【文档说明】重庆市巫山县官渡中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，2.715 MB，由小赞的店铺上传

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官渡中学2022年春高一数学期末考试卷考试时间：120分钟一、单项选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合0123A=，，，，123

4B=，，，，则集合AB的真子集的个数为（）A.32个B.16个C.8个D.7个【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义可得AB，进而可得其真子集的个数.【详解】0123A=，，，，1234B=，，，，集合123AB=，

，，集合的真子集为1，2，3，12，，13，，23，，共有7个．故选：D．2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则13iiz+=−（）A.22i−−B.1i−C.

22i+D.12i−【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算求解即可.【详解】由题意得12iz=−+，所以()()()()13i1i13i24i12ii1i1i2z+−−+−===−−−+−−.故选：D.3.命题“0x，1229xx−+”的否定是（）A.0x

，1229xx−+≤B.0x，1229xx−+≥C.0x，1229xx−+D.0x，1229xx−+≥【答案】D【解析】【分析】利用特称命题的否定为全称命题即得.【详解】“0x，1

229xx−+”的否定是“0x，1229xx−+≥”.故选：D.4.已知p：02x，那么p的一个充分不必要条件是（）A.13xB.11x−C.01xD.03x【答案】C【解析】【分析】利

用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A，(1,3)(0,2)，且(0,2)(1,3)，即13x是p的不充分不必要条件，A不是；对于B，(1,1)(0,2)−，且(0,2)(1,1)−，即11x−是p的不充分不必要条件，B不是；对于C，(0,

1)(0,2)，即01x是p的一个充分不必要条件，C是；对于D，(0,2)(0,3)，即03x是p的必要不充分条件，D不是.故选：C5.如图，已知等腰直角三角形OAB△，OAAB=是一个平面图形的直观图，斜边2OB=，则这个

平面图形的面积是（）A.22B.1C.2D.22【答案】D【解析】【分析】由直观图可确定平面图形是以2和22为直角边的直角三角形，由此可求得结果.【详解】2OB=，OAAB=，45AOB=，2OA=，由此可知平面图形是如下图所示的RtOAB，其中OAOB⊥，2OBOB

==，222OAOA==，112222222OABSOAOB===.故选：D.6.在下列区间中，函数()33xfxx=−−的一个零点所在的区间为（）．A.()0,1B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即

可求解.【详解】由题意，函数()33xfxx=−−，可得(0)2,(1)1,(2)4,(3)21,(4)74fffff=−=−===，所以()()120ff，结合零点的存在定理，可得函数()fx的一个零点所在的区间为(1,2).故选：B.7.若34a−=，3log2b=，ln1cc=，则实

数a，b，c的大小关系为（）A.abcB.b<c<aC.acbD.bac【答案】A【解析】【分析】应用指对数互化及对数的性质判断,ab的大小及范围，讨论c，结合对数的性质确定其范围，即可得答案.【详解】由332log20log21ab=−=，而ln1cc=：

当01c时ln0cc不满足；当1c=时ln0cc=不满足，所以1c.综上，abc.故选：A8.新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同型号的N95口罩，A、B、C三种型号的口罩产量之比为2::1m．为了提高这三种口罩的质量，用分

层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．在样本中B种口罩数量比A种口罩数量多40只，比C种口罩数量多80只，则n=（）A.240B.280C.320D.360【答案】A【解析】【分析】根据样本中A、B、C三种不同型号数量关系结合

比例，由题意列出方程组求解即可.【详解】设A，B，C三种口罩数量分别为a，b，c，则40408080baabbccb=+=−=+=−，所以40280abcb−==−，∴120b=，则80a=，40c=

，∴240nabc=++=，故选A.二、多项选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.根据关于世界人口变化情况的三幅统计图（如图所示），有下列四个结论：①从折线统计图能看出世界人

口的变化情况；②2050年非洲人口将达到大约15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．其中所有正确结论的编号是（）的A.①B.②C

.③D.④【答案】AC【解析】【分析】根据统计图一一分析即可；【详解】解：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；②从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，故②错；③从扇形统计图中能够明显的得到结论：

2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；④由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．因此正确的命题有①③．故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.圆柱的侧面展开图是矩形B.球面可以看成是一个圆绕着它

的直径所在的直线旋转180所形成的曲面C.直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台D.圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由圆柱的侧面展开图判断；对于B，由圆绕着它的直径所在的直线旋转判断；对于C，由直角梯形绕它的直角所在的腰所在

直线旋转判断；对于D，由圆柱、圆锥、圆台的特征判断.【详解】对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确；对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180所形成的曲面，所以B正确；对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的

几何体是圆台，所以C错误；对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确．故选：ABD．11.函数()cos()(0,0)fxx=+−的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.()fx图像的一条对称轴可能为直

线43x=B.函数()fx的解折式可以为()sin3fxx=−C.()fx的图像关于点4,03对称D.()fx在区间1723,66上单调递增【答案】BC【解析】【分析】先根图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可详解】由图象可

