【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第二章 直线和圆的方程A卷含解析.docx，共(24)页，1.307 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9fc3605341ed49e214f4e9063776e27d.html

以下为本文档部分文字说明：

12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第二章直线和圆的方程A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线:lykx=与圆C：22650xyx+−

+=交于,AB两点，若ABC为等腰直角三角形，则k的值为（）A．147B．142C．142D．1472．已知圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:40Cxyky++−=的公共弦所在直线恒过点(),Pab，且点P在直线20mxny−−=上，则mn的取值范围是

（）A．10,4B．10,4C．1,4−D．1,4−3．已知(1,0),(0,2)AB−，直线:2230lxaya−++=上存在点P，满足||||5PAPB+=，则l的倾斜角的取值范围是（

）A．2,33B．20,,33UC．3,44D．30,,444．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖

正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO，2OO，3OO，4OO分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结

线，16o，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0B．1C．2D．35．已知圆C：222210xyxy+−−+=，直线l：40xy+−=，若在直线l上任取一点M作圆2C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则ACB最小时，原点O到直线AB的距离

为（）A．322B．2C．22D．226．直线10axy+−=被圆2228130+−−+=xyxy所截得的弦长为23，则a=（）A．43−B．34−C．3D．27．已知点(2,3)A，(3,2)B−−与直线:10lkxyk−−+=，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．2k

或34kB．34k或14k−C．344k−D．324k8．已知直线l与单位圆O相交于()11,Axy，()22,Bxy两点，且圆心O到l的距离为32，则11xy++22xy+的取值范围是（）A．6,62B．3,6

C．6,32D．2,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆222:210Cxaxya−++−=与圆

22:4Dxy+=有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（）A．3−B．3C．2D．2−10．一条斜率不为0的直线:0laxbyc++=，令(,)fxyaxbyc=++，则直线l的方程可表示为0(),fxy=.现光线沿直线l射到x轴上的点(,0)Ap，反

射后射到y轴上的点(0,)Bq，再经反射后沿直线(,)0gxy=射出.若0(),fxy=和(,)0gxy=中x和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．(,1)(1,)0?qfppgq+=B．2(,)2(,)(,)(,)fpygxqfxygxy+

=+C．2224()[(1,1)(1,1)]pqfg+=+D．(,)(,)(,)(,)fxygxyfpqgpq−+11．设a，b为正数，若直线10axby−+=被圆224210xyxy++−+=截得弦长为

4，则（）A．1ab+=B．21ab+=3C．18abD．29abab+12．下列说法正确的是（）A．直线32()yaxaaR=−+必过定点(3,2)B．直线32yx=−在y轴上的截距为2−C．直线310xy++=的倾斜角为60°D．过点(1,

2)−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为20xy+=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设点P是直线3470xy−+=上的动点，过点P引圆()()22210xyrr−+=的切线,PAPB（切点为,AB），若APB的最大值为3，

则该圆的半径r等于____．14．已知函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.15．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:2lykx=+与圆()22:19Cxy−+=交于A、B两点，过点A、B分别作圆C的两

条切线1l与2l，直线1l与2l交于点P，则线段PC长度的最小值是___________.16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样

走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4xyxy+，河岸线所在直线方程为3100xy+−=.假定将军从点(2,1)P处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为

_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；4

（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.18．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且3ABAM=，沿图1中的虚线DE，EF，FD将,,ADEBE

FCDF，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.5（1）证明：PFDM⊥；（2）若正方形ABCD的边长为6，求点M到平面DEF的距离.19．已知点P在抛物线2:4Cyx=上，过点P作圆2

22:(3)Mxyr−+=(02r)的两条切线，与抛物线C分别交于A､B两点，切线PA､PB与圆M分别相切于点E､F.（1）若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为(1,2)，且2r=时，求PE

PF的值；（3）若点P的坐标为(1,2)，设线段AB中点的纵坐标为t，求t的取值范围.620．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点

的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43.（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?21．如图，已知圆O的直径AB

=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化

时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．722．已知圆22:270Cxyx++−=内一点(1,2)P−，直线l过点P且与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的圆心坐标和面积；（2）若直线l的斜率为3，求弦AB的长；（3）若圆上恰有三点到直线l

的距离等于2，求直线l的方程一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知直线:lykx=与圆C：22650xyx+−+=交于,AB两点，若ABC为等腰直角三角形，则k的值为（）A．147B．1

