【文档说明】山东省威海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.019 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过()1,23A−−，()2,3B两点的直线的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用斜率公式求出斜率，进

而可得倾斜角.【详解】由斜率公式可得233312ABk−−==−−，故经过()1,23A−−，()2,3B两点的直线的倾斜角为60°.故选：B.2.在空间直角坐标系中，点()1,2,3P−关于yOz平面的对

称点是（）A.()1,2,3−−B.()1,2,3−C.()1,2,3−D.()1,2,3−−【答案】A【解析】【分析】关于yOz平面的对称点纵坐标和竖坐标均不变可得答案.【详解】点()1,2,3P−关于yOz平面的对称点是()1,2,3−−.故选：A.3.已知实数x，y满足(2i)4i

xy+=+，则ixy+=（）A.2B.4C.22D.8【答案】C【解析】【分析】先通过条件求出,xy，再代入ixy+求模即可.【详解】由(2i)4ixy+=+得()24i0xxy−+−=，2400xxy−=−=，解得22xy==，22i22i2222xy+=+=+=.故选：C.4

.若nS是等差数列na的前n项和，141128aaa++=，则9S=（）A.10B.18C.20D.24【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的下角标性质求出46aa+，再利用等差数列求和公式求9S即可.【详解】由等差数列的下角标性质得1411462228aaaaa

++=+=，464aa+=，()()19469991822aaaaS++===.故选：B.5.在平行六面体1111ABCDABCD−中，点E满足1111133AEAAABAD=−++，则（）A.1113BEBC=B.11132BEBC=C.1113BEBC=D.11123

BEBC=【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算全部转化为用1B作为起点的向量来表示，然后整理即可.【详解】由1111133AEAAABAD=−++得()()1111111111133BEBABABABABDBA−=−−−+−，整理得1111111113BEBDBAADBC

=−==.故选：A.6.已知椭圆2212ymx+=的焦距为2，则实数m＝（）A.13B.16C.16或12D.13或1【答案】D【解析】【分析】分焦点在x上和焦点在y上讨论，利用222acb−=列方程求m.【详解】焦距2，即1c=.当焦点在x上时，12121mm

−=，得13m=；当焦点在y上时，102121mm−=，得1m=；综合得13m=或1m=.故选：D.7.经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元

，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设

每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（）A.29(%)apB.30(%)apC.301(%)1%app−−D.311(%)1%app−

−【答案】D【解析】【分析】根据题意写出30轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案.【详解】1轮影响后，国内消费总额为00aap+，2轮影响后，国内消费总额为()20000aapap++，…

…，30轮影响后，国内消费总额为()()()31002300000000011apaapapapp−++++=−.为故选：D8.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于,A

B两点（点A在第一象限），与l交于点D，若3DBBF=，6AF=，则BF=（）A.32B.3C.6D.12【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知131cosFAA=，再利用数形结合表示KF的值，进而得4p=，再根据焦半径公式得4Ax=，()4,

42A，进而求解直线AF的方程并与抛物线联立得1Bx=，再用焦半径公式求解即可.【详解】如图，设准线与x轴的交点为K，作1AAl⊥，1BBl⊥，垂足分别为1A，1B，所以，11////BBFKAA.又3DBBF=，所以113BBBFDB==

，设1DBB=，则131cos||BBDB==.因为11//BBAA，所以11FAADBB==，所以131cosFAA=，所以116243KFAAAF=−=−=，即4p=.所以，抛物线为28yx=，焦点为()2,0F，准线为

:2lx=−，由6AF=得262AApxx+=+=，解得4Ax=，所以，()4,42A，所以422242AFk==−，直线AF的方程为()222yx=−所以，联立方程()22228yxyx=−=得2540xx−+=，解得121,4xx==，所以

，1Bx=，所以，1232BpBFx=+=+=故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知复数1

2iz=，21iz=+，则（）A.1212zzzz=B.若11zz−=，则z的最大值为3C.12zzRD.12zz在复平面内对应的点在第四象限【答案】AB【解析】【分析】对于A：分别求出1212,zzzz来判断；对于B：设i,R,Rzabab=

