【文档说明】专题07 圆-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(39)页，3.436 MB，由管理员店铺上传

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考点目录85垂径定理及其推论相关计算....................................................586圆周角定理及其推论相关计算.....................................

............1187与圆有关的位置关系.........................................................2088切线性质与判定......................

......................................2489正多边形与圆..............................................................2790与圆有关的计算......

......................................................31聚焦8圆的有关性质考点一圆的有关概念及其对称性1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，

定长叫做半径．2．圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．考点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并

且平分弦所对的两条弧．考点三圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应

的两项也成立．考点四圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．2．性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．(3)同弧或等弧所对

的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．聚焦9点与圆、直线与圆的位置关系考点一点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：点在

圆外，点在圆上，点在圆内．2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外d＞r；点在圆上d＝r；点在圆内d＜r.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一

个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．考点二直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．2．概念：(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线

和圆相交；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直

线l和⊙O相离d＞r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法：(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．考点四三角形(多边形)的

内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．2．三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．聚焦10圆与圆的位置关系考点

圆与圆的位置关系1．概念：①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：

两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．两圆外离d＞R＋r；两圆外切d＝R＋r；两圆相交R－r＜d＜R＋r

(R≥r)；两圆内切d＝R－r(R＞r)；两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)．聚焦11与圆有关的计算考点一弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝180nr.2

．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝nπr2360或S＝12lr.考点二圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半

径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l·2πr＝πrl(l为母线长

，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.考点三不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，

利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．85垂径定理及其推

论相关计算【例题1】（2022•芜湖一模）已知O的直径10CD=，AB是O的弦，8AB=，且ABCD⊥，垂足为M，则AC的长为()A．25B．45C．25或45D．23或43【分析】连接OA，由ABCD⊥，根据垂径定理得到4AM=，再根据勾股定理计算出3OM=，然后分类讨论：当如图

1时，8CM=；当如图2时，2CM=，再利用勾股定理分别计算即可．【解答】解：连接OA，ABCD⊥，118422AMBMAB====，在RtOAM中，5OA=，2222543OMOAAM=−=−，当

如图1时，538CMOCOM=+=+=，在RtACM中，22228445ACAMCM=+=+=；当如图2时，532CMOCOM=−=−=，在RtACM中，22224225ACAMCM=+=+=．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

也考查了勾股定理．【例题2】（2022•怀宁县模拟）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是()A．25B．50C．1

00D．150【分析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，ODc=，根据正方形的性质CNCDa==，DEEFb==，根据勾股定理得出222()10aac++=①，222()10bbc+−=②，①−②得出2222()()0aacbbc++−−−=，把等式的左边分解因式

后得出2()()0ababc+−+=，求出bac=+，再代入①，即可求出答案．【解答】解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，ODc=，则CNCDa==，DEEFb==，四边形CDMN和DEFG都是正方形，9

0NCD=，90FED=，半圆O的半径为10，10ONOF==，由勾股定理得：222NCCOON+=，222OEEFOF+=，222()10aac++=①，222()10bbc+−=②，①−②，得2222()()0aacbbc++−−−=，2222()

[()())]0abacbc−++−−=，()()()()0ababacbcacbc+−+++−+−+=，()()()(2)0ababababc+−++−+=，()(2)0abababc+−+−+=，2()()0ab

abc+−+=，0ab+，0abc−+=，即bac=+，把bac=+代入①，得22210100ab+==，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出bac=+是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．【例题3

】（2022•遵义模拟）如图，O的半径为6，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则ABC面积的最大值是()A．63B．123C．273D．543【分析】过点C作CTAB⊥于点T，过点O作OHAB⊥于点H，交O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，

求出CT的最大值，可得结论．【解答】解：如图，过点C作CTAB⊥于点T，过点O作OHAB⊥于点H，交O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，AOAK=，OAOK=，OAOKAK==，60OAKAOK==．3sin606332AHOA===，OHAB

⊥，AHBH=，263ABAH==，OCOHCT+…，639CT+=„，CT的最大值为9，ABC的面积的最大值为16392732=，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线

段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．【例题4】（2021•自贡）如图，AB为O的直径，弦CDAB⊥于点F，OEAC⊥于点E，若3OE=，5OB=，则CD的长度是()A．9.6B．45C．53D．10【分析】根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用AEOAFC