42C．142D．147【答案】D【解析】由22650xyx+−+=可得：()2234xy−+=，所以圆心()3,0C，半径2r=，由ABC为等腰直角三角形知，圆心()3,0C到直线:lykx=的距离222dr==，所以2321kdk==+，解得147k=

，故选：D.2．已知圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:40Cxyky++−=的公共弦所在直线恒过点(),Pab，且点P在直线20mxny−−=上，则mn的取值范围是（）8A．10,4B．10,4C．1,4−D．

1,4−【答案】D【解析】将圆1C与圆2C的方程相减得公共弦所在直线的方程为()240kxky+−−=，即()()240kxyy+−+=，由2400yxy+=+=，得22xy==−，即点()2,2P−，因此，2220mn+−=，1mn+=，由基

本不等式可得2124mnmn+=，当且仅当12mn==时，等号成立，因此，mn的取值范围是1,4−.故选：D.3．已知(1,0),(0,2)AB−，直线:2230lxaya−++

=上存在点P，满足||||5PAPB+=，则l的倾斜角的取值范围是（）A．2,33B．20,,33UC．3,44D．30,,44【答案】D【解析】将(1,0)A−代入2230xaya−

++=得1a=−，将(0,2)B代入2230xaya−++=得1a=，所以A，B不在直线l上，又5,AB=||||5PAPB+=上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：22,1,0yxx=+−，由22223010yxx

ayax=+−++=−，解得()23232321222143xxxayxx+++===−+−+，直线方程2230xaya−++=，即为132ayxaa+=+，9设直线l的倾斜角为，则1433tan22323xaxx+===−++，因为10

x−≤≤，所以1233x+，则31323x+，所以312123x−−+，即ta11n−，因为(0,)，所以3(0,][,)44，故选：D4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五

星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO，2OO，3OO，4OO分别是大星中心点与四颗小星

中心点的联结线，16o，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】3,OOQ都为五角星的中心点，3OO平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36o，可知318BAO=o，过3O作x轴平行线3OE，则3

16OOE=，所以直线AB的倾斜角为18162−=ooo，10故选：C5．已知圆C：222210xyxy+−−+=，直线l：40xy+−=，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则ACB最小时，原点O到直线AB的距离为（）A．322B．2

C．22D．22【答案】A【解析】由222210xyxy+−−+=得22(1)(1)1xy−+−=，所以圆心(1,1)C，半径1r=，在RtCAMV中，cosACACMMC=1MC=，当ACB最小时，ACM最小，cosACM最大，MC最小，此时MCl⊥，MC的最

小值为圆心C到直线l的距离：|114|211+−=+，此时12cos22ACM==，4ACM=，因为MCAB⊥，所以//ABl，所以圆心C到直线AB的距离为22，所以两平行直线l与AB之间的距离为22222−=，因为原点O到直线l的距离为|004|2211+−=+，所以原点O到直线A

B的距离为2322222−=.故选：A6．直线10axy+−=被圆2228130+−−+=xyxy所截得的弦长为23，则a=（）11A．43−B．34−C．3D．2【答案】A【解析】2228130+−−+=xyxy，即()()22144−+−=xy，该圆圆

心为()1,4，半径为2r=直线10axy+−=截圆所得的弦长为23，则圆心()1,4到直线10axy+−=的距离为()2231dr=−=24111aa+−=+，解得43a=−故选：A7．已知点(2,3)A，(3,2)

B−−与直线:10lkxyk−−+=，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．2k或34kB．34k或14k−C．344k−D．324k【答案】A【解析】解：已知点(

2,3)A，(3,2)B−−与直线:10lkxyk−−+=，且直线l与线段AB相交，直线:10lkxyk−−+=，即直线:(1)10lkxy−−+=，它经过定点(1,1)M，MA的斜率为31221−=−，MB的斜率为213314−−=−−，则直线l的斜率k的取值

范围为2k或34k，故选：A.8．已知直线l与单位圆O相交于()11,Axy，()22,Bxy两点，且圆心O到l的距离为32，则11xy++22xy+的取值范围是（）12A．6,62B．3,6C．6,32D．2,3

