【文档说明】天津市耀华中学2023-2024学年高三上学期开学检测数学试题 含解析.docx，共(19)页，966.589 KB，由小赞的店铺上传

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天津市耀华中学2024届高三年级暑期学情反馈数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确

答案填涂在答题卡上.1.设全集2,1,0,1,2,3U=−−，集合{}1,2A=-，2430Bxxx=−+=，则()UAB=ð（）A.1,3B.0,3C.2,1−D.2,0−【答

案】D【解析】【分析】求出集合B，根据集合并集与补集运算求解.【详解】方程2430xx−+=的两根分别为1,3，故24301,3Bxxx=−+==，所以1,1,2,3AB=−，()UAB=ð2,0−.故选：D2.设xR，则“

250xx−”是“|1|1x−”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.详解】化简不等式，可知05x

推不出11x−；由11x−能推出05x，【故“250xx−”是“|1|1x−”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.函数3222xxxy−=+在6,6−的图像

大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案.【详解】设()3222xxxfx−=+，()fx的定义域为R，()()3222xxxxfxf−−−=−+=，所以()fx是奇函数，图像关于原点对称，C选项错误.()3442412820

4847.971222571616f−===++，所以BD选项错误，A选项正确.故选：A4.某部门随机调查了90名工作人员，为了了解他们的休闲方式是读书还是健身与性别是否有关，得到的数据如列联表所示.若认为

性别与休闲方式有关，则此时犯错误的概率不超过（）性别休闲方式合计读书健身女生25（a）20（b）45男生15（c）30（d）45合计405090附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++

，nabcd=+++，()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.0.01B.0.05C.95%D.99.5%【答案】B【解析】【分析】计算2K的值，由此确定正确答案.【详解】依题意，()2290253020154.53.84140504545K−==

，所以犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为性别与休闲方式有关.故选：B5.已知825,log3ab==，则34ab−=（）A.25B.5C.259D.53【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的

运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log3log33b==，即323b=，所以()()22323232452544392aaabbb−====．故选：C.6.已知2logae=，ln2b=，121log3c=，则a，b，c的大小关

系为AabcB.bacC.cbaD.cab【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果..详解：由题意结合对数函数的性质可知：2loge>1a=，()21ln20,1log==be，12221loglog3log3

ce==，据此可得：cab.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然

后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A、2A和3A表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，

再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（）A.()922PB=B.()1411PBA=C.()2511PBA=D.()3511PBA=【答案】A【解析】【分析】根据全概率公式求得()PB，结合条件概型的知识确定正确答案.【详解】依题意，()

555495234331523433122PB=+=++++++++++，A选项正确.()155433111PBA==+++，B选项错误，()244433111PBA==+++，C选项错误，()344433111PBA==+++，D选项错误.故

选：A8.设函数()fx的定义域为R，()1fx+为奇函数，()2fx+为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb=+．若()()036ff+=，则92f=（）A.94−B.32−C.74D.52【答案】D【解析】【分析】通过()1fx+是奇函数和(

)2fx+是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222fxx=−+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+①；因为()2fx+是偶函数，所以()()22fxfx+=−+②

．令1x=，由①得：()()()024ffab=−=−+，由②得：()()31ffab==+，因为()()036ff+=，所以()462ababa−+++==−，令0x=，由①得：()()()11102fffb=−==，所以()222fxx=−+．思路一：从定义入手．9

551222222ffff=+=−+=−1335112222ffff−=−+=−+=−511322=2222ffff−=−+=−−+−

所以935222ff=−=．[方法二]：因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+①；因为()2fx+是偶函数，所以()()22fxfx+=−+②．令1x=，由①得：()()

()024ffab=−=−+，由②得：()()31ffab==+，因为()()036ff+=，所以()462ababa−+++==−，令0x=，由①得：()()()11102fffb=−==，所以()222fxx=−+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，

函数()fx的周期4T=．所以91352222fff==−=．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．9.已知函数e,1()(0)ln,1xax

fxaxxa−=图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（）A.(e,)+B.10,eC.1,eeD.1,e+【答案】B【解析】【分析】先分析()fx的单

调性，可得对称点分别位于()1exyax−=与()ln1xyxa=的图象上，从而得到()000eln1xxaxa=，进而利用同构法，构造函数()exxx=+得到00lnlnaxx=−，再构造函

数()ln,(1,)hxxxx=−+，由此得解.【详解】因为e,1()(0)ln,1xaxfxaxxa−=，所以当1x时，()exfxa−=在(,1−上单调递减；当1x时，()lnxfxa=在()1,+上单调递增；又()fx的图象上存

