【文档说明】北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期3月阶段测试数学试题 Word版含解析.docx，共(12)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学学科2024年3月姓名班级考号（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个

选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列量中是向量的为（）A.频率B.拉力C.体积D.距离【答案】B【解析】【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.已知,ab是两个单位向量，则下

列等式一定成立的是（）A.0ab−=B.1ab=C.ab=D.0ab=【答案】C【解析】【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.【详解】A：由向量减法法则可得,ab的差为向量，不等于数，故A错误；B、D：11cos,cos

,ababab==，由于夹角大小不定，故值不确定，故B、D错误；C：单位向量的模长相等，故C正确；故选：C.3.设()1i1ixy+=+，其中x，y是实数，则xy+值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】D的【解析】【分析】根据复数相等的充要条件得到方

程，即可得解.【详解】因为()1i1ixy+=+，即i1ixxy+=+，又x，y是实数，依据复数相等的条件得1xxy==，即1xy==，故2xy+=.故选：D.4.已知向量a与b是两个不平行的向量，若//ac且//bc，则c等于（）A.0B.aC.bD.不存在这样的向量【答案】A

【解析】【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【详解】因为向量a与b是两个不平行的向量，且//ac且//bc，所以c等于0，故选：A5.若复数()22immm−+是纯虚数，则实数m的值为（）A.0B.2C.3D.0或2【答案】B【解析】【分析】根据

复数的概念列方程求解即可得实数m的值.【详解】因为复数()22immm−+是纯虚数，所以2200mmm−=，解得2m=.故选：B.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数sinyx=图象的最高点，Q是sinyx=的图象与

x轴的交点，则OPPQ+的坐标是（）A.π,12B.()π,0C.()π,0−D.()2π,0【答案】B【解析】【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.【详解】由题意以及题图可知()()π,

0,0,0QO，所以()π,0OOPQPQ==+.故选：B.7.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的

地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形ABCDEFGH，如图乙所示，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，且(),ACxAByAHxy=+R，则xy+=（）A.122+B.12+C.22+D.3【答案】

C【解析】【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形AHCM，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角45=，作平行四边形AHCM，180290BCM=−=oo，设八边形的边长为1，则2BM=，ACAMA

HxAByAH=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，所以12121AMxAB+===+，1y=，所以22xy+=+.故选：C8.已知点O为ABC外接圆的圆心，且0OAOBCO=++，则ABC的内角A等于（）A.30B.60C

.90D.120【答案】A【解析】【分析】由题意可得OAOBOC+=，又因为OAOBOC==，所以四边形OACB为菱形，且60CAO=，即可得答案.【详解】由0OAOBCO=++得，OAOBOC+=，由O为ABC外接圆的圆心，所以OAOBOC==，结合向量加法的几何意义

知，四边形OACB为菱形，且60CAO=，故30CAB=，即ABC的内角A等于30.故选：A.9.复数()i,Rzxyxy=+满足条件4i2zz−=+，则24xy+的最小值为（）A.2B.4C.42D.16【答案】C【解析】【分析】根据复数的模整理得到23xy+=，再利

用基本不等式计算可得.【详解】由()i,Rzxyxy=+且4i2zz−=+，得()4i2ixyxy+−=++，∴()()222242xyxy+−=++，整理得23xy+=，∴22224222222242xyxyxyxy++=+==，当且仅当222xy

=，即32x=，34y=时，24xy+取得最小值42故选：C10.已知向量,,abc满足31,ab==，3,,302abacbc−−−==，则cr的最大值等于（）A.27B.7C.2D.2【答案】A【解析】【分析】由150AOB=

，cos30ACB=即得到点,,,AOBC共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设OAa,OBb,OCc===，因为1,3ab==，32ab=−，所以3cos1502abAOBAOBa

b==−=，又,30acbc−−=，所以cos30ACB=，所以点,,,AOBC共圆，要使c的最大，即OC为直径，在AOB中，由余弦定理可得2222cos77ABOAOBOAOBAOBAB=+−==

，又由正弦定理227sinABRAOB==，即c的最大值等于27，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点,,,AOBC共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.复

平面上，点()2,1-对应的复数z=______．.【答案】2i−【解析】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知2iz=−故答案为：2iz=−12.已知平面向量,ab，()()1,2,3,ab==，若ab⊥.则=_________.【答案】32−

【解析】【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.【详解】因为ab⊥，所以()()31,23,3202ab==+==−，故答案为：32−.13.写出一个与向量()3,4a=−共线的单位向量

_____________.【答案】34,55−（答案不唯一）【解析】【分析】先求出ar，则aa即为所求.【详解】()22345a=−+=所以与向量()3,4a=−共线的单位向量为34,55−或34,55−.故答案为：34,5

5−（答案不唯一）14.已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，且1ab==，则2ab−=_________.【答案】3【解析】【分析】由投影向量的公式求出12ab=，再利用模长公式求出结果即可.【详解】因为向量a在向量b上的投影向量为12b，且1ab

==，所以1122abbbabbb==，所以2124414432abaabb−=−+=−+=，故答案为：3.15.已知非零向量,ab，满足abab==−，则,ab的夹角为_____________.【答案】π3【解析】【分

析】设1abab==−=，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.【详解】设1abab==−=，则()2221212abaabbab−=−+==，所以1cos,2ababab==，所以,ab的夹角为π3，故答案为：π3.16.设复数z满足2i2i4zz++−=，则1iz−−

的取值范围是_________.【答案】1,10【解析】【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z在复平面上的对应点为Z，复数1i+的在复平面上的对应点为(1,1)P，由2i2i4zz++−=，可知点