【答案】A【解析】圆的方程为221xy+=，圆心到直线33yx=+的距离为32，交于()11,Axy与()22,Bxy，由33yx=+与221xy+=联立得1110xy=−=或221232xy=−=，则11223122xyxy+=+++，排除BD；圆心到直线62

yx=−+的距离为32，交于()11,Axy和()22,Bxy设62yx=−+与221xy+=联立得11624624xy+=−=或22624624xy−=+=则11xy++2263xy+=，排除D，故选：A.二、选择题

：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知圆222:210Cxaxya−++−=与圆22:4Dxy+=有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（）A．3−B．3C．2D．2−【答

案】CD【解析】圆C方程可化为：()221xay−+=，则圆心(),0Ca，半径11r=；由圆D方程知：圆心()0,0D，半径22r=；圆C与圆D有且仅有两条公切线，两圆相交，又两圆圆心距da=，2121

a−+，即13a，解得：31a−−或13a，可知CD中的a的取值满足题意.13故选：CD.10．一条斜率不为0的直线:0laxbyc++=，令(,)fxyaxbyc=++，则直线l的方程可表示为0(),fxy=.现光线沿直线l射到x轴上

的点(,0)Ap，反射后射到y轴上的点(0,)Bq，再经反射后沿直线(,)0gxy=射出.若0(),fxy=和(,)0gxy=中x和y的系数相同，则下列结论正确的是（）A．(,1)(1,)0?qfppgq+=B．2(,)2(,)(,)(,)fpygxqfxygxy+=+C．2224()[(1

,1)(1,1)]pqfg+=+D．(,)(,)(,)(,)fxygxyfpqgpq−+【答案】AB【解析】由题意知0(),fxy=的图象过点(0,)q−和(,0)p，所以直线:()qlyxpp=−，(,

)fxyqx=−0pypq−=，又0(),fxy=和(,)0gxy=中x和y的系数相同，且(,)0gxy=的图象过(0,)q，所以(,)0gxyqxpypq=−+=.对于A，(,1)(1,)(1)(1)0qfppgqqqpppqpqpqpq+=−−+−+=，所以A正确；

对于B，2(,)2(,)2()2()22fpygxqpqpypqqxpqpqpyqx+=−−+−+=−+，(,)(,)=fxygxy+=22qxpypqqxpypqqxpy−−+−+−，所以2(,)2(,

)(,)(,)fpygxqfxygxy+=+，选项B正确；对于C，22222[(1,1)(1,1)][()()]4()4()fgqppqqppqqppq+=−−+−+=−+，所以C错误；对于D，|(,)(,)

||2|fxygxypq−=−，|(,)(,)|0fpqgpq+=，所以D错误.故选AB.11．设a，b为正数，若直线10axby−+=被圆224210xyxy++−+=截得弦长为4，则（）A．1ab+=B．21ab+=C．18abD．29abab+【答案】

BCD【解析】由224210xyxy++−+=可得22(2)(1)4xy++−=，故圆的直径是4，14所以直线过圆心()2,1−，即21ab+=，故B正确；又a，b均为正数，所以由均值不等式121228ababab+=，当且仅当11,42ab==时等号成立；故C正确；又2212abab

abababba+=+=+()1222214ababbaba=++=+++22529abba+=，当且仅当22abba=，即ab=，即13ab==时，等号成立，故D正确.故选：BCD12．下列说法正确的是（）A．直线32()yaxaaR=−+必过定点(3,2)B．直线32y

x=−在y轴上的截距为2−C．直线310xy++=的倾斜角为60°D．过点(1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为20xy+=【答案】ABD【解析】32()yaxaaR=−+可化为()23yax−=−，则

直线32()yaxaaR=−+必过定点(3,2)，故A正确；令0x=，则2y=−，即直线32yx=−在y轴上的截距为2−，故B正确；310xy++=可化为31yx=−−，则该直线的斜率为3−，即倾斜角为120，故C错误；设过

点(1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线的斜率为k因为直线230xy−+=的斜率为12，所以112k=−，解得2k=−则过点(1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线的方程为22(1)yx−=−+，即20xy+=，故D正确；故选：AB

D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设点P是直线3470xy−+=上的动点，过点P引圆()()22210xyrr−+=的切线,PAPB（切点为,AB），若APB的最大值为3，则该圆的

半径r等于____．【答案】1【解析】15设圆的圆心为(1,0)C，因为点P是直线3470xy−+=上的动点，所以当点P到点C的距离最小时，APB取得最大值，此时CP与直线3470xy−+=垂直，因为APB为3，所以6APC=，点C到直线的距离为22307234d−+==+

