【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第二章 直线和圆的方程B卷含解析【高考】.docx，共(28)页，1.230 MB，由管理员店铺上传

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12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第二章直线和圆的方程B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线1:221

0lxy+−=，2:430lxny++=，3:610lmxy++=，若12//ll且13ll⊥，则mn+的值为（）A．10−B．10C．2−D．22．对于任意实数k，直线()()2120kxky−−＋＋＝与点()22−−，的距离为d，则d的取值范围是

（）A．042，B．(042，C．2505，D．2505，3．已知直线10axy+−=与圆()()22:11Cxya−++=相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．17或－1B．－1C．1或－1D．14．已知实数x、y

满足22430xxy−++=，则21xyx++−的取值范围是（）A．7,3+B．4,3+C．40,3D．47,335．已知点()00,Pxy，直线:0lAxByC++=，且点P不在直线l上，则点P到直线l的距离0022AxB

yCdAB++=+；类比有：当点()00,Pxy在函数()yfx=图像上时，距离公式变为0022()AxBfxCdAB++=+，根据该公式可求223131xxxx+−−+−+−的最小值是（）A．22B．

4C．42D．86．设11(,)Mxy，22(,)Nxy为不同的两点，直线:0lAxByC++=.记1122AxByCAxByC++=++，则下列2结论中正确的个数是（）①不论为何值，点N都不在直线l上；②若1=，则过,MN的直

线与直线l相交；③若1=−，则直线l经过MN的中点.A．0个B．1个C．2个D．3个.7．已知圆C：221xy+=，点A(-2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆挡住，则a的取值范围是（）A．434333−−+，，B．()()22−−

+，，C．()()11−−+，，D．()()44−−+，，8．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一

个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2lyax=−.给出以下命题：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为1S，()212SSS，则12:3:1SS=；②当43a=

−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；③当0,1a时，直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（）.A．①②B．①③C．②③D．①②③3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆22:230Axyx+−−=，则下列说法正确的是（）A．直线1x=−与圆A相切B．圆A截y轴所得的弦长为4C

．点(1,1)B−−在圆A外D．圆A上的点到直线34120xy−+=的最小距离为310．已知圆C的方程是()2222145280xymxmymm++−−+−−=．则下列结论正确的是（）A．圆C的圆心在同一条直线上B．方

程()2222145280xymxmymm++−−+−−=表示的是等圆C．圆C的半径与m无关，是定值D．“32m=”是“圆C与x轴只有一个交点”的必要不充分条件11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德

齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值()1的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy中，()2,0A､()4,0B，点P满足12PAPB=，设点P所构成的曲线为C，下列

结论正确的是（）A．曲线C的方程为()22416xy++=B．在曲线C上存在点D，使得1AD=C．在曲线C上存在点M，使M在直线上20xy+−=D．在曲线C上存在点N，使得224NONA+=12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理

：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC，ABAC=，点(2,4)B−，点(5,3)C−，且其“欧拉线”与圆222:(5)Mxyr−+=相切，则下列结论正确的是（）A．圆M上点到直线30xy−+=的最大距离为424B．圆M上点

到直线30xy−+=的最小距离为22C．若点(,)xy在圆M上，则xy+的最小值是322−D．圆22(1)()2xaya−−+−=与圆M有公共点，则a的取值范围是25,25−+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线

260xay++=和直线(2)320axaya−++=没有公共点，则a的值为___________.14．已知实数x，y，则22222222(1)(1)(1)(1)xyxyxyxy+++−+−++−+−的最小值是______.15．如图，已知ABC为等腰直角三角形，4ABBC==，

光线从点(1,0)P出发，到AC上一点Q，经直线AC反射后到AB上一点R，经AB反射后回到P点，则Q点的坐标为_______.16．有平面点集D和实数集R，若按照某对应法则f，使得D中每一点(),Pxy都有唯一的实数z与之

对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作(),zfxy=.若二元函数()()()()()22222222,1242fxyxyxyxyxy=++−++++++++，其中21x−，40y−，则二

元函数(),fxy的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的三个顶点(),Amn，()2,1B，()2,3C−．（1）求BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线A

D的方程为2360xy−+=，且ABC的面积等于7，求点A的坐标．518．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；（2

）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．619．已知圆M经过两点()3,3A，B（2，2）且圆心M在直线2yx=−上．（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，O

F的斜率分别为k1，k2，且122kk=，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.20．△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为20xy−=和10xy+−=.（1）求BC所在直线的方程.（2）设(3,