知352463T=−−，得2T=，所以212==，所以()cos()fxx=+，因为函数图象过点5,16，【所以5cos16+=，所以52,Z6kk+=，得52,Z6kk=−，因为0

−，所以56=−，所以5()cos6fxx=−，对于A，因为445coscos013362f=−==，所以43x=不是()fx图象的一条对称轴，所以A

错误，对于B，55()coscoscossinsin662333fxxxxxx=−=−=+−=−−=−，所以B正确，对于C，因为445coscos0

3362f=−==，所以()fx的图象关于点4,03对称，所以C正确，对于D，由522,Z6kxkk−+−，得522,Z66kxkk−++，当1k=时，1

11766x，当2k=时，232966x，可知函数在1117,66，2329,66上递增，所以函数在1723,66上递减，所以D错误，故选：BC12.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）A

.直线11AC与1AD为异面直线B.11AC∥平面1ACDC.1145ACB=D.正方体1111ABCDABCD−外接球体积为323【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用异面直线的定义判断即可，对于B，

由线面平行的判定定理判断，对于C，连接1AB，可得11ABCV为等边三角形，从而可判断，对于D，正方体1111ABCDABCD−的体对角线的长等于其外接球的直径，从而可求出外接球的体积【详解】对于A，因为1AD平面11ADDA，11AC

平面111ADDAA=，11AAD，所以直线11AC与1AD为异面直线，所以A正确，对于B，因为在正方体1111ABCDABCD−中，11AC∥AC，11AC平面1ACD，AC平面1ACD，所以11AC∥平面

1ACD，所以B正确，对于C，连接1AB，则由正方体的性质可得11ABCV为等边三角形，所以1160ACB=，所以C错误，对于D，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，所以其体对角线长为22222223++=，所以正方体1111ABCDABCD−外接球的半径为3，所以正方体111

1ABCDABCD−外接球体积为()343433=，所以D错误，故选：AB三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()1ln34yxx=−+的定义域是________【答案】()3,00,4−

【解析】【分析】根据题意可知3400xx−，由此即可求出结果.【详解】由题意可知3400xx−，所以()3,00,4x−.所以函数的定义域为()3,00,4−.故答案为：()3,

00,4−.14.已知2x，则42xx+−的最小值是______．【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式计算作答.【详解】2x，则444(2)22(2)26222xxxxxx+=+−+−

+=−−−，当且仅当422xx=−−，即4x=时取“=”，所以42xx+−的最小值是6.故答案为：615.已知向量()()3,1,,3ab==，若//ab，则ab=__________.【答案】43【解析】【分析】由

两向量平行得参数的值，再进行数量积运算即可.【详解】因为()()3,1,,3ab==，//ab，所以3313==，所以()()3,13,343ab==，故答案为：43.16.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上

，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满

足()12AMABAF=+，则AM=______；若点P是其内部一点（包含边界），则APAB的最大值是_______．【答案】①.12##0.5②.32##1.5【解析】【分析】由题可得21,,3ABAFABAF===，利用向量的数量积的运算法则即得12AM=，然后利用数量积的定义结合正

六边形的性质即得.【详解】由题可知21,,3ABAFABAF===，∴()()222211111212144424AMABAFABABAFAF=+=++=−+=，∴12AM=，设向量,APAB夹角为，设P在直线AB的射影为P，要使APAB的最大则[0,)2，

因为cosAPABAPABAPAB==，如图可知当P在C处时，APAB最大，的此时333,,31622APACAPAB=====.故答案为：12；32.四、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足()2222sin3bcAbca=+−．（1）求角A的大小；（2）若点D为AC的中点，7BD=，2AB=，求a的值．【答案】（1）3（2

）27【解析】【分析】（1）利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）在ABD△中由余弦定理求出AD，再在ABC中，由余弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为()2222sin3bcAbca=+−，所以222sin32bcaAbc+−=，即sin3

cosAA=，所以tan3A=，因为()0,A，所以3A=【小问2详解】解：在ABD△中，由余弦定理有2222cosBDABADADABA=+−，即2742ADAD=+−，解得3AD=或1AD=−（舍去），又D为AC的中点，所以3CD=，即

6AD=，在ABC中，由余弦定理有2222cosBCABACACABA=+−，即24361228BC=+−=，所以27aBC==；18.设1e，2e是两个不共线的向量，已知1228ABee=−，123CBee=+，122CDee=−.（1）求证：A，B，D三点共线；（2）

若123BFeke=−uruuurur，且//BBFD，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）由题意证明向量AB与BD共线，再根据二者有公共点B，证明三点共线；（2）根据BF与BD共线，设(

)RBFBD=由（1）的结论及题意代入整理，结合1e，2e是两个不共线的向量，构造方程解实数k的值.【小问1详解】由已知得121212))(2(34BDCDCBeeeeee=−+=−=−−,因为1228ABee=−，所以2ABBD=,又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点

共线；【小问2详解】由（1）知124BDee=−，若123BFeke=−uruuurur，且//BBFD，可设()RBFBD=,所以121234ekeee−=−，即12(3)(4)eke−=−，又1e，2e是

