【文档说明】【精准解析】大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考数学（文）试题.doc，共(23)页，1.552 MB，由小赞的店铺上传

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-1-大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考文科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I卷（选择题共60分）一、选择

题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合13Axx=−，0,1,2,3B=，则AB=（）A.1,2B.{}1,0,1,2-C.0,1,2,3D.0,1,2【答案】D【解析】【分析】根据集合交集

的定义直接求解即可.【详解】因为集合13Axx=−，0,1,2,3B=，所以0,1,2AB=.故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z满足1(120)zi−=,则复

数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24zi=+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足1(120)zi−=，可得()()()1012

1024121212iziiii+===+−−+，所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A.-2-【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了

推理与计算能力，属于基础题.3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a，b=，则“//a”是“//ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判

断//a与//b的关系即可得到答案.【详解】若//a，根据线面平行的性质定理，可得//ab；若//ab，根据线面平行的判定定理，可得//a.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时

，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面

朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.-3-故选

：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列na的各项均为正数，设其前n项和nS，若14+=nnnaa（nN），则5S=（）A.30B.312C.152D.62【答案】B【解析】【分析】根据1

4+=nnnaa，分别令1,2n=，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列na的公比为q，由题意可知中

：10,0aq.由14+=nnnaa，分别令1,2n=，可得124aa=、2316aa=，由等比数列的通项公式可得：11121142162aaqaaqaqq====，因此552(12)

31212S−==−.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.6.函数()()23ln1xfxx+=的大致图象是A.B.C.D.-4-【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】

由题意可知函数()fx为奇函数，可排除B选项；当x0时，()0fx＜，可排除D选项；当x1=时，()12fln=，当x3=时，ln10ln10(3),ln22727f=，即()()1?3ff＞，可排除C

选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落

后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《

割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入10n＝,则输出的结果是()-5-A.11114(1)35717P=−+

−++B.11114(1)35719P=−+−+−C.11114(1)35721P=−+−++D.11114(1)35721P=−+−+−【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，

输入10n=，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n=，可得：第1次循环：1,2Si==；第2次循环：11,33Si=−=；第3次循环：111,435Si=−+=；第10次循环：11111,11

35719Si=−+−+−=，此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719PS==−+−+−，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功

能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列na的前n项和为nS，且43a=−，1224S=，若0+=ijaa（*,ijN，-6-且1ij），则i的取值集

合是（）A.1,2,3B.6,7,8C.1,2,3,4,5D.6,7,8,9,10【答案】C【解析】【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=ijaa的i的取值集合.【详解】

设公差为d，由题知43a=−133ad+=−，1224S=1121112242ad+=，解得19a=−，2d=，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,−−−−−，故1,2,3,4,5i.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属

于基础题.9.若0.60.5a＝,0.50.6b＝,0.52c＝,则下列结论正确的是()A.bcaB.cabC.abcD.cba【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,abc的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50

.610.60.50.50，即10ba，又由0.512c=，所以cba.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,abc的-7-取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础

题.10.已知函数()0,1ln,1xfxxx=，若不等式()−fxxk对任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是（）A.(,1−B.)1,+C.)0,1D.(1,0−【答案】A【解析】【分析】先求出函数()fx在(1,0)处的切线方

程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln,1xfxxx=和()gxxk=−的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x时，()''1ln,()(1)1fxxfxfx===，所以函数()fx在(1,0)处的切线方程为：1yx=−，令()gxxk=−，它与横轴的交

点坐标为(,0)k.在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln,1xfxxx=和()gxxk=−的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()−fxxk对任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是1k.-8-故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒

成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）A.12B.45C.38D.34【答

案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,xy，以12：00点为开始算起，则有5xyyx−，在平面直角坐

标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，-9-所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：11101010105532210108P?创-创==´.故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面

区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C：22221xyab−=（0,0ab）的左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若22,120==ABAFBAF，则双曲线C的渐近线方程为（）A.33yx=B.62yx=C.()3

2=−yxD.()31=−yx【答案】D-10-【解析】【分析】设2AFm=，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设222222,2cos1203ABAFmBFABAFABAFm===+−=，由双曲线的定

义可知：12,AFma=−因此12,BFa=再由双曲线的定义可知：124323BFBFama−==，在三角形12AFF中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(523)(523)FFAFAFA

FAFcaaba=+−=−+=−2222(423)(423)31bbbaaa=−=−=−，因此双曲线的渐近线方程为：()31=−yx.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学