∽，求出CF，即可求解．【解答】解：OEAC⊥，AEEC=，ABCD⊥，90AFCAEO==，3OE=，5OB=，224AEAOOE=−=，8AC=，AA=，AEOAFC=，AEOAFC∽，AOEOACFC=，即：538FC=，245FC=，CDAB⊥，4829

.65CDCF===．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．【例题5】（2021•宜兴市校级二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“

圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边

相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是()A．22(3)72xx+−=B．22(3)722xx+−=C．22(3)36x

x+−=D．22(3)362xx+−=【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：22(3)722xx+−=．故选：B．【点评】此题主要考

查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．【例题6】（2021•牡丹区三模）如图，在半径为1的扇形AOB中，90AOB=，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OCAP⊥，ODBP⊥，

垂足分别为C，D，则CD的长为22．【分析】连接AB，如图，先计算出2AB=，再根据垂径定理得到ACPC=，BDPD=，则可判断CD为PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．【解答】解：连接AB，如图，1OAO

B==，90AOB=，22ABOA==，OCAP⊥，ODBP⊥，ACPC=，BDPD=，CD为PAB的中位线，1222CDAB==．故答案为22．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考

查了三角形的中位线定理．86圆周角定理及其推论相关计算【例题1】（2021•下城区校级四模）如图，等腰ABC的顶角CAB为50，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为()A．50B．25C．80D．65

【分析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出50DOE=，可得结论．【解答】解：连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．AB是直径，90ADB=，ADCB⊥，AB

AC=，1252BADDACBAC===，250DOEDAC==，DE的度数为50，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．【例题2】（2021•安徽二模）如图，

点A，B，C，D都在O上，圆的半径为2，且2CBCD==，ABAD=，则该(ABCDS=四边形)A．43B．23C．33D．6【分析】连接AC，求出ADCABC=，求出AC是圆的直径，根据勾股定理求出AD、AB，分别

求出ADC和ABC的面积即可．【解答】解：连接AC，CBCD=，ADAB=，DCBC=，ADAB=，ADCABC=，即AC是圆的直径，90DB==，圆的半径为2，4AC=，2CBCD==，由勾股定理得：224223ADAB=

=−=，ABCDS四边形ADCABCSS=+1122ADCDABBC=+1123223222=+43=，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．【例题3】（2

021•南平模拟）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若90ADBACB==，则下面结论不一定正确的是()A．DCCB=B．DACDBC=C．180BCDBAD+=D．点A、C、

D到点O的距离相等【分析】由点O为AB的中点，90ADBACB==，可知D，C在以O为圆心，AB为直径的圆上，由圆心角定理可证．【解答】解：点O为AB的中点，90ADBACB==，D，C在以O为圆

心，AB为直径的圆上，如图，DACDBC=，180BCDBAD+=，点A、C、D到点O的距离相等，当DACBAC=时，DCCB=，而题目中未给出．故选：A．【点评】本题以四边形为背景考查了圆心角定理，关

键是能够根据已知条件构造圆．【例题4】（2021•兰州模拟）如图，在O中，点A在BC上，50ABO=，110BAC=，则(ACO=)A．80B．70C．60D．55【分析】在O上取一点D，连接CD，BD

，令四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得到70D=，再根据圆周角定理即四边形内角和即可求解．【解答】解：如图，在O上取一点D，连接CD，BD，令四边形ABDC为圆内接四边形，则180DBAC+=，110BAC=，70D=，2140BOCD==

，50ABO=，3603601405011060ACOBOCABOBAC=−−−=−−−=，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．【例题5】（2021•福州模拟）如图，AB是

O的直径，点C，D为O上的点．若20CAB=，则D的度数为()A．70B．100C．110D．140【分析】求出70B=，再根据圆内接四边形的性质求出ADC即可．【解答】解：AB是直径，90ACB=，20CAB=，902070ABC=−=，180ADCAB

C+=，110ADC=，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题6】（2022•碑林区校级三模）如图，在圆O的内接四边形ABCD中，3AB=，5AD=，60BA

