公式计算即可判断C，根据极差及等差数列的通项公式可判断D.【详解】由题意可知，对于选项A，原数据的平均数

为1202312202310122023()11()202320232xxxxxxx+=+++==，去掉110122023,,xxx后的平均数为101212023101210121(2023)2020xxxxxxx=−−−==，即平均数不变，故

选项A正确；对于选项B，原数据的中位数为1012x，去掉110122023,,xxx后的中位数仍为1011101310122xxx+=，即中位数没变，故选项B正确；对于选项C，则原数据的方差为2222222110122101220231012()()()(2022)(20

20)(2022)20232023xxxxxxs−+−++−+++==2222222[24(2022)]8[12(1011)]810111012202313641762023202320236++++++====，去掉110122023,,xxx

后的方差为2222222222101220221012()()(2020)(2018)(2020)2[24(2020)]202020202020xxxxs−++−++++++===2228[12(1010)]81010101120211362154202020206+++==

=，即方差变小，故选项C错误；对于选项D，原数据的极差为20231202224044xx−==，去掉110122023,,xxx后的极差为20222202024040xx−==，即极差变小，故选项D错误.故选：AB10.已知函数�

�=𝑓(𝑥)的导函数为𝑦=𝑔(𝑥)，且()332gxxx=−+，则（）A.点()0,2是曲线𝑦=𝑔(𝑥)的对称中心B.函数()gx有三个零点C.函数()fx只有一个极值点D.当10x+时，()()e1xffx+【答案】ACD

【解析】【分析】选项A根据33yxx=−是奇函数，图象关于点()0,0对称可判断；选项B根据导数求得单调性和极值可判断；选项C根据导数判断函数的单调性进而可得；选项D先构造函数()e(1)xhxx=−+利用单调性判断e1x

x+，进而利用()fx的单调性可得.【详解】选项A：因为33yxx=−是奇函数，图象关于点()0,0对称，所以()332gxxx=−+的图象关于点(0,2)对称，A正确；选项B：因为()233gxx=−，由()0gx解得1x−或1x，()0gx

解得11x−，所以()gx在区间(,1−−单调递增，(−1,1)单调递减，)1,+单调递增，且()14g−=，()10g=，()20g−=，所以()gx有两个零点，B错误；选项C：因为()()fxgx=，所以()fx在区间(,2−−单调递减，(2,)−+单调递增，即

()fx只有一个极值点，C正确；设()e(1)xhxx=−+，()e1xhx=−，由ℎ′(𝑥)>0解得0x，ℎ′(𝑥)<0解得0x，所以ℎ(𝑥)在区间(,0−单调递减，(0,+∞)单调递增，()(0)0hxh=，所以e1xx+，因()fx在区间

()2,−+单调递增，所以由102exx+−，得()(e)1xffx+，D正确，故选：ACD．11.定义域为𝑅的连续函数()fx，对任意()()()(),,xyfxyfxyfxfy++−=R，且()fx不恒为为0，则下列说

法正确的是（）A.()fx为偶函数B.()()00fxf+C.若𝑓(1)=0，则101()2ifi==−D.若0为()fx的极小值点，则()fx的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】令0xy==，先求()02f=，再令0x=，结合奇偶性定义判断A，令xy=

，结合换元法判断B，令1y=，结合𝑓(1)=0，先求出()fx周期为4，算出()()()()1234ffff+++即可判断C，利用极小值定义求出()fx的最小值判断D.【详解】对于选项A，令0xy=

=，有()()()2000fff=，解得()00f=或()02f=，若()00f=，只令0y=，有()()()200fxfxf==，则()fx恒为0，所以()00f，所以()02f=，只令0x=，有()()()()0fyfyffy+−=，因

为()02f=，所以()()()()()02fyfyffyfy+−==，即()()fyfy−=，所以𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，所以()fx为偶函数，故选项A正确；对于选项B，令xy=，有()()()2200fxffx+=，令2tx=R，所以()()00ftf+，故()(