运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知i，j是夹角为90的两个单位向量，若=+aij，bj=，则a与b的夹角为__________.【答案】45【解析】【分析】首先求出a与b的数量积，然后直接根据a与b的夹角公

式求解即可.【详解】由题知=+aij，bj=，有()1abijj=+=，所以12cos,221ababab===，所以cos,45ab=.-11-故答案为：45.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算

，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数()()(sin0,02)fxx=+满足：①()fx是偶函数；②()fx的图象关于点,03对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.【答案】32，π2【解析

】【分析】根据()fx是偶函数和()fx的图象关于点,03对称，即可求出满足条件的和.【详解】由()fx是偶函数及0π，可取π2=，则()πsincos2fxxx=+=，由()fx的图象关于点π,03对称，得πππ32k=+，kZ

，即332k=+，kZ，可取32=.故，的一组值可以分别是32，π2.故答案为：32，π2.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一

个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R,4R,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.【答案】12【解析】【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得,ac的值，即

可求得椭圆的离心率，得到答案.-12-【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是23R,4R,可得423acRRacRR+=+−=+，解得1

05,33aRcR==，所以椭圆的离心率为5131023RceaR===.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得,ac的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥PABC−

中，2PAPC==，1BABC==，90ABC=，若PA与底面ABC所成的角为60，则点P到底面ABC的距离是______；三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.【答案】(1).3(2).5π【解析】【分析】首先补全三棱锥

为长方体，即可求出点P到底面ABC的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥PABC−置于长方体中，其中1PP⊥平面ABC，-13-由PA与底面ABC所成的角为60，可得13PP=，即为点P到底面ABC的距离，由11PPP

APC≌，得111PAPC==，如图，PB就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥PABC−外接球的直径，即5PB=，所以球的表面积为254π5π2=.故答案为：3；5π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin()sin2ACbABc++=.（1）求B；（2）若A

BC的面积为3，周长为8，求b.【答案】（1）π3B=；（2）134b=【解析】【分析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin2ACbABc++=，再通过二倍角公式即可求出BÐ；（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.-14-【详

解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sincos2BbCc=，结合正弦定理，得sincos2BB=，由π022B及二倍角公式，得1sin22B=，即π26B=，故π3B=；（2）由题设，得1sin32acB=，从

而4ac=，由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即()2212bac=+−，又8abc++=，所以()22812bb=−−，解得134b=.【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养

殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145（1）从该养殖场2

019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（

2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：-15-1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−参考数据：88211460,379.5iiiiixxy====

.【答案】（1）35；（2）ˆ0.6401.520yx=+；（3）利润约为111.2万元.【解析】【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根

据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，则5个月份任意选取3个月份的基本事件

有()2,3,4，()2,3,5，()2,3,6，()2,4,5，()2,4,6，()2,5,6，()3,4,5，()3,4,6，()3,5,6，()4,5,6，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为63105P==；（2）7x=，6y=

，2379.587643.5ˆ0.6404608768b−==−，ˆ60.64071.520a=−=，故ˆ0.6401.520yx=+；（3）当15x=千只，ˆ0.640151.52011.12y=+=（十万元）111.2=（万元），故9月份的利润约为111

.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱111ABCABC−中，四边形11ABBA是菱形，4AB=，160ABB=，113BC=，-16-BCA

B⊥，点M、N分别是1AB、1AC的中点，且1⊥MNAB.（1）求证：平面11BCCB⊥平面11ABBA；（2）求四棱锥11ABCCB−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）83.【解析】【分析】（1）要

证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC⊥平面11ABBA即可；（2）求出点A到平面11BCCB的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥11ABCCB−的体积.【详解】（1）连接1AC，由11ACCA是平行四边形及N是1AC的中点，得N也是1AC的中点，因为点M是1AB的中点，所以

//MNBC，因为1⊥MNAB，所以1BCAB⊥，又BCAB⊥，1ABABA=，所以BC⊥平面11ABBA，又BC平面11BCCB，所以平面11BCCB⊥平面11ABBA；（2）过A作1AOBB⊥交1BB于点O，因为平面11BCCB⊥平面11ABBA，平面

11BCCB平面111ABBABB=，所以AO⊥平面11BCCB，由11ABBA是菱形及160ABB=，得1ABB△为三角形，则23AO=，由BC⊥平面11ABBA，得1BCBB⊥，从而侧面11BCCB为矩形，-17-所以1111123348333ABCCBVOABCBB−===.

