【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第04讲 基本不等式（达标检测） Word版含解析.docx，共(11)页，922.343 KB，由小赞的店铺上传

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《基本不等式》达标检测[A组]—应知应会1．（2020春•南关区校级期中）若0x，则212xx+的最小值为()A．32B．33C．1D．32【分析】由2211112222xxxxx+=++，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为0x，则32221111111332

2222222xxxxxxxx+=++=…，当且仅当21122xx=即1x=时取等号，故选：D．2．（2020•历下区校级模拟）已知0x，0y，且191xy+=，则xy的最小值为()A．100B．81C．36D．9

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解zy的最小值．【解答】解：0x，0y，且191xy+=，由基本不等式可得912xy…，当且仅当1912xy==即2x=，18y=时取等号，解可得36xy…，即xy的最小值36．故选：C．3．（2

020•海南一模）如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A．最大长度为8米B．最大长度为42米C．最小长度为8米D．最小长度为42米【分析】根据已知条件建立关于篱

笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设BCa=米，CDb=米，则4ab=，所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为44222242abaaaa+=+=…，当且仅当42aa=，即2a=时取等号．故选：D．4．（2020春•诸暨市校级期中）坐

标(1,1)−满足1mxny−=，且0m，0n，则14mn+的最小值为()A．9B．6C．8D．42【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得，1mn+=，则14144()()5549nmmnmnmnmn+=++=+++=…

，当且仅当4nmmn=且1mn+=即13m=，23n=时取等号，此时取得最小值9故选：A．5．（2020春•金华期中）已知实数x，y满足2xyxy−=+，且1x，则(11)yx+的最小值为()A．21B．24C．25D．27【分析】根据题意，将2xyxy−=+变形

可得21xyx+=−，据此可得(2)(11)(11)(1)1xxyxxx+++=−，设1tx=−，则有36(11)15yxtt+=++，(0)t，结合基本不等式性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，实数x，y满足2xyxy−=+，变形可得(1)2yxx−=+，则

有21xyx+=−，则2(2)(11)(11)(11)(1)11xxxyxxxxx++++=+=−−，设1tx=−，则有2(3)(12)153636(11)15ttttyxtttt+++++===++，(0)t，又由3636212tt

tt+=…，则有(11)122527yx++=…，即(11)yx+的最小值为27，此时6t=，即7x=；故选：D．6．（2020•河东区一模）已知实数a、b，0ab，则22224ababab+++的最大值为()A．16B．14C．

17D．6【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：由于2220abab+…，所以222222424abababababab+++++„，故：2211142464222ababababababab==+++++„，（当且仅

当ab=时，等号成立）．故选：A．7．（2020春•顺庆区校级月考）在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若2(0,0)AFxAByACxy=+，则12xy+的最小值为()A．1B．8C．2D．4【

分析】由向量共线定理可得21xy+=，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解．【解答】解：由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得21xy+=，则12124()(2)4448yxxyxyxyxy+=++=+++=…

，故选：B．8．（2019秋•开封期末）已知0m，0n，141mn+=，若不等式22mnxxa+−++…对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．[8，)+B．[3，)+C．(−，3]D．(−，8]【分析】先结合基本不

等式求出mn+的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解【解答】解：1444()()5529nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=…，当且仅当4nmmn=时等号成立，229xxa−++„，即2229(1)8axxx−+=

−+„，8a„．故选：D．9．（2020•中卫二模）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角

三角形再分成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为ab+，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作

直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC⊥于点F，则下列推理正确的是()①由图1和图2面积相等可得abdab=+；②由AEAF…可得2222abab++…；③由ADAE…可得222112abab++…；

④由ADAF…可得222abab+…．A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③【分析】根据题意求出AD，AE，AF，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图1和图2面积相等()ababd=+，可

得abdab=+，①对；由题意知图3面积为221122ababAF=+，22abAFab=+，221122ADBCab==+，图3设正方形边长为x，由三角形相似，axxxbx−=−，解之得abxab=+，则2

abAEab=+；可以化简判断②③④对，故选：A．10．（多选）（2020•德州二模）若正实数a，b满足1ab+=，则下列说法正确的是()A．ab有最大值14B．ab+有最大值2C．11ab+有最小值2D．22ab+有最大值12【分

