【文档说明】上海市虹口高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，650.903 KB，由小赞的店铺上传

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高一第二学期数学线上教学质量监控测试2022年6月一､填空题：（4*10=40分）1.设复数z满足i32iz=+，其中i是虚数单位，则Imz=___________．【答案】－3【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数z，即可求解.【详解】由i32iz=+可得：()()()

32ii32i23iiiiz+−+===−−，所以Im3z=−，故答案为：3−.2.已知向量()1,1a=−，(),2bm=，若存在实数，使得ab=，则m=___________.【答案】2−【解析】【分析】由于ab=，所以//ab，从而列方程可得m的值

.【详解】因为ab=，则//ab，所以120m−−=，得2m=−.故答案为：2−.3.已知||2,4bab==−，则向量a在向量b方向上的数量投影为___________.【答案】2−【解析】【

分析】利用向量的数量积转化求解向量a，b在方向上的数量投影即可．【详解】解：设向量a与b的夹角是，则向量a在b方向上的数量投影为：4||cos22||abab−===−．故答案为：2−4.将边长为2的正方形ABCD水平放置，得到的直观图ABCD的面

积为___________.【答案】2【解析】【分析】画出直观图ABCD，根据直观图可得答案.的【详解】以D¢为原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴建立坐标系，如图所示，则边长为2的正方形ABCD的直观图为ABCD，做⊥CEAD

于E，所以1,45==CDCDE，可得22=CE，2AD=，所以ABCD的面积为2222?.故答案为：2.5.已知复数13iz=−+，若复数z满足12izz=，则复数z的辐角主值为___________.【答案】3##60【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数

z，再化为三角形式，即可得出答案.【详解】解：因为13iz=−+，12izz=，所以()()()3ii3i13icossini2i2ii2233z−+−−+===+=+−，所以复数z的辐角主值为3.故答案为：3.6.已知复数z满足：2ii0z++=

（i为虚数单位），则||z=___________.【答案】5【解析】【分析】根据复数代数形式的乘除运算及共轭复数定义求出z，再根据复数模的公式计算可得；【详解】解：因为2ii0z++=，所以2iiz+=−，所以()22ii2i12iiiz++===−+−−，所以

12iz=−−，所以()()22125z=−+−=故答案为：57.边长为3的等边三角形ABC中，设,,ABcBCaCAb===，则abbcca++=___________.【答案】92−##-4.5【解析】【分析】利用平面向量的数量积的定义求解.

【详解】解：在边长为3的等边三角形ABC中，因为,,ABcBCaCAb===，所以abbcca++，33cos12033cos12033cos120=++，92=−，故答案：92−8.已知一元二次方程220xpx++=的两个虚根分别为12,xx，且满足122xx−=，则实数

p的值为___________.【答案】2或-2.【解析】【分析】可设12i,ixabxab=+=−，利用根与系数的关系可解得：1b=，1a=.即可求出p.【详解】因为一元二次方程220xpx++=的两个虚根12,xx为共轭虚根，

所以可设12i,ixabxab=+=−（其中2,R,i=-1ab）.所以由根与系数的关系可得12221222xxapxxab+==−=+=.而122i2xxb−==，解得：1b=，1a=所以当1a=时，2p=−；当1a=−时，2p=.故实数p的值为2或-2.故答案为：2或-

2.为.9.已知向量,OAOB的夹角为π3，||5OA=，若||||OAOBOAtOB−−对一切tR恒成立，则||OB的值为___________.【答案】52##25【解析】【分析】由平面向量数量积的运算性质，可整理不等式||||OAOBOAtO

B−−为关于t的一元二次不等式，再由一元二次不等式恒成立，得到关于||OB的不等式，利用不等式的性质，从而确定||OB的值.【详解】解：||||OAOBOAtOB−−，平方得：2222222OAOAOBOBOtAtO

AOBOB+−+−又π55||cos||32OAOBOBOB==代入上式，整理得：2||55||0OBttOB−+−对一切tR恒成立可得：2(5)4(5||)||0OBOB=−−−，即2(2||5)0OB−又2(2||5)0OB−恒成立，所以2(2

||5)0OB−=得5||2OB=.故答案为：52.10.在复平面中，已知点(1,0)(0,3)AB−、，复数12zz、对应的点分别为12ZZ、，且满足12122,4zzZZ===，则12AZBZ的最

大值为___________.【答案】2104−【解析】【分析】根据复数的几何意义，由12122,4zzZZ===，分析得12,ZZ关于原点对称，所以确定12OZOZ=−，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.【详解】解：

