【文档说明】四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.056 MB，由管理员店铺上传

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泸县五中2023年秋期高二第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在直角坐标系中，直线330xy+−=的倾斜角是（）A.

30B.60C.150D.120【答案】C【解析】【分析】先求斜率，再求倾斜角.【详解】直线斜率33k=−，所以倾斜角为150°.故选：C2.同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有1枚正面朝

上”与“2枚都是反面朝上”B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都正面朝上”D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”【答案】C【解析】【分析】根据对互斥事件、对立事件的概念直接判断即可.【详解】在A中，

“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“

至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，

“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的是两个事件不是互斥事件.故选：C.【点睛】本题主要考查的是对互斥事件、对立事件的概念理解，要求学生熟练掌握对互斥事件、对立事件的概念并能简单应

用，是基础题.3.已知向量(1,1,0)a=，则与a同向共线的单位向量e=（）A.22,,022−B.(0,1,0)C.22,,022D.(1,1,0)−−【答案】C【解析】【分析】先求得a

的模，再根据与a同向共线的单位向量求解.【详解】解：因为向量(1,1,0)a=，所以已知向量2a=，所以与a同向共线的单位向量22(,,0)22e=，故选：C4.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被

抽中的概率分别为123,,ppp，则A.123ppp=B.231ppp=C.132ppp=D.123ppp==【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p

3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的.考点：随机抽样5.已知()3,1A，()1,2B−，()1,1C，则过点C且与线段AB平行的直线方程为（）A.3250xy+−=B.3210xy−−=C.231

0xy−+=D.2350xy+−=【答案】B【解析】【分析】先求得线段AB斜率，由点斜式求得正确答案.【详解】因()3,1A，()1,2B−，()1,1C，所以213132ABk−−==−，则所求直线的斜率为32，所以过点C且与线段AB平行的直线方程为()3112yx−=−

，即3210xy−−=．故选：B6.与圆221xy+=及圆22870xyx+−+=都外切的圆的圆心在．A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.抛物线上【答案】C【解析】【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆221

xy+=及圆22870xyx+−+=都外切得3,1PFrPOr=+=+，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，即可求解.【详解】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆221xy+=的圆心为(0,0)O，半径为1；圆22870xyx+−+=的圆心为(4,0)F，

半径为3．依题意得3,1PFrPOr=+=+，则()()312PFPOrrFO−=+−+=，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答

中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若直线21yxk=++与直线122yx=−+的交点在第一象限，则实数k的取值范围（）A.51,22−B.21,52−C.51,22−−D.5

1,22−的为【答案】A【解析】【分析】根据题意得到两直线的交点坐标，从而得到关于k的不等式组，解之即可得解.【详解】联立21122yxkyx=++=−+，解得243253kxky−=+=，故两直线的交点为2

425,33kk−+.因为交点在第一象限，所以24032503kk−+，解得5122k−.故选：A8.设P为椭圆C：2214924xy+=上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦

点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（）A.24B.12C.8D.6【答案】C【解析】【分析】根据条件计算出1212,,PFPFFF，可以判断△PF1F2是直角三角形，即可计算出△PF1F2的面积，由△PF1F2的重心为点G

可知△PF1F2的面积是△GPF1的面积的3倍，即可求解.【详解】∵P为椭圆C：2214924xy+=上一点，12:3:4PFPF=，12214PFPFa+==，126,8PFPF==，又1222492410FFc==−

=，∴易知△PF1F2是直角三角形，12121242PFFSPFPF==，∵△PF1F2的重心为点G，∴1213PFFGPFSS=，∴△GPF1的面积为8.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积问题，属于基础题.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率

为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概

率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件1A，从“乙袋中摸出一个红球”为事件2A，则()113PA=，()212PA=，对于A选项，2个球都是红球为12AA，其概率为111326=，故A选项正确，对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166−

=，故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为()()1221211323PAPA−=−=，故C选项正确，对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为1211232132+=，故D选项正确．故选：ACD．10.已知方程22253

102xyaxayaa+++++−=，若方程表示圆，则a的值可能为（）．A.2−B.0C.1D.3【答案】AB【解析】【分析】根据圆的一般方程可求出a的取值范围，即可求解.【详解】因为方程22253102xyaxayaa++++

+−=表示圆，所以2225(3)4102aaaa+−+−，解得1a，所以满足条件的只有2−与0．故选：AB【点睛】本题主要考查了圆的一般方程，考查了方程表示圆满足的条件，属于中档题.11

.（多选）正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M为11BC的中点，下列命题中正确的是（）A.1AB与1BC成60°角B.若113NCCN=，面1AMN交CD于点E，则13CE=C.P点在正方形11ABBA边界及内部运动，且1MPDB⊥，则P点的轨迹长等于2D.E，F分别在111,DBA

