【文档说明】江西省南昌市八一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学理科试题含答案.doc，共(4)页，1.150 MB，由小赞的店铺上传

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2020~2021学年度第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．已知直线l，两个不同的平面,，下列命题正确的是（）A．若//l，l⊥，则⊥B．

若//l，l//，则//C．若⊥，l⊥，则l//D．若⊥，//l，则l⊥2．正方体的内切球和外接球的体积之比为（）A．1:33B．1:9C．1:3D．1:33．有4名男生、2名女生排成一排，女生相邻且不排在两端的不同排

法有（）A．72种B．98种C．108种D．144种4．下列说法正确的是（）A．两个变量的相关关系一定是线性相关B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于0C．在回归直线方程y＝0.2x＋0.8中，当变量x每增加1个单位时，预测变量ˆy平均增加1个单位D．对分类

变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大5．疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布()29,1N，则100名同学中，每天学

习时间超过10小时的人数为（）(四舍五入保留整数)参考数据：()0.6826PZ−+=„，(22)0.9545PZ−+=„，(33)0.9973PZ−+=„.A．15B．16C．31D．326．已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则FE

CD等于（）A．B．C．D．7．已知()122120121212xaaxaxax−=++++，则2412aaa+++=（）A．12332+B．12332−C．12312+D．12312−8．某省在新的高考改革方

案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）2+（物理、历史）选14+（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（）A．310B．35C．710D．1129．把一

枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则()PNM等于（）A．23B．59C．12D．1310．已知mnkxy（k是实常数）是二项式()52xy−的展开式中的一

项，其中1mn=+，那么k的值为A．40B．40−C．20D．20−（）11．如图，在ABC中，4BC=，4BABC=，点P为边BC上的一动点，则PAPC的最小值为（）A．0B．2−C．94−D．3−12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E､F､K分别为线

段11AD､11CD､FC的中点，下述四个结论：①直线AE､CF､1DD共点；②直线AE､BK为异面直线；③四面体ABFE的体积为112；④线段AB上存在一点N使得直线//AE平面NFC.其中所有正确结论的序号为（）A．①④B．

①②C．①③D．①②③二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知向量a→，b→满足2b→=，向量a→，b→夹角为120，且abb→→→+⊥，则向量ab→→+=________．14．设

随机变量ξ服从二项分布15,2B，则函数()24fxxx=++存在零点的概率是________.15．已知随机变量的分布列如下表，()D表示的方差，则(21)D+=___________.16．下列说法正确的是____

__________①方程210xx++=（xC，其中C为复数集）无解；②若、、ABC彼此相互独立，则()()()()PABCPAPBPC=；③已知点(2,1),(3,2)AB，且O为原点，则向量OA在向量OB上的投影的数量为81313；④通过最小二乘法以模型kxyce=去拟合一组数据时，可知k

xyce=过点(,)xy；⑤通过最小二乘法以模型kxyce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，将其变换后得到线性方程0.34zx=+，则,ck的值分别是4e和0.3.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在直

角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为：2,1xtyt==−(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πsin36+=.（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的

直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线π6=()0与曲线1C交于点A，射线π3=()0与曲线2C交于点B，求AOB的面积.18．（12分）随着我国人民生活条件持续改善，国民身体素质明显增强，人均预期寿命不断延长，2019012

Pa12a−14年我国人均预期寿命达到77岁.居民人均寿命提升､健康状况改善，使得群众生产生活中驾车出行需求持续增长，呼吁进一步放宽学驾年龄，进一步方便就近体检.2020年10月22日，公安部新闻发布会上宣布，取消申请小型汽车､小型自动挡汽车､轻便摩托车驾驶证70周岁

的年龄上限.为了了解70岁以上人群对考取小型汽车驾照新规的态度，某研究单位对某市的一个大型社区中70岁以上人员进行了随机走访调研，在48名男性人员中有36人持“积极响应”态度､12人持“不积极响应”态度，在24名女性人员中持“积极响应”态度和“持不积极响应态

度”的各有12人.（1）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关？积极响应不积极响应合计男女合计（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)

.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.()2PKk0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）如图1，在平行四边形11ABBA中，1ABB＝60°，4AB=，

12AA=，C，1C分别为AB，11AB的中点，现把平行四边形11ABBA沿1CC折起如图2所示，连接1BC，1BA，11BA．（1）求证：11ABCC⊥；（2）若16AB=，求二面角11CABA−−的正弦值．20．（12分）2

020年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为,,ABC，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用(),,xy

z表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标xyz=++的值评定该同学的得分等级：若4，则得分等级为一级；若23，则得分等级为二级；若01，则得分等级为三级，得到如下结果：人员编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A(),,xyz()1,1,2()2,

1,1()2,2,2()0,0,1()1,2,1()1,2,2()1,1,1()1,2,2()1,2,1()1,1,1（1）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级

不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量Xab=−，求X的分布列及其数学期望.21．（12分）已知函数2()()xxaxbfxxRe++=的一个极值点是2x=．（1）当1a=时，求b的值，并求()fx的单调增区间；（2）设0a，若[0,3]x，使得()29f

xe成立，求实数a的范围．22．（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=过点()2,1，离心率为63，直线():1lykx=+与椭圆C相交于不同的两点A，B.（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使2

531MAMBk++是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由.高二理科数学期末参考答案1.A2．A3．D4．D5．B6．B7．D8．D9．B10．A11．C12．D13．

614．313215．216．②③⑤17．【详解】解：（1）由题意得：()222201xtyty==−，消去t，∴221xy+=()0y∴1C的极坐标方程为：1=，0,π，由πsin36+=得：31sin

cos322+=∴313022yx+−=即：3360yx+−=∴2C的直角坐标方程为：3360yx+−=........................................................................(5分）（2）由π61

==得：π1,6A，由π3πsin36=+=得：=3，∴π3,3B，1ππsin236AOBABS=−△1π13sin26=43=.

