【文档说明】【精准解析】四川省泸县第四中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题.doc，共(21)页，1.765 MB，由管理员店铺上传

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2020年春四川省泸县第四中学高三第一学月考试文科数学一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R，集合{|14}Mxx=−，2|log(2)1Nxx=−，则()UM

CN=（）A.B.{|42}xx−C.{|4<<3}xx−D.{|12}xx−【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出集合N的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案．【详解】由2log(2)1x−得20x−且22x−，所以24x，所以24UCNxxx=或，则()U

MCN={|12}xx−【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题．2.在复平面内，复数11i−的共轭复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判

断其所在象限.详解：11111(1)(1)22iiiii+==+−−+的共轭复数为1122i−对应点为11(,)22−，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因

简单导致马虎丢分.3.函数()2cos2sinfxxx=−的最小正周期为()A.2B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】把函数化为一个角的一个三角函数，然后由周期公式求得周期．【详解】()2cos2sinfxxx

=−2222(cossin)22cos()224xxx=−=+，22T==．故选：A.【点睛】本题考查求三角函数的周期，考查两角和的余弦公式．周期公式：()sin()fxAx=+（或()cos()fxAx=+的周期是2T=．4

.函数2||()xxfxe−=的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过(0)1f=，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．【详解】2||()xxfxe−=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B

，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．5.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件、C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】C【解析】【详解】1212311101aaaaaaqaqq或1001aq，所以数列｛an｝是递增数列若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，选

C6.已知tan3=，0,2，则()sin2cos+−的值为()A.61010−B.61010+C.51010−D.51010+【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值

.【详解】tan3=，0,2得10310cos,sin1010==，而()3101010610sin2cos2sincoscos210101010−+−=−=−=.故选A.【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查

三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.7.已知定义在R上的函数()2xfxx=，3(log5)af=，31(log)2bf=−，(ln3)cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bcaC.abcD.cab【答案】D【解析】【分析】

先判断函数在0x时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log2)bf=，比较33log5,log2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x时的单调性，比较出三个数,,abc的大小.【详解】当0x时

，'()22()2ln220xxxxfxxxfxx===+，函数()fx在0x时，是增函数.因为()22()xxfxxxfx−−=−=−=−，所以函数()fx是奇函数，所以有33311(log)(log)

(log2)22bfff=−=−=，因为33log5loln31g20，函数()fx在0x时，是增函数，所以cab，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关

键.8.若实数x，y满足10200xyxyx−++−，且27(3)xycx+−−恒成立，则c的取值范围是（）A.(3]5,−B.(,2]−C.5[,)3+D.[2,)+【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数分

式的几何意义求出最大值即可得到结论．【详解】作出不等式组10200xyxyx−++−„„…对应的可行域如图所示的ABC，且13,22A，()0,2B，()0,1C，则对于可行域内每一点(),Pxy，都有102x剟，30x−，()273xycx+−−…即为2

73xycx+−−…恒成立，转化为273xyZx+−=−的最大值.()()2311233xyyZxx−+−−==+−−，又13yx−−即为点(),Pxy和点()3,1M连线的斜率，由图可知：13MBMCykkx−−剟，即5,

23Z，max2Z=，2c…，故选D.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．9.已知F是椭圆C：22132xy+=的右焦点，P为椭圆C上一点，(1,2

2)A，则PAPF+的最大值为（）A.42+B.42C.43+D.43【答案】D【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝23，而所求|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|

+|PF|的最大值．【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝23；又F′（﹣1，0），|AF′|22(11)2223=−−+=（），∴|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|，根

据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|23=，∴|PA|+|PF|的最大值为232343+=，故选D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于

第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．10.已知函数()2sin(2)6fxx=+，若对任意的(1,2)a，关于x的方程()0(0)fxaxm−=总有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A.232,B.,32C.2,23

D.,63【答案】B【解析】【分析】令()1fx=，且0x，解得20,,,,323x=，根据12a且()2fx，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2sin26fxx=+，令()1fx=，且0x，即2sin26x+=，

解得20,,,,323x=，又因为12a，且()2fx，所以要使得()0fxa−=总有两个不同实数根时，即函数()yfx=与(12)yaa=的图象由两个不同的交点，结合图象，可得32m，所以实数m的取值范围是,32m.【点睛

】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.三棱锥DABC−的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为3的正三角形.若球O的表面积为16，

则三棱锥DABC−体积的最大值为（）A.934B.332C.23D.33【答案】A【解析】【分析】根据ABC是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得1OO，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.【详解】由题意得ABC的面积

为19333234sin=，又设ABC的外心为1O，则1233332AO==，由2416R=，得2R=，∵1OO⊥面ABC，∴11OO=.∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．此时三棱锥DABC−高的最大值为123+=，∴三棱锥DABC

−体积最大值为193933344=.故选A.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()43120194fxaxxx=−++，()'fx是()fx的导函数，若()'fx存在有唯一的零点0x，且()00,x+

