【文档说明】浙江省长河高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.412 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学期中试卷一、单选题1.设集合，21|4Mxx=，{|01}Nxx=则MN=（）A.10,2B.1,12−C.11,2−D.1,02−【答案】A【解析】【分析】先求集合M，再应用

交集运算即可.【详解】由题意得，11(,)22M=−，[0,1]N=，∴1[0,)2MN=，故选：A.2.60=是3sin2=的什么条件（）A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】分别从充分性与

必要性两个方面论证判断.【详解】因为3sin60?2=，所以满足充分性；而3sin2=，60?360?,Zkk=+或120?360?,Zkk=+，所以不满足必要性，所以60=是3sin2

=的充分不必要条件.故选：B.3.若i为虚数单位，则复数2i1iz−=−的虚部为（）A.12−B.1i2−C.1i2D.12【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念即可得答案.【详解】2i(2i)(1i)3i31i1i(1i)(1i)222−−++====+−−

+z，其虚部为12．故选：D．4.已知直线,lm和平面,，下列命题正确的是（）A.若//,//ll，则//B.若,ll⊥⊥，则//C.若,llm⊥⊥，则//mD.若,,//,//lmlm

，则//【答案】B【解析】【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面垂直的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若//,//ll，则与可能相交，所以A不正确；对于B中，若,l

l⊥⊥，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//，所以B正确；对于C中，若,llm⊥⊥，则//m或m，所以C不组合却；对于D中，若,,//,//lmlm，只有当l与m相交时，才能得到//，所以D不正确.故选：B.5.函数2()|||

|xxfxxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据绝对值将函数转化为分段函数，结合分段函数的性质判断即可.【详解】2,02()2,0xxxxxxfxxxxx+=+=

−+−当0x时，20xx+，排除D选项；当0x时，2xyx=−+−在(,0)−上单调递减，排除BC，故选：A．6.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点,,PQR分别是棱1111,,ADCDBC中点，则过点,,PQR三点的截面面积是（）A.3

2B.3C.23D.33【答案】D【解析】【分析】作图作出过点,,PQR三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积.【详解】如图，设AB的中点为H，连接HR并延长，交DA延长线于E,交DC延长线于F，连接PE交1AA于G,连接QF交1CC于I，连接GH,RI,则六

边形PQIRHG为过点,,PQR三点的截面，由题意可知，AHEBHR≌,则1AEBR==,故1AGEAGP≌,可知1AGAG=,即G为1AA的中点，同理可证I为1CC的中点，故可知六边形PQIRHG为正六边形，且边长为2，故其面积为236(2)334=，即过点,,

PQR三点的截面面积是33，故选：D7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若23coscos3cBbCab+=，π3B=，则ac+的取值范围是（）A.3,32B.3,32C.3,32D.3,32【答案】A【解析】【分析

】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得b，再利用正弦定理把ac+表示出A的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围．【详解】因为23coscos3cBbCab+=由正弦定理可得23sinsincoscossin3bACBCB+=，即23sinsi

n()sin3bABCA+==，所以32b=，因为π3B=，所以1sinsinsinabcABC===，所以2π33πsinsinsinsinsincos3sin3226acACAAAAA+=+=+−=+=+，因为2π03A，所以ππ5π666

A+，所以3π3sin326A+，即332ac+，故选：A．8.已知向量a，b满足：2()9ab−=，224ab=．设ab−与ab+的夹角为，则sin的最大值为（）A.45B.35C.12D.32【答案】A【解析】【分析】先设模长，再根据向

量的数量积表示夹角余弦值，最后根据同角三角函数关系表示正弦值，结合二次函数最值求解即可.【详解】设||bx=，则||2ax=，因为||3ab−=，所以2222||2529abaabbxab−=−+=−=，所以2592xab−=，则2222||||2109aba

baabbx+=+=++=−，2222()()3cos||||3109109ababxxababxx−+===−+−−，因为[0,π]，所以422241sin1cos11109109xxxx=−=−=−−−，令21tx=，则224109910ttxx−=

−+，当59t=时，2910tt−+取得最大值259，即24109xx−取得最大值259，所以2411109xx−−的最大值为45，即sin的最大值为45．故选：A．二、多选题9.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，