因为复数12zz、对应的点为12,ZZ且122,zz==则可确定点12,ZZ在以O为圆心，2为半径的圆上又124ZZ=，所以12ZZ为圆的直径，即12,ZZ关于原点对称.所以12OZOZ=−因为1122,AZAOOZBZBOOZ=+=+所

以12122112()()AZBZAOOZBOOZAOBOAOOZOZBOOZOZ=++=+++111(1,0)(0,3)22cos(π)4AOOZOZBOOZBA=−++−=−+又22||131

0BA=+=，1||2OZ=，1,[0,π]OZBA则1cos,[1,1]OZBA−所以1111||||cos,210cos,OZBAOZBAOZBAOZBA==即1OZBA

的最大值为210，所以12AZBZ的最大值为2104−.故答案为：2104−.二､选择题：（5*420分）11.设zC，则0zz+=是z为纯虚数的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【

解析】【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.【详解】对于复数z，若0zz+=，则z不一定为纯虚数，可以为0；反之，若z为纯虚数，则0zz+=，所以0zz+=是z为

纯虚数的必要非充分条件.故选：B.12.在ABC中，若20ABBCAB+=，则ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先利用数量积运算化简得到2cosacBc=，再

利用余弦定理化简得解.【详解】因为20ABBCAB+=，所以2cos()0acBc−+=，所以2cosacBc=，所以22222acbaccac+−=，所以222bca+=，所以三角形是直角三角形.故选：B13.下列命题中

①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点

，那么这两个平面重合.真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题.【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三

条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；故

选：A.14.设函数()sin(2)fxx=+，其中R.若π()6fxf对任意的xR恒成立，则下列结论正确的是（）A.2π,03为函数()fx的一个对称中心B.()fx的图像关于直线5π12x=对称C.()fx在π3π,24上为严格减函数D.

函数|()|fx的最小正周期为π2【答案】D【解析】【分析】由π()()6fxf„对任意的Rx恒成立得函数在π6x=取得最大值，从而可以求解，得到函数()fx的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．【详解】解：由π()()6fxf„对任意的Rx恒成立得函数在π6x=取得最

大值，所以πsin(2)16+=，则ππ2π32k+=+，kZ所以π+2π6k=，kZ整理得2ππ()sin(2)sin(26π)6fxxxk=++=+，对于A，2π2ππ9π()sin(2

)sin13366f=+==−，则2π,03不是函数()fx的对称中心，故A错误；对于B，5π5ππ()sin(2)sinπ012126f=+==，则5π12x=不是函数()fx的对称中轴，故B错误；对于C，令1π1π2π2π2π262kxk−+++剟，kZ，

解得，ππππ36kxk−++剟，kZ，显然不包含区间π3π,24，故C错误；对于D，πsin(2|()|)|=6|xxf+，所以|()|fx的最小正周期为2π2ππ242==，故D正确．故选：D．15.欧拉公

式iecosisinxxx=+（i为虚数单位，Rx，e为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①i

e10+=；②2299cosisincosisincosisini101010101010+++=其中所有正确结论的编号是（）A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对【

答案】A【解析】【分析】对①，通过欧拉公式，iecosisin=+，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为29iii101010eee，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，ie1cosisin1

1010+=++=−++=，正确；对②，原式=29iii101010eee=29999iii10101021010299eeecosisin22++++===+=cosisini22+=，正确.故选：A.三､

解答题（6+8+8+8+10=40分）16.已知向量xy､满足：1,2xy==，且()()2215xyxy−−=.（1）求向量x与向量y的夹角；（2）若()mxyy−⊥，求实数m的值.【答案】（1）23（2）4−【解析】【分析】（1）由(2)(2)15xy

xy−−=rurrur展开，可解出1xy=−rur，根据向量夹角公式即可求出夹角的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m的值．【小问1详解】∵(2)(2)15xyxy−−=rurrur∴22252151xxyyxy−+==−rrururrur∵1cos2xyx

y==−rurrur，且0,，∴23=．【小问2详解】∵()mxyy−⊥∴()0mxyy=−rrr，即20mxyy−=rurur∴404mm−−==−．17.已知复数()2123izaa=++−，()2231iza=−+（aR，i是虚数单位）．

（1）若复数12zz−在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，求实数m的值．【答案】（1）()4,+；（2）13.【解析】【分析】（1）由复数的减法求12zz−，根据其所在的象限

可得20340aaa−−，即可求a的范围；（2）由1z是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，则1z也是它的根，进而可知11110{6zzzzm+==，即可求m.【详解】（1）()()()221223i231i34izzaaaaaa