，则实数a的取值范围是（）A.(),2−−B.(),1−−C.()1,+D.()2,+【答案】A【解析】【分析】令()0fx=由参数分离可得2331xax−=令()2331xtxx−=求出导数和单调区间，可得极大值，由图象可得()12at−=−时

，()tx存在唯一的正零点．【详解】()3231fxaxx=−+.显然()00f，令()0fx=得：2331xax−=，()0x令()2331xtxx−=，()0x，()()()4311xxtxx+−=−知：当()

,1x−−时，()0tx，()tx为减函数；当()1,0x−时，()0tx，()tx为增函数；当()0,1x时，()0tx，()tx为增函数；当()1,x+时，()0tx，()tx

为减函数，作出()tx的大致图象如图所示，则当()12at−=−时，()tx存在唯一的正零点.故选A【点睛】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用数形结合思想方法，属于中档题．二､填空题:本题共4小题

,每小题5分,共20分.13.已知向量3,4,(2,7)abab==−=，则ab+=_____________．【答案】41【解析】【分析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得ab+的值.【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：()22222

ababab++−=+，且：2279ab−=+=，故：()292916ab++=+，解得：41ab+=.故答案为41．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.计算:23lg252lg28−+−=______.【答案】74【解析

】【分析】由幂的运算法则和对数的运算法则计算．【详解】23lg252lg28−+−223()3233172lg52lg2(2)2(lg5lg2)22lg102244−−−=+−=+−=−=−=．故答案为：

74．【点睛】本题考查对数与幂的运算，掌握对数与幂的运算法则是解题关键．15.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有A，B，C，D，E，F六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是A就行；乙说：C，D

，E，F都行；丙说：我喜欢C，但是只要不是D就行；丁说：除了C，E之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．【答案】F【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为：,,,,BCDEF，乙可

以选择的手工纪念品的集合为,,,CDEF，丙可以选择的手工纪念品的集合为,,,,ABCEF丁可以选择的手工纪念品的集合为,,,ABDF，这四个集合的交集中只有元素F故答案为F16.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若()222sinsinsin2sinAcCAB

+−=，且ABC的面积14Sabc=.则角B=__________．【答案】3【解析】【分析】ABC的面积14Sabc=,结合面积公式，可得2sincC=，代入已知等式中，得到222sinsinsinsinsinACAC

B+−=，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B的值.【详解】111sin2sin442SabcabcabCcC===，代入()222sinsinsin2sinAcCAB+−=中，得222sinsinsinsinsinACACB+−=，

由正弦定理sinsinsinabcABC==,可将上式化简为，222acacb+−=，由余弦定理可知：2222cosbacacB=+−,所以有1cos2B=，又因为(0,)B，所以角B=3.【点睛】本

题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.三､解答题:共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22､23题为选

考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.已知数列na的各项均为正数，前n项和为nS，11a=，121nnnaaS+=+．（1）求数列na的项21na−；（2）求数列na的前2n项和2nS.【答案】（1）2121nan−=−（2）2222

nSnn=+【解析】【分析】（1）由递推关系式确定数列的特征，然后结合等差数列通项公式可得数列na的项21na−；（2）结合题意和(1)的结论首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可确定数列的前2n项和2nS.【详解】（1）由121nnnaaS+=+得，12121nnnaaS+

++=+，两式相减得()1212nnnnaaaa+++−=，因为数列na为正项数列，所以22nnaa+−=，又11a=，故数列21na−是以11a=为首项，公差为2的等差数列，所以()2111221nann−=+−=−.（2）由（1）知，22nnaa+−=，由

11a=及121nnnaaS+=+得23a=故数列2na是以23a=为首项，公差为2的等差数列，所以()23122+1nann=+−=-所以2123212nnnSaaaaa−=+++++()()212132+12222

nnnnnn+−+=+=+.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时

间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.时间区间[9,11)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入（元）65.566.45

.56.5（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的22列联表，并回答是否有99.5%的把握认为“带饮品和男

女性别有关”？带饮品不带饮品总计男女总计附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++2()PKk0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.

828【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得0.1a=，于是可得每个时间段上的频数，进而结合题意可求出获得的收入．（Ⅱ）根据题意完成列联表，然后根据表中的数据求出2K，再根据临界值表

中的数据得到结论．【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得：()2120.0520.0820.140.2a=−++=，∴0.1a=.∵样本容量50n=，∴在)9,11这个时间段的频数为0.082508

=，同理可求得)11,13，)13,15，)15,17，)17,19，10,21这5个时间段的频数分别为14，10，5，8.5.∴外卖小哥送50单的收入为86145.510656.485.556.5+++++293.5=（元）．（Ⅱ）由题意得

22列联表如下：带饮品不带饮品总计男20525女101525总计302050由表中数据可得()22502015105258.3337.879252530203K−==．∴有99.5%的把握认为“带饮品和男女性别有关”．【点睛】独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②

计算2K；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的2K相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关

联的可能性p，所以其有关联的可能性为1p−．19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，P、Q分别是1AA、11AC的中点.（1）设棱1BB的中点为D，证明：1CD//平面1PQB；（2）若2AB=，114ACAAAC===，1160AAB=，且平