E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本中D层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】【分析】根据直方图和

饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040−=，A正确；样本中A层人数为：94010%13+=；样本中B层人数为：244030%36+

=；样本中C层人数为：154025%25+=；样本中D层人数为：94020%17+=；样本中E层人数为：34015%9+=；故B正确；样本中E层次男生人数为：4015%6=，C正确；样本中D层次男生人数为：4020%8=，女生人数为9，D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了统计图

表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知函数2()32fxxxa=+−有两个零点12,xx，则以下结论中正确的是（）A.1a−B.若120xx，则12112xxa+=C.1(1)3ff−=D.函数(||)yfx=有四个零点【答案】BC【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式判断A；利用韦达定理计算判断B；利用二次函数对称性判断C；举例判断D作答.【详解】函数()fx对应的二次方程根的判别式22124120aa=+=+，13a−，A错误；由韦达定理知1223xx+=−，123axx=−，显然0a，则1

21212112xxxxxxa++==，B正确；因为()fx图象的对称轴为直线13x=-，则点(1,(1))f−−，11,33f关于该直线对称，C正确；取1a=时，方程232||10xx+−=的根为13，此时(||)yfx=只有两个零点，D错误．故选：B

C11.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）A.若30A=，2b=，1a=，则ABC有2解；B.若AB，则sinsinAB；C.若sincoscos0ABC，则ABC一定为锐角三角形；

D.若coscosacAbcB+=+，则ABC为等腰三角形或直角三角形．【答案】BD【解析】【分析】根据三角形中的正弦定理、余弦定理化简逐项判断即可.【详解】对于A，由正弦定理可得：sinsinabAB=，∴sinsin1b

ABa==，此时ABC有一解，A错误；对于B，∵AB，∴sinsinAB，故B正确；对于C，∵sincoscos0ABC，sin0cos0cos0ABC∴，可知B，C均为锐角，但A不一定是锐角，故ABC为锐角三角形不正确；对于D，∵cos

cosabcBcA−=−，由余弦定理可得：22222222acbbcaabccacbc+−+−−=−，整理得：()222()0ababc−+−=，∴0ab−=或2220abc+−=即ab=或222+=abc，∴

ABC为等腰三角形或直角三角形，故D正确故选：BD12.如图，正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，G，H分别是棱11CD，AB，CD，1DD中点，以下说法正确的是（）A.1//AECF；B.平面1AEF⊥平面AGH；C.若点O是线段EF中点，则1

BO⊥平面AGH；D.直线1AH与直线BG交于一点．【答案】AD【解析】【分析】证明四边形1AECF是平行四边形，即可判断A;利用反证的方法，推出矛盾，可判断B,C;证明四边形1ABGH为梯形，可判断D.【详解】对于A，设M为11AB的中点，连接1,CMMF,则1111

//,ECMAECMA=,故四边形11ECMA为平行四边形，则1111//,CMAECMAE=,由11//,CCMFCCMF=可知四边形1CCFM为平行四边形，则11//,CMCFCMCF=,故1//,AECF

故A正确；对于B,连接1CD,由1//,//HGDCCFAG，而AG平面EFC,CF平面AGH,故//AG平面EFC，HG平面EFC,HG平面AGH,故//HG平面EFC，AGHGG=所以平面CEF//平面AGH，平面1AEF不垂直平面CEF，平面1AEF⊥平面AGH不成立，

故B错误；对于C，假设1BO⊥平面AGH，则1BOAH⊥,由于点O是线段EF中点，不妨设正方体棱长为2,则222211215,215,BEBF=+==+=，故11BEBF=,则1BOEF⊥，由四边形1ADEF是平行四边形,1111//,,ADEFBOADAD

AHA⊥=,1AD平面1111DCBA,AH平面1111DCBA1BO⊥平面1111DCBA,又因为1BO⊥平面AGH，所以平面//AGH平面1111DCBA故与平面AGH平面1111ABCDAH=矛盾，故C错误；对于D，连接1DC,由于点,GH分别是棱1,CDDD中点，故1//GH