−=++−−++=+−−．∵12zz−在复平面内对应的点落在第一象限，∴20340aaa−−，解得：4a．∴实数a取值范围是()4,+；（2）∵虚数()2123izaa=++−是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，230a−

．∴()2123izaa=+−−也是实系数一元二次方程260xxm−+=的根，∴()()()1122221113640{22623mzzazzzaam=−+=+===++−=，可得()29191313mam==+−=.∴m的值为13.18.已

知xR，()2cos,sincosmxxx=+，()3sin,sincosnxxx=−，0，记函数()fxmn=，若函数()fx的图象相邻两条对称轴之间距离为2.（1）求函数()fx单调递增区间；的（2）设ABC的三个内角A、B、C对应

三边a、b、c，满足()2fB=，且3b=，求BABC的最大值.【答案】（1）(),63Zkkk−+（2）32【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()2sin26fxx=−，求出函数()fx的

最小正周期，可求得的值，可得出函数()fx的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数()fx的单调递增区间；（2）由()2fB=结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得ac的最大值，再利用平面向量数量积的定义可求得BABC的最大值.【小

问1详解】解：因为()2223sincossincos3sin2cos2fxmnxxxxxx==+−=−2sin26x=−，由题意可知，函数()fx的最小正周期为22T==，可得1=，()2sin26fxx=−，由()222Z262kxkk

−−+，解得()Z63kxkk−+，因此，函数()fx的单调递增区间为(),63Zkkk−+.【小问2详解】解：因为()2si2n26fBB−==，可得sin216B−=，0B

，则112666−−B，262B−=，可得3B=，由余弦定理可得2222232cos23bacacacacacacac==+−=+−−=，即3ac，当且仅当3ac==时，等号成立，故13cos32

2BABCcaac==，因此，BABC的最大值为32.19.已知向量()2(cos2,2),1,sin,2abmab=−=−=+，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数1i1imz+=−对应的点为1Z，（1）求1z；（2）若点Z为曲线121zz−=（1z为1z的共轭复数）上的动点，求

Z与1Z之间距离的取值范围.【答案】（1）5（2）371,371−+【解析】【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得112zi=+，代入求模公式，即可得答案.（2）由（1）可得112iz=−，代入可得曲线可得()24i1z−−=，根

据其几何意义，可得曲线是复平面内以()02,4Z−圆心，半径为1的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案.【小问1详解】222222cos22sincossin2sincossin1.ab=+=−+=+=所以2123mab=

+=+=．所以()()()()13i1i3i33ii124i12i1i1i1i22z+++++−+=====+−−+．所以112i5.z=+=【小问2详解】由（1）可得112iz=−，1(1,2)Z，曲线121zz−=，即()24i1z−−=，因此

曲线是复平面内以()02,4Z−圆心，半径为1的圆，故0Z与1Z之间的距离为()()22(1224)37−−−+=所以Z与1Z之间的最小距离为371−，最大距离为371+，故Z与1Z之间距离的取值范围371,371−+20.如图，已

知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边ABCD、分别交于交于点M、N．（1）求BDDC的值；（2）若Q是BC的中点，求QMQN的取值范围；（3）若P的平面上一点，且满足()21OPOBOC=+−，求PMPN的最小值．【答案】（1）4−；（2）

1,0−；（3）74−【解析】【分析】（1）将向量BD分解为BCCD+，利用向量垂直和数量积的运算即可求解；（2）由O为MN、中点可得()()22QMQNQOOMQOONQOOM=++=−，再由QO和

OM的范围计算即可；（3）令2OTOP=，由向量共线的判断可得点T在BC上，即可得OP的范围，再由()()22PMPNPOOMPOONPOOM=++=−结合OM的范围计算即可．【详解】解：（1）由正方形可得0BCDC=所以()

24BDDCBCCDDCCD=+=−=−；（2）因为直线l过中心O且与两边ABCD、分别交于交于点MN、．所以O为MN、中点，所以OMON=−所以()()22QMQNQOOMQOONQOOM=++=−．因

为Q是BC的中点，所以1,12QOOM=剟，所以2210QOOM−−剟，即QMQN的取值范围为1,0−；（3）令2OTOP=，由()21OTOPOBOC==+−知点T在BC上，又因为O为MN、中点，所以1OT…，从而12OP…，()()22PMPNPOOMPOONP

OOM=++=−因为12OM剟，所以2217244PMPNPOOM=−−=−…，即PMPN的最小值为7.4−【点睛】本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量的基本运算，向量的模及向量共线的判定与证明，向量的

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