【文档说明】江西省吉安市2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.682 MB，由小赞的店铺上传

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江西省吉安市2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填写在答题卡上.3．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章占30%，第二章占3

0%，第三章占40%.第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线320xy+−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案.【

详解】设直线倾斜角为，)0,，320xy+−=，则3tan3=−，故150=.故选：D.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.已知向量()()2,1,3,2,2,1ab=−=−，则向量a在向量b上的投影向量c=（）A.221,,333−−

B.()2,1,3−−C.21,,133−−D.()2,2,1−−【答案】A【解析】【分析】投影向量结合数量积公式转化即可.【详解】由题意可得4233ab=−−+=−，3b=所以1221cos,,,3333babbcaabbbbb===−=−−.故选：A

3.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且2BEEC=，则EF=（）A.1126APABAD−−B.1126APABAD−++C.1126APABAD−+D.11

26APABAD−+−【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，数形结合表示即可.【详解】由题意，因为F是棱PD的中点，所以1122AFAPAD=+.因为2BEEC=，所以23BEAD=，所以23AEABAD=+，则1126EFAFAEAPABAD=−=−−.故选：A4.已

知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点()03,Ay在抛物线C上，O为坐标原点，若6AF=，则OA=（）A.3B.35C.6D.65【答案】B【解析】【分析】根据焦半径公式求出p，从而可求得0y，再根

据两点间的距离公式即可得解.【详解】解：由题意可得362pAF=+=，解得6p=，则2026336y==，故93635OA=+=.故选：B.5.已知(),Pmn是圆22:86230Cxyxy+−−+=上的一点，则22(1)mn−+的最小值是（）A.322−B.3

2C.322+D.22【答案】D【解析】【分析】由题可得即求点(),Pmn到点()1,0的距离的最小值，求出点()1,0到圆心的距离即可得出.【详解】22(1)mn−+表示圆上的点(),Pmn到点()1,0的距

离，由2286230xyxy+−−+=可化为()()22432xy−+−=，则圆心为()4,3，半径为2，点()1,0到圆心的距离为()()22140332−+−=，所以点(),Pmn到点()1,0的距离的最小值为322

22−=，即22(1)mn−+的最小值是22.故答案为：22.6.已知抛物线2:6Cyx=，过点()1,1P的直线l与抛物线C交于,AB两点.若PAPB=，则直线l的斜率是（）A.3B.3−C.13D.13−【答案】A【解析】【分析】抛物线的中点弦

,运用点差法即可解决..【详解】设()()1122,,,AxyBxy，所以21122266yxyx==整理得()2212126yyxx−=−.因PAPB=，所以P是线段AB的中点，所以122yy+=，所以()()121226yyxx−=−，即12123yyxx−=−，所以直线l的

斜率是3.故选：A.7.已知圆22:(3)(3)4Cxy−+−=，一条光线从点()1,3A−处射到直线:0lxy+=上，经直线l反射后，反射光线与圆C有公共点，则反射光线斜率的取值范围是（）A.(3,0,4−+

B.30,4C.(4,0,3−+D.40,3【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到点()1,3A−关于直线l的对称点为()3,1A−，从而设出反射光线直线():13lykx−=+，再跟直线与圆的位置关系求解即可.【详解

】设点()1,3A−关于直线l的对称点为(),Aab，则3131113022baabab−==−+=−++=，即()3,1A−.因为则反射光线所在直线l经过点A，设直线():13lykx−=+

，即310kxyk−++=.由题意可得圆C的圆心坐标为()3,3C，半径2r=，则圆心C到直线l的距离2333121kkdk−++=+，解得304k.故选：B为8.在三棱锥−PABC中，2,90,25ABACB

ACPBPC=====，二面角PBCA−−的正切值为22,D−在棱PC所在的直线上，则点A到直线BD的距离的最小值是（）A.303B.43C.103D.169【答案】B【解析】【分析】作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接,,,OAOBOCPE，记OABCE=，则E为BC的中点，证明OBOC⊥

