【文档说明】陕西省西安市周至县第二中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试卷 含解析.doc，共(19)页，1.630 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试题（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线24yx=的准线方程为（）A.1x=B.2x=C.1x=−D.2x=−————C分析：由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．解答：抛物线

y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,2p=1，∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．故选C．点拨：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．2.设aR，则“1a”是“2aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件————A分析：首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.解答：求解二次不等式2aa可得：1a或0a，据此可知：1a是2aa的充分不必要条件.故选：A.点拨：本题主要考查二次不等式的解

法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.双曲线2214xy−=的焦点到其一条渐近线的距离为（）A.2B.1C.5D.3————B分析：根据双曲线方程写出渐近线方程，用点到直线的距离公式计算即可.解答：解：双曲线2214xy−=的渐近线方程为2xy=则焦点(5,0)到渐近线20xy−

=的距离为22|5|112d==+故选：B.4.若命题p：xR，lg(1)0x+，则p是（）A.xR，lg(1)0x+B.xR，lg(1)0x+C.xR，lg(1)0x+D.xR，lg(1)0x+———

—B分析：根据量词命题的否定判定即可.解答：解：根据量词命题的否定可得：xR，lg(1)0x+的否定为xR，lg(1)0x+故选：B.5.下列命题中，真命题的个数为（）①若ab=rr，则ab=；②零向量的方向是任意的

，所以零向量与任意向量平行或垂直；③所有单位向量都相等；④若//ABACuuuruuur，则A、B、C三点共线；⑤若点P到平面内两个定点的距离之和是一个定值，则点P的轨迹为椭圆；A.1B.2C.3D.4————B分析：根据相等向量的定义可判断①；由零向

量的定义可判断②；由单位向量的定义可判断③；向量共线且有相同起点可判断④；根据椭圆定义可判断⑤.解答：①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若ab=rr，则、ab的方向不一定相同，错误；②零向量的方向是任意的，所以零向量

与任意向量平行或垂直，正确；③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；④若//ABACuuuruuur，且两个向量有共同的起点A，则A、B、C三点共线；⑤在同一平面内，点P到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点之间的距离，则点P的轨迹为椭圆，比如定值等于两个定

点之间的距离，轨迹为线段，所以错误；故选：B.点拨：本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的有关概念和性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解.6.向量(1,,2)am=，(2,8,)

bmm=−−−，若//ab，则实数m的值为（）A.2B.0C.2−D.4————D分析：由向量平行的坐标表示计算．解答：易知0m=不满足题意，即0m，则有//ab得2812mmm−−−==，解得4m=．故选：D．7.向量(1,2,5)a=−，(1,2,2)b=−−，

，则a在b上的投影为（）A.5−B.5C.4D.4−————A分析：根据数量积的几何意义，a在b上的投影由abb求解.解答：因为向量(1,2,5)a=−，(1,2,2)b=−−，所以()()()()22211222515,1223abb=−+−+−=−=−+−

+=，所以a在b上的投影为1553abb−==−故选：A8.在正方体''''ABCDABCD−中，点M为棱''DC的中点，点N为棱BC的中点，若'MNxAByADzAA=++，则xyz++=（）A.1−B.0C.1D.2————A分析：利用空间向量的加法运算得到11'22MNABA

AAD=−−，再由'MNxAByADzAA=++，利用待定系数法求解.解答：如图所示：''MNMCCCCN=++，11'22ABAAAD=−−，又因为'MNxAByADzAA=++，所以11,,122xyz==−=−，所以1xyz++=−，故选：A9.若命题p：()0,x

+，10xmx+−是真命题，则实数m的取值范围为（）A.(),2−B.(,2−C.(),0−D.(,0−————B【分析】根据命题p为真命题，转化为()0,x+，1mxx+恒成立求解.解答：因为命题p为真命题，即()0,x+，10xmx+

−恒成立，即()0,x+，1mxx+恒成立，而1122txxxx=+=，当且仅当1xx=，即1x=时取等号，所以2m，故选：B10.在正方体''''ABCDABCD−中，棱长为2，点M为棱