D=，点C为弧BD的中点，则AC的长是()A．4B．23C．433D．833【分析】将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，根据旋转的性质得出30ECAD==，5BEAD==，ACCE=，求出A、B、E三点共线，解

直角三角形求出即可．【解答】解：A、B、C、D四点共圆，60BAD=，18060120BCD=−=，60BAD=，AC平分BAD，30CADCAB==，如图1，将ACD绕点C逆时针旋转120得CBE，则30

ECAD==，5BEAD==，ACCE=，(180)(180)180ABCEBCCABACBEBCE+=−−+−−=，A、B、E三点共线，过C作CMAE⊥于M，ACCE=，1(53)

42AMEM==+=，在RtAMC中，483cos30332AMAC===；故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．【例题7】（2021•吉林）如图，四边

形ABCD内接于O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若120B=，则APC的度数可能为()A．30B．45C．50D．65【分析】由圆内接四边形的性质得D度数为

60，再由APC为PCD的外角求解．【解答】解：四边形ABCD内接于O，180BD+=，120B=，18060DB=−=，APC为PCD的外角，APCD，只有D满足题意．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题

关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．【例题8】（2021•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是()A．14=B．1235180+++=C．4

7=D．25ADC=+【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：1，4所对的弧都是弧CD，14=，2，7所对的弧都是弧BC，27=，5，8所对的弧都是弧AB．58=，1238180+++=，87

ADC=+，1235180+++=，25ADC=+，故A，B，D都正确，BC和DC不一定相等，BC与DC不一定相等，4与7不一定相等，故C错误，故选：C．【点评】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．【例题9】（2

021•无为市三模）已知四边形ABCD内接于O，5OA=，ABBC=，E为CD上一点，且BEBC=，90ABE=，则AD的长为52．【分析】如图，连接OD，AC．首先证明1452ACEABE==，推出290AODACE==，可得结论．【解答】解：如图，

连接OD，AC．BABEBC==，点B是AEC的外接圆的圆心，1452ACEABE==，290AODACE==，5OAOD==，52AD=，故答案为：52．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的

关键是证明45ACE=．【例题10】（2022•山西一模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BE是O的直径，连接AE．若2BCDBAD=，则DAE的度数是30o．【分析】根据圆内接四边形的性质求出60BAD=，根据圆周角定理得到90BAE=，结合图形计算，得到答案．【解答

】解：四边形ABCD是O的内接四边形，180BCDBAD+=，2BCDBAD=，120BCD=，60BAD=，BE是O的直径，90BAE=，90906030DAEBAD=−=−=，

故答案为：30．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【例题11】（2021•巨野县二模）如图，四边形ABCD内接于O，F是CD上一点，且DF

BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若105ABC=，25BAC=，则E的度数为50度．【分析】根据圆内接四边形的性质求出ADC的度数，由圆周角定理得出DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：四边形ABCD

内接于O，105ABC=，18018010575ADCABC=−=−=，DFBC=，25BAC=，25DCEBAC==，752550EADCDCE=−=−=，故答案为：50．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对

角互补是解答此题的关键．【例题12】（2021•淮安区二模）如图，四边形ABCD内接于O，延长CO交O于点E，连接BE．若100A=，60E=，则ECD=50．【分析】根据圆周角定理得到90EBC=，求出BCE，根据圆内接四边形的性质得到18080BCDA=−=，计算即

可．【解答】解：EC是O的直径，90EBC=，9030BCEE=−=，四边形ABCD内接于O，18080BCDA=−=，50ECDBCDBCE=−=，故答案为：50【点评】本题考查的是圆内接四

边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．87与圆有关的位置关系【例题1】（2022•贵港模拟）如图，在ABC中，ABAC=，12BC=，D为BC的中点，8AD=，P是半径为2的A上一动点，

连接PC，E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为()A．7B．9C．8D．6【分析】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CDDB=，根据三角形中位线定理得到12DEPB=，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的

最大值．【解答】解：连接PB，ABAC=，ADBC⊥，162CDDBBC===，点E为PC的中点，DE是PBC的中位线，12DEPB=，当PB取最大值时，DE的长最大，P是半径为2的A上一动点，当PB过圆心A时，PB最