，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】解：如图，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接,,OAOBOC，记OABCE=，则E为BC的中点，因为二面角PBCA−−的正切值为22−，所以22OP

OE=，连接PE，则22222PEPBBEOEOP=−=+，故4,2OPOBOC===，且OBOC⊥，以O为坐标原点，分别以,,OBOCOP的方向为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,2,0,2,0,0,0,2,0,0,0,4ABCP

，故()()0,2,0,0,2,4BAPC==−，因为D在棱PC所在的直线上，设()0,2,4PDPC==−，所以()0,2,44D−+，所以()2,2,44BD=−−+，故点A到直线BD的距离2222244445825855BABDdBABD

=−=−=−−+−+，因为2258149955555−+=−+，当且仅当54=时，取等号，所以242044458935d=−−=−+，即点A到直线BD的距离的最小值是43.故选：B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知双曲线221113xymm+=−−的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值可能是（）A.1−B.2C.214D.12【答案】BD【解析】

【分析】分焦点在x轴，y轴两种情况讨论，求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，11,3ambm=−=−，则211323mm−=−，解得2m=；当双曲线的焦点在y轴上时，3,11ambm=−=−，则233211mm−=−，解得12m=.故选：BD10.已知向量()2,3

,3,2ab==，则下列结论正确的是（）A.若向量,ab同向，则331,,22b=B.若向量,ab反向，则331,,22b=−−−C.若2aba−=，则,260bab−=D.若

2aba−=，则,60ab=【答案】ABD【解析】【分析】向量同向和反向都是说的共线，就利用向量共线的定理分别求解即可；然后利用向量数量积的计算求解其角度即可.【详解】由题意可得4394a=++=.当,ab同向时，331,,22bbaa==，则A正确；当,ab

反向时，bbaa=−=（331,,22−−−），则B正确；由2aba−=，得22244aabba−+=，所以2abb=，即42cos,4ab=，解得,60ab=，则D正确；因为()22cos,2babbabbab−=−−，所以()2481cos,22422babbabba

b−−−===−−，所以,2120bab−=，则C错误.故选：ABD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E是棱11BC上的动点，F是线段1CD上的动点，则（）A.11AFBD⊥B.三棱锥1EABF−的体积是定值C.异面直线AF与1AB所成角的最小值是π3D.直线1AF

与平面11BCD所成角的正弦值的最小值是33【答案】BC【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.【详解】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设()101CFmCDm=，则()()

()()110,0,1,1,1,,1,0,1,0,1,0AFmmBD−，所以()()111,1,1,1,1,1AFmmBD=−−=−−，所以()()()()1111111110AFBDmm=−−++−−=，所以11,AFBD不垂直，故A错误；因为11ABCD∥，所以1ABF△的面积

为定值，因为11//BCBC，BC平面11ABCD，11BC平面11ABCD，所以11BC平面11ABCD，所以点E到平面11ABCD的距离为定值，即三棱锥1EABF−的高为定值，则三棱锥1EABF−的

体积为定值，故B正确.因为()()()()10,0,0,1,1,,0,0,1,1,0,0AFmmAB−,所以()()11,1,,1,0,1AFmmAB=−=−，设异面直线AF与1AB所成的角为，则112112coscos<

,444AFABmAFABAFABmm−===−+22244131444444mmmmmm−+==−−+−+.当m=0或1时，cos取得最大值为12，所以的最小值为π3，故C正确；因为()()()111,0,1,1,1,0,0,1,1BCD，所以()()110

,1,1,1,1,0BCBD=−=−，设平面11BCD的一个法向量为(),,nxyz=，则1100nBCnBD==，即00yzxy−=−+=，令1x=，可得()1,1,1n=，设直线1AF与平面11BCD所成的角为，则1121

1sincos<,2433AFnAFAFnmmn===−+，当0m=时，sin取得最小值为13，故D错误.故选：BC.12.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义

如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,AxyBxy的曼哈顿距离()1212,dABxxyy=−+−，则下列结论正确的是（）A.若点()()2,4,2,1PQ−，则(),7dPQ=B.若点()()1,