面11AACC⊥平面11AABB，求三棱锥11PQAB−的体积.【答案】(1)见解析(2)1【解析】【详解】（1）证明：连接ADDQ是1BB的中点，P是1AA的中点，可由棱柱的性质知1//APDB，且1APDB=；四边形1ADBP是平行四边形1//ADPB.PQ分别是1AA、11AC的中点1

//ACPQ平面1//ACD平面1PQB1CD//平面1PQB（2）在面11AACC内作1QMAA⊥于点M，平面11AACC⊥平面11AABBQM⊥平面113AABBQM=，1112APAB==，1160AAB=，11PAB是边长为

2的正三角形11=3PABS于是111113PQABPABVSQM−=13313==.20.已知椭圆C的方程为22142xy+=，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关

于原点的对称点为D．（1）证明：直线BD的斜率为定值；（2）求ABD面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】【分析】（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；（2）设直线BD的

方程，由S△ABD＝2S△OBD，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最大值．【详解】（1）设()11,Dxy，()22,Bxy，则()11,Axy−−，直线BD的斜率2121yykxx−=−，由2211222214

2142xyxy+=+=，两式相减，2112211212yyxxxxyy−+=−−+，由直线12121AByykxx+==−+，所以212112yykxx−==−，直线BD的斜率为定值12.（2）连结OB，∵A，D关于原点对称，所以2ABDOBDSS=，由（1）可知BD

的斜率12k=，设BD方程为12yxt=+.∵D在第三象限，∴21t−且0t，O到BD的距离21514ttd==+，由2212142yxtxy=++=，整理得：2234480xtxt++−=，∴1243txx+=−，()212423

txx−=，∴1222ABDOBDSSBDd==()2121225425txxxx=+−()212124txxxx=+−，()22296324232233tttt−==−.∴当62t=−时，ABDS取得最大值22.【点睛】本题考查椭圆的标准

方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想.21.设()()3211232fxxxaxaR=−++．（Ⅰ）讨论()fx的单调区间；（Ⅱ）当02a时，()fx在1,4上的最小值为163−，求()fx在1,4上的最大值．【答

案】（Ⅰ）当18a−时，()fx的单调递减区间为(,)−+；当18a−时，()fx的单调递减区间为118(,)2a−+−和118(,)2a+++，单调递增区间为118118(,)22aa−+++；（Ⅱ）103．【解析】【详解】试题（Ⅰ）2()2fxxxa=−++，其18a=

+（1）若180a=+，即18a−时，2()20fxxxa=−++恒成立，()fx在(,)−+上单调递减；（2）若180a=+，即18a−时，令2()20fxxxa=−++=，得两

根11182ax−+=，21182ax++=当1xx或2xx时()0fx，()fx单调递减；当12xxx时，()0fx，()fx单调递增．综上所述：当18a−时，()fx的单调递减区间为(,)−+；当18a−时，()fx的单调递减区

间为118(,)2a−+−和118(,)2a+++，单调递增区间为118118(,)22aa−+++；（Ⅱ）(),()fxfx随x的变化情况如下表：x1xx1xx=12xxx2xx=2xx()fx−0+0−()fx单调递减极小值单调递增

极大值单调递减当02a时，有1214xx，所以()fx在[1,4]上的最大值为2()fx又27(4)(1)602ffa−=−+，即(4)(1)ff．所以()fx在[1,4]上的最小值为4016(4)833fa=−=−．得21,2ax==，从而()fx在[1,4]上的最大值为2

10()3fx=．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为82sin4=+.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P作倾斜角为45的直线l与圆C交于A，B两点，试求11PAPB+的值．【答案】（1）

22880xyxy+−−=；（2）3147.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线l的参数方程，代入圆的方程可得：27270tt−−=，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（1）将曲线C的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880x

yxy+−−=；（2）直线l的参数方程为：21222xtyt=+=（t为参数），将其带入上述方程中得：27270tt−−=，则1212727tttt+==−，所以12121211113147ttPAPBtttt−+=+==.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标

方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数()121fxxx=++−.（1）在平面直角坐标系中作出函数()fx的图象；（2）若当(,0]x−时，不等式()(,)fx

axbabR+恒成立，求−ab的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）-6.【解析】【分析】(1)将函数()fx写出分段函数的形式，在坐标系内作出每段的图像即可；(2)当(,0x−时，由(1)可求出数()fx的图象与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线

的斜率的最小值为-3，再由不等式()(),fxaxbabR+恒成立，可求出ab，的范围，进而可求出结果.【详解】解：（1）()121fxxx=++−31,13,1131,1xxxxxx−+−=−+−−，其图象如下图：（2）若(,0x−

，由（1）知函数()fx的图象与y轴的交点的纵坐标为3，各部分所在直线的斜率的最小值为-3，故当且仅当3a−且3b时(,0x−时，不等式()fxaxb+恒成立，所以3b−−，所以6ab−−，故ab−的最大值为-6.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，通常

需要分情况去绝对值求解，属于常考题型.