2)N−，直线l过线段AN的中点M且分别交x轴与y轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△POQ面积最小时直线l的方程；.721．已知圆C的圆心C为（0，1），且圆C与直线260xy−+=相切．（1）求圆C的方程；（2）圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l

：x＝x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的距离为d．（ⅰ）当x0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．822．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|32=．（1

）求圆C的标准方程；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．①求证：MAMB为定值，并求出这个定值；②求△BMN的面积的最大值一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线1:2210lxy+−=，2:430lxny++=，3:610lmxy++=，若12//ll且13ll⊥，则mn+的值为（）A．10−B．10C．2−D．2【答案】C【解析】因为直线1:22

10lxy+−=，2:430lxny++=，且12//ll，所以2n=24，解得4n=，经检验成立，因为直线1:2210lxy+−=，3:610lmxy++=，且13ll⊥，所以2260m+=，解得6m=−，所以2mn+=−，故选：C2．对于任意实数k，直线()

()2120kxky−−＋＋＝与点()22−−，的距离为d，则d的取值范围是（）A．042，B．(042，C．2505，D．2505，【答案】B【解析】根据题意，对于任意实数k，直线()()2120

kxky+−+−=恒过(2，2)点，9点(2，2)和点(-2，-2)确定一条直线，其直线方程为0yx−=所以当直线()()2120kxky+−+−=与直线0yx−=垂直时，d取得最大值()()22222242maxd=+++=；当2,2xy=−=−时，()()2221240kk−

+++−=−即直线()()2120kxky+−+−=不过点(－2，-2)，d无最小值，所以d的取值范围是(0,42，选项B正确；故选：B.3．已知直线10axy+−=与圆()()22:11Cxya−++=相交于A，B两点，且ABC为等腰直角

三角形，则实数a的值为（）A．17或－1B．－1C．1或－1D．1【答案】C【解析】解：由题意得，圆()()22:11Cxya−++=的圆心为()1,Ca−，半径为1，由于直线10axy+−=与圆C相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，可知90ACB=，1ABACr===，所以4

5CABCBA==o，∴圆心()1,Ca−到直线10axy+−=的距离等于2sin452r=，再利用点到直线的距离公式可得：圆心()1,Ca−到直线10axy+−=的距离21221da==+，解得：1a=，所以实数a的值为1或－1.故选：C．4．已知

实数x、y满足22430xxy−++=，则21xyx++−的取值范围是（）A．7,3+B．4,3+C．40,3D．47,33【答案】A【解析】10实数x、y满足22430xxy−++=，即()2221xy−+=，方程()2

221xy−+=表示以()2,0C为圆心，半径等于1的圆，而21331111xyxyyxxx++−+++==+−−−，令31ykx+=−，可得30kxyk−−−=，所以，直线与圆()2221xy−+=有公共点，所以2311kk−+，解得43k，所以，23711113x

yykxx+++=+=+−−.故选：A.5．已知点()00,Pxy，直线:0lAxByC++=，且点P不在直线l上，则点P到直线l的距离0022AxByCdAB++=+；类比有：当点()00,Pxy在函数()yfx=图像上时，距离公式变为0022()AxB

fxCdAB++=+，根据该公式可求223131xxxx+−−+−+−的最小值是（）A．22B．4C．42D．8【答案】B【解析】解：222231313131222xxxxxxxx+−−−+−+−−+−+−=+

，令21yx=−，则()2210xyy+=，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径的半圆，依题意2312xx+−−表示该半圆上的点到直线2:30lxy−+=的距离，2312xx−+−表示该半圆上的

点到直线1:30lxy+−=的距离，则22313122xxxx+−−−+−+表示半圆上的点到直线1:30lxy+−=和2:30lxy−+=的距离之和，设为d，设半圆上点()cos,sinPθθ，0,，则P到1l与2l的距离之和11

cossin3cossin33cossincossin362sin22222d+−−+−−−+−=+=+=因为0,，所以sin0,1，所以62sin4,6−，所以22,32d，

所以22313124,6xxxxd+−−+−+−=所以223131xxxx+−−+−+−的最小值为4，故选：B6．设11(,)Mxy，22(,)Nxy为不同的两点，直线:0lAxByC++=.记1122AxByCAxByC