大，6BD=，8AD=，226810AB=+=，A的半径为2，PB的最大值为10212+=，DE长的最大值为6，故选：D．【点评】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB

取最大值时，DE的长最大是解题的关键．【例题2】（2021•河南模拟）引理：在ABC中，若D为BC的中点，则222222.ABACADCD+=+（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形ABCD中，6AB=，8BC=，点P在以BC为

直径的半圆上运动，则22PAPD+的最小值是()A．210B．38C．40D．68【分析】设点N为AD的中点，点O为BC的中点，连接ON交半圆于点P，此时PN取最小值．根据据悉性质得6ONAB==，4ANND==，642PNONOP=−=−=，再根据中线长公式得出222222PAP

DPNND+=+，进而求出答案．【解答】解：设点N为AD的中点，点O为BC的中点，连接ON交半圆于点P，此时PN取最小值.BC是直径，O是BC的中点，8BC=，142OPOCBC===，四边形ABCD四边形为矩形，四边形DEFG为矩形，6ONAB==，4ANND=

=，642PNONOP=−=−=，222222PAPDPNND+=+，4DN=不变，当PN取最小值时，222222PAPDPNND+=+取得最小值，此时2222222440PAPD+=+=．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩

形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．【例题3】（2021秋•海州区校级月考）如图，在RtABC中，90ACB=，5AC=，12BC=，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度

的最小值为5．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．【解答】解：作AB的中点E，连接EM，CE，A

D．在直角ABC中，222251213ABACBC=+=+=，E是直角ABC斜边AB上的中点，16.52CEAB==．M是BD的中点，E是AB的中点，11.52MEAD==．6.51.56.51.5CM−+剟，即58CM剟．最小值为5，故答案为：5．【点评】

本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．88切线性质与判定【例题1】（2022•碑林区校级模拟）如图，ABC是O的内接三角形，过点C的O的切线交BO的延长线于点P，若34P=，那么BAC度数为()A．112

B．118C．146D．168【分析】连接OC、CE，根据切线的性质得到OCCP⊥，根据直角三角形的性质求出COP，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：连接OC，设O与OP交于点E，连接CE，PC为O的切线，OCCP⊥，90903456COPP=−

=−=，OCOE=，1(18056)622OECOCE==−=，四边形ABEC为O的内接四边形，180118BACOEC=−=，故选：B．【点评】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于

经过切点的半径是解题的关键．【例题2】（2022•宣州区校级一模）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，过点C作O的切线交AB的延长线于点P，若40P=，则ADC=115．【分析】连接OC，根据切线的性质和圆内接四边形的

性质即可得到结论．【解答】解：连接OC，PC是O的切线，90OCP=，40P=，50COB=，OCOB=，1(18050)652ABC=−=，180115ADCABC=−=，故答案为：115．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质

是解题的关键．【例题3】（2021•铜仁市三模）如图，在ABC中，ABCB=，以AB为直径的O与AC相交于点E，EDBC⊥，垂足为D，DE的延长线与BA的延长线相交于点F．（1）求证：DE是O的切线；（2）若O

的半径为3，4EF=，求CD的长度．【分析】（1）连接OE，由OEOA=、ABCB=证明OEABACC==，则//OEBC，得90OEFBDE==，所以DEOE⊥，即可证明DE是O的切线；（2）由3OEOAOB===得6ABCB==，根据勾股定理求得5OF=，则3

58BF=+=，再证明FOEFBD∽，根据相似三角形的对应边成比例求出BD的长，即可求得CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OE，OEOA=，OEABAC=，ABCB=，CBAC=，OEAC=，//OEBC，EDBC⊥于点D，90OEFBDE==，OE是O的半

径，且DEOE⊥，DE是O的切线．（2）解：如图，3OEOAOB===，6ABCB==，90OEF=，4EF=，2222345OFOEEF=+=+=，358BFOBOF=+=+=，//OEBD，FOEFBD∽，58OEOFBDBF==，882

43555BDOE===，246655CDCBBD=−=−=，CD的长度为65．【点评】此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题

的关键．89正多边形与圆【例题1】（2022•合肥模拟）如图，正五边形的两条对角线相交形成1，则1的度数为()A．60B．64C．72D．75【分析】根据题意得ABBC=，(52)180108