DC,正方体中，11//ABDC,故1//GHAB,且1112GHABAB=，故四边形1ABGH为梯形，故直线1AH与直线BG交于一点，故D正确，故选：AD三、填空题13.已知4cos()45+=，则sin2=__________．【答案】725−【解析

】【详解】sin2=2167sin[2()]cos2()12cos()1242442525+−=−+=−+=−=−14.在三角形ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若sinsin()sinccaAabB=++，角C的角平分线

交边AB于点D，且32CDab==，，则边c的大小为___________.【答案】3212##3212【解析】【分析】根据sinsin()sinccaAabB=++，利用正弦定理边化角求得A，再利用ABCACDBCDSSS=+△△△，可

得到3()abba=+，结合条件求得a,b的值，利用余弦定理求得答案.在【详解】由sinsin()sinccaAabB=++可得：222cabab=++，故222abcab+−=−，所以2221cos22abcCab+−==−，由于(0,π)C故2π3C=,故由ABCA

CDBCDSSS=+△△△可得：12π1π1πsinsinsin232323abbCDaCD=+，又3CD=，故3()abba=+，联立2ab=，解得3333,2ab==，故222273311892cos272334224cababC=+−=++

=，故3212c=，故答案为：321215.已知函数()()22log1fxxx=+−，若任意的正数a，b均满足()()320fafb+−=，则21ab+的最小值为________．【答案】562+【解析】【分析】先判断出()fx的单调性和奇偶性，

再由()()320fafb+−=得出a与b满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】∵210xx+−恒成立，∴函数()fx的定义域为R．xR，有x−R成立，()()()()2222log1log1fx

xxxx−=−+−−=++，()()()()2222log1log1fxxxxxfx+−=+−+++()()222log11xxxx=+−++()2222log1log10xx=+−==，,∴()()fx

fx−=−，∴()fx为定义在R上的奇函数．由复合函数的单调性易知，当(,0x−时，21yx=+与yx=−均单调递减，∴()()22log1fxxx=+−在区间(,0−上单调递减，又∵()fx为定义在R上的奇函数，∴()fx在R上单调递减.∴由()()320fafb+−=得(

)()()3223fafbfb=−−=−，∴正数a，b满足23ab=−，即32ab+=，∴由基本不等式，()2112116165352562222babaababababab+=++=+++=+，当且仅当6baab=，即426

a=−+，2263b=−时等号成立，∴21ab+的最小值为562+．故答案为：562+．16.已知平面向量,,abc满足2ab==rr，1c=，2ab=−，若(),R,Rcab=+，则2−的最大值是______．【答案】1【解析】【分析】先由cab=+平方得()22231

−+=，整理得()222131−=−，即可求出2−的最大值.【详解】由cab=+可得222222cabab=++，即221444=+−，整理得()22231−+=，则()222131−=−

，则2−的最大值是1，当且仅当10,2==−时取最大值.故答案为：1.四、解答题17.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这

个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）众数是20；中位数是20.4；平均数为20.32（2）2

3.86【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.小问1详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由(0.020.060.0750.025)41

a++++=，解得0.07a=，∵(0.020.06)40.32+=，且(0.020.060.075)40.62++=，∴中位数位于18~22之间，设中位数为x，180.50.3222180.620.32x−−=−−，解

得121820.45x=+=，故中位数是20.4；平均数(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32++++=；【小问2详解】75百分位数即为上四分位数，又∵(0.020.060.075)

40.62++=，(0.020.060.0750.07)40.9+++=，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y，则220.750.6226220.90.62y−−=−−，解得132223.867y=+．18.已知函数21()2cossinsinsin242fxxxxx=+−

+．（1）求()fx在[0,]上单调递增区间；【为的（2）求函数6()()3gxfx=−在[2,2]−上的所有零点之和．【答案】（1）0,8和5,8（2）【解析】【

分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得()2sin24fxx=+，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）由题意可知3sin243x+=，作出函数sin24yx

=+在[2,2]−上的图象，根据图象和函数sin24yx=+的对称性，即可得到结果.【小问1详解】解：222()2cossincossinsincos22fxxxxxxx=+−+