+，通过条件求出,ab关系，代入z中求最值；对于C：求出12zz来判断；对于D：求出12zz来判断；【详解】对于A：复数12iz=，21iz=+，()122i1i22izz=+=−+，1222izz=−−，又()122i1i22izz=−−=−−，1212z

zzz=，A正确；对于B：设i,R,Rzabab=+，则()()2212i21zzabab−=+−=+−=，即()2221ab+−=，且13b，()222212434333zabbbb=+=−−+=−−=，即z的最大值为3，B正确；对于C：()()()122i1i2i1iR1

i1i1izz−===+++−，故C错误；对于D：()122i1i22izz=+=−+，其在复平面对应的点为()2,2−，在第二象限，D错误.故选：AB.10.已知直线()3:0alaxya−−+=R，则（）A.l恒过定点()0,3B.

当3a时，l不经过第二象限C.l与直线10xay++=垂直D.当3a=时，点()3,2到l的距离最大【答案】BC【解析】【分析】根据点斜式方程判断A；结合当3a时，直线l与x轴的交点横坐标为(310,1a−判断B；根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根

据直线l与过点()3,2Q和()1,3P的直线垂直时，点()3,2到l的距离最大求解判断D.【详解】解：将直线()3:0alaxya−−+=R整理变形得()():31lyaax−=−R，对于A选项，由点斜式方程得直线()3:0alaxya−−+=R过定点()1,3P，故A错误；对

于B选项，当3a时，直线l与x轴的交点横坐标为(310,1a−，又直线l过定点()1,3，所以直线l不经过第二象限，故B选项正确；对于C选项，由于()110aa+−=恒成立，所以l与直线10xay++=垂直，故C选项正确；对于D选项，当直线l与过点()3,2Q和()1,3P的直线垂直

时，点()3,2到l的距离最大，此时12PQk=−，又因为直线l的斜率为lka=，故当2a=时，点()3,2到l的距离最大，故错误；.故选：BC11.费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：221nnF=+，*nN．1732年，数学家欧拉算出56416700417F=不是质数

，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立．现设()2log11nnaF=−+，131(1)nnnnnabaa+−=−，nS为数列nb的前n项和，则（）A.()2111nnFF+−=−B.121nnaa+=+C.1(1)1213nnnS

+−=−+D.nS的最大值为29−【答案】ACD【解析】【分析】由题知221nnF=+，21nna=+，进而讨论AB即可得判断；再根据111(1)2121nnnnb+=−+++求和，并讨论其最大值即判断CD.【详解】

对A，由题知221nnF=+，*nN，()2log1121nnnaF=−+=+，所以，12121nnF++−=，()()12222122nnnF+=−=，即()2111nnFF+−=−，故A选项正确；对B，()11121,21221123nnnnnaa+++=++=++=+，即121nnaa+

+，故B选项错误；所以，()()1113132211(1)(1)(1)21212121nnnnnnnnnnnnabaa+++−+=−=−=−+++++，对C，()11112211111111111(1)12121212121212121nnn

nnnnS−++−+++++−++−+++++++++=−1(1)1213nn+−=−+，故C选项正确；对D，当n为奇数时，11(1)11112132133nn

nnS++−=−=−−−++，当n为偶数时，11(1)11112132133nnnnS++−=−=−−++，()()13231311311111122021321321212121nnnnnnnnnnSS+++++++++−

−−−=−=++++=+−+所以，当n为偶数时，nS为单调递减数列，所以，nS的最大值为231122139S=−=−+，故D选项正确.故选：ACD12.在三棱锥−PABC中，

22PAPCAC==，底面ABC是等边三角形，设二面角PACB−−的大小为，则（）A.当90=时，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°B.当30=时，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°C.当PBA的余弦值为34时，30=D.当直线PB与平面ABC所成角最大时，

tan2=【答案】ABD【解析】【分析】取AC中点O，连接,OPOB，由题知POB二面角PACB−−的平面角，即POB=，再令2AC=，结合线面角，余弦定理，二面角等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为22PAPCAC==，所以222P

APCAC+=，即PAPC⊥，所以APC△为等腰直角三角形，取AC中点O，连接,OPOB，因为底面ABC是等边三角形，所以,OPACOBAC⊥⊥，所以POB二面角PACB−−的平面角，即POB=，设2AC=，则1,3OPOB==，2APPC==，对于A选项，当90=时，此时,,,,OP