析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为正实数a，b满足1ab+=，由基本不等式可得21()24abab+=„，当且仅当ab=时取等号，故A正确；因为2()21212ababababab+=++=+++=„，当且仅当ab=时取等号，所以ab+的最

大值为2，故B正确；1114abababab++==…，即有最小值4，故C错误；222()212abababab+=+−=−，结合A可知有最小值12，当且仅当ab=时取等号，故D错误；故选：AB．11．（多选）（2020

春•锡山区校级期中）设正实数m、n满足2mn+=，则下列说法正确的是()A．12mn+的最小值为3222+B．2mn的最大值为12C．mn+的最小值为2D．22mn+的最小值为2【分析】m，0n，2mn+=，利用“乘1法”可得：1

211212()()(3)22nmmnmnmnmn+=++=++，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．【解答】解：m，0n，2mn+=，则121121212322()()(3)(32)2222nmnm

mnmnmnmnmn++=++=+++=…，当且仅当2422nm==−时成立．22mnmn+=…，解得1mn„．122mn„，2()222mnmnmn+=+++„，2mn+„．222()22mnmn++=…，当且仅当1mn=

=时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．12．（2020•昌平区二模）已知1a，则41aa+−的最小值为．【分析】由441111aaaa+=−++−−，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为1a

，则444112(1)15111aaaaaa+=−++−+=−−−…，当且仅当411aa−=−即3a=时取等号，故答案为：513．（2020•北京模拟）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：/)mgL随

时间t（单位：)h的变化关系为2204tCt=+，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：220202054442tCttttt===++„，当且仅当2t=时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．14

．（2020•江苏模拟）已知正实数x，y满足21()1xxyy−=，则1xy+的最小值为．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知正实数x，y满足21()1xxyy−=，整

理得：21()yxyx−=，所以2211444()()24xyxyxxxyyyxyxy+=−+=+=…，所以12xy+…（当且仅当2yx=等号成立）故1xy+的最小值为2．故答案为：215．（2020•南开区二模）已知

0ab，则22222(4)2(4)541ababab+++++的最小值为．【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得22224244ababab+=…，进而可得2222222(4)2(4)5(4)2(4)5(41)44(41)41414141aba

babababababababab++++++++==++++++…，据此由基本不等式的性质分析可得4(41)41abab+++的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，0ab，则有22224244ababab+=…，当且仅当2ab=时等号成立，则原式2222222(

4)2(4)5(4)2(4)5(41)44(41)41414141abababababababababab++++++++===++++++…，又由0ab，则411ab+，则有44(41)2(41)

44141abababab+++=++…，当且仅当412ab+=，即41ab=时等号成立，综合可得：22222(4)2(4)541ababab+++++的最小值为4，当且仅当122ab==时等号成立故答案为：4．16．（2019秋•

淄博期末）若两个正实数x，y满足411xy+=，且不等式246xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是．【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求4xy+的最小值，然后由246xymm+−恒成立，可得2(4)6minxymm+−，解不等式可求．

【解答】解：正实数x，y满足411xy+=，则16414(4)()88816yxxyxyxyyx+=++=+++=…．当且仅当16yxyx=且411xy+=，即4y=，64x=时取等号，此时取得最小值16，因为不等式246xymm+−恒成立，则2166mm−，解可得28m−

．故答案为：(2,8)−17．（2020春•克东县期中）已知21xy+=．（1）求xy的最大值；（2）求22xy+的最小值．【分析】（1）由21xy+=，可知2112(2)()222xyxyxy+=„，即

可求解；（2）22222(12)541xyxxxx+=+−=−+，结合二次函数的性质可求．【解答】解：（1）21xy+=，所以21121(2)()2228xyxyxy+==„，当且仅当122xy==即12y=，14x=时取等号，则xy的最大值为18；（2）22

222(12)541xyxxxx+=+−=−+，结合二次函数的性质可知，当25x=时，函数取得最小值15．18．（2019秋•历城区校级期末）有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围

法才可取得最大的面积？并求此面积．【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件．【解答】解：设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意可知43240xy+=，2603(2404)4(60)4()36002xxSxyxxxx+−==−=−

