【文档说明】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，2.749 MB，由envi的店铺上传

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数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡

一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章、选择性必修第一册第一章占50%，选择性必修第一册第二章第1节至第5节占50%.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l经过点()1,Aa，()1,Bb，ab，则l的倾斜角为（）A.π4B.π2C.0D.3π4【答案】B【解析】【分析】利用倾斜角的定义求解即可.【详解】直线l经过点()1,Aa，()1,Bb，故直线

l的方程为：1x=，倾斜角为π2.故选：B2.关于空间向量,,abc，下列运算错误的是（）A.abba=B.()abcacbc+=+C.()()abab=D.()()abcabc=【答案】D【解析】【分析】根据空间向量数量积的

运算律判断即可.【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：abba=，()abcacbc+=+，()()abab=均成立，即A、B、C正确；()abc为与c共线的向量，()abc为与a共线的向量，所以()abc与()abc不一定相等，故D错误．故选：D

3.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，且过点()0,2，则C的方程为（）A.22142xy+=B.22124xy+=C.22148xy+=D.2212yx+=【答案】A【解析】【分析】利用椭圆中,,abc的关系求解即可.【详解】

由题意可得2222,22,,cababc===+解得2a=，所以椭圆C的方程为22142xy+=.故选：A4.已知()0,1,2=ra，()1,1,1b=−，()1,0,cm=−，若a，b，c共面，则m=（）A.0B.1C.2D.－1【

答案】D【解析】【分析】由空间向量共面的基本定理求解即可；【详解】因为,,abc共面，所以cxayb=+，即(1,0,)(0,1,2)(1,1,1)(,mxyyx−=+−=−+,2)yxy+，则1,0,2,yxyxym−=−+=+

=解得1,1,1xym=−==−.故选：D.5.已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（）A.2πB.3πC.8π3D.83π9【答案】D【解析】【分析】利用圆锥的体积和侧面积公式

求解即可.【详解】设圆柱和圆锥高为h，则圆锥的母线长为：222h+，由圆锥与圆柱侧面积相等得：222π2π4hh=+，解得233h=，故圆锥的体积：212383π2π339V==.故选：D6.如图，正二十面体是由20个

等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为155512+，则该正二十面体的内切球的半径为（）A.354+B.354+C.3315

12+D.3512+【答案】C【解析】的【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，再由棱锥的体积公式计算即可；【详解】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球

、内棱切球都存在，并且三球球心重合，所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为r所以2132501314551r创创+=，解得331512r+=，故选：C.7.如图，

在四棱台1111ABCDABCD−中，底面ABCD是菱形，1AA⊥平面ABCD，111112AAABAB===，π3ABC=，则点B到直线1AD的距离为（）A.2B.26C.2155D.2305【答案】D【解析】【分析】建立合适空间直角坐标系，

然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果.【详解】以A为原点，分别以AB，过A垂直于CD，1AA方向为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，因为1111π1,23AAABABABC====且

四边形ABCD是菱形，所以()()12,0,0,0,0,1BA，且ππ2sin,2cos,066D−，即()1,3,0D−，所以()()111,3,1,2,0,1ADAB=−−=−，设点B到直线

1AD的距离为d，所以22211111230555ABADdABAD−=−=−=，故选：D.8.已知()20A，，()100B，，若直线420txy−+=上存在点P，使得0PAPB=，则t的取值范围为（）A.

2135−，B.21,35−C.)2135−−+，，D.(975−−+，，【答案】B【解析】【分析】设(),Pxy，根据0PAPB=，得出P的轨迹方程，再结合条件P为

直线AB上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】设(),Pxy，则()2PAxy=−−，，()10PBxy=−−，，因为0PAPB=，所以()()2210()0xxy−−+−=，即22(6)16xy−+=，

所以点P在以()60，为圆心，4为半径的圆上.点P在直线420txy−+=上，所以直线420txy−+=与圆22(6)16xy−+=有公共点，则262416tt++，解得213.5t−故选:B.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正四面体ABCD的棱长为6，下列结论正确的是（）A.该正四面体的高为26B.该正四面体的高为6C.该正四面体两条高的夹角的