...............................................(10分）18．【详解】解：（1）完成列联表，得：积极响应不积极响应合计男361248女121224合计482472∴2272(36121212)4.53.848244824K

−==.∴有95%的把握认为对考小型汽车驾照的态度与性别有关................................(6分）（2）在被走访的持“不积极响应”的样本中任取2人，记男性人数为X，则X的可

能取值为0，1，2，21222411(0)46CPXC===，11121222412(1)23CCPXC===，21222411(2)46CPXC===，∴X的分布列为：X012P114612231146数学期望111211()01

21462346EX=++=....................................................(12分）19．【详解】证明：（1）取1CC的中点O，连接OA，1OB，1AC，∵在平行四边形11ABBA中，160ABB=，4AB=，12AA=，C，1C

分别为AB，11AB的中点，∴1ACC△，11BCC，为正三角形，则1AOCC⊥，11OBCC⊥，又∵1AOOBO=，∴1CC⊥平面1OAB，∵1AB平面1OAB∴11ABCC⊥；.................

................................................................(6分）（2）∵160ABB=，4AB=，12AA=，C，1C分别为AB，11AB的中点，∴

2AC=，3OA=，13OB=，若16AB=，则22211OAOBAB+=，则三角形1AOB为直角三角形，则1AOOB⊥，以O为原点，以OC，1OB，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)C，1(0,3,0)B，1(1,0,0)−C，(0,0,

3)A，则()12,0,0CC=−，则11(2,0,0)==−AACC，1(0,3,3)=−AB，(1,0,3)AC=−，设平面1ABC的法向量为(,,)nxyz=，则100nABnAC==，即3303z0yzx−=−+=

令1z=，则1y=，3x=，则(3,1,1)n=，设平面11ABA的法向量为(,,)mxyz=，则1120330mAAxmAByz=−==−=，令1z=，则0x=，1y=，即(0,1,1)

m=，则011210cos,||||53111152mnmnmn++====+++∴二面角11CABA−−的正弦值是155．..................................................(12分）20．【解析】（1）设事件

为“从10名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”.英语得分为1的有2457910,,,,,AAAAAA英语得分为2的有1368,,,AAAA从10名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为21045C=，英语得分相同的所有可能结果数为2264

15621CC+=+=，所以英语得分相同的概率()2174515PA==..................................................(4分）（2）计算10名同学的综合指标，可得下表：人员编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A综合指标446

1453543其中综合指标是一级的()4有1235689,,,,,,AAAAAAA，共7名，综合指标不是一级的()4有1710,,AAA共3名.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5.()114211738121CCPXCC===，()()

11111122411211117373462,32121CCCCCCPXPXCCCC+======()()1111121111117373214,52121CCCCPXPXCCCC======，所以X

的分布列为：X12345P821421621221121所以846214712345212121212121EX=++++=..................................

..............(12分）21．【详解】（1）当1a=时，21()xxxbfxe−++−=，................................................................(2分

）.()fx的一个极值点是2x=，则(2)0f=，即22210b−++−=，解得1b=−.................................................................................

......................(4分）此时由(2)(1)()0xxxfxe+−−=解得12x−，所以1b=−，()fx的单调增区间为()1,2−；............................................

........(6分）（2）2(2)()xxaxabfxe−+−+−=，2x=是极值点，则2222(2)0Δ(2)4(1)()0aabaab−+−+−==−−−−，解得ba=−且2a−，因为

0a，因此由(2)()()xxxafxe−−+=知()fx在()0,2单调递增，在()2,3单调递减，()()2max422aafxfe+−==，则由题可得22429aaee+−，解得5a，0

5a....................................................(12分）22．【详解】（1）由题意可得63cea==，点(2，1)代入椭圆方程，可得22211ab+=，又222acb−=，解得5a=，153b=，则椭圆C的方程为22

1553xy+=，即2235+=xy；.................................................................................

.........(4分）（2）在x轴上存在点1(6M，0)，使2531MAMBk→→++是与k无关的常数．证明：假设在x轴上存在点(,0)Mm，使2531MAMBk→→++是与k无关的常数，将直线l

的方程(1)ykx=+，代入椭圆方程2235+=xy，得2222(31)6350kxkxk+++−=；设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，(,0)Mm，则2122613kxxk+=−+，21223513kx

xk−=+，..........................................................(6分）由1(MAxm→=−，1)y，2(MBxm→=−，2)y，可得12122255()(

)3131MAMBxmxmyykk→→+=−−++++2121225()()(1)(1)31xmxmkxxk=−−+++++2222121225(1)()()31kxxkmxxkmk=++−+++++22235(1)13kkk−

=++，22222265()()1331kkmkmkk+−−+++++2222226313kmkmkmk−+++=+，设常数为t，则2222226313kmkmkmtk−+++=+，整理得222(3613

)0mmtkmt+−−+−=对任意的k恒成立，即有22361300mmtmt+−−=−=，解得16m=，136t=.即在x轴上存在点1(6M，0)，使2531MAMBk→→++是与k无关的常数136．......................(12分）