=„，当且仅当30x=取等号，所以30x=时，23600()maxSm=当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，23600()maxSm=19．（2020•全国Ⅰ卷模拟）若0a，0b，且223abab++=．（1

）求2ab+的最小值；（2）是否存在a、b，使得3342ab+=？并说明理由．【分析】根据基本不等式求解ab的值域，然后求解（1）（2）．【解答】解：（1）由322222ababab=+++…，得2ab…，当且仅当22ab==时成立，所以232

624abab+=−−=…，当且仅当22ab==时成立，所以2ab+的最小值为4．（2）由（1）知3333242abab+厖，当且仅当22ab==，ab=时成立，因为22ab==，ab=不同时成立，所以3342ab

+，不存在a，b使3342ab+=成立．20．已知a，b均为正实数，且3ab+=．（Ⅰ）求111ab++的最小值；（Ⅱ）若11|2||3|1xxab−−+++„对任意的a，*bR恒成立，求实数x的取值范围．【分析】()I由已知结合基本不等式即可求解最小值；()II结合()I中最

小值的求解及含绝对值不等式的求法即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为a，*bR且3ab+=，得(1)4ab++=，所以22(1)4(1)[]()422abab+++==„（当且仅当1a=，2b=时取等号）．所以41(1)ab+…，所以11(1)411(1)(1)abababab

+++==+++…成立．故111ab++的最小值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）知11|2||3|1xxab−−+++„对任意的a，*bR恒成立，3|2||3|151xxx−−−+„„或32211xx−−−„„或251x−…„

，x，或12x−剟，或21xx−厖．故实数x的取值范围为[1−，)+．21．（2020•赣州模拟）已知正实数a，b满足4ab+=．（1）求14ab+的最小值．（2）证明：221125()()2abab+++…．【分析】（1）由已知可得，14114

()()4ababab+=++，展开后利用基本不等式可求；（2）由11111()()4ababab+=++，展开后结合基本不等式可求范围，然后由22211()11()()2abababab++++++…即可证明．【解答】解：（1）正实数a，b满足4ab+=，14114141

49()()(5)(52)4444babaababababab+=++=+++=…，当且仅当4baab=且4ab+=即43a=，83b=时取得最小值94；（2）证明：4ab+=，1111111()()(2)(22)1444baabababab+=++

=+++=…，2211(4)(41)25222ab+++=…，22221111()(4)1125()()222ababababab++++++++=厖（当且仅当2ab==时取等号）[B组]—强基必备1．（2019秋•南城县校级期末

）已知正数x，y满足1xy+=，且2211xymyx+++…，则m的最大值为()A．163B．13C．2D．4【分析】根据题意，分析可得2244()51111xyyxyx+=+−++++，由基本不等式的性质求出4411yx+++的最小值，即可得

2211xyyx+++的最小值，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，正数x，y满足1xy+=，则2222(1)(1)4444(1)4(1)4()511111111xyyxyxyxyxyxyx−−+=+=++−+++−=+−++++++++，又由

4414414(1)4(1)16()[(1)(1)][8]113113113xxxyyxyxyy+++=++++=++++++++…，当且仅当12xy==时等号成立，则2244161()55111133xyyxyx+=+−−=++++…，即2211xyyx+++

的最小值为13，若2211xymyx+++…，则m的最大值为13；故选：B．2．（2020春•武侯区校级期中）已知正数x，y满足2xy+=，若2212xyaxy+++„恒成立，则实数a的取值范围是．【分析】首先对关

系式进行恒等变换，进一步整理得2222(11)(22)(1)2(1)1(2)4(2)41212xyxxyyxyxy+−+−+−+++−+++=+++++，最后利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：已知正数x，y满足2xy+=，所以(

1)(2)5xy+++=，所以：12155xy+++=则：2222(11)(22)1212xyxyxyxy+−+−+=+++++，22(1)2(1)1(2)4(2)412xxyyxy+−+++−++=+++，1412241

2xyxy=+−+++−+++，14112xy=+−++，1214()()15512xyxy++=++−++，14(1)24155(2)5(1)5xyyx++=+++−++4(1)241125(2)5(1)5xyyx++−+=++…，要使2212xyaxy+++„恒成立，只需满足2

2()12minxyaxy+++„即可，故45a„．故答案为：4(,]5−．