0,1,0MN−，则在x轴上存在点P，使得()(),,1dPMdPN+=C.若点()2,1M，点P在直线260xy−+=上，则(),dPM的最小值是3D.若点M在圆224xy+=上，点N在直线280xy−+

=上，则(),dMN的值可能是4【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据题意，代入公式，可得答案；对于B，设动点，代入定义式，根据绝对值的定义，分段去掉绝对值，整理函数，可得答案；对于C，由题意，作图

，根据绝对值的几何意义，结合几何性质，可得答案；对于D，取特殊值，计算可得答案.【详解】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知(),22417dPQ=++−=，则A正确；对于B选项，设(),0Px，则()(),,11dPMdPNxx+=++−=2,12,112,1xxxxx−−−

剟，从而()(),,2dPMdPN+…，故B错误；对于C选项，作MEx⊥轴，交直线260xy−+=于E，过P作PHME⊥，垂足为H.由曼哈顿距离的定义可知(),dPMPHMH=+.当P不与E重合时，因为直线260xy−+=的斜率为12

，所以PHEH，所以PHMHEHMHME++=；当P与E重合时，PHEH=.综上，PHEH…，则(),3dPMPHMHEHMHME=++==….故C正确.对于D选项，若()()0,2,2,4MN−，则(),4dMN=，故D正确.故

选：ACDII卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.写出一个与y轴相切，且圆心在x轴上圆的方程：___________.【答案】2240xyx+−=（答案不唯一）【解析】【分析】由题意，设出圆心，利用相切表示出半径，可

得答案.【详解】设圆心()(),00aa，则所求圆的方程为222()xaya−+=，即()22200xyaxa+−=.故答案为：2240xyx+−=（答案不唯一）的14.已知向量()()2,1,3,,2,1abm=−=，若()aba+⊥rrr，则m=_

__________.【答案】152−【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()2,1,4abm+=+，则()()221120abam+=+−+=，解得152m=−.故答案为：152−

.15.已知点D在平面ABC内，O为平面ABC外一点，且(0,0)ODxOAyOBzOCxyz=+++，则14xyz++的最小值是___________.【答案】9【解析】【分析】由题可得1xyz+

+=，再利用基本不等式即可求出.【详解】因为,,,ABCD共面，所以1xyz++=，又0,0xyz+，则()1414xyzxyzxyz+=+++++()()445259xyxyzzxyzxyz++

=+++=++，当且仅当()4xyzxyz+=+时，等号成立，所以14xyz++的最小值是9.故答案为：9.16.数学家Dandelin用来证明一个平面截圆柱得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）

.如图，在圆柱内放两个大小相同的小球12,OO，使得两球球面分别与圆柱侧面相切于以,BCDE为直径且平行于圆柱底面的圆1O和2O，两球球面与斜截面分别相切于点,FF，点P为斜截面边缘上的动点，则这个斜截面是椭圆.若图中球的半径为3，球心距离128OO=，则所得椭圆的离心率是______

_____.【答案】74##174【解析】【分析】过点P作平行于BD的直线，与圆12,OO分别交于,MN，连接,PFPF，根据切线关系求出a，即可求出离心率.【详解】如图，过点P作平行于BD的直线，与圆12,OO分别交于,MN，连接,PFPF.根据切线

关系可得1228,3PFPFPMPNMNOOab+====+==，则4,7ac==，故所得椭圆的离心率74cea==.故答案为：74.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．17.已知直线()()1:12130lmxmym−++−=，直线2l过点()1,1−−，且直线12ll//.（1）当1m=−时，求直线2l的方程；（2）若直线1l与2l之间距离是2，求m的值.【答案】（1）230xy++=（2）12m=−或

1m=【解析】【分析】（1）将1m=−代入1l，求出1l的方程，再利用待定系数法设出2l的方程，将点代入，即可求解.（2）首先根据题意，平行线之间的距离就是点()1,1−−到1l的距离，再利用点线距离公式即可求解.【小问1详解】当1m=−时，直线1:230lxy−−+=，即230xy+−

