【文档说明】【精准解析】四川省泸县第四中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题.doc，共(23)页，1.904 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省泸县第四中学高三第一学月考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R，集合{|14}

Mxx=−，2|log(2)1Nxx=−，则()UMCN=（）A.B.{|42}xx−C.{|4<<3}xx−D.{|12}xx−【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出集合N的取值范围，然后由

集合的基本运算得到答案．【详解】由2log(2)1x−得20x−且22x−，所以24x，所以24UCNxxx=或，则()UMCN={|12}xx−【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基

本运算，属于简单题．2.在复平面内，复数11i−的共轭复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：11111(1)(1)22iiiii+==+−−

+的共轭复数为1122i−对应点为11(,)22−，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩X近似服从正态分布()282,N，且(7482)0.42PX

=.已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A.64B.81C.100D.121【答案】A【解析】【分析】通过数学成绩X近似服从正态分布()282,N，可以看出数学成绩X关于82X=对称，通过(7482)0.42PX=，可以计算出(8290)

PX，这样可以求出(90)(74)PXPX=，这样就可以估计出我市某校有800人参加此次考试，该校数学成绩不低于90分的人数.【详解】因为数学成绩X近似服从正态分布()282,N，所以数学成绩X关于82X=对称，已知(7482)0.42PX=，所以(8290)=0.42PX，

10.422(90)(74)=0.082PXPX−==，所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为0.0880064=，故本题选A.【点睛】本题考查了正态分布的应用、重点掌握的是当2(,)XN时，

X关于X=对称这个重要性质.4.函数2||()xxfxe−=的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()xxfxe−=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由

指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．5.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件、C.充分必要条件D.既不充

分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】1212311101aaaaaaqaqq或1001aq，所以数列｛an｝是递增数列若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“

a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，选C6.已知tan3=，0,2，则()sin2cos+−的值为()A.61010−B.61010+C.51010−D.51010+【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦

切互化公式求得表达式的值.【详解】tan3=，0,2得10310cos,sin1010==，而()3101010610sin2cos2sincoscos210101010−+−=−=−=.故选A.【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦

值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.7.已知定义在R上的函数()2xfxx=，3(log5)af=，31(log)2bf=−，(ln3)cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bca

C.abcD.cab【答案】D【解析】【分析】先判断函数在0x时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log2)bf=，比较33log5,log2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x时的单调性

，比较出三个数,,abc的大小.【详解】当0x时，'()22()2ln220xxxxfxxxfxx===+，函数()fx在0x时，是增函数.因为()22()xxfxxxfx−−=−=−=−，所以函数()fx是奇函数，所以有33311(log)(log)(log2)22b

fff=−=−=，因为33log5loln31g20，函数()fx在0x时，是增函数，所以cab，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8.若实数x，y满足10200xyxyx

−++−，且27(3)xycx+−−恒成立，则c的取值范围是（）A.(3]5,−B.(,2]−C.5[,)3+D.[2,)+【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数分式的几何意义求出

最大值即可得到结论．【详解】作出不等式组10200xyxyx−++−„„…对应的可行域如图所示的ABC，且13,22A，()0,2B，()0,1C，则对于可行域内每一点(),Pxy，都有102x剟，30x−，()273xycx+−−…即为273xycx+

−−…恒成立，转化为273xyZx+−=−的最大值.()()2311233xyyZxx−+−−==+−−，又13yx−−即为点(),Pxy和点()3,1M连线的斜率，由图可知：13MBMCykkx−−剟，即5,23Z，m

ax2Z=，2c…，故选D.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．9.已知F是椭圆C：22132xy+=的右焦点，P为椭圆C上一点，(1,22)A，则PAPF+的最大值为（）A.42+B.42C.43+D.43【答案】D【解析】【分析】

设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝23，而所求|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝23；又F′（﹣1，0）

，|AF′|22(11)2223=−−+=（），∴|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|

最大，为|AF′|23=，∴|PA|+|PF|的最大值为232343+=，故选D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．10.已知函数()2sin(2)6fxx=+，若对任意的(

1,2)a，关于x的方程()0(0)fxaxm−=总有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A.232,B.,32C.2,23D.,63【答案】B【解析】【分析】令()1fx=，且0x，解得20,,,

,323x=，根据12a且()2fx，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2sin26fxx=+，令()1fx=，且0x，即2sin26x+=，解得20,,,,323x=，又因为12a，