Z的轨迹为以()0,2A，()0,2B−为端点的一条线段，又1iz−−表示点Z到点()1,1的距离，观察图象可知当iz=时，1iz−−取最小值，最小值为1，当2iz=−时，1iz−−取最大值，最大值为10，

所以1iz−−取值范围为1,10.故答案为：1,10.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2222abacc−=−．（

1）求B；（2）若5b=，2cos10C=，求c．【答案】（1）π4（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到72sin10C=，再使用正弦定理求解【小问1详解】2222abacc−=−变形为：2222a

cbac+−=，所以2222cos22acbBac+−==，因为()0,πB，所以π4B=，【小问2详解】因为2cos10C=，且()0,πC，所以272sin1cos10CC=−=由正弦定理得：sinsi

nbcBC=，即5π72sin410c=，解得：7c=18.在①2cs2ocAab=−，②()cos2cosbCacB=−中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

_________.（1）求B；（2）若ABC外接圆半径为2，且1coscos8AC=−，求ac+.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π3B=（2）30ac+=【解析】【分析】

（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，（2）根据余弦的和差角公式可得3sinsin8AC=，进而利用率正弦定理可得6ac=，由余弦定理即可求解.【小问1详解】选择条件①：因为2cs2ocAab=−，在ABC中，由余弦定理可得222222bcacab

cb+−−=，由余弦定理可得222acbac+−=，则2221cos222acbcaBacac+−===，因为()0,πB，所以π3B=.选择条件②：因为()cos2cosbCacB=−，由正弦定理得，sincossinco

s2sincosBCCBAB+=.即()sin2sincosBCAB+=，则sin2sincosAAB=，因为()0,π,sin0AA，所以1cos2B=，因为()0,πB，所以π3B=.的【小问2详解】因为π3B

=，所以2π3AC+=，即()1cos2AC+=−，即1coscossinsin2ACAC−=−，又因为1coscos8AC=−，所以3sinsin8AC=.由于ABC的外接圆半径为2R=，由正弦定理可得sinsin44acAC=，可得

6ac=，所以2sin23bRB==，由余弦定理可得()2222cos312bacacBacac=+−=+−=，所以30ac+=19.已知集合*12(,,),,1,2,(2)nniSXXxxxxNinn===.对于()()1212,,,,,

,,nnnAaaaBbbbS==，给出如下定义：①()1122,,,nnABbababa=−−−；②()()1212,,,,,,()nnaaaaaa=R；③A与B之间的距离为1(,)niiidABab==−.说明：()()1212,,,,,,nnaa

abbb=的充要条件是(1,2,,)iiabin==.（1）当5n=时，设(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)AB==，求(,)dAB；（2）若,,nABCS，且存在0，使得ABBC=，求

证：(,)(,)(,)dABdBCdAC+=；（3）记20(1,1,,1)IS=.若20,ABS，且(,)(,)13dIAdIB==，求(,)dAB的最大值.【答案】（1）(,)7dAB=（2）见解析（3）26【解析】【分析】（1）当5n=时，直接利用1(,)niiidABab==−

求得(,)dAB的值（2）设121212,,,,,,,nnnAaaaBbbbCccc===，则由题意可得0，使得()iiiibacb−=−，其中1,2,in=，得出iiba−与iicb−同为

非负数或同为负数，由.此计算(,)(,)dABdBC+的结果，计算(,)dAC的结果，从而得出结论（3）设(1,2,20)iibai−=中有(20)mm项为非负数，20m−项为负数不妨设1,2im=时，0iiba−，1,2,,20imm=++时，0iiba−利用(,)(,

)13dIAdIB==，得到202011iiiiab===得到()()2012121,2iimmidABbabbbaaa==−=+++−+++求出12maaam+++，1213mbbbm++++，即可得到(,)dAB的最大值得到(,)26dAB，再验证得到成立的条件即可；小问

1详解】解：由于1(,)niiidABab==−，(1,2,1,2,5),(2,4,2,1,3)AB==则(,)12241221537dAB=−+−+−+−+−=故(,)7dAB=【小问2详解】解：设121212,,,,,,

,nnnAaaaBbbbCccc===0,使ABBC=，0,使得：11221122(,,)(,)nnnnbababacbcbcb−−−=−−−，0，使得()iiiibacb−=−，其中1,2,in=，iiba−与(1,2,)iicbi

n−=同为非负数或同为负数，iiiiiibacbca−+−=−1111(,)(,)()(,)nnnniiiiiiiiiiiiiidABdBCabbcbacbcadAC====+=−+−=−+−=−=，故得证；【小问3详解】解

：201(,)iiidABba==−【设(1,2,20)iibai−=中有(20)mm项为非负数，20m−项为负数不妨设1,2im=时，0iiba−1,2,,20imm=++时，0iiba−所以201(,)iiidABba==−1212

12201220[()()][()()]mmmmmmbbbaaaaaabbb++++=+++−++++++−++(,)(,)13dIAdIB==202011(1)(1)iiiiab==−=−，整理得202011i

iiiab===201(,)iiidABba==−()()()()21212201220immmmmmbbbaaaaaabbb++++=+++−+++++++−+++12122[()]mmbbbaaa=+++−+++1212201220()()mmmbbbbbbb

bb+++++=+++−+++(1320)(20)113mm+−−=+又121maaamm+++=1212(,)2[()]2[(13)]26mmdABbbbaaamm=+++−++++−=即(,)26dAB对于(1,1,1,,14),(14

,1,1,1)AB==有20,ABS，且(,)(,)13dIAdIB==(,)26dAB=综上所得，(,)dAB的最大值为26