=.因为直线12ll∥，所以设直线2l的方程为()203xytt++=−.因为直线2l过点()1,1−−，所以()()2110t−+−+=，解得3t=，则直线2l的方程为230xy++=.【小问2详解】由题意可知1l与2l之间的距离即点()1,1−−到直线1l

的距离是2，所以2262(1)(21)mmm=−++，所以2210mm−−=，解得12m=−或1m=.18.如图，在三棱柱111ABCABC-中，D是棱11BC的中点，2AEED=，设1,,ABaACbA

Ac===.（1）试用向量,,abc表示向量BE；（2）若1113,60ABACAABACAABAAC======，求BE.的【答案】（1）212333BEabc=−++（2）5【解析】【分析】（1）连接11,ABAC，根据向量关系直接可表示出；（2）根据（1）中的结果平方即可求出.【小

问1详解】连接11,ABAC，则111111,ABABBBacACACAAbc=+=+=+=+.因为D是棱11BC的中点，所以()11111222ADABACabc=+=++.因为2AEED=，所以21123333AEADabc==++，则212

333BEAEABabc=−=−++.【小问2详解】由（1）可知212333BEabc=−++，则22222212414484333999999BEabcabcabacbc=−++=++−−+，因为1113,60ABACAABACA

ABAAC======，所以22299,2abcabacbc======，则24142425BE=++−−+=，故5BE=.19.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为3，双曲线C的左､右焦点分别为12,FF，点P在双曲线C的右支上，且1

24PFPF−=.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点()4,0D的直线l交双曲线C于,AB两点，且以AB为直径的圆过原点O，求弦长AB.【答案】（1）22148xy−=（2）85【解析】【分析】（1

）由双曲线定义得到2a=，结合离心率得到23c=，求出2228bca=−=，得到双曲线的标准方程；（2）先分析得到直线l的斜率不为0，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据AB为直径的圆过原点O，得到OAOB⊥，从而

列出方程，代入两根之和，两根之积，得到21m=，再由弦长公式求出答案.【小问1详解】由双曲线的定义可得1224PFPFa−==，解得：2a=.因为双曲线C的离心率为3，所以32cca==，解得23c=.因为222cab=+，所以22

28bca=−=.故双曲线C的标准方程为22148xy−=【小问2详解】当直线l的斜率为0时，此时,AB两点为双曲线的顶点，故以AB为直径的圆不过原点，不合题意，舍去；直线l的斜率不为0，则设直线()()1122:

4,,,,lxmyAxyBxy=+，联立224,1,48xmyxy=+−=整理得()222116240mymy−++=，则1212221624,2121myyyymm+=−=−−，故()()()212121212

44416xxmymymyymyy=++=+++.因为以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB⊥，所以12120,OAOBxxyy=+=所以()()2121214160myymyy++++=，即()2

222416141602121mmmmm++−+=−−，化简整理得2880m−=，即21m=，则()22121212416424410yyyyyy−=+−=−=，故2121241085ABmyy=+−==.【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程

，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以AB为直径的圆过原点O，所以OAOB⊥，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线AB的斜率存在和不存在两种情况.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面,,,,ABCDPAABADBCAD

ABE=⊥∥是棱PB的中点.（1）证明：⊥AE平面PBC.（2）若22ABBCAD===，点F在棱PC上，求平面ADF与平面PCD夹角的余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质定理，可得线线垂直，结合线面

垂直判定定理，利用等腰三角形的性质，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用夹角公式，结合不等式性质，可得答案.【小问1详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，所以PABC⊥.因为//ADBC，且ADAB⊥，所以BCAB⊥.因为,PAAB平面PAB，

且PAABA=，所以BC⊥平面PAB.因为AE平面PAB，所以BCAE⊥.因为,PAABE=是棱PB的中点，所以AEPB⊥.因为,PBBC平面PBC，且PBBCB=，所以⊥AE平面PBC.【小问2详解】以A为坐标原点，分别以,,ABADAP的方向为,,xyz轴的正方向建立如图所示的空间直角坐

标系.因为1AD=，所以()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,2ACDP，则()()0,1,0,2,2,2,(0,1,2)ADPCPD==−=−，因为点F在棱PC上，所以()2,2,2PFPC==−，则()2

