【文档说明】湖南省怀化市麻阳一中2020届高三下学期3月第七次月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.250 MB，由小赞的店铺上传

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麻阳一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.答题前，请考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核对试卷有无缺页、漏页等现象.2.本试卷4页.试卷满分150分.考试时量120分钟.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内

容：高考全部内容（除选考题外）.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{0,1,2,3},A={|21},Byyx==−+PAB=，则P的子集个数为（）A.4B.6C.8D.16【答案

】C【解析】【分析】先求得集合B，由此求得集合P，根据集合P元素的个数，求得P的子集个数.【详解】由于211yx=−+，所以)1,B=+，所以1,2,3PAB==，集合P共有3个元素，故子集有328=个.故选：C【点睛】本小题主要考查函数值域，考查

集合交集和子集个数的求法，属于基础题.2.若,abR，且ab，则下列不等式成立的是（）A.22abB.1133abC.lg()0ab−D.1ba【答案】B【解析】【分析】利

用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项.【详解】不妨设1,2ab=−=−，则22ab，A选项错误.()lglg10ab−==，C选项错误.21ba=，D选项错误.对于B选项，由于13xy=为R上的减函数，而ab，所

以1133ab，即B选项正确.故选：B【点睛】本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题.3.从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n的值为（）A.6B.8C.10D.1

4【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n的值.【详解】两数之和为5有14,23++两种情况，故22114nC=，故()21282nnnC−==，解得8n=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4.

已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C的渐近线方程为（）A.22yx=B.2yx=C.22yx=D.24yx=【答案】A【解析】【分析】由题意知31CFAB=,由OAB与OFC相似（O为

坐标原点）可得3OFcOAa==，再由222cba=+，可得22ba=，进而可得渐近线方程.【详解】如图所示，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F作渐近线的垂线，垂足为B，C，所以OAB与OFC相似（O为坐标原点），又由题意知31CFAB=，所以3OFcOAa==，即3c

a=，又因为222cba=+，所以228ba=，即22ba=所以渐近线方程为：22yx=，故选A.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及,,abc之间的关系，属基础题.5.下列函数中，既是奇函

数又在区间(0,1)上为减函数的是（）A.cos()yx=−B.sinyxx=+C.2yx-=D.sin()yx=−【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除AC选项，利用导数求BD选项在区间(0,1)上的单调性，由此确定正确选项.【

详解】对于AC选项()coscosyxx=−=为偶函数，2yx-=也是偶函数，所以AC两个选项不符合题意.对于B选项，'1cos0yx=+，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D选项，'cosyx=−在区间(0,1)上满足'cos0yx=−，

所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数判断函数在区间上的单调性，属于基础题.6.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（）

A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断三角形面积最小的三角形，然后求解三角形的面积即可.【详解】由三视图可知该几何体是四棱锥ADCBE−是正方体的一部分，正方体的棱长为2，E为所在棱的中点，如图，

则最小三角形面积是ABE,112222ABESD=创=.故选B.【点睛】本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题.7.若()4*1nxnNxx−的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）A.8B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】

求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n的表达式，进而求得n的最小值.【详解】二项式()4*1nxnNxx−展开式的通项公式为()()31144221rrnnrrrrn

nCxxCx−−−−=−，由于展开式中含有常数项，则11402rn−=，118rn=，当8r=时，n取得最小值为11.故选：C【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.8.如图，在三棱锥PABC−中，已知底面ABC是正三角

形，2ABAP=，且AP⊥平面PBC，则直线PA与平面ABC所成角的余弦值为（）A.63B.53C.23D.33【答案】D【解析】【分析】取BC中点M，连接,PMAM，设2,AB=表示出各边长度，可知三角形APM为直角三角形，且APPM⊥.所以PAM即为直

线PA与平面ABC所成的角，由三角函数定义可求得cosPAM.【详解】三棱锥PABC−中，已知底面ABC是正三角形，2ABAP=，且AP⊥平面PBC，取BC中点M，连接,PMAM，如下图所示：设2,AB=则1AP=，3PBPC==，2,3PMAM==，因为

222PMAMPA+=所以三角形APM为直角三角形，且APPM⊥则PAM即为直线PA与平面ABC所成的角所以13cos33PAPAMPM===故选：D【点睛】本题考查了直线与平面夹角的求法，空间中的线面关系，属于中档题.9.