在关于y轴对称的两点，所以这两个对称点分别位于()1exyax−=与()ln1xyxa=的图象上；设()00,Pxy在ln(1)xyxa=的图象上，则()00,Pxy−在函数exya−=的图象上，且01x，故有()000eln1x

xaxa=，即0ln0elnlnxaax++=，进而00lnln0000elnlnelnxaxaxxxx+++=+=+；设()exxx=+，则()()00lnlnaxx+=，又0e()1xx=+恒成立，故()x在R上单调递增，所以00lnlnaxx+=，即00lnlnaxx

=−，令()ln,(1,)hxxxx=−+，则1()0xhxx−=在(1,)+上恒成立，故()hx在(1,)+上单调递减，故()()11hxh=−，则ln1a−，于是10ea．故选：B．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将()000eln1xxaxa

=转化为00lnln00elnelnxaxaxx+++=+，从而构造了函数()exxx=+，由此得解.第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.不需写出解答过

程，请把答案填在答案纸上的指定位置.10.已知()21i32iz−=+（i为虚数单位），则z=________.【答案】31i2−+【解析】【分析】利用复数乘法、除法运算求得正确答案.【详解】依题意()21i32iz−=+，则()()232i2i3

2i32i46i31i2i2i2i421iz+++−+=====−+−−−.故答案为：31i2−+11.62()xx−展开式中常数项为______．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x的指数为0,解出r,进而可求出常数项.【详解

】62()xx−的展开式中的通项公式：366621662()()(1)2rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−.令32r-6=0，解得r=4．∴62()xx−的展开式中常数项为:4246(1)2

C−=60．故答案60．的为【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.12.将字母a、b、c、d、e、f排成一排，其中a必须在b的左边，则不同的安排方法有________.（用数字作答）【答案】360【解析】【分析】先安排,

ab，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.【详解】先安排,ab，方法数有26C种方法，再安排其它字母，方法数有44A种，故不同的安排方法有2464CA360=种.故答案为：36013.现有7张卡片，分别写上数字1，2，

2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则(2)P==__________，()E=_________．【答案】①.1635，②.127##517【解析】【分析】利用古典概型概率公式求(2)P=，由条件求分

布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424CCC+种，所以11242437CCC16(

2)C35P+===，由已知可得的取值有1，2，3，4，2637C15(1)C35P===，16(2)35P==，，()()233377C31134C35C35PP======，所以15163112()123435353

5357E=+++=,故答案为：1635，127.14.已知22451(,)xyyxyR+=，则22xy+的最小值是_______．【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215yxy−=，可得4222222114+555yyxyyy

y−+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451xyy+=∴0y且42215yxy−=∴422222222114144+2555555yyyxyyyyy−+=+==，当且仅当221455y

y=，即2231,102xy==时取等号.∴22xy+的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，

首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15.设函数()()21,2,axx

afxxxa−+=−存在最小值，则a的取值范围是________.【答案】01a【解析】【分析】根据a的值与0,2的大小关系进行分类讨论，每种情况分别求函数在xa和xa的最小值，并比较大小即可.【详解】①当a<0时，0a−，故函数()fx在(),a−

上单调递增，因此()fx不存在最小值；②当0a=时，21,0()(2),0xfxxx=−.当0x时，min()(2)01fxf==，故函数()fx存在最小值；③当02a时，0a−，故函数()fx在(),a−上单调递减

，当xa时，2()()1fxfaa=−+；当xa时，2()(2)(2)0fxxf=−=.若210a−+，则()fx不存在最小值，故210a−+，解得11a−.此时01a满足题设；④当2a时，0a−，故函数()fx在(),a−上单调递减，当xa时，2()()1fxfa

a=−+；当xa时，22()(2)()(2)fxxfaa=−=−.因为2222(2)(1)2432(1)10aaaaa−−−+=−+=−+，所以22(2)1aa−−+，因此()fx不存在最小值.综上，a的取值范围是01a.故答案为：01a

.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上.16.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知22sin0−=abA.（1）求角B的大小；

（2）设5a=，42c=，求b和()sin2+CB的值.【答案】（1）4（2）17b=，()72sin234CB−=+【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sinsinbAaB=，即可得到2sin2B=，从而求出B；（2）利用余弦定理求出b，再利用正弦定理求出

sinC，即可求出cosC，再利用二倍角公式求出sin2C、cos2C，最后根据两角和的正弦公式计算可得；【小问1详解】解：在ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，可得sinsinbAaB=，又由22sin0−=abA，得2sin2=aBa，即2sin2B=，又因为0,

2B，可得4B=.【小问2详解】解：由（1）得，在ABC中，5a=，42c=，4B=由余弦定理有2222cos17bacacB=+−=，故17b=.由正弦定理sinsincbCB=，即4217sin22C=，