，在RtAPC中，112rACd===，故答案为：114．已知函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，则常数k的取值范围是___________.【答案】303k【解析】由函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点，可知

21yx=−与()2ykx=−−的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当21yx=−与()2ykx=−−的图象相切时，2211kk=+，即33k=，由图可知0k−，故相切时33k=，因此结合图象可知，当303k时，21yx=−与()

2ykx=−−的图象有两个不同的交点，即当303k时，函数()()212fxxkx=−+−有两个不同的零点.故答案为：303k.1615．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:2lykx=+与圆()22:19Cxy−+=交于A、B两点，过点A、B分别作圆C的两条切线1l

与2l，直线1l与2l交于点P，则线段PC长度的最小值是___________.【答案】955【解析】圆()22:19Cxy−+=的圆心坐标为()1,0C，半径为3．直线:2lykx=+过定点()0,

2G，连接BC、AC，如图，BC为圆的半径是定值，cosBCPCPCB=，要使PC最小，则cosPCB最大，即PCB∠最小，也就是AB最小，此时ABCG⊥，()1,0C，()0,2G，5CG=．求得5cos3PCB

=，线段PC长度的最小值是395553=．故答案为：955．16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角

坐标系xOy中，设军营所在平面区域为229{(,)|}4xyxy+，河岸线所在直线方程为3100xy+−=.假定将军从点(2,1)P处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.17【答案】72【解析】设点(2,1)P关于

直线3100xy+−=的对称点(,)Pab，13221310022baab−=−+++−=解得34ab==，所以(3,4)P，将军从P出发到达直线上点A再到营区，PAPA=，所以本题问题转化为求点(3,4)P到营区的最短距离，根据圆

的几何性质可得最短距离为3375222PO−=−=.故答案为：72四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆

M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.【答案】（1）()()22114xy−+−=；（2）25.【解析】解：（1）设圆M的方程为：()()()2220xaybrr−+−=，根据题意得2222

22(1)(1)1(1)(1)1202abraabrbabr−+−−==−−+−==+−==，故所求圆M的方程为：()()22114xy−+−=；（2）如图，18四边形PAMB的面积为PAMPBMSSS=+，即()12SAM

PABMPB=+又2,AMBMPAPB===，所以2SPA=，而24PAPM=−，即22||4SPM=−.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，PM的最小值即为点M到直线3480xy++=的距离所以min22348334PM++==+，四边

形PAMB面积的最小值为22||425PM−=.18．点E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，点M在边AB上，且3ABAM=，沿图1中的虚线DE，EF，FD将,,ADEBEFCDF，折起使A，B，C三点重合，重合后的点记为点P，如图2.（1）证明：PFDM⊥；（2）若正方形ABCD的

边长为6，求点M到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）因为ABCD是正方形，19所以折起后有PDPF⊥，PEPF⊥.又,PDPE交于点P，所以PF⊥平面PDE.又DM平面PDE，所以PFDM⊥.（2）设点P到平面DEF的距离为h，因为

AB=3AM，所以PE=3ME，所以点M到平面DEF的距离为3h.又,,PDPEPF两两垂直，所以PD⊥平面PEF.因为92PEFS=△，6PD=，所以196932DPEFV−==.而927369922DEFABCDBEFCDECDFSSSSS=−−−=−−−=，

所以11279332PDEFDEFDPEFVShhV−−====，解得2h=，所以点M到平面DEF的距离为233h=.19．已知点P在抛物线2:4Cyx=上，过点P作圆222:(3)Mxyr−+=(02r)的两条切线，与抛物线C分

别交于A､B两点，切线PA､PB与圆M分别相切于点E､F.（1）若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为(1,2)，且2r=时，求PEPF的值；（3）若点P的坐标为(1,2)，设线段AB中点的纵坐标为t，求t

的取值范围.【答案】（1）(2,22)或(2,22)−；（2）3；（3）[10,6)−−.【解析】（1）设点P的坐标为(,)xy，则2224(3)1yxxyx=−+=+，解得222xy==或222xy==−，20即点P的坐标为(2,22)或(