C上，且1112AFDEEBFC==，直线EF与1AD，1AD所成角分别是，，则2+=【答案】ACD【解析】【分析】如图，建立空间直角坐标系，对于选项A，利用向量法求出1AB与1BC成60°角，所以

该选项正确；对于选项B，求出23CE=，所以选项B错误；对于选项C，点P的轨迹长为线段1(12)yzy−=的长度为2，所以选项C正确；对于选项D，求出2+=，所以该选项正确.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(2,0,2)A，(2,2,2)B，(0,2,2)C，(0,0

,2)D，1(2,0,0)A，1(2,2,0)B，1(0,2,0)C，1(0,0,0)D，(1,2,0)M．对于选项A，1(0,2,2)AB=−，1(2,0,2)BC=−−，11111141cos,22222ABBCABB

CABBC===，∴1AB与1BC成60°角，所以选项A正确；对于选项B，∵113NCCN=，∴30,2,2N，设(0,,2)Em，则1(1,2,0)AM=−，132,2,2AN=−，1(

2,,2)mAE=−，由已知得1A，M，N，E四点共面，∴,R，使得111ANAAEM=+，得122,22,302,2m−=−−=+=+解得2,3,24,3m==−=∴

40,,23E，∴20,,03CE=−，23CE=，所以选项B错误；对于选项C，设(2,,)(02,02)Pyzyz，则1(1,2,),(2,2,2)yzDBMP=−=−，由122420yDBzMP=+−−=，得1yz−=．∴

点P的轨迹长为线段1(12)yzy−=的长度为2，所以选项C正确；对于选项D，∵E，F分别在111,DBAC上，且1112AFDEEBFC==，∴122444(2,2,2),,33333DDBE

==−=−，1112244(2,2,0),,03333ACAF==−=−，则44224,,,,,033333EF，则22,0,33EF=−−，则122448333coscos,12222224

4333EFDA−−====−+−+，故0=，1224433coscos,0224433EFDA−+===−+−+，故2=，即2+=，故选项D正确．故选：ACD【点睛】本题主要考查

空间向量的应用，考查异面直线所成的角的计算，考查向量的模的计算，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知抛物线2:2Cypx=()0p的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交

于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AF=，则以下结论正确的是A.4p=B.=DFFAC.2BDBF=D.4BF=【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来

判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp=，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60，//AEx轴，60EAF=，由抛物线的定义可知，AEAF=，则AEF为等边

三角形，60EFPAEF==，则30PEF=，228AFEFPFp====，得4p=，A选项正确；2AEEFPF==，又//PFAE，F为AD的中点，则DFFA=，B选项正确；60DAE=，30ADE=，22BDBMBF==（抛物线定义），C选项正确；

2BDBF=，118333BFDFAF===，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.第II卷非选择题（90分）三．填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分．13.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是_________球.【答案】白【解析】【分析】根据频率估计概率即可求解.【

详解】取了10次有7个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球.故答案为：白14.在平行六面体1111ABCDABCD−中，若112

3ACxAByBCzCC=++，则xyz++=__________.【答案】76【解析】【分析】把1AC用AB、BC和1CC来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出xyz++的值．【详解】如下图所示，有.11ACABBCCC=++=1ABBCCC+−又因为1123

ACxAByBCzCC=++,所以12131xyz===−解得11213xyz===−所以xyz++=76.【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来．1

5.在平面直角坐标系xOy中，若直线(33)ykx=−上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足3OPOQ=，则实数k的最小值为________．【答案】3−【解析】【分析】根据3OPOQ=求出点P的轨迹方程，只需直线(33)ykx=−与点P的轨迹有公共点即

可.【详解】设点P（x，y），由3OPOQ=可得(,)33xyQ，又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得22()(1)133xy+−=，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在圆x2＋（y－3）2＝9上，又在直线(33)ykx=−上，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离233331kdk−−

=+，解得30k−，所以实数k的最小值为3−.故答案为：3−【点睛】此题考查求曲线的轨迹方程和通过直线与圆的位置关系求参数的取值范围，直线与圆有公共点转化为圆心到直线距离小于等于半径.16.已知双曲线22221yxab−=

，()0,0ab的两个焦点分别为1F，2F，过x轴上方的焦点1F的直线与双曲线上支交于M，N两点，以2NF为直径的圆经过点M，若2MF，MN，2NF成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】63yx=【解析】【分