)00fxf+，故选项B错误；对于选项C，若𝑓(1)=0，令1y=，有()()()()1110fxfxfxf++−==，所以()()110fxfx++−=，所以𝑓(𝑥+2)+𝑓(𝑥)=0，所以𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥+4)=−𝑓(𝑥+2)=𝑓

(𝑥)，所以()fx的周期为4，因为()02f=，𝑓(1)=0，的所以()()202ff=−=−，()()310ff=−=，()()402ff==，所以()()()()123402020ffff+++

=−++=，所以()()()()101()21234(1)(2)0022ififfffff==+++++=+−=−，故选项C正确；对于选项D，由选项A可知()02f=，因为()fx为偶函数，所以只需求解0x的()fx的取值范围，因为0为

()fx的极小值点，所以存在0a，使()0,xa时，()()02fxf=，由选项B可知，()()()220fxffx+=，所以()()()()22202fxfxffx=−=−，若()()2fxfx，则()()

22fxfx−，则有()12fx−，与()0,xa时，()()02fxf=矛盾，故()()2fxfx，所以()()22fxfx−，解得()1fx−或()2fx，由上述过程同理可证()1fx−不成立，所以()2fx，所以当0x时，

()2fx，又因为()fx为偶函数，所以当xR时，()fx的最小值为2，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用极值的定义知存在0a，使()0,xa时，()()02fxf=，再利用选

项B中结论()()()220fxffx+=，再分()()2fxfx和()()2fxfx两种情况，即可求解.第Ⅱ卷非选择题（满分92分）三、填空题（每题5分，共15分．）12.已知0ba，42loglog1ab+=，且lglgab=，则ab+=______.【答案

】174【解析】【分析】根据对数的运算可得24ab=和1ab=，即可求解.【详解】解：因为0ba，2242444logloglogloglog1ababab+=+==，所以24ab=，因为lglgab=，所以lglgab−=，所以lglg0ab+=，即1ab=，

所以4b=，14a=，则17.4ab+=故答案为：17.413.设5260126(1)(12)xxaaxaxax−+=++++，则2a=______．【答案】30【解析】【分析】要求2a，只要求解展开式中的含2x项的系数，根据题意只要先求出5(12)x+的通项，即可求解【详解】解52

60126(1)(12)xxaaxaxax−+=++++，又555(1)(12)(12)(12)xxxxx=−+++−，而5(12)x+展开式的通项为152CrrrrTx+=5(1)(12)xx−+展开式中含2x的项为222125522CC30xxxx−=230a=故答案为：3

014.已知函数()(1)2(0xxfxaaa=++−且1)a，若函数()fx恰有一个零点，则实数a的取值范围为_________．【答案】51(1,)2−+【解析】【分析】首先注意到()00f=，则(

)fx已经有一个零点了，再讨论一下单调性即可.【详解】首先注意到()00f=，当1a时，函数()fx在R上单调递增，显然满足题设；当01a时，()ln(1)ln(1)xxfxaaaa+=++，

显然函数()fx在R上单调递增，由于lim(),lim()xxfxfx→−→+→−=+，故()fx存在唯一零点，若()fx只有一个零点0x=，此时也必为极值点，又此时lim()lim()xxfxfx→−→+

==+，则只需()()0lnln10faa=++=，11ln(1)lnln1aaaaa+=−=+=，21510,2aaa−+−==，因为01a解得512a−=；综上所述，则实数a的取值范用为()511,2−+．故答案为：()511,2−+

四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分．）15.公差不为零的等差数列na满足358aaa=，61a=.（1）求na的通项公式；（2）记na的前n项和为nS，求使nnSa成立的最大正整数n.【答案】（1）211nan=−（

2）10n=【解析】【分析】（1）设na的公差为()0dd，利用等差数列通项公式可构造方程组求得1,ad，由此可得na；（2）由等差数列求和公式可求得nS，由nnSa可构造不等式组求得n的范围，由此可得结果.【小问1详解】设等差数

