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专练46双曲线授课提示：对应学生用书97页[基础强化]一、选择题1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为()A．x225－y216＝1B．y216－x

29＝1C．x29－y216＝1D．x216－y29＝1答案：D解析：由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为x216－y29＝1.2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，

F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为()A．19B．26C．43D．50答案：B解析：x2－y2＝9可化为x29－y29＝1，∴a＝3，由双曲线的定义知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，∴△F2P

Q的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C．2D．2答案：C解析：因为

双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.4．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2

)C．(1，2)D．(1，2)答案：C解析：∵c2＝a2＋1，∴e2＝c2a2＝a2＋1a2＝1＋1a2，又a2>1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e<2.5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分

别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．5答案：D解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将x＝－1代入y＝±bax，得y＝±ba，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|＝

4|OF|可得2ba＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝ca＝a2＋b2a2＝5.6．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，

B两点，则|AB|＝()A．55B．255C．355D．455答案：D解析：根据双曲线的离心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2

x与圆相交．方法一由y＝2x，（x－2）2＋（y－3）2＝1，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以|AB|＝1＋22|x1－x2|＝51652－4×125＝455，故选D.方法二则圆心(

2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以|AB|＝21－d2＝21－（55）2＝455，故选D.7．设双曲线x24－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A

，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为()A．192B．11C．12D．16答案：B解析：由题意得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当

AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2·b22＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.8．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝34相切，则该双曲线的方程为

()A．x2－y23＝1B．x23－y29＝1C．x22－y25＝1D．x24－y212＝1答案：A解析：由题意得到e＝ca＝2，∴b＝3a，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x.渐近线与圆(x－a)2＋y2＝34相切，∴|3a|2＝32，又a>0，∴a＝1，b＝3.则双

曲线方程为：x2－y23＝1.故答案为A.9．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案：B解

析：∵x2－y2＝1的焦点(±2，0)，e1＝ca＝2，∴由题意得x2a2＋y2b2＝1的焦点坐标为(±2，0)，e＝22，∴a2－b2＝c2＝2，a2－b2a＝22，∴a2＝4，b2＝2.∴椭圆方程为x24＋y22＝1.

设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，又|F1F2|＝22，且|PF2|2＋|F1F2|2＝1＋(22)2＝1＋8＝9＝|PF1|

2，∴△F1PF2为直角三角形．二、填空题10．双曲线x29－y216＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．答案：13解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7

－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.11．已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________．答案：33解析：∵双曲线

x2a2－y2＝1的渐近线方程为y＝±xa，∴1a＝3，a＝33.12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2

A＝－23F2B，则C的离心率为________．答案：355解析：方法一由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)，因为F2A＝－23F2B，

所以x1－c＝23cy1＝－23y0，即x1＝53cy1＝－23y0，所以A(53c，－23y0).𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(83c，－23y0)，𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝(c，y0)，因为𝐹1𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0，即83c2－23y20＝0，解得y20＝4c2.因为点A(53c，－23y0)在双曲线C上，所以25c29a2－4y209b2＝1，又y20＝4c2

，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25（a2＋b2）9a2－16（a2＋b2）9b2＝1，化简得b2a2＝45，所以e2＝1＋b2a2＝95，所以e＝355.方法二由前面方法一得A(53c，－23y0)，y20＝4c2，所以|AF1|

＝53c＋c2＋－23y02＝64c29＋4y209＝64c29＋16c29＝45c3，|AF2|＝53c－c2＋－23y02＝4c29＋4y209＝4c29＋16c29＝25

c3，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即45c3－25c3＝2a，即53c＝a，所以双曲线的离心率e＝ca＝35＝355.方法三由𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－23𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得A，B，F2三

点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝23|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由𝐹1𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝|AB|2－|BF1|2＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则12|AB|·|F1D|＝12|F1A|·|F1B|，即12×5m×|F1D|＝12×4m×3m，

所以|F1D|＝125m，所以|BD|＝|BF1|2－|F1D|2＝95m，所以|F2D|＝65m，则|F1F2|＝|F1D|2＋|F2D|2＝655m＝2c，即c＝355m，所以e＝ca＝355.[能力提升]13．[2024·全国甲卷(理)]已知双曲线的两个焦点分别为(

0，4)，(0，－4)，且经过点(－6，4)，则该双曲线的离心率为()A．4B．3C．2D．2答案：C解析：方法一由题可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0).根据已知条件可得a2＋b2＝

c2＝42，42a2－（－6）2b2＝1，解得a＝2，c＝4.则该双曲线的离心率e＝ca＝42＝2.故选C.方法二设该双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，由题知c＝4，2a＝（－6）2＋（4＋4）2－（－6）2＋（4－4）2＝4，则a＝2，则该双曲线的离心离e＝ca＝2.故选C.

方法三记A(0，4)，B(0，－4)，C(－6，4)，则AB⊥AC，|AB|＝8，|AC|＝6，则|BC|＝10，又因为该双曲线的半焦距c＝4，实轴长2a＝|BC|－|AC|＝4，则a＝2，则该双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.14．设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，

可为线段AB中点的是()A．(1，1)B．()－1，2C．()1，3D．()－1，－4答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得x21－y219＝1x22－y

229＝1，两式作差，得x21－x22＝y21－y229，即(x1－x2)(x1＋x2)＝（y1－y2）（y1＋y2）9，化简得（y1－y2）（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝9，即y1－y2x1－x2·y1＋y22x1＋x22＝kAB·

y0x0＝9，因此kAB＝9·x0y0.由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×11＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×－12＝－92＜－3，所以直线AB与双曲

线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×13＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×－1－4＝94<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.15．[2

024·九省联考]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝4a2，则C的离心率为()A．2B．2C．5

D．7答案：D解析：由双曲线的对称性可知||F1A＝||F2B，||F1B＝||F2A，有四边形AF1BF2为平行四边形，令||F1A＝||F2B＝m，则||F1B＝||F2A＝2m，由双曲线定义可知||F2A－||F1A＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即||F1A＝||F2B＝m＝2

a，||F1B＝||F2A＝4a，𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝|𝐹2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐹2𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝12，即∠AF2B＝π3，故∠F2BF1＝2π3，则有cos∠F2BF1＝||F

1B2＋||F2B2－||F1F222||F1B·||F2B＝()4a2＋()2a2－()2c22×4a×2a＝－12，即20a2－4c216a2＝－12，即2016－4e216＝－12，则e2＝7，由e>1，故e＝7.故选D.16．[2024·新课标Ⅰ卷]设双曲线C：x2a2－y2b

2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为____________．答案：32解析：因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|

BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝|F1A|2－|AF2|2＝132－52＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，所以a＝4，所以离心率e＝ca＝32.