++=++，则下列结论中正确的个数是（）①不论为何值，点N都不在直线l上；②若1=，则过,MN的直线与直线l相交；③若1=−，则直线l经过MN的中点.A．0个B．1个C．2个D．3个.【答案】C【解析】因为1122A

xByCAxByC++=++，分母不为0，所以220AxByC++，所以不论为何值，点N都不在直线l上，①正确；当1=时，设1122AxByCAxByCk++=++=，（0k），则11(,)Mxy，22(,)Nxy为直线:mAxByCk++=上

的两个点，显然直线l与直线m平行，故过,MN的直线与直线l不会相交，②错误；当1=−时，设11220AxByCAxByC+++++=，整理得：1212022xxyyABC++++=，因为11(,)Mxy，22(,)Nxy，所以MN的中点坐标为1212,22xx

yy++，故若1=−，则直线l经过MN的中点.③正确；正确的个数为2个故选：C7．已知圆C：221xy+=，点A(-2，0)及点B(2，a)，从A点观察B点，要使视线不被圆挡住，则a的取值范围是（）12A．434333−−+

，，B．()()22−−+，，C．()()11−−+，，D．()()44−−+，，【答案】A【解析】设过点A的直线方程为()2ykx=+，当直线与圆相切时，满足221

1kdk==+，求得33k=，如图，设12,BB交x轴于D，则1233BDBDkADAD===，4AD=，解得12433BDBD==，要满足直线与圆相离，故434333a−−+，，

故选：A8．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2lyax=−.给出以下命题：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所

得两部分的面积分别记为1S，()212SSS，则12:3:1SS=；②当43a=−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；13③当0,1a时，直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（）.A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A【解析】如图1所

示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a=时，直线l的方程为0y=．此时直线l将黑色阴影区域的面积分为两部分，1π3ππ22S=+=，2πππ22S=−=，所以12:3:1SS=，故①正确．对于②，根据题意，

黑色阴影区域在第一象限的边界方程为()()22110xyx+−=当43a=−时，直线l的方程为()423yx=−−，即4380xy+−=，小圆圆心()0,1到直线l的距离2238143d−==+，所以直线l与该半圆弧相切，如图2所示

，所以直线l与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当)0,1a时，如图3所示，直线():2lyax=−与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，14当1a=时，直线:2lyx=−与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小

题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆22:230Axyx+−−=，则下列说法正确的是（）A．直线1x=−与圆A相切B．圆A截y轴所得的弦长为4C．点(1,1)B−−在圆A外D．圆A上的点

到直线34120xy−+=的最小距离为3【答案】AC【解析】因为22:230Axyx+−−=，所以22(1)4xy−+=，则圆心()1,0A，半径2r=，对于A：因为圆心()1,0A到直线1x=−的距离为2dr==，故A正确；对于B：圆A截y轴所

得的弦长为2222123−=，故B错误；对于C：()22(1)(1)21310−+−−−−=，故C正确；对于D：因为圆心A到直线34120xy−+=的距离为|312|35d+==，则圆上点到直线的最小距离为321dr−=−=，故D错误.故选：AC.10．已知圆

C的方程是()2222145280xymxmymm++−−+−−=．则下列结论正确的是（）A．圆C的圆心在同一条直线上B．方程()2222145280xymxmymm++−−+−−=表示的是等圆C．圆

C的半径与m无关，是定值15D．“32m=”是“圆C与x轴只有一个交点”的必要不充分条件【答案】ABC【解析】()2222145280xymxmymm++−−+−−=可化为()()22129xmym+−+−=，圆C的圆心为()1,2mm−，半径3r=．

圆的半径为定值3，C正确；圆心(),ab满足方程组12ambm=−=，即22ab+=，不论m为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线220xy+−=上且为等圆，AB正确．在()2222145280xymxmymm++−−+−−=中，设0y=，

若圆C与x轴只有一个交点即该方程有两个相同的实数根，()()222145280mmm=−−−−=，解得：294m=，32m=，“32m=”是“圆C与x轴只有一个交点”的充分不必要条件，D错误．故选：ABC.11．古希腊著名数学家阿波

罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A､B的距离之比为定值()1的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xoy中，()2,0A､()4,0B，点P满足12PAPB=，设点P所

构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A．曲线C的方程为()22416xy++=B．在曲线C上存在点D，使得1AD=C．在曲线C上存在点M，使M在直线上20xy+−=D．在曲线C上存在点N，使得224NONA+=【答案】AD【解析】设点(,)Pxy，由12PAPB=，16得22

22(2)12(4)xyxy++=−+，化简得2280xyx++=，即22(4)16xy++=，故A选项正确；对于B选项，设00(,)Dxy，由1AD=得2200()(0)21xy+−=+，又2200(4)16xy++=，联立方程可知无解，故B选项错误；对于C选项，设00(,)Mxy，由M