已知当m，[1n−，1)时，33sinsin22mnnm−−，则以下判断正确的是()A.mnB.||||mnC.mnD.m与n的大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xfxxx=+−，求得可得()

fx为增函数，又m，[1n−，1)时，根据条件得()()fmfn，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xfxxx=+−，则2()3cos022xfxx=+，即3()sin,[1,1]2xfxxx=+−为增函数，

又m，[1n−，1)，33sinsin22mnnm−−，即33sinsin22mnmn++，所以()()fmfn，所以mn．故选C．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．10.将曲线12

sin124yx=−+向左平移4个单位长度，得到曲线的对称中心为（）A.()2,0,kkZB.2,0,4kk+ZC.2,1,4kk+ZD.2,1,4kk

+Z【答案】C【解析】【分析】先根据图象变换原则得到图象变换后的解析式12sin128yx=−+,令1,28xkkZ−=,进而求解即可.【详解】由题,则平移后的函数解析式为112sin12sin124428yxx=

+−+=−+,令1,28xkkZ−=,则2,4xkkZ=+,所以对称中心为2,1,4kk+Z,故选:C【点睛】本题考查平移变换后的三角函数解析式,考查正弦型函数的对称中心.11.已知定义在R上的偶函数()fx满足：01x

时，()33fxxx=−+，且()()11fxfx−=+，若方程()()log1+1(0,1)afxxaa=+恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是（）A.(5，6)B.(6，8)C.(7，8)D.(10，12)【答案】B【解析】01x时，()33fxxx=-+，()()2'310fx

x=−−,故()fx在[0,1]上单调递增，且()()00,12ff==，由()()11fxfx−=+可知函数()fx是周期为2的周期函数，而函数()yfx=与()log11ayx=++都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在()

0,+?有6个不同交点，显然1a，结合图象可得()()log5112{log7112aa++++，即log61{log81aa，故68a.本题选择B选项.12.已知函数()fx是定义在R上的函数，且满足()()0fxfx

+，其中()fx为()fx的导数，设()0af=，()22bfln=，()1cef=，则a、b、c的大小关系是()A.cbaB.abcC.cabD.bca【答案】A【解析】【分析】构造函数()()xgxefx=，根据()gx的单调性得出

结论．【详解】解：令()()xgxefx=，则()[()()]0xgxefxfx=+，()gx在R上单调递增，又021ln，()()()021gglng，即()()()0221fflnef，即cb

a故选：A．【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共50分.13.已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B为焦点，且过C,D两点的双曲线的离心率为__

__________.【答案】2【解析】【分析】根据,AB为焦点，得2c=；又2ACBCa−=求得a，从而得到离心率.【详解】,AB为焦点24c=2c=C在双曲线上，则2ACBCa−=又225ACABBC=+=22a=1a=

2cea==本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.14.在ABC中，2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC=+++，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边

，则角A的大小为______．【答案】23【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，化简得222abcbc=++，再由余弦定理，求得1cos2A=−，即可求解．【详解】由题意，因为2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC=+++由正弦定理化简得22(2)(2

)abcbcbc=+++，整理得222abcbc=++，又由余弦定理，可得2221cos22bcaAbc+−==−，又因为(0,)A，所以23A=．故答案为：23．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好

地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解．15.设各项均为正数的数列na的前n项和nS满足()()2

22220nnSnnSnn−+−−+=，*nN，则数列11nnaa+的前2020项和2020T=__________.【答案】5052021【解析】【分析】因为()()222220nnSnnSnn−+−−+=，当1n=时，可得12a=.由()()222220nnSnnSnn

−+−−+=,可得()()220nnSSnn+−+=，求得2nSnn=+，即可求得2nan=，结合已知，即可求得答案.【详解】()()222220nnSnnSnn−+−−+=当1n=时，2140a−=解得：12a=或12a=−数列na为正数，12a=由()(

)222220nnSnnSnn−+−−+=即()()220nnSSnn+−+=，20nS+2nSnn=+当2n时，21(1)(1)nSnn−=−+−两式相减得：2nan=当1n=，满足2nan=2nan=()()141111114nnnnaann+=++=11141nn=−