析】首先根据双曲线的概念结合题意得到4MNa=，设1MFx=，结合勾股定理得到1MFa=，23MFa=，从而得到2225ca=，再求离心率即可.【详解】如图所示：由双曲线的定义212MFaMF=+，212NFaNF=+，所以221144MFNFaMFNF

aMN+=++=+.因为2MF，MN，2NF成等差数列，所以222MFNFMN+=，即42aMNMN+=，4MNa=令1MFx=，在2MNF中，21MFMF⊥，所以22222MFMNNF+=，即()()()222246axa

ax++=−，解得xa=，即1MFa=，23MFa=，又在12RtFMF中，()()22232aac+=，2225ca=，又222cab=+，所以2223ba=，即63ab=，63ayxxb==.故答案为：63yx=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点(),Pab在直线l上，求33ab+的最小值．【答案】(1

)20xy−=或30xy+−=；(2)63.【解析】【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到20xy−=；当截距不为0时设直线方程为1xytt+=，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得xy30l+−=的方程为，ab3+=，由不等式得到结

果．解析：⑴①10l:y2x=截距为时，即20xy−=②截距不为0时，设直线方程为1xytt+=，代入()2,1P，计算得3t=，则直线方程为30xy+−=综上，直线方程为2030xyxy−=+−=或⑵

由题意得abababxy30ab3,332332363l的方程为++−=+=+==ab33363ab2+==的最小值是，当时等号成立．18.某球迷为了解,AB两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有

关的比.赛.两队所得分数分别如下：A球队：122110105105109101107129115100114118118104931209610210583B球队：11411411010810311793124

75106918110711210710110612010779（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数低于100分100

分到119分不低于120分攻击能力等级较弱较强很强记事件:C“A球队的攻击能力等级高于B球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概

率.【答案】（1）茎叶图见解析，A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值；A球队所得分数比较集中，B球队所得分数比较分散．（2）0.31【解析】【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A球队所得分数的平

均值高于B球队所得分数的平均值；A球队所得分数比较集中，B球队所得分数比较分散；(2)由古典概型概率公式，利用互斥事件概率公式，独立事件的概率公式可求得事件C的概率.【小问1详解】两队所得分数的茎叶图如下A球队B球队75938136

93152407195510836771678845011440720921240通过茎叶图可以看出，A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值；A球队所得分数比较集中，B球队所得分数比较分散．【小问2详解】记1AC表示事件：“A球队

攻击能力等级为较强”，2AC表示事件：“A球队攻击能力等级为很强”；1BC表示事件：“B球队攻击能力等级为较弱”，2BC表示事件：“B球队攻击能力等级为较弱或较强”，则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1

AC与2AC互斥，1122()()ABABCCCCC=．11221122()()()()()()().ABABABABPCPCCPCCPCPCPCPC=+=+由所给数据得1AC，2AC，1BC，2BC发生的频率分别为1420，320，520，1820，故212114

3518(),(),(),()20202020BBAAPCPCPCPC====,145318()0.31.20202020PC=+=19.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，ABBC=，ADAC

⊥，将ACD沿AC翻折，使点D到达点S的位置，且平面SAC⊥平面ABCD．（1）证明⊥BSBC；（2）若E为SC的中点，直线BS与平面EAB所成角的正弦值为34，求二面角SBCD−−的大小．【答案】（1）证明见解析（2）3或6【解析】【分析】（1）由面面垂直得SA⊥平面ABC，从而得SAB

C⊥，然后由线面垂直的判定定理得线面垂直后得证线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角、二面角．【小问1详解】证明：∵平面SAC⊥平面,ABCDSAAC⊥，平面SAC平面ABCDAC=，SA平面SAC，∴SA⊥平面ABC，又BC平面ABC，∴SABC⊥又∵BCAB⊥，

SAABA=，,SAAB平面SAB，∴BC⊥平面SAB，而BS平面SAB，∴BCBS⊥；【小问2详解】如图，以A为坐标原点建立Axyz−空间直角坐标系，∥BCy轴，设2ABBC==，取2==ASADm，则(2,0,0),(2,2,0),(0,

0,2),(1,1,)BCSmEm由(2,0,0),(1,1,)ABAEm==设平面EAB的法向量为(,,)nxyz=200nABxnAExymz===++=，可取(0,,1)nm=−设直线BS与平面EAB所成的角为，(2,0,2)=−BSm则22223sin14|

|441nBSmmmnBSmm====+++，∴3m=或13m=当3m=时，由(0,2,0),(2,0,23)==−BCBS，设平面BCS的法向量为1(,,)nxyz=则11202230nBCynBSxz==

=−+=，可取1(3,0,1)=n由可取平面BCD的法向量2(0,0,1)n=，设二面角SBCD−−的平面角为则121211cos241nnnn===，所以3=同理，当13m=时，则可取1(1,0,3)=n，则33cos24

1==，所以6=综上可得，二面角SBCD−−的大小为3或620.已知椭圆:C22221xyab+=()0ab经过点31,2M，12,FF是椭圆C的两个焦点，12||23FF=，P是椭圆C上的

