【文档说明】湖北省部分重点中学2023-2024学年高二下学期五月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，689.779 KB，由小赞的店铺上传

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【新结构】湖北省部分重点中学2024春季高二五月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合(1)(2)0Axxx=−+，集合5213Bxx=−+，则集合AB=（）A.[3,2)−−B.(2,1)−

C.RD.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式、一元一次不等式的解法分别解集合A，B，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】{(1)(2)0}{2Axxxxx=−+=−或1}x，521331Bxxxx=−+=−，所以{32}ABxx=−−，即[3,2)AB=

−−.故选：A2.已知()lnfxxx=，若()02fx=，则0x等于（）A.2eB.eC.ln22D.ln2【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算求导函数，由()02fx=解方程，即可求得0x的值.【详解】()()()lnlnlnln1fxxxxxxxx=+==+，因为()02fx

=，所以0ln12x+=，解得0ex=.故选：B.3.已知随机变量X服从正态分布()22,N，(1)0.7PX=，则(23)PX=（）A.0.2B.0.3C.0.6D.0.7【答案】A【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】因随机变量X服从正态分布()22,N，(1

)0.7PX=，所以()()(23)1210.50.2PXPXPX==−=.故选：A.4.随机变量X的分布列如下：X2−12Pab12若()1EX=，则()DX=（）A.0B.2C.3D.4【答案】B【解析

】【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差.详解】由题意可知，1116212113aababb=++=−++==，所以()222111(21)(11)(21)2632DX=−−+−+−=.故选：B5.某

班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A.42B.30C.20D.12【答案】A【解析】【详解】原定的5个节目之间有6个位．当插入的这两个新节目在一起时，有1262CA插法；当插入的这两个新节目不在

一起时，有2262CA插法，所以总的不同插法的种数为1222626242CACA+=种．故选：A．为【【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行

排列后，再对剩下的对象进行排列．6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概

率（）A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52【答案】C【解析】【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.详解】设1A=“第1天去A餐厅用餐”，1B=“第1天去B餐厅用餐”，2A=“第2天去A餐厅用餐”，

根据题意得()()110.5PAPB==，()210.6|PAA=，()21|0.4PAB=，由全概率公式，得()()()()()2121121||0.50.60.50.40.5PAPAPAAPBPAB=+=

+=，因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5.故选：C.7.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该

质点位于X的位置，则(0)PX=（）A.50243B.52243C.29D.1781【答案】D【解析】【分析】由题意当0X时，X的可能取值为1,3,5，且2(5,)3XB，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当0X时，X

的可能取值为1,3,5，且2(5,)3XB，所以()()()()0531PXPXPXPX==+=+=的【5432125511212CC33333=++1781=.故选：D．8.已知函数()()1ln0fxxaxa=−−，对

任意1x，(20,1x，且12xx，都有()()1212124fxfxxxxx−−成立，则实数a的取值范围是（）．A.()3,0−B.)3,0−C.(),3−−D.(,3−−【答案】B【解析】【分析】根据已知条

件构造新函数，再由函数的单调性，求出a的取值范围.【详解】当a<0时，易知函数()fx在(0,1上是增函数，不妨设1201xx，则()()12fxfx．由()()1212124fxfxxxxx−−，所以()()()2112124xxfxfxxx−−．所以()()211244

fxfxxx−−，即()()212144fxfxxx++．设()()441lnhxfxxaxxx=+=−−+，则()hx在区间上(0,1是减函数．所以()0hx在(0,1x时恒成立，因为()222441axa

xhxxxx−−=−−=，所以240xax−−在(0,1x时恒成立，即4axx−在(0,1x时恒成立，即max4axx−．而4yxx=−在区间上(0,1是增函数，所以4yxx=−的最大值为3−，所以3a−

，又a<0，所以)3,0a−．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()82801282xaaxaxax−=++++，则（）A.802a=B.1