列na的公差为()0dd，由35861aaaa==得：()()111124751adadadad+=+++=，解得：192ad=−=，()921211nann=−+−=−.【小问2详解】由（1）得：()29211102nnnSnn−+−=

=−，若nnSa，210211nnn−−，即()()212111110nnnn−+=−−，解得：111n；nnSa成立的最大正整数10n=.16.某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销

量y吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图.xyt1021iix=1021iit=101iiixy=101iiity=0.331030.16410068350表中1tx=.（Ⅰ）根据

散点图判断，ˆˆˆybxa=+与1ˆˆˆycxd−=+哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；（Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依

据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？（经验回归方程ˆˆˆybxa=+中，()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−

，ˆˆaybx=−）【答案】（Ⅰ）1ˆˆˆycxd−=+更适合；（Ⅱ）5ˆ5yx=−；（Ⅲ）每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元.【解析】【分析】（Ⅰ）直接根据散点图的形状即可进行判断；（Ⅱ）令1tx=，则yctd=+，利用公式求

出,cd得值即可求解；（Ⅲ）求出利润的表达式，由基本不等式求出最值，确定等号成立的条件，即可求解.【详解】（Ⅰ）根据散点图可知，1ˆˆˆycxd−=+更适合作为y关于x的经验回归方程；（Ⅱ）令1tx=，则yctd=+，所以1222110350

10310510010310niiiniitytyctt==−−===−−，所以10535dyct=−=−=−，所以15ˆˆˆ5ycxdx−=+=−，故y关于x的经验回归方程为5ˆ5yx=−，

（Ⅲ）一天的利润为()()50.250.2550.256.255Wyxxxxx=−=−−=−+0.256.25526.25520.51.25xx−=−=，当且仅当0.25xx=即0.5x=时等号成立，所以预计每吨定价

为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元.17.已知1ex=为函数()lnafxxx=的极值点．（1）求a的值；（2）设函数()exkxgx=，若对()120,,xx+R，使得()()120fxgx−，求k的取值范围．【答

案】（1）1a=（2）(()10,−−+,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a的值；（2）先由（1）求出()fx的最小值，由题意可得是求()gx的最小值，小于等于()fx的最小值，对()gx求导，判断由

最小值时的k的范围，再求出最小值与()fx最小值的关系式，进而求出k的范围．【小问1详解】()()111lnln1aafxaxxxxaxx−−==++，由1111ln10eeeafa−=+=

，得1a=，当1a=时，()ln1fxx=+，函数()fx在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增，所以1ex=为函数()lnafxxx=的极小值点，所以1a=．【小

问2详解】由（1）知min11()eefxf==−．函数()gx的导函数()()1exgxkx−=−①若0k，对()1210,,xxk+=−，使得()()12111e1ekgxgfxk=−=−−−，即()()120

fxgx−，符合题意．②若()0,0kgx==，取11ex=，对2xR，有()()120fxgx−，不符合题意．③若0k，当1x时，()()0,gxgx在(),1−上单调递减；当1x时，()()0,gxgx在(1,+∞)上单调递增，所以()min()1ekgxg==，

若对()120,,xx+R，使得()()120fxgx−，只需minmin()()gxfx，即1eek−，解得1k−．综上所述，k的取值范围为((),10,−−+．18.某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概

率为35，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.（1）如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使

得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现某次射击

击中的概率小于29时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.（2）如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?附:l

n20.693,ln31.099,ln51.609.【答案】（1）分布列见解析，226125（2）5次．【解析】【分析】（1）设第i次射击击中猎物的概率为)N(ipi，猎人和猎物之间的距离为)N(idi，则iikpd=(k为常数*Ni)，由135p

=，1100d=，求出k和符合题意234,,ppp，由射击次数X的所有取值，计算相应的概率，列出分布列，计算数学期望；（2）利用对立事件，计算至少击中一次的概率，列不等式借助对数式的运算计算射击次数.【小问1详解】因为猎人每次射击击中猎物