'DD上一点，则AMBM的最小值为（）A.1B.2C.3D.4————D分析：以1,,DADCDD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得,AMBM，结合向量的数量积的运算，即可求解.解答：如图所示，以1,,DADCDD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，则(2,0,0),(2,2,0)AB，设(0,0,)Ma，所以(2,0,),(2,2,)AMaBMa=−=−−，则2(2,0,)(2,2,)4AMBMaaa=−−−=+，当0a=时，AMBM的最小值为4.故选：D.11.已知(1,2,2)A，(2,2,0)B，(1,0,3)C，

(1,1,)Dm，若A、B、C、D四点共面，则m=（）A.0B.12C.32D.52————D分析：根据A、B、C、D四点共面，可得ADABAC=+，列出方程组，即可求解.解答：由题意，点(1,2,2)A，(2,2,0)B，(

1,0,3)C，(1,1,)Dm，可得(1,0,2),(0,2,1),(0,1,2)ABACADm=−=−=−−，因为A、B、C、D四点共面，可得ADABAC=+，即(0,1,2)(1,0,2)(0,2,1)m−−=−+−

，可得02122m=−=−−+=−，解得52m=.故选：D.12.抛物线2yx=上的点到直线24xy−=的距离的最小值为（）A.55B.355C.35D.5————B分析：设2(,)Paa是抛物线上任一点，求出点到直线的距离后，由二次函数和绝对值的性质

可得．解答：设2(,)Paa是抛物线上任一点，则P到直线24xy−=的距离为2224(1)355aaad−−−−−==，易知1a=时，2(1)3ua=−−−的最大值是3−，∴min33555d==．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小

题5分，共20分.）13.已知,AB为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为__________．————2e=由题意不妨设22221(0,0)xyabab−=,点M在第一象限,所以2,23,(2,3)ABBMaAMaMaa===

,即2222431,2.aaabeab−===点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,abc的方程或不等式，再根据,,abc的关系消掉b得到,ac的关系式，而建立关于,,abc的方程或不等式，

要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.14.已知抛物线C：2yx=的焦点为F，A()00,xy是C上一点，054AFx=，则0x=________.————1分析：根据焦半径公式可得：00524xpx+=，结合抛物线方

程求解出0x的值.解答：由抛物线的焦半径公式可知：0015224AFxx=+=，所以01x=，故答案为：1.点拨：结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p为焦准距）（1）焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点()00,Pxy，则02pPFx=+；（2）焦

点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点()00,Pxy，则02pPFx=−+；（3）焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点()00,Pxy，则02pPFy=+；（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点()00,Pxy，则02pPFy=−

+.15.ABC两个顶点,AB的坐标分别是()5,0−，()5,0，边AC、BC所在直线的斜率之积等于35-，则顶点C的轨迹方程为_________.————2212515(0)xyy+=分析：设点(,)Cxy将斜率之积用点(,)Cxy坐标表示出来，化简即可得到顶点C的轨迹方程.解

答：解：设点(,)Cxy则22(0)5525ACBCyyykkyxxx==+−−所以223(0)255yyx=−−化简得2212515(0)xyy+=.故答案为：2212515(0)xyy+=16.已知点1F、2F为椭圆C：22143xy+=左、右焦点，在12PFF

中，点P为椭圆上一点，则122112sinsinsinPFFPFFFPF+=___________.————2分析：先根据椭圆方程求出a，b，c，再利用正弦定理将角转化为边，结合椭圆的定义求解.解答：因为椭圆方程为22143xy+=，所以2,

3,1abc===，所以2112211212sinsin22s2inPFPFPFFPFFaFPcFFF++===故答案为：2三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

）17.已知命题p：xR，2210xax−+，命题q：函数(21)yax=−单调递增，（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（3）若命题pq是假命题，命题pq是真命题，求实数a的取值范围；————（1）()

1,1−；（2）1,2+；（3）)11,1,2a−+.分析：（1）由xR，2210xax−+恒成立，利用判别式法求解.（2）根据函数(21)yax=−单调递增，由210a−求解.