2,22)−；（2）当点P的坐标为(1,2)，且2r=时，22||(13)222PM=−+=，在直角三角形PME中，||826PE=−=，且30MPE=，同理，||6PF=，且30MPF=，从而6||||co6cos603sPEPFPEPFEPF===；（3）由题意知切线PA

､PB的斜率均存在且不为零，设切线方程为2(1)ykx−=−，由2|22|1krk+=+，得222(4)840rkkr−++−=，记切线PA､PB的斜率分别为1k､2k，则12212841kkrkk+=−=，由于切线PA､PB的方程分别为12(1)ykx−=−､22(1)ykx

−=−，联立2142(1)yxykx=−=−，消去x，得2114840kyyk−+−=，设11(,)Axy､22(,)Bxy，则1142yk+=，故1142yk=−，同理，2242yk=−，于是1212212122()221

622224yykktkkkkr++==+−=−=−−，因为02r，所以22211102,442,244rrr−−−−−−，22161684,102644rr−−−−−−−.所以2)1064,2[16r−−−−.即

t的取值范围是[10,6)−−.20．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不

少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43.21（1）求新桥BC的长;（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【答案】(1)150m(2)|OM|=10m【解析】试题分析：本题是应用题，我们

可用解析法来解决，为此以O为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）C点坐标为(170,0)，(0,60)A，因此要求BC的长，就要求得B点坐标，已知4tan3=BCO说明直线BC斜率为43−，这样直线BC方程可立即写出，又ABBC⊥，故AB斜

率也能得出，这样AB方程已知，两条直线的交点B的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段OA上哪个点到直线BC的距离最大，为此设OMt=，由(0,)Mt，圆半径r是圆心M到直线BC的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端O

和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，列出不等式组，可求得t的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以,OCOA为,xy轴建立直角坐标系，则(170,0)C，(0,60)A，由题意43BCk=−，直线BC方程为4(170)3=−−yx．又134AB

BCkk=−=，故直线AB方程为3604yx=+，由4(170)3{3604yxyx=−−=+，解得80{120xy==，即(80,120)B，所以22(80170)120150BC=−+=()m；22

（2）设OMt=，即(0,)Mt(060)t，由（1）直线BC的一般方程为436800+−=xy，圆M的半径为36805tr−=，由题意要求80,{(60)80,rtrt−−−，由于060t，因此36805tr

−=6803313655tt−==−，∴313680,5{3136(60)80,5tttt−−−−−∴1035t，所以当10t=时，r取得最大值130m，此时圆面积最大．21．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB．点P是圆O上异

于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【答案】（1）22(4)12

xy−+=；（2）证明见解析【解析】建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为224xy+=，直线L的方程为4x=．（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为(1,3)，∴3:(2)3APlyx=+，:3(2)BPlyx=−−．将x=4代入，得(4,23),(4,23)MN−23．∴MN的中点坐标为（

4，0），MN=43．∴以MN为直径的圆的方程为22(4)12xy−+=．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12xy−+=．（2）设点P的坐标为00(,)xy，∴22004xy+=（00y），∴22004yx=−．∵0000:(2)

,:(2)22PAPByylyxlyxxx=+=−+−，将x=4代入，得0062Myyx=+，0022Nyyx=−．∴000062(4,),(4,)22yyMNxx+−，MN=000000446222xyyxxy−−=+−．MN的中点坐标为．以MN为直径的圆/O截x轴的线段长度为2220

00220004(4)16(1)42123xxxyyy−−−=−200004343443xyyy=−==为定值．∴⊙/O必过⊙O内定点(423,0)−．22．已知圆22:270Cxyx++−=内一点(1,2)P

−，直线l过点P且与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的圆心坐标和面积；（2）若直线l的斜率为3，求弦AB的长；（3）若圆上恰有三点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．【答案】(1)见解析;(2)27;(3)30xy−+

=，或10xy+−=．【解析】（1）圆C的圆心坐标为()1,0−，半径22r=，面积为8S=；（2）直线l的方程为()231yx−=+，即3230xy−++=，圆心到直线的距离为()2323131d−++==+，()2222222127ABrd=−=−=；（3）因圆上恰有三点到直线l的距离等于

2，转化为则圆心()1,0−到直线AB的距离为22r=，24当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；设直线l的方程为()21ykx−=+，即20kxyk−++=，由2222211kkdkk−++===++，解得1k=，故直线l的方程为30xy−+=，或10xy+−=