的概率与他和猎物之间的距离成反比，设第i次射击击中猎物的概率为)N(ipi，猎人和猎物之间的距离为)N(idi，则iikpd=(k为常数*Ni)，∵135p=，1100d=，∴1160kpd==，∴60iip

d=，∴26021505p==，360320010p==，460625025p==．当5i时，601230059ip=，停止射击．设猎人的射击次数为X，则X的所有取值为1，2，3，4()315PX==，()324215525PX=

=−=，()32393115510125PX==−−=，()3232141115510125PX==−−−=，∴X的分布列为x1234P354259125211

25∴X的数学期望为()349212261234525125125125EX=+++=.【小问2详解】记“第i次射击击中猎物”为事件iA，i=1，2，…，则n次连续射击至少击中猎物一次的概率为()123981115100nnPPAAA=−=−−

，故2ln5ln221.6090.6934.270ln5ln21.6090.693n++−−，所以至少要连续射击5次．19.设函数22()e22xfxxaxaxaa=−−+−，其中aR．（1）讨论()fx的单

调性；（2）当()fx存在小于零的极小值时，若12,0,2xx，且()()112sincosfxfxx，证明：12xx．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导函数，根据()()0fxfx为增函数，()()0fxfx为减函数.（2）首先根据（

1）的结果判断出满足条件()fx的单调性，再利用构造函数()sincosxgxxx=−判断其单调性即可得出结论.【小问1详解】由()()()()22e221e2xxfxxaxaxaafxxa=−−+−=+−①当0a时，()()01fxxfx−在()

1,−+上单调递增.()()01fxxfx−在(),1−−上单调递减.②当0a时，令()1201,ln2fxxxa==−=（i）当121xx==−时，12ea=，()()11xfxxee=+−当1x−时，

110,e0exx+−，此时()0fx；当1x−时，110,e0exx+−，此时()0fx；当=1x−时，110,e0exx+=−=，此时()0fx=；当12ae=时，()0fx恒成立，故()

fx在R上单调递增（ii）当1212exxa时，()01fxx−或ln2xa，()01ln2fxxa−，故()fx在(),1−−和()ln2,a+上单调递增，在()1,ln2a−上单调递减.(iii)当121

02xxae时，()0ln2fxxa或1x−，()0ln21fxax−，故()fx在()ln2,1a−上单调递减，在(),ln2a−和()1,−+上单调递增.综上所述：当0a

时，()fx在()1,−+上单调递增.在(),1−−上单调递减.当0a时，若12ea=，()fx在R上单调递增；若12ea，()fx在(),1−−和()ln2,a+上单调递增，在()1,ln2a−上单调递减；若102ea，()fx在()ln2,1a−上单调递减，在(),ln

2a−和()1,−+上单调递增.【小问2详解】当()fx存在小于零的极小值时，12ea满足题意，此时()fx在(0,+∞)上单调递增；当12ea时，极小值为()()222(ln2)2ln2ln22ln22ln2210faaaaaaaaaaaa=−−+−=−−+

，令()()2ln221pxxx=−+，则()()2ln2xxpxx−=，再令()()1ln2,xtxxxtxx==−−，该函数在()0,1上单调递增，在()1,+单调递减，所以()()1ln210txt=

−，所以()0px，()px单调递减，又102p=，所以12e12a，ln20a，()fx在(0,+∞)上单调递增；所以当()fx存在小于零的极小值时，()fx在(0,+∞)上单调递增，()()112112sincossincosfxfxxxxx

111121sincossincosxxxxxx令()()22sincossinsincosxxxxxxgxxgxxx−+=−=令()()22cossinsincossin0uxxxxxxuxxxxx=−+=+()ux在0,2上单调递增，而()0

0u=()0ux()()0gxgx在0,2上单调递增()00coscossinsincoslimlim01xxxxxxxxxx→→−−−==()sin0cosxgxxx从而11122111sinsincoscoscosco

sxxxxxxxxcosyx=在0,2上单调递减12xx