余弦值为33D.该正四面体两条高的夹角的余弦值为13【答案】AD【解析】【分析】根据顶点在底面的射影为底面三角形的重心计算出正四面体的高；通过余弦定理计算出cosMPN，结合,MPNMQN的关系即可求解出两条高夹角的余弦值.【详解】取CD中点P，连接,APBP，过A作AM垂

直于BP交BP于点M，过B作BN垂直于AP交AP于点N，如图所示，由正四面体的结构特点可知，,AMBN为正四面体的高，记AMBNQ=，因为A在底面的射影为BCD△的重心，所以22π6sin23333BMBP===，所

以22361226AMABBM=−=−=，故A正确，B错误；因为2πQMPQNPMPNMQN+++=，π2QMPQNP==，所以πMPNMQN+=，因为()()222223333361coscos2323333BPAPABMPNBPABPAP+−+−====

，所以1coscos3MQNMPN=−=−，又因为,AMBN的夹角为AQN，且πMQNAQN+=，所以1coscos3AQNMQN=−=，所以,AMBN夹角的余弦值为13，故C错误，D正确；故选：AD.10.圆221:40Oxyy+−=和圆222:644

0Oxyxy+−−+=的交点为A，B，点M在圆1O上，点N在圆2O上，则（）A.直线AB的方程为23x=B.线段AB的中垂线方程为2y=C.253AB=D.点M与点N之间的距离的最大值为8【答案】ABD【解析】【分析】将两圆的方程

作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段AB的中垂线经过1O和2O的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D正确；【详解】对于A，将两圆方程作差，可得23x

=，即直线AB的方程为23x=，A正确.对于B，圆()221:24Oxy+−=，圆()()222:329Oxy−+−=，圆1O的圆心为()10,2O，半径12r=，圆2O的圆心为()23,2O，23r=，线段AB的中垂线经过1O和2O的圆心，故线段

AB的中垂线方程为2y=，故B正确.对于C，圆1O的圆心1O到直线23x=的距离为23，故222822233AB=−=，C错误.对于D，点M与点N之间的距离的最大值为12128rrOO++=，

D正确.故选：ABD.11.若E平面，F平面，⊥EF平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为().FtE=的如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，2BCAD=，ADAB⊥，,PN分别为1AA，1CC

的中点，13DQQD=，16.ABBCAA===记平面1ABC为，平面ABCD为，1(01)AHAA=，()()12..aaKttHKttH==（）A.若111122ANAQAPAB=−+，则1=B.存

在点H，使得1//HK平面C.线段1HK长度的最小值是655D.存在点H，使得12HKHK⊥【答案】ABC【解析】【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出1K，2K，可得2AK是平面的一个法向量，结合1//HK平面，则120HKAK=，

依此求出H的位置；对于选项C，表示出1HK，求解其最小值即可；对于D，依据12HKHK⊥，则120HKHK=，从而可判定H的存在性.【详解】对于A：因为1111ABCDABCD−为直四棱柱，ADAB⊥，所以以A为坐标原点，AD，AB，1AA所在直线分别为x，y，z

轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，.BN则()1006A，，，9302Q，，，()060B，，，()663N，，，()003P，，，故3302PQ=，，，()603BN=，，，所以2BNPQ=，即Q，B，N，P四点共

面，若111122ANAQAPAB=−+，则221−+=，解得1=，A正确；对于B：过点H作1HGAB⊥，交1AB于点G，过点G作AB的垂线，垂足即1K，过点A作1AB的垂线，垂足即2K，连接1HK，2HK，由题意可得6(01)AH=，则()006H，，，()03333G

−+，，，()10330K−，，，()2033K，，，故()2033AK=，，，()10336HK=−−，，，()20336HK=−，，，()1066AB=−，，，易得2AK是平面的一个法向量，若1//HK平面，则120HKAK

=，即()()333360−+−=，解得()1013=，，符合题意，所以存在点H，使得1//HK平面，B正确，对于C：2222114(33)(6)352135()55HK=−+−=−+=−+，当15=时，1HK取得最小值，最小值为655，C正确.对于

D：若12HKHK⊥，则()()123336360HKHK=−−−=，得24310−+=，无解，所以不存在点H，使得12HKHK⊥，D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：根据题意可知12,KK在平面11ABBA上