,2,22F−+，故()2,2,22AF=−+.设平面ADF的法向量为()111,,mxyz=，则()1111022220mADymAFxyz===++−+=，令11x=−，得()1,0,m=−.设

平面PCD的法向量为()222,,xnyz=，则22222202220nPDyznPCxyz=−==+−=，令21x=，得()1,2,1n=−−.设平面ADF与平面PCD的夹角为，则22211coscos,(1)1

41111224mnmnmn====−+++−+.因为01剟，所以211114242−+剟，所以211312624−+剟，所以261363111224−+剟，即63cos63

剟，故平面ADF与平面PCD夹角的余弦值的最小值为66.21.已知圆22:9Oxy+=，过点()1,0P的直线l与圆O交于,AB两点.（1）若853AB=，求直线l的方程.（2）记点A关于x轴的对称点为C（异于点,AB），试问直线BC是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理

由.【答案】（1）2210xy+−=或2210xy−−=（2）是，定点()9,0【解析】【分析】（1）由题意，设出直线方程，利用圆的弦长公式，结合点到直线距离公式，建立方程，可得答案；（2）联立直线与圆的方程，写出韦达定理，由对称性，设出定点的坐标，利用共线斜

率相等，建立方程，代入韦达定理，可得答案.【小问1详解】由题意可知圆O的圆心坐标为()0,0O，半径3r=，且直线l的斜率不为0，设直线l的方程为()1,0,0xmyO=+到直线l的距离为d.因为853

AB=，所以222852293rdd−=−=，解得13d=.由点到直线的距离公式可得O到直线l的距离21131dm==+，则21131m=+，解得22m=.故直线l的方程为2210xy+−=或2210xy−−=.【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，则()

11,Cxy−联立2219xmyxy=++=，整理得()221280mymy++−=，则12122228,11myyyymm+=−=−++假设直线BC过定点，由对称性可知所过定点在x轴上，设该定点为(),0Dt.因为,,

BCD三点共线，所以211211yyyxxtx+=−−，所以()()21112211221121212121212219xxymyyyyxyxymyytxyyyyyyyy−+++=+===+=++++.故直线BC过定点()9,0.22.已知椭圆2222:1(0)xyCab

ab+=的左顶点为A，点()2,3B在椭圆C上，且39AB=.（1）求椭圆C的标准方程.（2）设过点()4,23M−的直线l与椭圆C交于,PQ（异于,AB两点）两点，直线,APAB，AQ分别与y轴交于,,GHI三点.证明：H是线段GI的中点.【答案】（1

）221164xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可得(),0Aa−，根据39AB=可求出a，再代入点B即可求出.（2）设出直线方程，与椭圆联立，得出韦达定理，通过表示出,,APABAQ的方程得出,,GHI的坐标，利用2GIHyy

y+=即可证明.【小问1详解】由题意可得(),0Aa−，则2(2)339ABa=++=，解得4a=...因为点()2,3B在椭圆C上，所以243116b+=，解得2b=.故椭圆C的标准方程为221164xy+=.【小问2详解】证明：显然直线l的斜率存在，设直线()()

()1122:234,,,,lykxPxyQxy−=+.联立224231164ykxkxy=+++=，整理得()()2222413216364643320kxkkxkk++++++=，则22121222321636464332,4141kkkkxxxxkk++++=−=++.由题意可知(

)4,0A−，则直线AP的方程为1144yxyx+=+，令0x=，得1144Gyyx=+，直线AQ的方程为2244yxyx+=+，令0x=，得2244Iyyx=+，直线AB的方程为463yx+=，令0x=，得233Hy=，故()()()1221121

21212124164444416GIxyxyyyyyyyxxxxxx++++=+=+++++.因为()1212284384341kyykxxkk++=+++=+，()()12211212232242341kxyxykxxkxxk−+=+++=+，所以222222128843164341

41236464332128643164141GIHkkkkyyykkkkkk−+++++===+++−+++.故H是线段GI的中点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com