5ABC−==，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：多边形是正五边形，ABBC=，(52)1801085ABC−==，236=，同理336=，123

72=+=，故选：C．【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的想是解题的关键．【例题2】（2022•泉州模拟）如图，在正六边形ABCDE的内部以CD为边作正方形CDGT，连接BT，则tanABT的值为()A．14B．1

3C．12D．1【分析】由题意可知，(62)1801206BCDABC−===，推出1209030BCT=−=，所以18030752CBT−==，推出1207545ABTABCCBT=−=−=，即可求出tanABT的

值．【解答】解：由题意可知，(62)1801206BCDABC−===，90TCD=，1209030BCT=−=，BCCT=，18030752CBT−==，1207545ABTABCCBT=−=−=，tantan451ABT

==．故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确利用正多边形内角和公式是解题的关键．【例题3】（2021•闽侯县模拟）如图，半径为2的O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为()

A．85B．65C．43D．45【分析】根据正多边形内角和公式可求出E、A，根据切线的性质可求出OBA、ODE，从而可求出BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，OD，五边形ABCDE是正五边形，3

601801085EA==−=．AB、DE与O相切，90OBAODE==，(52)1809010810890144BOD=−−−−−=，劣弧BD的长为144281805=

，故选：A．【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．【例题4】（2021•宁德模拟）已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长

是()A．33−B．2312−C．312+D．1312−【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形对应点的距离MF，再根据正六边形的性质求出半径G

F，即边长FH即可．【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ONDE⊥于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，由对称性可知，1OMOPENDN====，由正六边形的性质可得23ON=，2213ODDNONOF=+==，1

31MF=−，由正六边形的性质可知，GFH、GHQ、GQM都是正三角形，113122FHMF−==，故选：D．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．【例题5】（2022•永城市一模）如图，半径为1的O与正六边形ABCDEF相切于

点A，D，则AD的长为23．【分析】连接OA，OD，首先求得弧所对的圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：连接OA，OD，O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，90OAFODE==，120EF==，5409090120120120AOD=−−

−−=，AD的长为120121803=，故答案为：23．【点评】本题考查正多边形与圆、切线的性质及弧长的计算，解题的关键是能够根据切线的性质确定90OAFODE==，属于中考常考题型．【例题6】（2022•陕西模拟）如图，正

五边形ABCDE内接于O，则ADE的度数是36．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：正五边形ABCDE内接于O，AEED=，(52)1801085AED−==，1

(180108)362EADADE==−=，故答案为：36．【点评】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式．90与圆有关的计算【例题1】（2022•东明县一模）一个扇形的半径为3

，圆心角为40，则该扇形的面积是()A．B．2C．4D．8【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意，2403360S==扇形．故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：2

360nrS=．【例题2】（2022•麻栗坡县校级模拟）如图，从一张直径是2的圆形纸片上剪出一个圆心角为90的扇形，若剪出的扇形恰好可以围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是()A．B．4C．8D．16【分析】利用圆周角定理得到BC为O的直径，则2ABAC==，

设该圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到9022180r=，然后解方程即可．【解答】解：90BAC=，BC为O的直径，2BC=，2ABAC==，设该圆锥底面圆的半径为r，9022180r=，解得24r=，即该圆锥底

面圆的半径为24，底面圆的面积为8．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．【例题3】（2022•安徽一模）如图，已知等腰ABC，6ABAC==，65ACB=，以

AB为直径的O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE的长为56．【分析】连接AE，OE，OD，根据圆周角定理得到AEBC⊥，根据等腰三角形到现在65BC==，1252CAEBAC==，根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接AE，OE，OD，AB为O的直径，AEBC⊥，6A

BAC==，65ACB=，65BC==，18050ABC=−−=，1252CAEBAC==，250DOECAE==，劣弧DE的长50351806==，故答案为：56．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正

确地作出辅助线是解决问题的关键．【例题4】（2022•信阳一模）如图，点A、B、C均在圆上，若1AB=，2BC=，60ABC=，则AB的长为3．（结果保留)【分析】连接AC，根据题干可判断出BC为直径，从而得到AB所对的圆心角，半径长，