OBOPACACOBOACOB⊥⊥=平面ABC，所以OP⊥平面ABC，故PBO为直线PB与平面ABC所成角，3tan3OPPBOOB==，所以30PBO=，即直线PB与平面ABC所成角的大小为30，故A选项

正确；当30=时，即30POB=，所以，在OPB△中，由余弦定理得：22232cos42312BPOPOBOPOBPOB=+−=−=，即1BP=，所以1BPOP==，即OPB△为等腰三角形，所以30PBOPOB==

取OB中点D，则PDOB⊥因为,OPACOBAC⊥⊥，OPOBO=，,OPOB平面OPB，所以AC⊥平面OPB，因为PD平面OPB，所以ACPD⊥因为,,PDOPPPDOP=平面OPB，所以PD⊥平面

OPB，所以，PBD是直线PB与平面ABC所成角，所以30PBDPBOPOB===，故B选项正确；对于C选项，当PBA的余弦值为34时，有2222423cos244BPBAAPBPPBABPA

BBP+−+−===，解得1BP=或2BP=所以，当1BP=时，由B选项的讨论过程可知30=；当2BP=时，由222OPOBPB+=得OPOB⊥，故90POB=，即90=，所以，当PBA的余弦值为34时，30=或90=，故错误；对于D选项，当直线PB与平

面ABC所成角最大时，则OPPB⊥，此时222PBOBOP=−=，故tan2PBOP==，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据二面角的概念，结合等边三角形，等腰直角三角形的性质，寻找出二面角PACB−−的平面角POB（AC中点

为O）.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()14732n++++−=______．【答案】()312nn−【解析】【分析】直接用等差数列求和公式计算即可.【详解】明显数列32n−为等差数列，()()()132311473222nnnn

n+−−++++−==.故答案为：()312nn−.14.在长方体1111ABCDABCD−中，P为棱1CC上一点，直线PB与1DD所成角的大小为60，若12AAABPB===，则1PA=______．【答案】22【

解析】【分析】设ADa=，CPb=，利用空间向量法即可求解.【详解】在长方体1111ABCDABCD−中，以A为原点，1,,ABADAA为,,xyz轴建立如图所示坐标系，设ADa=，CPb=，则()2,0,0B，()2,,Pab，()0,,0Da，()

10,,2Da，所以()0,,PBab=−−，()10,0,2DD=，所以11121cos,222PBDDbPBDDPBDD===，解得1b=，所以()()222PBab=−+−=，解得3a=，即()2,3,1P，又()10,0,2A，所以()()222123122PA=++−=，

故答案为：2215.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右顶点为A，左焦点为F，以A为圆心，OF为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于,PQ两点（点O为坐标原点），若2π3PAQ=，则双曲线C的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】由2π3PAQ

=结合图象可得点A到渐近线的距离等于2OF，利用点到直线的距离公式和双曲线,,abc的关系以及渐近线、离心率公式求解即可.【详解】如图所示，由于双曲线和圆的对称性，不妨取直线PQ为byxa=，即0aybx−=，因为2π3PAQ=，所以(),

0Aa到直线0aybx−=的距离等于22OFc=，即()222abcab−=+−，又因为双曲线中222cabcea=+=，解得2e=，故答案为：216.已知点()3,0A，若圆222(2)(4)(0)xyrr−+−=上存在点

M满足2MOMA=（点O为坐标原点），则r的取值范围为______．【答案】3,7【解析】【分析】设(),Mxy，由2MOMA=得，点M在圆22230xyx++−=上，进而结合题意圆222(2)(4)(0)xyrr−+−=与圆22230xyx++−=有公

共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】解：设(),Mxy，因为点M满足2MOMA=，所以，()222223xyxy+=-+，整理得22230xyx++−=，所以，点M在圆22230xyx++−=上，因，点M也在圆222(2)(4)(0)xyrr−+−=上所以，圆222(2