，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线1:330lxy−−+=与()2:210lxay−++=互相垂直，则a=________.【答案】1【解析】【分析】根据两直线垂直的斜率关系表示计算可得结

果.【详解】易知直线1l的斜率13k=−，则直线2l的斜率21123ka==+，解得1a=.故答案为：113.如图，在棱长为2正方体1111ABCDABCD−中，F是1CD的中点，则AFAC=__________.【答案】6【解析】【分析】()112A

FADAC=+，1ACD为等边三角形，利用向量数量积的定义求AFAC即可.【详解】棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，连接1AD，则1ACD△是边长为22的等边三角形，.()22111111π12222cos(22)6222232AFACADACACADACAC=+=+=

+=.故选：614.已知圆22:9Oxy+=，椭圆22:152xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆O交于点M，N，若124PFPF=，则PMPN=________

.【答案】6的【解析】【分析】利用122PFPFa+=求出||OP，然后将PMPN转化为22||||OMOP−求解即可.【详解】设00(,)Pxy，由于222121212224PFPFaPFPFPFPFa+=++=，而124PFPF=，则()()22222000084

xcyxcya+++−++=，所以2222002410343xyac+=−−=−−=，()222200||||(||||)(||||)||||96PMPNOMOPONOPOMOPxy=−+=−=−+=．故答案为：6四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.15.已知在ABCV中，()2,1A，()2,3B，()6,1C，记ABCV的外接圆为圆M.（1）求圆M的标准方程；（2）求过点A且与圆M相切的直线的方程.【答案】（1）22(4)(2)5xy−+−=（2）250xy+−=【解析】【分析】（1）方法一，求

两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程；方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.（2）先求圆心与A点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程.【小问1详解】（方法一）直线AB的方程为2x=，A、B的中点为(

)2,2，所以线段AB的中垂线方程为2y=，直线AC的方程为1y=，A、C的中点为()4,1，线段AC的中垂线方程为4x=.直线2y=与直线4x=的交点为()4,2，即圆M的圆心为()4,2.点()4,2与点()2,1A的距离为()()2242215−+−=，即圆M的半径为5，所以圆M的标准方

程为22(4)(2)5xy−+−=.（方法二）设圆M的标准方程为()()222xaybr−+−=，则222222222(2)(1)(2)(3)(6)(1)abrabrabr−+−=−+−=−+

−=，222222222425461312237aabbraabbraabbr−+−+=−+−+=−+−+=解得2425abr===故圆M的标准方程为22(4)(2)5xy−+−=【小问2详解】圆M的圆心

为()4,2M，()2,1A，直线AM的斜率为1211422k−==−，所以切线斜率为2112kk=−=−，所求切线方程为()122yx−=−−，整理得250xy+−=.16.如图，长方体1111ABCDABC

D−的底面ABCD是正方形，,,EFG分别为11,,CCABCD的中点，12AAAB=.（1）证明：EF∥平面1AGD.（2）求二面角1GADD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）42121【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（1）

由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设122AAAB==，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(0,0,0),(1,0,2),1,,0,(1,0,2),1,,022ADGADAG==，设平面1

AGD的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则10,0,nADnAG==即20,10,2xzxy+=+=令2x=，则()2,4,1n=−−证明：()111,1,1,0,,1,1,,022EFEF=−−

.因为()()11240102EFn=−−−+−=，所以EFn⊥，EF平面𝐴𝐶𝐷1，所以EF∥平面1AGD.【小问2详解】易知AB为平面1ADD的一个法向量，且()0,1,0AB=.421cos,21ABnAB

nABn==−..易得二面角1GADD−−为锐角，所以二面角1GADD−−的余弦值为42121.17.在圆228xy+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD的中点M的轨迹为

C.（1）求C的方程.（2）已知点E在C上，且位于第一象限，点()122,0A−，()222,0A，设直线1EA，2EA的斜率分别为1k，2k，试问12kk是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22182xy+=（2）是定值，1214

kk=−【解析】【分析】（1）设𝑃(𝑥1,𝑦1)，结合已知由中点坐标公式得到10xx=，102yy=，再代入圆方程即可求出；（2）设()22,Exy，由斜率定义表示出两直线的斜率，得到2122228yxkk=-，然后结合点E在椭