222sincoscossinsin2cos22sin24xxxxxxx=+−=+=+，由222()242kxkk−+++Z，得3()88kxkk−++Z，故()fx的单调

递增区间为3,()88kkk−++Z．当0k=时，388x−；当1k=时，5988x．故()fx在[0,]上的单调递增区间为0,8和5,8．【小问2详解】解

：6()()03gxfx=−=，得3sin243x+=，sin24yx=+在[2,2]−上的图象如图所示，因为15231723sin4sin,sin4sin44234423−+=

−=+==，所以在区间[2,2]−上，函数sin24yx=+的图象与直线33y=共有8个交点，即()gx有8个零点，设这8个零点分别为128,,,xxx，由242x+=，得8x=，所以函数sin24yx=+的图象关于直线8x=对称

，所以12345678284xxxxxxxx+=+=+=+==，故()gx在[2,2]−上的所有零点之和为44=．19.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S，已知2313

4SSSbc+−=．（1）求A；（2）若ABC的面积为332，且33bca−=，求a．【答案】（1）60A=（2）3a=【解析】【分析】（1）已知面积关系用边表示后，由余弦定理可求得A角；（2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论可求得B角，从而得三角形为

直角三角形，然后由三角形的面积可求得a．【小问1详解】依题意22113sin6024Saa==，22213sin6024Sbb==，22313sin6024Scc==∵22223133334444SSSbcbca+−==+−，即222bcbca=+−，由余弦定理2221cos22bcaA

bc+−==∵(0,π)A，∴π3A=．【小问2详解】因为33bca−=，由正弦定理可得31sinsinsin32BCA−==，所以π1sinsin32BB−+=，即ππ1sinsincoscossin33

2BBB−+=，即13π1sincossin2232BBB−=−=，因为2π0,3B，所以πππ,333B−−，所以ππ36B−=，即π2B=，此时ππ6CAB=−−=，即ABC为直角三角形，所以13

33322ABCSacac===△，由tan3aAc==解得3c=，所以3a=．20.如图，在菱形ABCD中，1,22BEBCCFFD==，（1）若4,60,ABBAD==uuur求ACCFuuuruuur；（2）若菱形ABCD的边长为6，（i）

用，ABAD表示EF；（ii）求AEEF的取值范围.【答案】（1）16−（2）①2132ABAD−+；②()21,9−−【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理，选择不共线的两个向量,ABAD作为一组基底，

所求向量用基底表示，然后按照数量积运算求解即可；（2）同（1）选择,ABAD作为平面内的一组基底向量，按照向量的运算法则表示目标向量；利用向量的数量积运算法则，结合三角函数的有界性，求解即可.【小问1详

解】解：在菱形ABCD中，ACABAD=+，且ABDCCD==−uuuruuuruuur，4ABAD==又2CFFD=uuuruuurQ2233CFCDAB==−uuuruuuruuur2222()()333

ACCFABADABABABAD=+−=−−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur222221cos6016441633332ABABAD=−−=−−=−ouuuruuuruuur【小问2详解】（i）菱形ABCD，,ABDCADBC==2121=3

232EFCFCEDCCBABAD=−=−−−+uuuruuuruuruuuruuruuuruuur（ii）12AEABBEABAD=+=+22121211()()232364AEEFABADABADABABADAD=+

−+=−++21136cos,36364156cos,ABADABADABAD=−++=−+,(0,)ABAD，cos,(1,1)ABAD−AEEF的取值范围是：(21,9)−−21.四

边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，12QAABPD==．（1）证明：PQ⊥平面DCQ（2）求二面角BPQC−−的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）24．【解析】【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证明即可；（2）二面角BPQC−−的大小等于二面角

BPQD−−与二面角CPQD−−的差，利用二面角的定义分别求出二面角BPQD−−与二面角CPQD−−的大小，最后利用两角差的正切公式即可求解.【小问1详解】证明：∵PD⊥平面ABCD，,PD平面PQAD，∴面P

QAD⊥面ABCD,∵平面PQAD平面ABCDAD=，CD面ABCD，CDAD⊥,∴CD⊥平面PQAD，∴CDPQ⊥,设1AB=，则2PD=，1QAAD==，四边形PQAD是直角梯形，则2PQQD==，∵222PQQDPD+=，∴PQQD⊥．又