281aaa+++=C.二项式系数和为256D.12382388aaaa++++=−【答案】ACD【解析】【分析】令0x=可判断A选项；令1x=可判断B选项；求出二项式系数和可判断C选项；由()82801282xaaxaxax−=++++两边求导，令1x=得可判断D选项.【详解】由()

82801282xaaxaxax−=++++，对于A，令0x=得802a=，A选项正确；对于B，令1x=得01281aaaa++++=，所以812812aaa+++=−，B选项错误；对于C，二项式系数和为82256=，C选项正确；对于D，由()82801282xaaxaxax−=++++，两边

求导得()727123882238xaaxaxax−−=++++，令1x=得12382388aaaa++++=−，所以D选项正确.故选：ACD.10.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出

一球放入乙箱中，分别以12,AA表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.12,AA两两互斥B.()257PBA=C.事件B与事件2A相互独立D.9()14=PB【答案】ABD【解析】【分析】根据

条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A，因为每次取一球，所以12,AA是两两互斥的事件，故A项正确；对于B，因为()()1212PAPA==，()()()2225|7PBAPBAPA==，故B项正确；对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，

则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件2A不相互独立，故C项错误.对于D，又()()()1114|7PBAPBAPA==，所以()()()1214159272714PBPBAPBA=+=+=，故D项正确.故选：ABD11.已知函数()31fxxx=−+，则（）A.(

)fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点()0,1是曲线()yfx=的对称中心D.直线21yx=−是曲线()yfx=的切线【答案】ACD【解析】【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；

利用导数的几何意义求()fx的的切线方程，即可判断D.【详解】由()31fxxx=−+得()231fxx=−，令()0fx=得：33x=，令()0fx得33x−或33x；令()0fx得3333x−，所以()fx在33−−，

上单调递增，在3333−，上单调递减，在33+，上单调递增，所以()fx有两个极值点3(3x=−为极大值点，33x=为极小值点)，故A正确；又333231103939f−=−−−+=+，333231103939f=−+=−

，而x趋向于负无穷大时()fx也趋向于负无穷大；x趋向于正无穷大时()fx也趋向于正无穷大；所以()fx仅有1个零点(如图所示)，故B错误；又()31fxxx−=−++，所以()()2fxfx−+=，所以()fx关于()01，对称，故C正确；对于

D，设切点()00Pxy，，在P处的切线为()()()320000131yxxxxx−−+=−−，即()23003121yxxx=−−+，若21yx=−是其切线，则2030312211xx−=−+=

−，则01x=，此时切点为()11，时，切线方程直线21yx=−，所以D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.1

2.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据：x13457y1520304045根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为5ˆˆ5.yxa=+，则当7x=时，残差为_______

___.（残差=观测值-预测值）【答案】1.5−【解析】【分析】首先求样本点中心(),xy，并代入回归方程，求ˆa，并代入7x=后，即可求解残差.【详解】()()11134574,15203040453055xy=+++

+==++++=，因为回归直线过点()4,30，代入5ˆˆ5.yxa=+，可得ˆˆ305.54,8aa=+=，当7x=时，5.57838.5846.5ˆy=+=+=，所以残差为4546.51.5−=−.故答案为：1.5−13.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数

列：1，2，3，3，6，4，10，L记这个数列前n项和为()Sn，则()13S=______.【答案】111【解析】【分析】由“杨辉三角”的性质，得()()11122214238238CCCCCCS=+++++++，前半部分用等差数列求和，后半部分用组合数的性质可

得结果39C，再由113148CSS=−即可得解.【详解】由“杨辉三角”的性质，得()()()12121214223388CCCCCCS=++++++()()111222238238CCCCCC=+++++++()()32233

8238CCC=+++++++()()()322322448558287CCC35CCC2+=++++=+++=+3998735C35119321=+=+=，所以113148C1198111SS=−=−=

.故答案为：111.14.已知函数()eln(0)=+−−xafxaxxxa，当2a=时，函数()fx在点()1(1,Pf处的切线方程为________；若()0fx对()1,x+恒成立，则实数a的最大值为____