且()2fx，所以要使得()0fxa−=总有两个不同实数根时，即函数()yfx=与(12)yaa=的图象由两个不同的交点，结合图象，可得32m，所以实数m的取值范围是,32m.【点睛】本题

主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.三棱锥DABC−的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为3的正三角形.若球

O的表面积为16，则三棱锥DABC−体积的最大值为（）A.934B.332C.23D.33【答案】A【解析】【分析】根据ABC是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得1OO，可求得三棱锥高的最大值，进

而求得体积的最大值.【详解】由题意得ABC的面积为19333234sin=，又设ABC的外心为1O，则1233332AO==，由2416R=，得2R=，∵1OO⊥面ABC，∴11OO=.∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．此时三

棱锥DABC−高的最大值为123+=，∴三棱锥DABC−体积最大值为193933344=.故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()43120194fxa

xxx=−++，()'fx是()fx的导函数，若()'fx存在有唯一的零点0x，且()00,x+，则实数a的取值范围是（）A.(),2−−B.(),1−−C.()1,+D.()2,+【答案】A【解析】【分析】令()0fx

=由参数分离可得2331xax−=令()2331xtxx−=求出导数和单调区间，可得极大值，由图象可得()12at−=−时，()tx存在唯一的正零点．【详解】()3231fxaxx=−+.显然()00f，令()0fx=得：2331xax−=，()0x令()233

1xtxx−=，()0x，()()()4311xxtxx+−=−知：当(),1x−−时，()0tx，()tx为减函数；当()1,0x−时，()0tx，()tx为增函数；当()0,1x时，()0tx，()tx为增函数；当()1,x+时，()0tx，()tx

为减函数，作出()tx的大致图象如图所示，则当()12at−=−时，()tx存在唯一的正零点.故选A【点睛】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用数形结合思想方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量3,4,(2,7)abab

==−=，则ab+=_____________．【答案】41【解析】【分析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得ab+的值.【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：()22222ababab++−=

+，且：2279ab−=+=，故：()292916ab++=+，解得：41ab+=.故答案为41．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在1，3，5，7这四个数字中任

取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，组成一个没有重复数字的5位数，则这样的5位数的个数为________（用数字作答）.【答案】2592【解析】【分析】先选数字，分0，2，4，6中选0与不选0，分别求得选法种数

，根据分步计数原理再进行排列即可得到结果．【详解】在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，当含0时，则有3143CC种选法，，因为0不能排在首位，共有31443441152CCA=

种结果，不含0时，则有3243CC种选法，共有3254351440CCA=种结果，共11521440+=2592.故答案为2592.【点睛】本题考查了数字的选取与排列问题，解题的关键是数字0要分清选上和不选两种情况，属于中档题．15.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有A，B，C，D，

E，F六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是A就行；乙说：C，D，E，F都行；丙说：我喜欢C，但是只要不是D就行；丁说：除了C，E之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．【答案】F【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为：,,,,BCD

EF，乙可以选择的手工纪念品的集合为,,,CDEF，丙可以选择的手工纪念品的集合为,,,,ABCEF丁可以选择的手工纪念品的集合为,,,ABDF，这四个集合的交集中只有元素F故答案为F16.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若()222sinsins

in2sinAcCAB+−=，且ABC的面积14Sabc=.则角B=__________．【答案】3【解析】【分析】ABC的面积14Sabc=,结合面积公式，可得2sincC=，代入已知等式中，得到222sinsinsinsinsinACACB+−=，先用正弦定理，后用余弦定理，最

后求出角B的值.【详解】111sin2sin442SabcabcabCcC===，代入()222sinsinsin2sinAcCAB+−=中，得222sinsinsinsinsinACACB+−=，由正弦定理sinsinsinabcABC==,可将上式化简为，222acacb+−=，由余弦

定理可知：2222cosbacacB=+−,所以有1cos2B=，又因为(0,)B，所以角B=3.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1

7~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列na的各项均为正数，前n项和为nS，11a=，121nnnaaS+=+．（

1）求数列na的项21na−；（2）求数列na的前2n项和2nS.【答案】（1）2121nan−=−（2）2222nSnn=+【解析】【分析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列na的项21na−；（2）结合题意和(