在直线20xy+−=上得0020xy+−=，又2200(4)16xy++=，联立方程可知无解，故C选项错误；对于D选项，设00(,)Nxy，由224NONA+=，得22220000(2)4xyxy+++

+=，又2200(4)16xy++=，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD.12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC，ABAC=

，点(2,4)B−，点(5,3)C−，且其“欧拉线”与圆222:(5)Mxyr−+=相切，则下列结论正确的是（）A．圆M上点到直线30xy−+=的最大距离为42B．圆M上点到直线30xy−+=的最小距离为22C．若点(,)xy在圆M上，则

xy+的最小值是322−D．圆22(1)()2xaya−−+−=与圆M有公共点，则a的取值范围是25,25−+【答案】BD【解析】解：因为ABAC=，由题意可得三角形ABD的欧拉线为BC的中垂线，由(2,4)B−，点(5,3)C−可得BC的中点为

31,22，且43125BCk+==−−−，所以线段BC的中垂线方程为：1322yx−=−，即10xy−−=，因为三角形ABC的“欧拉线”与圆222:(5)Mxyr−+=相切，所以圆心(5,0)到直线10xy−−=的距离22|51|221(1)dr−===+−，所以圆M的

方程为：22(5)8xy−+=，17因为圆心(5,0)到直线30xy−+=的距离|53|422d+==，A中，圆M上点到直线30xy−+=的距离的最大值为422262dr+=+=，故A不正确：B中，圆M上点到直线30xy−+=的距离的最小值为422222dr−=−=，故B正确；C中

：令txy=+，所以ytx=−，代入圆M的方程22(5)8xy−+=，可得22(5)()8xtx−+−=，整理可得222(102)170xtxt−+++=，由于(,)xy在圆上，所以222(102)170xtxt−+++=有根，则()()2210242170t

t=+−+，整理可得：29100tt−+，解得：19t，所以t的最小值为1，即xy+的最小值为1，所以C错误；D中：22(1)()2xaya−−+−=圆心坐标(1,)aa+，半径为2；圆M的22(5)

8xy−+=的圆心坐标为(5,0)，半径为22，要使圆22(1)()2xaya−−+−=与圆M有公共点，则圆心距[2,32]，所以222(15)32aa+−+，即解得：22470410aaaa−+

−−，解得2525a−+，所以D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线260xay++=和直线(2)320axaya−++=没有公共点，则a的值为___________.【答案】0或-1或0【解析】由题

意得：两直线平行，所以213(2)aaa=−解得0a=或1a=−或3a=，当0a=时，直线为6x=−和0x=，两直线平行，符合题意，当1a=−时，直线为60xy++=和203xy++=，两直线平行，符合题意，当3

a=时，直线为960xy++=和960xy++=，两直线重合，不符合题意，综上：a的值为0或-1.18故答案为：0或-114．已知实数x，y，则22222222(1)(1)(1)(1)xyxyxyxy++

+−+−++−+−的最小值是______.【答案】22【解析】如图所示，设点(0,0)O，(,)Axy，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)D，则22222222(1)(1)(1)(1)xyxyxyxy+++−+−++−+−||||||||OAADA

BAC=+++.因为||||||2OAACOC+=，||||||2ABADBD+=，所以||||||||22OAADABAC+++（当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立）．所以22222222(

1)(1)(1)(1)xyxyxyxy+++−+−++−+−的最小值是22．故答案为：2215．如图，已知ABC为等腰直角三角形，4ABBC==，光线从点(1,0)P出发，到AC上一点Q，经直线AC反

射后到AB上一点R，经AB反射后回到P点，则Q点的坐标为_______.【答案】1715(,)88【解析】解：建立如图所示的坐标系，可得(4,0)C，(0,4)A，所以直线AC的方程为4xy+=，19(1,0)P，设点P关于

直线AC的对称点(,)Nxy，则有104220(1)11xyyx+++=−−=−−，解得43xy==，即(4,3)N，易得(1,0)P关于y轴的对称点(1,0)M−，由光的反射原理可知N，Q，R，M四点共线，所以直线MN：()315yx=+，即3530xy−+=，联立

35304xyxy−+=+=，得178158xy==，1715,88Q．故答案为：1715,88．16．有平面点集D和实数集R，若按照某对应法则f，使得D中每一点(),Pxy都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义