______．【答案】①.(e1)1yx=−−②.e【解析】【分析】①运用导数几何意义求得斜率，进而求得切线方程.②将问题转化为lnlneeaaxxxx−−，(1,)x+恒成立，构造函数()lnmttt=

−，1t，研究其单调性进而得到lnxax，(1,)x+恒成立．运用导数求()(1)lnxxxx=的最小值即可.【详解】①当2a=时，2()e2lnxfxxxx=+−−，则2()e21xfxxx=+−−，∴(1)e2f=−，(1)e1f=−，所以函数()fx在点(1,(1)

)Pf处的切线方程为(e2)(e1)(1)yx−−=−−，即(e1)1yx=−−．②因为(1,)x+，()0fx，即eln0xaaxxx+−−，则lnlneeaaxxxx−−，(1,)x+恒成立．令()lnmttt=−，1t，则11()10tmttt−=−=在(1,)+

上恒成立，故()mt在(1,)+上单调递减，故eaxx，得lnaxx，即lnxax，(1,)x+恒成立．记()(1)lnxxxx=，则2ln1()(1)lnxxxx−=．当()1,ex时，

()0x，()x单调递减；当(e,)x+时，()0x，()x单调递增，故()x的最小值是()ee=，故ea，即实数a的最大值是e．故答案为：①(e1)1yx=−−.②e.【点睛】同构法的三种基本模式：①乘积型，如elnaabb可以同构成lne(ln)e

abab，进而构造函数()exfxx=；②比商型，如elnabab可以同构成elnelnaabb，进而构造函数()lnxfxx=；③和差型，如elnaabb，同构后可以构造函数()exfxx=f或()lnfxxx=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤.15.已知在二项式22nxx+展开式中，第5项为常数项.（1）求n；（2）求22nxx+的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；（3）在()3221nxxx−+

的展开式中，求含6x的项.【答案】（1）6n=；（2）32；（3）6100x.【解析】【分析】（1）写出展开式的第5项，再令x的指数为0，即可求出n；（2）根据二项式系数的性质计算可得；（3）由()666323222221xxxxxxxx−+=+−+

，写出622xx+展开式的通项，利用通项计算可得.【小问1详解】由题意得第5项为()4442442122C2Cnnnnxxx−−=，则2120n−=，解得6n=.【小问2详解】62

2xx+所有奇数项的二项式系数之和为612322=.【小问3详解】由（1）知()666323222221xxxxxxxx−+=+−+，的其中622xx+展开式的通项为()62

1231662C2CrrrrrrrTxxx−−+==（06r且Nr），则622xx+的展开式中，含3x的项为333362C160xx=，含6x的项为226662C60xx=，所以在()63221xxx−+的展开式中含

6x的项为336616060100xxxx−=.16.设函数()()211ln2fxaxaxx=−++．（1）当0a时，讨论函数()fx的单调性；（2）当2a=时，证明：当12x时，()2fx−．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【

解析】【分析】（1）求导，分类讨论函数()fx的单调性；（2）由（1）可知函数()fx的单调性，可求函数()fx的最小值，从而得证.【小问1详解】由题知，函数()()211ln2fxaxaxx=−++的定义域为()0,

+，所以求导得()()()()1111xaxfxaxaxx−−=−++=，若01a，由()0fx¢>得01x或1xa，由()0fx得11xa，所以函数()fx在()0,1，和1,a+

上单调递增，在11,a上单调递减，若1a=，恒有()0fx，当且仅当1x=时取等号，因此函数()fx在()0,+上单调递增，若1a，由()0fx¢>得10xa或1x，由()0fx得11xa，所

以函数()fx在10,a，()1,+上单调递增，在1,1a上单调递减，所以当01a时，函数()fx在()0,1，1,a+上单调递增，在11,a上单调递减；当1a=时