两个不共线的向量，所以3040k−=−=解12k=.19.为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组)40,50，第2组)50,60，第3组)60,70，第4组)70,80，第5组)8

0,90，第6组90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好

､一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.【答案】（1）66.8（2）73（3）57【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；（2）

首先确定第65百分位数位于)70,80，设其为x，由()0.56700.030.65x+−=可求得结果；（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图可知平均数

()450.01550.026650.02750.03850.008950.0061066.8x=+++++=.【小问2详解】成绩在)40,70的频率为()0.010.0260.021

00.56++=，成绩在)40,80的频率为0.560.03100.86+=，第65百分位数位于)70,80，设其为x，则()0.56700.030.65x+−=，解得：73x=，第65百分位数为73.【小问3详

解】第5组的人数为：500.008104=人，可记为,,,ABCD；第6组的人数为：500.006103=人，可记为,,abc；则从中任取2人，有(),AB，(),AC，(),AD，(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),BC，()

,BD，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),CD，(),Ca，(),Cb，(),Cc，(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共21种情况；其中至少1人成绩优秀的情况有：(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),Ca，()

,Cb，(),Cc，(),Da，(),Db，(),Dc，(),ab，(),ac，(),bc，共15种情况；至少1人成绩优秀的概率155217p==.20.已知()3sin,cosaxx=，(cos,cos)

bxx=，()221fxabm=+−（x，mR）.（1）求()fx关于x的表达式，并求()fx的最小正周期；（2）若当,x−时，求()fx的单调递增区间；（3）若当0,2x时，()

fx最小值为5，求m的值.【答案】（1）()2sin226fxxm=++，最小正周期为（2）5,6−−，,36−，2π,π3轾犏犏臌（3）3m=【解析】【分析】（1）利用向

量数量积公式求得函数()fx，结合三角二倍角公式及辅助角公式化简()fx的表达式，即可求出最小正周期；（2）由222,262kxkkZ−+++，结合,x−即可求解结果；（3）由0,2x得72,666x+，即可求出函数最小值，

从而得参数值．【小问1详解】的()23fx=sinxcosx＋2cos2x＋2m－1＝3sin2x＋cos2x＋2m＝2sin(2)6x+＋2m，∴()fx的最小正周期为π.【小问2详解】由222,262k

xkkZ−+++得,36kxkkZ−++，又因为,x−，所以单调递增区间5,6−−，,36−，2π,π3轾犏犏臌【小问3详解】因为0,2x∴2x＋67,66，∴当2x＋6＝76

，即x＝2时，函数()fx取得最小值是2m－1．∵2m－1＝5，∴m＝3．21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PAAB=.（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；（2）点M在平面PBD内，直线AM⊥平面PBD，求四

棱锥MABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明BD⊥面PAC，再根据面面垂直判定定理证明平面PBD⊥平面PAC；(2)先求四棱锥MABCD−的高，再根据锥体体积公式求解即可.【小问1详解】连接AC交BD

于点O，∵PA⊥底面,ABCDBD平面ABCD，∴PABD⊥，又∵ACBD⊥，PAACA=，,PAAC平面PAC，∴BD⊥面PAC，∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；【小问2详解】连接PO，

过A作ANPO⊥交PO于点N，因为平面PBD⊥平面PAC，平面PBD平面=PACPO，PO平面PAC，所以AN⊥平面PBD，所以,MN重合，因为AOMPOA△∽△，所以OMAOAOPO=，又22AO=，1PA=，62PO=所以66

OM=，所以13OMOP=，∴点M到底面ABCD的距离为13，又1ABCDS=∴1111339MABCDV−==.,22.已知函数()221xfxx=+（1）证明：()fx为偶函数；（2）判断()()gxfxx

=+的单调性并用定义证明；（3）解不等式()()222fxfxx−−+【答案】（1）证明见解析（2）()gx为R上的增函数，证明见解析（3）()1,+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到()gx的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变

形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【小问1详解】证明：()fx的定义域为R，又()()()()222211xxfxfxxx−−===+−+，故()fx为偶函数；【小问2详解】解：()(

)221xgxfxxxx=+=++，所以()gx为R上的增函数，证明：任取1x，2xR，且12xx，()()22221212121212222212121111xxxxgxgxxxxxxxxx−=+−+=−+−++++()()()()22221221122

2121111xxxxxxxx+−+=−+++2212122212(1)(1)xxxxxx−=−+++12122212()1(1)(1)xxxxxx+=−+++22221212121222121()(1)(1)xxxxxxxxxx+++++=−

++22221212122212111()()222().(1)(1)xxxxxxxx+++++=−++∵12xx，∴220xx−，又()()222212122212111222011xxxxxx+++++++，∴22221212122212

111()()222()0(1)(1)xxxxxxxx+++++−++，即()()12gxgx，∴()gx为R上的增函数；【小问3详解】解：不等式()()222fxfxx−−+，等价于()()()2222fxxfxxfxx+−+

−=−+−即()()2gxgx−，∵()gx为R上的增函数，∴2xx−，解得1x，故不等式的解集为()1,+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com