再利用弧长公式计算即可【解答】解：连接AC，1AB=，2BC=，60ABC=，90BAC=，BC为直径，取BC中点O，连接OA，则60BOA=，1OB=，AB的长为6011803=．故答案为3．【点评】本题考查弧长公式，解题关键是根据题干数据得到圆心角．【

例题5】（2022•浦江县模拟）75的圆心角所对的弧长是10cm，则此弧所在圆的半径是24cm．【分析】根据弧长公式180nrL=，将75n=，10Lcm=代入即可求得半径长．【解答】解：75的圆心角所对的弧长是10cm，由180nrL=，7510180r=，解

得24r=．故答案为：24．【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式180nrL=是解答本题的关键．【例题6】（2022•诏安县校级模拟）在半径为18的圆中，120的圆心角所对的弧长是12．【分析】利用弧长公式

，即可直接求解．【解答】解：弧长是：1201812180=．故答案是：12．【点评】本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键．【例题7】（2022•镇海区一模）扇形的半径为3，弧长为2，则扇形的面积为3

（结果保留)．【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式得出扇形的面积等于弧长和半径积的一半，再代入求出答案即可．【解答】解：扇形的半径为3，弧长为2，此扇形的面积13232S==，故答案为：3．【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式

是解此题的关键．【例题8】（2022•南岗区模拟）已知扇形的弧长为2cm，半径为4cm，则此扇形的面积为42cm．【分析】根据扇形的面积公式求出即可．【解答】解：扇形的弧长为2cm，半径为4cm，该扇形的面积为21244()2cm=，故答案为：4．【点评】本题

考查了弧长的计算和扇形面积的计算，注意：已知扇形的圆心角是n，半径是r，那么这个圆心角所对的弧的长度是180nr，这个扇形的面积213602nr==弧长r．【例题9】（2022•齐齐哈尔模拟）已知扇形面积为212cm，圆心角为120，则此扇形弧长为4cm．【分析】利用扇形的面积

公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm．由题意：212012360R=，解得6R=，扇形的弧长12064()180cm==．【点评】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形

的面积公式以及弧长公式．【例题10】（2022•启东市模拟）一个扇形的弧长为6，圆心角为120，则此扇形的面积为27．【分析】根据一个扇形的弧长为6，圆心角为120，可以求得这个扇形所在圆的半径，然后根据扇形面积公式2360nrS=，代入数据计算即可得到此扇形的面

积．【解答】解：一个扇形的弧长为6，圆心角为120，1206180r=，解得，9r=，扇形的面积是：2120927360=，故答案为：27．【点评】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是知道弧长计算公式和扇形

面积计算公式．【例题11】（2022•南岗区校级模拟）一个扇形的半径为6cm，面积为210cm，则此扇形的圆心角为100度．【分析】根据一个扇形的半径为6cm，面积为210cm，然后根据扇形面积公式2360nrS=

，即可求得这个扇形的圆心角的度数．【解答】解：设这个扇形的圆心角为n，2610360n=，解得，100n=，故答案为：100．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式2360nrS=．【例题12】

（2022•武进区校级模拟）用圆心角为150，半径为3cm的扇形作圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为54cm．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．【解答】解：设此圆锥的底面半径为rcm，由题意，得15032180r=

，解得54r=．故答案为：54．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【例题13】（2022•江阴

市校级一模）圆锥的底面半径为7cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为120度．【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度，圆锥的底面半径为7cm，圆

锥的底面周长为14cm，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为14cm，则2114180n=，解得：120n=，故答案为：120．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．【例题14】（2022•哈尔滨模拟）已知

一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的侧面积为280cm．【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的母线长10，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计

算．【解答】解：这个圆锥的母线长为226810+=，所以这个圆锥的侧面积21281080()2cm==．故答案为280cm．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【例题15】（2021•达拉特旗一模）

已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120，则圆锥的高为62cm．【分析】设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2rcm，所以侧面展开图的弧长为2rcm，然后利用扇形的面积公式即可得到关于r的方程，解方程即可求得圆锥底

面圆的半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2rcm，所以侧面展开图的弧长为2rcm，211209292360Sr==圆锥侧面积，解得：3r=，圆锥的高为229362cm−=，故

答案为：62．【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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