（3）根据命题pq是假命题，命题pq是真命题，则由p、q一真一假求解.解答：（1）因为命题p为真命题，即xR，2210xax−+恒成立，所以2440a=−，解得11a−，所以实数a的取值范围是()1,1−.（2）若命题q为真命题，

即函数(21)yax=−单调递增，则210a−，解得12a，所以实数a的取值范围是1,2+.（3）因为命题pq是假命题，命题pq是真命题，所以p、q一真一假，①若p真、q假，则1112aa−，解得112a−；②若p假、q真，则1112aaa−

或，解得1a；综上：)11,1,2a−+18.已知向量2a=，3b=r，4c=，,,60abac==，（1）求()()abab+−；（2）求ab−rr；（3）求cos,aac+；————（1）-5；（2）7ab

−=；（3）277.分析：（1）利用向量的数量积运算律求解.（2）利用()22222ababaabb−−==−+求解.（3）分别求得()aac+，ac+，再由()cos,aacaacaac+=++求解.解答：（1）()()22495ababab+=−−=−−=，

（2）1cos,2332ababab===，()222224697ababaabb==−+=+−−−=，则7ab−=；（3）1·||cos,2442acacac===，2222()228acacaacc+=+=++=，则27ac+

=，又()28aacaac+==+，所以()827cos,747aacaacaac+++===；19.如图，正方体''''ABCDABCD−，棱长为2，E为''CD的中点；（1）求证：'''ACBD⊥；（2）求证：'A

C⊥平面''ABD；（3）求点A到平面BEC的距离；————（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）455.分析：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、'DD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，论证'''0ACBD=即可.（2）由''0ACAB=，得到

''ACAB⊥，再由'''ACBD⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（3）求得平面BEC的一个法向量为(,,)nxyz=，设点A到平面BEC的距离为d，由ndBAn=求解.解答：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、'DD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则'(2

,0,2)A，(0,2,0)C，'(2,2,2)B，'(0,0,2)D，则'(2,2,2)AC=−−，''(2,2,0)BD=−−，因为'''0ACBD=，所以'''ACBD⊥，所以'''ACBD⊥.（2）(2,0,0)A，'(0,2,2)

AB=，因为''0ACAB=，所以''ACAB⊥，又因为'''ACBD⊥，且''''ABBDB=，所以'AC⊥平面''ABD；（3）(2,2,0)B，(0,1,2)E，(2,0,0)BC=−，(0,1,2)CE=−，设平面BEC的一个法向量为(,,)nxyz=

，则00nBCnCE==，即2020xyz−=−+=，设1z=，则2y=，0x=，则(0,2,1)n=，设点A到平面BEC的距离为d，则44555BAndn===；点拨：方法点睛：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写

出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利

用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．20.如图，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，3PC=，90ACB=，2ACBC==，点D为棱BC的中点，点E为棱PC上一点；（1）求直线AD与PB的夹角的余弦值；（2）求二面角CPAD

−−的余弦值；（3）若直线ED与平面PAD的夹角的正弦值为227，求线段CE的长度；————（1）26565；（2）67；（3）1.分析：（1）根据PCAC⊥，PCBC⊥，ACBC⊥，以点C为原点，以CA、CB、CP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求得向量AD，PB的

坐标，由cos,ADPBADPBADPB=求解.（2）易知平面PAC的一个法向量为1(0,1,0)n=，求得平面PAD的一个法向量为2(,,)nxyz=，由121212cos,nnnnnn=求解.（3）设(0,0,)Em，0,3m，(0,1,)DEm=−，根据直线ED与平面

PAD的夹角的正弦值为227，由22222cos,7DEnDEnDEn==求解.解答：（1）因为PCAC⊥，PCBC⊥，ACBC⊥，以点C为原点，以CA、CB、CP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；则(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,1,0)D，(

0,0,3)P，所以()2,1,0AD=−，(0,2,3)PB=−，则265cos,65ADPBADPBADPB==，所以直线AD与PB的夹角的余弦值是26565.（2）设平面PAC的一个法向量为1(