+11111111111231423411nnTnnn=−+−+−++−+−−+可得：11141nnT=−+当2020n=，2020150542021120211T=−=故答案为：

5052021.【点睛】本题主要考查了求数列前n和，解题关键是掌握“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=90，以BD为

折痕，将四边形折成一个120的二面角ABDC−−，并且这个二面角的顶点A，B，C，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________【答案】529【解析】【分析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积.【详解

】折成的立体图形如图所示，O为球心，E为BD的中点，∠CEH=60，CE=33322CHHE==，，，所以由222OCOFCF=+得：2222233131229RRR=−−+=

，所以，球面积为25249SR==故答案为：529【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足(cos3sin)cbAA=+．（1）求角B的大小；（2）若4a=，且BC边上的高为3，求ABC的周长．【答案】（1）6B=；（2）623+．【解析】

【分析】（1）因为(cos3sin)cbAA=+，由正弦定理可得：sinsin(cos3sin)CBAA=+结合已知，即可求得答案；（2）画出图形，3,6ADB==，则23sinADcABB===，结合余弦定理

，即可求得答案.【详解】（1）(cos3sin)cbAA=+由正弦定理可得：sinsin(cos3sin)CBAA=+sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+(0,),sin0AAcos3sinBB=3tan3B=，又(0,)B故6B

=．（2）画出图象，如图：3,6ADB==则23sinADcABB===又4a=在ABC中，由余弦定理2222cos4bacacB=+−=可得2b=可得ABC的周长为623abc++=+【点睛】本题主要考查了由正弦

定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.已知数列{}na满足()*11322,nnnaaannN+−=−，且11a=，23a=．（1）求证：数列1nnaa+−是等比数列，并求数列{}na

的通项公式；（2）记(1)nnbna=+，求数列{}nb的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析，21nna=−；（2）1(3)22nnnnSn++=−【解析】【分析】（1）由1132nnnaaa+−=−，整理得112nnnnaaaa+−−=−，

得出1{}nnaa+−是以2为公比，以2为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nnnbnann=+=+−+，利用等差数列的前n项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前n项和．【详解】（1）由题意，数列{}na满足()*11322,nnnaaann

N+−=−，可得112()nnnnaaaa+−−=−，*2,nnN，即112nnnnaaaa+−−=−，*2,nnN，所以1{}nnaa+−是以2为公比，以212aa−=为首项的等比数列，所以12nnnaa+−=，*nN，又由112211()()()nnn

nnaaaaaaaa−−−=−+−++−+12222121nnn−−=++++=−(2)n．当1n=，11a=成立，所以数列{}na的通项公式为21nna=−．（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nnnbnann=+=+

−+，所以122232(1)2(231)nnSnn=++++−++++．令122232(1)2nAn=++++，则231222322(1)2nnAnn+=+++++，两式相减得23114(222)(1)22nnnAnn++

−=++++−+=−，解得12nAn+=，又由(3)2312nnn+++++=，故1(3)22nnnnSn++=−．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类

题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．19.如图，四棱柱1111ABC

DABCD−中，1AA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，3CACD=，120BCD=．（1）若ACBDO=，求证：1//BO平面11ACD；（2）若1CD=，13CC=，求二面角1ACDC−−的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）55．【解析】【分析】（1）连接11BD，交11AC于点1O，可证得四边形11ODOB为平行四边形，从而得到11//BOOD，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）在ACD中，由余弦定理可求得AD，进而得到ACCD⊥；由线面垂直的性质和判定定理

可证得AC⊥平面1CCD；作1CECD⊥，可知AEC即为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.【详解】（1）证明：如图所示，连接11BD，交11AC于点1O，连接1OD．111112BOBD=，12ODBD=，11//BDBD，11//BOOD，四边形11ODO

B为平行四边形，11//BOOD，1BO平面11ACD，1OD平面11ACD，1//BO平面11ACD.（2）解：四边形ABCD为平行四边形，3CACD=，120BCD=，60CDA=，3AC=.设ADx=，由余弦定理得：22312cos601xxxx=+−