∵PQCD⊥，QD平面DCQ,CD平面DCQ,且CDQDD=，∴PQ⊥平面DCQ；【小问2详解】由（1）PQ⊥平面DCQ，∴PQDQ⊥，PQCQ⊥，∴CQD就是二面角CPQD−−的平面角,记CQD=，则12tan22==,过A作AEPQ⊥交PQ延长线于E，连接BE、CE,∵ABAD⊥

,DPAB⊥,ADDPD=,AD平面ADPQ,DP平面ADPQ,∴BA⊥平面ADPQ,∵PE平面ADPQ，∴BAPE⊥,同理可证PE⊥平面BAE,∴BAE为二面角BPQD−−的平面角，记BEA=，则1tan222==，于是−就是二

面角BPQC−−的平面角的大小，则22tantan22tan()1tantan42122−−−===++，∴二面角BPQC−−的正切值是24．22.已知函数2()|2|fxxxxa=+−，其中a为实数．（Ⅰ）当1a=−时，求函数()fx的最小值；（Ⅱ）若()fx在[1,1

]−上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）对于给定的负数a，若存在两个不相等的实数12,xx（12xx且20x）使得12()()fxfx=，求112xxx+的取值范围.【答案】（Ⅰ）12−（Ⅱ）2a−或0a；（Ⅲ）

见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题可知2222,2()22,2xaxxafxxxxaaxxa−=+−=当1a=−时，222,2()2,2xxxfxxx+−=−−，分别讨论该函数在各段上的最小值和

区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；（Ⅱ）因为()fx在[1,1]−上为增函数，分0a，0a=，0a=三种情况讨论即可（Ⅲ）因为a<0，则()fx在(,)2a−上为减函数，在(,)2a+上为增函数，所以122axx，令112x

xMx+=，分122aax，12xa两种情况具体讨论即可．【详解】解：2222,2()22,2xaxxafxxxxaaxxa−=+−=(Ⅰ)当1a=−时，222,2()2,2xxxfxxx+−=−−所以当12x=−时()()2222fxxxx+=−有

最小值为1122f−=−；当2x=−时，由()()22fxxx=−−得()1242f−=−，所以当1a=−时，函数()fx的最小值为12−（Ⅱ）因为()fx在[1,1]−上为增函数，若0a，则()fx在R上

为增函数，符合题意；若0a=，不合题意；若a<0，则12a−，从而2a−综上，实数a的取值范围为2a−或0a．（Ⅲ）因为a<0，则()fx在(,)2a−上为减函数，在(,)2a+上为增函数，所以122axx，令112xxMx+=1、若122aax，

则12xxa+=，由20x知22axa−且20x所以121222221xaxaxaxxaxxx−+=+−=−−+令()1agxxax=−−+，则()gx在(0,]a−，[,0)a−−上为增函数，在[,)a−+，(,]a−−上为减函数(1

)当4a−时，2aa−−且aa−−,则()gx在(0,]a−，[,0)a−−上为增函数，在[,]aa−−，[,-]2aa−上为减函数从而当22axa−且20x所以2()21gxaa−−+或2()21gxaa−−−

+(2)当41a−−时，2aa−−且aa−−,则()gx在(0,]a−，[,0)2a上为增函数，在[,]aa−−上为减函数从而当22axa−且20x所以2()12agx+或2()21gxaa

−−−+(3)当10a−时，2aa−−且aa−−,则()gx在(0,]a−，[,0)2a上为增函数，从而当22axa−且20x所以2()12agx+或2()22gxa−2、若12xa，则21222

22axxax=−，2212xxxa=−且2xa−2222222211222(,22)(11)1xxxxaxaaxaxxxxa+=+=−−−+−−−因为2221aaa−−−−+综上所述，当4a−时，112xxx+的取值范围为(,21][21,)aaaa−−−−−+−++；当41a

−−时，112xxx+的取值范围为(,21](1,)2aaa+−−−−++；当10a−时，112xxx+的取值范围为(,22)(1,)2aa−−++．【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目．获得更多资源请扫码

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