，函数()fx在()0,+上单调递增；当1a时，函数()fx在10,a，()1,+上单调递增，在1,1a上单调递减．【小问2详解】当2a=时，()23lnfxxxx=−+，由（1）可知，当12x时，函数()fx在1

,12上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min1132fxf==−=−，所以当12x时，()2fx−.17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机

抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下22列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面22列联表，并依据小概率值0.1=的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的

经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望()EX和方差()DX；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者

”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：()()()()()22nadbcabcdac

bd−=++++，nabcd=+++0.10.050.01x2.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2）()53EX=，()5536DX=（3）分布列见

解析，()2.1EY=【解析】【分析】（1）先根据题意完成22列联表，代入公式可得23.5902.706，即可得到结论；（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为112P=，从而可得1~20,12XB，即可求得()EX和()DX

；（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．【小问1详解】根据题意可得22列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为0H：性别与锻炼情况独立

，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得()()2220.1607162314607301403.5902.706213930302139303039x−====，根据小概率值0.1

=的独立性检验，推断0H不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率516012P==，即可得1~20,12XB，

故()1520123EX==，()1115520121236DX==．【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：()037

3310CC10C120PY===，()1273310CC2171C12040PY====，()2173310CC213212C12040PY====，()3071310CC3573C12024PY====故所求分布

列为Y0123P11207402140724可得()172173701232.112040402410EY=+++==18.中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产

效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润y（单位：亿元）关于月份x的数据如下表所示：月份x12345生产利润y（亿元）268910（1）试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r，则认为两个变

量具有较强的线性相关性）（2）为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为12，

t，25，其中01t；若张无忌报考B岗位，每门笔试科目通过的概率均为12.且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求t的取值范围.附：参考数据：()52

110iixx=−=，()52140iiyy=−=，()()5119iiixxyy=−−=.相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−.【答案】（1）0.95

r=，y与x具有较强的线性相关关系（2）3,15【解析】【分析】（1）计算相关系数r，再进行判断即可；（2）分别计算通过A，B两个岗位的科目数学期望，再比较大小判断即可.【小问1详解】由题意，190.950.751040r==，故y与x具有较强的线性相关关系.【

小问2详解】由题意，因为每门科目考试是否通过相互独立，故张无忌通过A岗位的3门笔试,,abc门数的数学期望为()()()()1291112510EAEaEbEctt=++=++=+，通过B岗位的3门笔试,,def门数的数学期望为()()()()

11131112222EBEdEeEf=++=++=，故若张无忌更有希望通过A岗位的笔试，则93102t+，又01t，解得315t.即t的取值范围3,1519.五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮

小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为p和32p−，其中304p.（1）甲、乙、丙

三队中，谁进入半决赛的可能性最大；（2）若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为3790，求p的值；（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望.【答案】（1）乙进入半决赛的可能性最大（2）23（3）分布列见解析，14

9()90E=【解析】【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛的概率，即可求解；（2）由甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率，结合列出方程，即可求解；（3）根

据题意，得到的可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，甲队进入半决赛的概率为231342=，乙队进入半决赛的概率为343455=，丙队进入半决赛的概率为23392

416ppp−=−−+，因为304p，所以39216pp−，显然乙队进入半决赛的概率最大，所以乙进入半决赛的可能性最大.【小问2详解】解：因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入

半决赛的概率为3790，所以1331331333711125225225290pppppp−−+−−+−−=

，解得23p=或56p=，因为304p，所以23p=.【小问3详解】解：由题意可知：甲、乙、丙三队进入半决赛的概率分别为135,,259，且随机变量的可能取值为0,1,2,3，可得1354(0)11

125945P==−−−=，37(2)90P==，1351(3)2596P===，43711(1)1459063P==−−−=，所以的分布列为:0123P44513379016所以，期望为41371149()01234

5390690E=+++=.