0,1,0)n=，平面PAD的一个法向量为2(,,)nxyz=，因为()2,1,0AD=−，(0,1,3)PD=−，则2200nADnPD==，即2030xyyz−+=−=，设6y=，则3x=，2z=，则2(3,6,2)n=，所以12

12126cos,7nnnnnn==，由图知：二面角CPAD−−是锐角，所以二面角CPAD−−的余弦值为67；（3）设(0,0,)Em，0,3m，(0,1,)DEm=−，则222262cos,71DEnmDE

nDEnm−+==+，因为直线ED与平面PAD的夹角的正弦值为227，所以26222771mm−+=+，解得：1m=，所以1CE=.点拨：方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC，BD的夹角为β，则cosβ＝ACBD

ACBD.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的

锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为

63，焦距为22，直线l交椭圆C于A、B两点；（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点，且倾斜角为4，求AOB的面积；（3）若线段AB的中点为点P()1,1，求直线l的方程；————（1）2213xy+=；（2）32；（3）340x

y+−=.分析：（1）根据离心率和焦距求解出,,abc的值，则椭圆的方程可求；（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出AB，再求解出O到直线AB的距离，最后根据三角形面积公式求解出AOB的面积；（3）采用点差法结合中点P的坐标，求解出l的斜率，再

根据直线的点斜式方程求解出l的方程.解答：（1）由题意可得：222c=，63cea==，解得：3a=，2c=，1b=，则椭圆的方程为：2213xy+=（2）左焦点为(2,0)−，直线l的斜率为tan14πk==，直线l的方程为：2yx=+，设A()11,xy，B(

)22,xy，联立22213yxxy=++=，得：246230xx++=，则有12322xx+=−，1234xx=，所以()2212129142332ABkxxxx=++−=−=，设点O到直线l的距离为d，则2200211(1)d−+==+−，故1322AOBSABd==；（3）

221113xy+=——①，222213xy+=——②，①−②得：()()()12121212()03xxxxyyyy+−++−=，又因为122xx+=，122yy+=，所以有：111213yykxx−==−−，所以直线l的方程为11(1

)3yx−=−−，即340xy+−=.点拨：方法点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线的方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程

.22.已知椭圆C：2212xy+=，点M()2cos,sin（0,2）（1）证明：点M在椭圆C上；（2）求点M到直线20xy−−=的距离的取值范围；（3）直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A、B两点，求线段AB长度的取值范围；————（1）证明见解析；（2）226226

,22−+；（3）2,22AB.分析：（1）将M点坐标代入椭圆C的方程，满足方程则说明点在椭圆上；（2）利用点到直线的距离公式表示出对应距离，同时将距离公式变形为和三角函数有关的形式，根据三角函数的有界性求解出距离最值；（3）分类讨

论：直线斜率不存在、直线的斜率存在，利用弦长公式求解出AB的取值范围.解答：（1）证明：因为()222cossin12+=，所以点M在椭圆C上；（2）设点M到直线20xy−−=的距离为d，则()2cossin23sin222d−−+−==，当()sin1+=时，d取最小值为22

62−；当()sin1+=−时，d取最大值为2226+；因此：226226,22d−+.（2）右焦点坐标为()1,0，①若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为1x=，代入椭圆方程得：22y=，则2AB=；②若直线l与x轴不垂

直，设直线l的斜率为k，则(1)ykx=−，设A()11,xy，B()22,xy，联立22(1)12ykxxy=−+=，得：()22222124220kxkxk+−+−=，则有：2122412kxxk+=+

，21222212kxxk−=+，则()2221212222(1)1412kABkxxxxk+=++−=+，设212tk=+，则1t，(10,1t，则(1212,22ABt=+，综上所述：2,22A

B.点拨：方法点睛：求解椭圆上一点到与之相离直线的距离最值的常用方法：（1）参数法：将椭圆上点的坐标设为椭圆方程的参数形式，根据点到直线的距离公式表示出距离，结合三角函数的有界性求解出距离的

最值；（2）切线法：设与已知直线平行的直线与椭圆相切，利用相切对应的0=，求解出切线方程，再根据平行直线间距离公式求解出点到直线的距离的最值.