【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线()2:20Eypxp=的焦点为F，准线为l，P是抛物线E上一点，且点P的横坐标为2，3PF=.（1）求抛物线E的方程；（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过

点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程.【答案】（1）24yx=（2）()21yx=−【解析】【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设

直线m的方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N坐标，然后设直线n的方程求出点M的坐标，最后利用O、M、N、F四点共圆即可求出直线m的方程.【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF=+=，解得2p=，所

以抛物线F的方程为24yx=；（2）设直线m的方程为1xty=+，代入24yx=，得2440yty−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则124yyt+=，124yy=−，由2114yx=，2224yx=，得()()()22222121212122

424424444yyyytyyxxt+−−−+=+===+，所以()221,2Ntt+，-18-因为直线m的斜率为1t，所以直线n的斜率为t−，则直线n的方程为()1ytx=−−，由()11xytx=−=−−解得()1,2Mt−，若O、M、N、F四点共圆，再结合FNFM⊥，

得OMON⊥，则()2212122210OMONtttt=−++=−=，解得22t=，所以直线m的方程为()21yx=−.【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题.21.已知函数2()126lnafxxaxx=+−−存在一个极大值

点和一个极小值点.（1）求实数a的取值范围；（2）若函数()fx的极大值点和极小值点分别为1x和2x，且()()1226fxfxe−+，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）【答案】（1）4,9+；（2

）()e,+.【解析】【分析】（1）首先对函数()fx求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；（2）首先求出()()12fxfx+的值，再根据()()1226fxfxe−+求出实数a的取值范围.【详解】（1）函数()f

x的定义域为是()0,+，()222262622aaxaxafxxxx−+=+−=，若()fx有两个极值点，则方程22620xaxa−+=一定有两个不等的正根，设为1x和2x，且12xx，-19-所以2121236160

300aaxxaxxa=−+==解得49a，此时()()()1222xxxxfxx−−=，当10xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，当2xx时，()0fx，故1x是极大值点，2x是极小值点，故实数a的取值范围是4,9+

；（2）由（1）知，123xxa+=，12xxa=，则()()1211221222126ln126lnaafxfxxaxxaxxx+=+−−++−−，()()121212122226lnaxxxxaxxxx+=++−−，232

236ln26lnaaaaaaaa=+−−=−，由()()1226efxfx+−，得26ln26eaa−−，即lneaa，令()4ln9gaaaa=，考虑到()eelneeg==，所以lneaa可化为()

()egag，而()411ln1ln1ln09egaa=+++=，所以()ga在4,9+上为增函数，由()()egag，得ea，故实数a的取值范围是()e,+.-20-【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等

式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos23sin2xy=+=+（为参数）.以原点O为极点，

x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为12=，若直线l与曲线C交于两点A.B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若2MON=，求OMN面积的最大值.【答案】（1）2；（

2）1.【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）()1,M，2π,2N+，由（1）通过计算得到121πsin22S=πsin23=+，即最大值为1.【详解】（1）

将曲线C的参数方程化为普通方程为2213122xy−+−=，即2230xyxy+−−=；再将222xy+=，cosx=，siny=代入上式，得2cos3sin0−−=，故曲线C的极

坐标方程为π2sin6=+，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，-21-即12ππ2sin2612ABOB====+=.（2）不妨设()1,

M，2π,2N+，则OMN面积为121π1πππsin2sin2sin222626S==+++πππ2sincossin2663=++=+当πsin213

+=，即取π12=时，max1S=.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.23.已知不等式111xxxm+++−+对于任意的xR恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大

值为M，且正实数a，b，c满足23abcM++=.求证112322abbc++++.【答案】（1）3,1−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：()()11112xxxx++−+−−=，0x，得112xxx+++−，则12m+，由此可得答案；法

二：由题意()min111mxxx+−+++，令()11fxxxx=+++−，易知()fx是偶函数，且)0,x+时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M=，即231abc++=，结合“1”的代换，利

用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：()()11112xxxx++−+−−=（当且仅当11x−时取等号），又0x（当且仅当0x=时取等号），-22-所以112xxx+++−（当且仅当0x=时取等号），由題意得12m+

，则212m−+，解得31m−，故m的取值范围是3,1−；法二：因为对于任意xR恒有111xxxm+++−+成立，即()min111mxxx+−+++，令()11fxxxx=+++−，易知(

)fx是偶函数，且)0,x+时为增函数，所以()()min02fxf==，即12m+，则212m−+，解得31m−，故m的取值范围是3,1−；（2）由（1）知，1M=，即231abc++=，∴1122abbc+++()112322abcabbc=+++++()()

23211222abbcabbc+++=+++()32124222bcababbc++=++++1423232+=+，故不等式112322abbc++++成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于

中档题．-23-