)(4)(0)xyrr−+−=与圆22230xyx++−=有公共点，因为圆222(2)(4)(0)xyrr−+−=的圆心为()2,4B，半径为r，圆22230xyx++−=的圆心为()1,0C−，半径为2R=，为所以，252rBCr−=+，解得37r

，所以，r的取值范围为3,7故答案为：3,7四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1．（1）求直线1CC与平面1ABD所成角的正弦值；（2）求平面1ABD与

平面1111DCBA所成角的正弦值．【答案】（1）33（2）63【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线1CC与平面1ABD所成角的正弦值；（2）利用空间向量法求平面1ABD与

平面1111DCBA所成角的正弦值.【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()()()()()111,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0CCABD()()()1110,0,1,1,0,1,0,1,1ABADCC==−=−，设面1AB

D的法向量为(),,nxyz=，1100nABxznADyz=−==−=，取1x=，得1,1yz==，即面1ABD的一个法向量为()1,1,1n=，设直线1CC与平面1ABD所成角为，1113sin33CCnCCn===，即直线1CC与平面1ABD所成角的正弦值33

；【小问2详解】由（1）知面1ABD的一个法向量为()1,1,1n=，又平面1111DCBA的一个法向量明显为()0,0,1m=，13cos,33mnnmmn===，设平面1ABD与平面1111DCBA所成角为，π0,2，236sin133=−=，即平面

1ABD与平面1111DCBA所成角的正弦值为63.18.已知等比数列na的各项均为正数，3a，10，5a成等差数列，且11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）设nnbna=，求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）12nna−=（2

）()121nnSn=−+【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）由（1）得12nnbn−=，利用错位相减法可求数列nb的前n项和nS．【小问1详解

】设等比数列na的公比为q，且0q，由已知得3520aa+=，11a=，即2420qq+=，解得2q=，负值舍去，数列na的通项公式12nna−=；【小问2详解】由（1）得12nnbn−=，01211222322nnnS−

=++++，()12311222321222nnnnnS−=++++−+，两式相减得()01211222222212112nnnnnnnnnS−−−=++++−=−=−−−，()121nnSn=−+.19.如图，

正四棱锥P－ABCD中，32PAAB==，点M，N分别在PA，BD上，且13PMBNPABD==．（1）求证：MNAD⊥；（2）求证：//MN平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．在【答案】（1）证明见解析（2）233【解析】【分析】（1）连接AN

并延长交BC于E，连接PE，先通过比例得到∥MNPE，再通过证明PEBC⊥可得MNAD⊥；（2）通过//MNPE可得//MN平面PBC，将求直线MN到平面PBC的距离转化为点N到平面PBC的距离，利用等体积法1133NBCPNBCPBC

NPBCShSh−−=可得距离.【小问1详解】连接AN并延长交BC于E，连接PE，13BNBD=，即12BNND=1//,2BNADBCND=，12NEBANEAD==，即13NEAE=，13PMNEPAEA==，//MNPE

，又1,2BEBADADC==，故E为BC中点，又在正四棱锥中PA=AB，则PCPB=，PEBC⊥，即PE⊥AD，MNAD⊥；【小问2详解】由（1）得//MNPE，且MN面PBC，PE面PBC，//MN平面PBC，故直线MN到平面PBC

的距离即为点N到平面PBC的距离，设为h()2211329332322222PBCSBCPE==−=，1111323233232NBCSBCDC===，点P到面ABCD的距离()222

232232322BDhPB=−=−=，由PNBCNPBCVV−−=，得1133NBCPBCShSh=，119333332h=，得233h=.20.已知抛物线C：2yx=，过点()1,0的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为OMN的外接圆（点

O为坐标原点）．（1）求证：线段MN为圆A的直径；（2）若圆A过点12,55B−，求圆A的方程．【答案】（1）证明过程见详解（2）22315222xy−+−=【解析】【分析】（1）依题意可设直线l的方程为1xmy=+，()1

1,Mxy，()22,Nxy，联立抛物线C的方程整理可得210ymy−−=，进而可得到12yy+，12yy，12xx+，12xx，代入求得0OMON=，即可得到结论；（2）结合（1）先设圆A的圆心为21,22mmA+，再求得2AB，2MN，根据224M