=+−，解得：2x=，222CDACAD+=，ACCD⊥，又1AA⊥平面ABCD，11//AACC，1CC⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，1ACCC⊥，1,CCCD平面1CCD，1=CCCDC，AC⊥平面1CCD作1CE

CD⊥，垂足为E，连接AE，则1AECD⊥，AEC为二面角1ACDC−−的平面角.1113322CDCCCECD===，22315342AEACCE=+=+=，352cos5152CEAECAE===，即二面角

1ACDC−−的余弦值为55.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、二面角的求解问题；求解二面角的关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系得到二面角的平面角，进而放到直角三角形中来进行求解.20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质

保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性

购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保

期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算【解析】【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2

，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案．【详解】解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()111010101

00PX===，()1111210525PX===，()11213225551025PX==+=，()13121132210105550PX==+=，()22317425510525PX==+=，()2365251025PX===，()33961010100

PX===，∴X的分布列为X0123456P110012532511507256259100（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y元的分布列为：1Y70009000110001300015000P171001150725625910011711769700090001100013000150

00100502525100EY=++++10720=（元）.选择延保二，所需费用2Y元的分布列为：2Y100001100012000P671006259100267691000011000

120001042010025100EY=++=（元）.∵12EYEY，∴该医院选择延保方案二较合算.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题．21.已知椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的焦点为1F，2F，离心率为12，点P为椭圆C上一动点，且12PFF△的面积最大值为3，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设点()11,Mxy，()22,Nxy为椭圆C上的两个动点，当1212xxyy+为多少时，点O到直线MN的距离为定值.【

答案】（1）22143xy+=；（2）当1212xxyy+＝0时，点O到直线MN的距离为定值2217.【解析】【分析】（1）12PFF△的面积最大时，P是短轴端点，由此可得3bc=，再由离心率及222abc=+可得,ab，从而得椭圆方程；（2）在直线MN斜率存在时，设其方程为ykxm=+，现

椭圆方程联立消元（y）后应用韦达定理得1212,xxxx+，注意，一是计算1212xxyy+，二是计算原点到直线MN的距离，两者比较可得结论．【详解】（1）因为P在椭圆上，当P是短轴端点时，P到x轴距离最大

，此时12PFF面积最大，所以1232cbbc==，由222312bccaabc===+，解得231abc===，所以椭圆方程为22143xy+=．（2）在12xx时，设直线MN方程为ykxm=+，原点到此直线的距离为21mdk=+，

即2221mdk=+，由22143ykxmxy=++=，得222(34)84120kxkmxm+++−=，2222644(34)(412)0kmkm=−+−，2243mk+，所以122834kmxxk+=−+，212241234mxxk−=+，2212121212

1212()()(1)()xxyyxxkxmkxmkxxkmxxm+=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434mkmmkkmkkk−−+=+−+=+++，所以当12120xxyy+=时，2

212(1)7mk=+，2221217mdk==+，2217d=为常数．若12xx=，则12yy=−，221212110xxyyxy+=−=，2211xy=，2127x=，2217dx==，综上所述，当1212xxy

y+＝0时，点O到直线MN的距离为定值2217.【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．22.已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.

（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1212()()hxhxxx−−＞1，求实数a的取值

范围；（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥()agxx−成立，求实数a的最大值．【答案】（1）m(t)＝ln,11,01tttt−（2）a≤22－2.（3）a≤22－2.【解析】【分析】（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的

极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加

以研究．（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤22ln1xxxx−+，再利用导数求函数M(x)＝22ln1xxxx−+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．【详解】（1）f′(x)＝

1－1x，x＞0，令f′(x)＝0，则x＝1.当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt；当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.综上，m

(t)＝ln,11,01tttt−（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，则由1212()()1hxhxxx−−，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒

成立．令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋

∞)上恒成立．因为2x＋1x≥22，当且仅当x＝22时取“＝”，所以a≤22－2.（3）因为f(x)≥()agxx−，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1xxxx−+成立．令M(x)＝22ln1xxxx−+，则M

′(x)＝2223ln1(1)xxxx+−−+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝(1)(41)xxx+−＝0可得x＝14或x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+时，y′＞0，则函

数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大

值为1.【点睛】本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.