圆上满足222284xy-=-，代入化简即可；【小问1详解】设𝑃(𝑥1,𝑦1)，由过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足可得()1,0Dx，设线段PD的中点()00,Mxy，由中点坐标公式可得10x

x=，102yy=，又点P在圆上，所以()220028xy+=，即2200182xy+=，所以C的方程为22182xy+=.【小问2详解】是定值，设()22,Exy，则221222,2222yykkxx==+-，所以222222122282222ky

yyxxkx=?-+-，因为点E在椭圆上，所以2222182xy+=，即222284xy-=-，所以222212184yxkk==--，18.如图，在三棱锥PABC−中，PAB为等边三角形，ABCV为等腰直角三角形，2,

PAACBC=⊥，平面PAB⊥平面ABC.（1）证明：ABPC⊥.（2）点D在线段PC上，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）437【解析】【分析】（1）由线面垂直

的判定定理可证AB⊥平面POC，再由其性质定理即可证明；（2）根据题意，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：取AB的中点O，连接,OPOC.因

为PAB为等边三角形，所以OPAB⊥.因为ABCV为等腰直角三角形，且ACBC⊥，所以OCAB⊥.因为OP平面,POCOC平面,POCOPOCO=，所以AB⊥平面POC，所以ABPC⊥.【小问2详解】因

为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面,ABCABOP=平面,PABOPAB⊥，所以OP⊥平面ABC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(0,0,3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,3)ACPB

CBCP−=−=−，设()01CDCP=，则()()1,1,01,0,3ADACCD=+=+−()1,1,3=−.设平面PBC法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则0,0,CBnCPn==即0,30,xyxz−+=−+=令3z=，

则3,3xy==，所以()3,3,3n=.设直线AD与平面PBC所成的角为，的则222233336sincos,21(1)1321(1)13ADn−++===−++−++26643771721214444==−+，当且仅当

14=时，等号成立.故直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为437.19.古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点A

，B的距离之比PAPB为定值()1的点P的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点T到两个定点()30A−,，()0,0O的距离之比TATO为定值2，则点T的轨迹就是阿氏圆，记为C.（1）求C的

方程；（2）若C与x轴分别交于E，F两点，不在x轴上的点H是直线:4lx=上的动点，直线HE，HF与C的另一个交点分别为M，N，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22(1)4xy−+=.（2）证明见解析，定

点坐标为7,03.【解析】【分析】（1）设(,)Txy，用坐标表示已知条件化简后可得；（2）不妨设(1,0),(3,0)EF−.设(4,)(0)Htt，设()()1122,,,MxyNx

y，由直线与圆相交求得,MN的坐标（用t表示），求出直线MN方程，观察方程得定点．【小问1详解】设(,)Txy，根据||2||TATO=，得()2222(3)4xyxy++=+，即22(1)4xy−+=，所以C的方程为22(1)4

xy−+=.【小问2详解】根据圆的对称性，不妨设(1,0),(3,0)EF−.设(4,)(0)Htt，则,5HEHFtkkt==，所以直线HE的方程为(1)5tyx=+，直线HF的方程为(3)ytx=−.设()()1122,

,,MxyNxy.联立方程22(1),5(1)4,tyxxy=+−+=得()()222225250750txtxt++−+−=，所以2127525txt−−=+，即2127525txt−=+，则122025tyt=+，所以2227520,2525ttMtt−++

.联立方程22(3),(1)4,ytxxy=−−+=得()()2222162930txtxt+−++−=，所以2229331txt−=+，即222311txt−=+，则2241tyt−=+，所以222314,11ttNtt−−++.当5t时，222

2222204625175315251MNtttttkttttt−−++==−−−−++，所以直线MN的方程为22222067525525tttyxttt−−=−+−+，化简得22(37)5tyxt=−−

，所以直线MN过定点7,03;当5t=时，1273xx==，此时直线MN过定点7,03.综上，直线MN过定点7,03.【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用

参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为1122(,),(,)xyxy，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得1212,xxxx+或者直线解出1122(,),(,)xyxy，写出两交点所在直线

方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标．