1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前2n项和2nS.【详解】（1）由121nnnaaS+=+得，12121nnnaaS+++=+，两式相减得()1212nnnnaaaa+++−=，因为数列na为正项数列，所以22nnaa+−=，又11a=，故数列21n

a−是以11a=为首项，公差为2的等差数列，所以()2111221nann−=+−=−.（2）由（1）知，22nnaa+−=，由11a=及121nnnaaS+=+得23a=故数列2na是以23a=为首项，公差为2的等差数列，所以()23122+1nann=+−=-所以212321

2nnnSaaaaa−=+++++()()212132+12222nnnnnn+−+=+=+.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.某鲜花店每天制作A、B两种鲜花共*()nnN束，每束鲜花的成本为a元，售价2a

元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：A种鲜花日销量48495051天数25352020B两种鲜花日销量48495051天数40351510以这10

0天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为X束，求X的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量n束.以销售这两种鲜

花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与99n=之中选其一，应选哪个？【答案】（1）详见解析；（2）应选99n=.【解析】【分析】（1）由题意得到X的可能取值，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）由（1）知在每天所制鲜花能全部卖完时，n＝96，此时销售的日总利润

的期望值为96a．再求出当n＝99时，销售的日总利润的期望值，比较可以得到应选n＝99．【详解】（1）X所有可能的取值为96，97，98，99，100，101，102，()960.250.40.1PX===，()970.250.350.350.40

.2275PX==+=，()980.250.150.350.350.20.40.24PX==++=，()990.250.10.350.150.20.350.20.40.2275PX==+++=，()1000.350.10.20.150.20.350.135PX==++=，

()1010.20.10.20.150.05PX==+=，()1020.20.10.02PX===.所以X的分布列为X96979899100101102P0.10.22750.240.22750.1350.050.02（2）记销售两种鲜花的日总利润为Y.当每天所制鲜花能全部卖完时，

()96EYa，由于卖出1束利润为a元，作废品处理1束亏a元.所以99n=时，()()()9630.19720.2275Eyaa=−+−()()9810.249910.10.22750.24aa+−+−−−97.0196aa=.所以应选99n=.【点睛】本题考查离散型随机

变量的分布列的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，属于中档题．19.如图，在以P为顶点，母线长为2的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若E是PC的中点

，连接OE，ED，当二面角BPOD−−的大小为120时，求平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）2613.【解析】【分析】（1）由AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，可得ACAB⊥,由PO⊥底面圆O，可得POAC⊥

，利用线面垂直的判定定理可知，AC⊥平面PAB，即可推出ACPB⊥.又在PAB中，22PAPBAB==，可推出PAPB⊥，利用线面垂直的判定定理可证PB⊥平面PAC，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面PAC⊥平面PBC.（2）由OBPO⊥，ODPO⊥，可知BOD

为二面角BPOD−−的平面角，即120BOD=∠，建立空间直角坐标系，易知1OB=，求得点的坐标如下；()0,1,0A−，()0,1,0B，31,,022D−23,1,03C−，()0,0,1P，311,,322E−，由

（1）知()0,1,1mBP==−为平面PAC的一个法向量，设平面ODE的法向量为(),,nxyz=，311,,322OE=−，31,,022OD=−，通过nOE⊥，nOD⊥，∴0nOE=，0nOD=，可求出平面ODE的一个法向

量为()3,3,1n=，∴26cos,13mnmnmn==−.∴平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为2613.【详解】解：（1）AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，ACAB⊥PO⊥底面圆O，∴POAC⊥POABO=，AC

⊥平面PAB，∴ACPB⊥.又∵在PAB中，22PAPBAB==，∴PAPB⊥∵PAACA=，∴PB⊥平面PAC，从而平面PAC⊥平面PBC.（2）∵OBPO⊥，ODPO⊥，∴BOD为二面角BPOD−

−的平面角，∴120BOD=∠，如图建立空间直角坐标系，易知1OB=，则()0,1,0A−，()0,1,0B，31,,022D−23,1,03C−，()0,0,1P，311,,322E−，

由（1）知()0,1,1mBP==−为平面PAC的一个法向量，设平面ODE的法向量为(),,nxyz=，311,,322OE=−，31,,022OD=−，∵nOE⊥，nOD⊥，∴0nOE=，0nOD=，∴311032231

022xyzxy−+=−=，即233030xyzxy−+=−=故平面ODE的一个法向量为()3,3,1n=，∴26cos,13mnmnmn==−.∴平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为2613.【点睛】本题考