域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作(),zfxy=.若二元函数()()()()()22222222,1242fxyxyxyxyxy=++−++++++++，其中21x−，40y−，则二元函数(),fxy的最小值为___________.【答案】7【解析】设()1,0A

，()2,4B−−，()0,2C−，(),Pxy，则zOPPAPBPC=+++，∵线段AB与y轴交点为040,3P−，在线段OC上，20∴2OPPCOC+=，5PAPBAB+=，∴7z=（P到0P时取得最小值）．

故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的三个顶点(),Amn，()2,1B，()2,3C−．（1）求BC边所在

直线的方程；（2）BC边上中线AD的方程为2360xy−+=，且ABC的面积等于7，求点A的坐标．【答案】（1）240xy+−=（2）()3,4A或()30A−,【解析】（1）利用两点式求得BC边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A到直

线BC的距离，根据面积7ABCS=△以及点A在直线2360xy−+=上列方程组，解方程组求得A点的坐标.（1）解：由()2,1B、()2,3C−得BC边所在直线方程为123122yx−−=−−−，即240xy+−=，故BC边所在直线的方程为2

40xy+−=.（2）解：因为A到BC边所在直线240xy+−=的距离为245mnd+−=，又224225BC=+=，所以172ABCSBCd==，所以75d=，所以24755mn+−=，则211+=mn或23+=−mn，由于A在直线2360xy−+=上，故2112360m

nmn+=−+=或232360mnmn+=−−+=，解得34mn==或30mn=−=，所以()3,4A或()30A−,.18．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．21（

1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．【答案】（1）213（2）AOB的面积最小值是4，此时的直线方程为240xy++=【解析

】（1）由题得直线恒过的定点P，再由两点的距离公式可得所求最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率，根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基

本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．（1）直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即为m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，由240230xyyx++=−+=可得12xy=−=−，则已知直线恒过定点P(－1,－2)，可得

Q（3，4）到直线的最大距离为|QP|22(31)(42)=+++=213.（2）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2＝k(x+1)，可得|OA|＝|2k−1|，|OB|＝|k－2|，则S△AOB12=•|OA|•|

OB|12=|(2k−1)(k－2)|12=|2(2)kk−−|．由k＜0，可得－k＞0，所以S△AOB12=[2(2)kk−−]12=[4+(4k−)+(－k)]≥4．当且仅当4k−=−k，即k＝－2时取等号．则△AOB的

面积最小值是4，直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．19．已知圆M经过两点()3,3A，B（2，2）且圆心M在直线2yx=−上．22（1）求圆M的方程；（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF

的斜率分别为k1，k2，且122kk=，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）()2224xy−+=（2）证明见解析，定点(-4，0)【解析】(1)设出圆的方程()()()2220ybrxra+=−−＞，根据给定条件列出方程组

，求解即可得圆的方程.(2)设直线EF的方程为ykxm=+，再与圆的方程联立消去y，利用韦达定理及122kk=求得k与m的关系即可推理作答.（1）设圆M的方程为：()()()2220ybrxra+=−−＞，由题意得，222222(3)(3)(2)(2)2abrabrba−+−=−+−=

=−，解得202abr===，所以圆M的方程：()2224xy−+=.（2）依题意，直线EF的斜率存在，否则直线OE，OF关于x轴对称，k1，k2互为相反数，与已知矛盾，设直线EF：ykxm=+，由22(2)4xyykxm−+==

+得：()()2221240kxkmxm+−+=+．()()()222224414440kmkmkmm=−+−−=−，即244kmm+，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则122241kmxxk−+=−+，21221mxxk=+，

于是得()()()221212121212121212kxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx+++++===23()()2222222222222424141121mkmkkmmkmkmkmmkkmkkmmmk−−+−−+++++====+，则4k=m

，直线EF的方程为：()4ykx=+，于是得直线EF过定点(-4，0)，所以直线EF经过一定点(-4，0).20．△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为20xy−=和10xy+−=.（1）求BC所在直线的方程

.（2）设(3,2)N−，直线l过线段AN的中点M且分别交x轴与y轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△POQ面积最小时直线l的方程；.【答案】（1）417120xy++=（2）240xy+−=【解析】（1）求出点A关于两条角分线的对称点，即可求出直线方程；（2）设直线

l方程1(0,0)xyabab+=，可得211ab+=，代入面积，利用基本不等式可得.（1）如图所示，ABC的平分线BD的方程为：20xy−=，ACB的平分线CE的方程为10xy+−=，由角平分线的性质知，点A关于直线BD、CE的对称点111(,)Mx

y、222(,)Mxy必在BC所在的直线上.由方程组：111141112142022yxxy−=−−++−=，解得：1119585xy==−，则点1M的坐标为198(,)55−.由方程组：22224(1)11141022yxxy−−=−−+