NAB=，即可求得m，进而可求得圆心和半径的平方，即可得到圆A的方程．【小问1详解】依题意可设直线l的方程为1xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立21xmyyx=+=，消x整理得210ymy−−=，则12yym+=，121yy=−，()()2121

2112xxmymym+=+++=+，()()1212111xxmymy=++=，则1212110OMONxxyy=+=−=，即OMON⊥，所以线段MN为圆A的直径；【小问2详解】结合（1）可设圆A的圆心为21,22mmA+，则2224221221241525242

055mmmABmm=−−+−−=+++，()()()()()()222222242212121121211454MNxxyymyymyyyymm=−+−=+−=++−=++，又224MN

AB=，解得1m=，所以圆半径的平方为252AB=，圆心为31,22A，故圆A的方程22315222xy−+−=．21.设nS为数列na的前n项和，nT为数列

nS的前n项积，已知11nnnSTS−=．（1）求1S，2S；（2）求证：数列11nS−为等差数列；（3）求数列na的通项公式．【答案】（1）12S=；232S=（2）证明见解析（3）()2

,11,21nnannn==−−【解析】【分析】（1）直接令11nnnSTS−=中的1n=，2n=可得答案；（2）通过11nnnSTS−=得到11111nnnSTS−−−−=，两式相除整理后可证明数列11nS−等差数列；（3）当2n时

，通过1nnnaSS−=−可得数列na的通项公式，注意验证1n=时是否符合.【小问1详解】由11nnnSTS−=，0nS且1nS，当1n=时，1111111SSST−==，得12S=，当2n=时，22212111STSSS−==，得232S=；【小问2详解】对于11nnnSTS−=①，当

2n时，11111nnnSTS−−−−=②，①②得111111nnnnnnnSSTTSSS−−−−==−，即1111nnnSSS−−−−=，111111111nnnnSSSS−−−=−=−−+，又1111S=−，数列11nS−是以1为首项，

1为公差的等差数列；【小问3详解】由（2）得()1111nnnS=+−=−，11nnS=+，当2n时，()11111111nnnaSSnnnn−=−=+−+=−−−，为又1n=时，112aS==，不符合()11nann=−−，(

)2,11,21nnannn==−−.22.已知椭圆()222210xyEabab+=：过点()0,2A，离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）过点()0,1的直线l与椭圆E交于,BC两点，直线,ABAC分别与直线1

2yx=交于,MN两点，若42MN=，求直线l的方程．【答案】（1）22184xy+=（2）112yx=−+或716yx=+【解析】【分析】（1）由题知22224122bcabac===−，进而解方程即可得答案；（2）由题知，直线l斜率存在，设方程为

1ykx=+，()()1122,,,BxyCxy，故直线AB方程为1122yyxx−=+，直线AC方程为2222yyxx−=+，进而得,MN的横坐标，再将直线1ykx=+与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式计算即可.【小问1详解】解：因为椭圆()2222

10xyEabab+=：过点()0,2A，离心率为22，所以22224122bcabac===−，解得2224,8bca===，所以，椭圆E方程为22184xy+=.【小问2详解】解：当直线l斜率不存在时，方程为0x=，此时,BC两点

中有一点与()0,2A重合，不满足题意；所以，直线l斜率存在，设方程为1ykx=+，()()1122,,,BxyCxy，联立方程221184ykxxy=++=得()2221460kxkx++−=

，所以，12122246,2121kxxxxkk−+=−=++，因为直线AB方程为1122yyxx−=+，直线AC方程为2222yyxx−=+，所以，联立方程112212yyxxyx−=+=得()()1111111144424214122Mxxxx

xyxkxkx===−+−++−+，联立方程222212yyxxyx−=+=得()222224424122Nxxxxykx==−+−+，所以()()121244122122MNxxxkx

kxx−−+−=−+()()()()12211241224122122122xkxxkxkxkx−+−−+−+−+=()()()()()122121221212284162218122124xxkxxxxxkkx

kxx+−=−−+−=−+++的222264248864242116216221kkkkkk+++==−−+因为点,MN在直线12yx=上，所以22158642442122162MNkMNxxk+==+−=−，整理

得212870kk−−=，解得12k=−或76k=，所以，所求直线方程为112yx=−+或716yx=+获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com