查了通过线面垂直证明面面垂直.重点考查了利用空间向量法求二面角的问题.20.已知椭圆C的方程为22142xy+=，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于

原点的对称点为D．（1）证明：直线BD的斜率为定值；（2）求ABD面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】【分析】（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；（2）设直线BD的方程，由S△ABD＝2S△OB

D，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最大值．【详解】（1）设()11,Dxy，()22,Bxy，则()11,Axy−−，直线BD的斜率2121yy

kxx−=−，由22112222142142xyxy+=+=，两式相减，2112211212yyxxxxyy−+=−−+，由直线12121AByykxx+==−+，所以212112yykxx−==−，直线

BD的斜率为定值12.（2）连结OB，∵A，D关于原点对称，所以2ABDOBDSS=，由（1）可知BD的斜率12k=，设BD方程为12yxt=+.∵D在第三象限，∴21t−且0t，O到BD的距离21514ttd==+，由2212142yxtxy=+

+=，整理得：2234480xtxt++−=，∴1243txx+=−，()212423txx−=，∴1222ABDOBDSSBDd==()2121225425txxxx=+−()212124txxxx=+−，()2229632423

2233tttt−==−.∴当62t=−时，ABDS取得最大值22.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想.21.设()()3211232fxxxaxaR=

−++．（Ⅰ）讨论()fx的单调区间；（Ⅱ）当02a时，()fx在1,4上的最小值为163−，求()fx在1,4上的最大值．【答案】（Ⅰ）当18a−时，()fx的单调递减区间为(,)−+；当18a

−时，()fx的单调递减区间为118(,)2a−+−和118(,)2a+++，单调递增区间为118118(,)22aa−+++；（Ⅱ）103．【解析】【详解】试题（Ⅰ）2()2fxxxa=−++，其18a=+

（1）若180a=+，即18a−时，2()20fxxxa=−++恒成立，()fx在(,)−+上单调递减；（2）若180a=+，即18a−时，令2()20fxxxa=−++=，得两根11182ax−+=，21182ax++=当1xx或2xx时()0fx，()fx

单调递减；当12xxx时，()0fx，()fx单调递增．综上所述：当18a−时，()fx的单调递减区间为(,)−+；当18a−时，()fx的单调递减区间为118(,)2a−+−和118(,)2a+++，单调递

增区间为118118(,)22aa−+++；（Ⅱ）(),()fxfx随x的变化情况如下表：x1xx1xx=12xxx2xx=2xx()fx−0+0−()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减当02a时，有1214xx，所以()fx在[1,

4]上的最大值为2()fx又27(4)(1)602ffa−=−+，即(4)(1)ff．所以()fx在[1,4]上的最小值为4016(4)833fa=−=−．得21,2ax==，从而()fx在[1,4]上的最大值为210()3fx=．（二）选考题：共10分.请考生

在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为82sin4=+.（1）将曲线C的极坐标方程

化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P作倾斜角为45的直线l与圆C交于A，B两点，试求11PAPB+的值．【答案】（1）22880xyxy+−−=；（2）3147.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线l的参数方程，代入圆的方程可得

：27270tt−−=，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（1）将曲线C的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880xyxy+−−=；（2）直线l的参数方程为：21222xtyt=+=（t为参数），将其

带入上述方程中得：27270tt−−=，则1212727tttt+==−，所以12121211113147ttPAPBtttt−+=+==.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已

知函数()121fxxx=++−.（1）在平面直角坐标系中作出函数()fx的图象；（2）若当(,0]x−时，不等式()(,)fxaxbabR+恒成立，求−ab的最大值.【答案】（1）详见解析；（

2）-6.【解析】【分析】(1)将函数()fx写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；(2)当(,0x−时，由(1)可求出数()fx的图象与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，再由不等式()(),fxaxbabR+

恒成立，可求出ab，的范围，进而可求出结果.【详解】解：（1）()121fxxx=++−31,13,1131,1xxxxxx−+−=−+−−，其图象如下图：（2）若(,0x−，由（1）知函数()fx的图象

与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当3a−且3b时(,0x−时，不等式()fxaxb+恒成立，所以3b−−，所以6ab−−，故ab−的最大值为-6.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常需要分情况去绝对值求解，属于

常考题型.