++−=，解得：2230xy=−=，则点2M的坐标为(3,0)−.∴BC所在直线的方程为：038190355yx−+=−−+，即：417120xy++=；（2）24设直线l的方程的方程为：1(0,0)xyabab+=，又直线l

过点M（2，1），所以211ab+=，即(2)2abaa=−，则△POQ的面积21114[(2)]22222aSabaaa===++−−()142422aa=−++−1(244)42+=，当且仅当422aa−=−即4a=，2b=时等号成立.所以，直线l的方程为：1

42xy+=，即240xy+−=.21．已知圆C的圆心C为（0，1），且圆C与直线260xy−+=相切．（1）求圆C的方程；（2）圆C与x轴交于A，B两点，若一条动直线l：x＝x0交圆于M，N两点，记圆心到直线AM的

距离为d．（ⅰ）当x0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【答案】（1）()2215xy+−=（2）（ⅰ）12；（ⅱ）dBN为定值12，理由见解析【解析】25（1）求出圆心到直线的距离，则圆C的方程可求；（2）（ⅰ）当x0＝1时，可得直线l：x＝

1，与圆的方程联立求得M、N的坐标，写出AM的方程，求出圆心到直线AM的距离d，再求出|BN|，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M、N的坐标，写出AM的方程，求出圆心到直线AM的距离d，再求出|BN|，整理即可求得dBN为定值12．（1）圆C的半径r

221652(1)−+=+−=，则圆C的方程为()2215xy+−=；（2）（ⅰ）由()2215xy+−=，取y＝0，可得2x=．∴A（﹣2，0），B（2，0），圆C与动直线l：0xx=交于M，N两点，则2200(1)51xyx

xx+−===，解得13xy==或11xy==−，∴M（1，3），N（1，﹣1），则直线AM的方程y﹣0()()3212x=+−−，即20xy−+=．圆心到直线AM的距离d12222−+=

=，|BN|22(21)(01)2=−++=，∴21222dBN==；（ⅱ）由圆C与动直线l：0xx=交于M，N两点，设M（x0，y1），N（x0，y2），联立220(1)5xyxx+−==，解

得M（20015xx+−，），N（20015xx−−，），26∴直线AM：()2001522xyxx+−=++．圆心（0，1）到直线AM的距离d202000222000202251252(15)104251(2)xxxxxxxx+−−+−−+==+−++−++．|BN|22220

000(2)(15)10425xxxx=−+−−=−−−．则()200220000222000002525104251210425434520xxxxxxdBNxxxxx−−−−++−===−−−−−−+．∴dBN为定值12．22．已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴

交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|32=．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点．①求证：MAMB为定值，并求出这个定值；②求△BMN的面积的最大值．【答案】（1）()225251416xy

−+−=（2）①证明见解析，定值为12；②334【解析】（1）利用垂径定理计算出圆的半径，从而得出圆心坐标，即可得出标准方程；（2）①设M（cosα，sinα），利用距离公式计算|MA|，|MB|，即可求出MAMB的值，得出结论；②设直线MN的方程12ykx=+，代入单位圆方程消元，利

用根与系数关系求出M，N两点27到y轴距离之和的最大值，即可求出三角形面积的最大值．（1）（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP|12=|AB|34=，∴圆C的半径为|BC|2254CPBP=+=，故C（1，54），∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y5

4−）22516=．（2）①由（1）可知A（0，12），B（0，2），设M（cosα，sinα），则22215cossinsin24MA=+−=−()222cossin254sinMB=+−=−∴22514544sinMAsinM

B−==−，故MAMB为定值12．②设直线MN的方程为12ykx=+，联立方程组22112xyykx+==+，消元得()223104kxkx++−=，设M（x1，y1），N（x2，y2），则1221kxxk+=−+，122341xxk−=+，∴|x1﹣x2|221212223()4(

)11kxxxxkk=+−=+++22243(1)kk+=+，令211tk=+，则|x1﹣x2|22411(2)4ttt−==−−+，28当t＝1时，|x1﹣x2|有最大值3，∴△BMN的面积S△BMN12=•|AB|•

|x1﹣x2|34=|x1﹣x2|334，∴△BMN的面积的最大值为334