一个动点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，且1214PFPF，求点P的纵坐标的取值范围.【答案】（1）2214xy+=；（2）1,12.【解析】【分析】（1）由已知可得3c=，根据定义可得2a=，所以21b=，进而可得出椭圆的标准方

程；（2）设()00,Pxy()000,0xy，根据已知可推得221200134PFPFxy=−+.进而根据椭圆的方程可推出012y以及01y.即可得出答案.【小问1详解】由已知可设()13,0F−，()23

,0F.则()()22221233313122MFMF+=−−++−+223322422=++−=，则由椭圆的定义可得，24a=，所以2a=.又3c=，所以2

221bac=−=.所以，椭圆C的标准方程为2214xy+=.【小问2详解】设()00,Pxy()000,0xy，则()1003,PFxy=−−−，()2003,PFxy=−−.结合题意可得，221200134

PFPFxy=−+.又220014xy+=，所以220044xy=−.所以有222220000013443134xyyyy−+=−−+=−，所以，2014y，又00y，所以012y.又2200440

xy=−，所以201y，所以01y.所以，点P的纵坐标的取值范围为1,12.21.双曲线C：()222210,0xyabab−=的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BFAF⊥时，AFBF=.（1）求双曲线C

的离心率；（2）若B在第一象限，证明：tan2tan2,22BAFBFABAFBFA=.【答案】（1）2；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用已知条件可得222bcacaaa−+==，结合222

cab=+即可求解.（2）由（1）可得22233xya−=，设()00,Bxy，设tanBAF=,可得00000tanyyxaxa−==++，根据点B在双曲线上可得22tantan21tan=−002yxa=−−，再由0000tantan2yyBFABFxxcxa=−=−=−−

−，即可证明.【详解】（1）当BFAF⊥时，点B在第一象限或第四象限，由对称性，不妨设点B第一象限，AFac=+，(),Bcac+，B在双曲线上，则有()22221accab+−=，又222cab=+，消去b可得323320caca−−=，即3320ee−−=，变

形322220eeeee−−+−−=，即()()22220eeeee−−+−−=，因为1e，解得2e=.（2）证明：2cea==，即2ca=，22223bcaa=−=双曲线222213xyaa−=，化为22233xya−=，设()00,Bxy，（000,0xy），

①当BFAF⊥，由题意可知90BFA=，此角不存在正切值；②当BF与AF不垂直时，设tanBAF=,则00000tanyyxaxa−==++，tanABkBAF=，22tantan21tan=−()()()()00000022222200002022211yyx

ayxaxaxxayyxabaxa+++===+−++−−+()()()()()()()()0000002222222000000222233331yxayxayxaxxaaxxaxaxaxaaa+++===++−+−+−++−()()0000000223242

yyyxaxaxaxa===−+−−−+−，0000tantan2yyBFABFxxcxa=−=−=−−−，在即tan2tan2,22BAFBFABAFBFA=.【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的离心率，解题的关键是22

tantan21tan=−002yxa=−−，00tantanyBFABFxxc=−=−−，考查了运算求解能力.22.已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，横坐标为1的点M在抛物线上，且以F为圆心，|MF|为半径的圆与C的准线相切．（1）求抛物线C的

方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于A、B两点，设直线OA、OB的倾斜角分别为和，证明：当4+=时，直线l恒过定点．【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由

抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，由题意可得12prMFp=+==，解得p的值，进而求出结果；（2）设A，B的坐标，及直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线OA，OB的斜

率之积和斜率之和，再由4+=可得直线OA，OB的正切值，即直线OA，OB斜率，联立可得直线恒过定点.【小问1详解】由题焦点,02pF，准线2px=−，由抛物线的定义可得MF的值等于M到准线的距离12p+，因为以F为圆心，MF为半径的圆与C的准线相切，所以12pr

MFp=+==，解得2p=，所以抛物线C的方程为24yx=．【小问2详解】证明：由题设()11,Axy，()22,Bxy，易知直线l的斜率存在，记为k，则设直线l：ykxm=+，与24yx=联立得2440kyym−+=，得124yyk+=，124myyk=，则2221

21212122142()2444yymxxyyyykk+=+=+−=−，2221212244yymxxk==，112122164OAOByykkkxxyym===，2122112120212

1212242()()()422OBmyyxkxxmxkxmmxxkkkkkkmxxxxxxmk−+++++=+==+=+=，又知tanOAk=，tanOBk=，4tantantantantan141tantan411OAOBOAOBkkmkkkm−+++=====

−−，解得44mk=+，所以直线():4444lykxkkx=++=++，恒过定点()4,4−．可证得当4+=时，直线l恒过定点()4,4−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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