可得417sin17C=.又因为0,2C，故217cos1sin17=−=CC.因此8sin22sincos17==CCC，215cos22cos117=−=−CC.所以()8215272sin2sin2coscos2si

n17217234+=+=−=−CBCBCB.17.如图，P，O分别是正四棱柱1111ABCDABCD−上、下底面的中心，E是AB的中点，12AA=，22AB=．（1）求证：1AE∥平面PBC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求平

面POC与平面PBC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）63（3）33【解析】【分析】(1)建立坐标系，利用平面的法向量与1AE的数量积为零可证明；(2)利用PA与平面的法向量可求解；(3)利用平面的法向量可求解.【小问1详解】以点O为原点，直线OA，O

B，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A，()12,0,2A，()1,1,0E，()002P,,，()0,2,0B，()2,0,0C−，由上得()11,1,2AE=−−，

()2,2,0BC=−−，()0,2,2PB=−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=r，则由00nBCnPB==得220,220,xyyz−−=−=取1z=，得()1,1,1n=−，因为10AEn=，所以1AEn⊥，又

1AE平面PBC，所以1AE∥平面PBC．【小问2详解】由（1）知平面PBC的法向量为()1,1,1n=−，因为()2,0,2PA=−，所以6cos3PAnPAnPAn==，所以直线PA与平面PBC所成

角的正弦值为63．【小问3详解】显然，平面POC的法向量为()0,1,0m=，由（1）知平面PBC的法向量为()1,1,1n=−，设平面POC与平面PBC的夹角为，则13cos33mnmn===．18.已知椭圆C

：2222xyab+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（﹣1，22）在椭圆C上，且|PF2|322=．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足ON=3OM（O为坐标原点），求直线

l的方程．【答案】（1）2212xy+=．（2）x7+y﹣1＝0或x7−y﹣1＝0．【解析】【分析】（1）根据题意得221112ab+=①，22232(1)(0)22c−−+−=②，222cab=−③，由①②③组成方程组，解

得a，b，进而得椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为1xky=+，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立直线l与椭圆C的方程得关于y的一元二次方程，结合韦达定理得12222kyyk+=−+，12242xxk+=+，从而

得线段AB中点M坐标，点N的坐标，将其代入椭圆方程，可解得k，进而得出直线l的方程．【详解】解：（1）因为点21,2P−在椭圆C上，且232||2PF=．所以221112ab+=，①22232(1)(0)22c−−+−=，解得1c=，②又因为

222cab=−③由①②③组成方程组，解得2a=，1b=，所以椭圆C的方程为：2212xy+=．（2）由（1）可知2(1,0)F，设直线l的方程为1xky=+，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立直线l与椭圆C的方程得22(2)210kyky++−=，得12

222kyyk+=−+，则12242xxk+=+，所以线段AB中点22(2Mk+，2)2kk−+，所以2233(2ONOMk==+，2)2kk−+，所以N点的坐标为26(2k+，23)2kk−+，将N点坐标代入椭圆的方程22226()32(

)122kkk−++=+，解得27k=，7k=，所以直线l的方程为：710xy+−=或710xy−−=．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．19.已知等比数列na的公比1q，若23414aaa++=，且2a，31a+，4a分别是等差数列

nb第1，3，5项.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）记nnnbca=，求数列nc的前n项和nS；（3）记()116514nnnnndbb−++=−，求1niid=的最大值和最小值

.【答案】（1）12nna−=，3122nbn=+（2）3772nnnS+=−（3）最大值为1128，最小值为320【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得,nnab.（2）利用错位相减求和法求得nS.（3）利用裂项求和法，结合对n进行分类讨论，由此求得1niid=的最大值

和最小值.【小问1详解】依题意，()23432414211aaaaaaq++=+=+，()231112311114211aqaqaqaqaqaqq++=+=+，解得11,2aq==，所以12nna−=，则1233542,1415,8bababa===+=+===，设等

差数列nb的公差为d，则523312d−==−，所以()33121222nbnn=+−=+.【小问2详解】131312222nnnnnnbnca−++===，24731222nnnS+=+++，2

31147312222nnnS++=+++，两式相减得2311433331222222nnnnS++=++++−，213333142222nnnnS−+=++++−13113137224712212nnnnn−−

++=+−=−−.【小问3详解】()()1116565113134442222nnnnnnndbbnn−−+++=−=−++()()()()1165111131343134nnnnnnn−−+=−=−+++++，()1111111111

11147710101313173134nniidnn−==+−+++−−++−+++，当n为偶数时，111434niidn==−+，令11434nTn=−

+（n为偶数），则nT是单调递增数列，最小值为211341020T=−=，且1114344nTn=−+.当n为奇数是，111434niidn==++，令11434nMn=++（n为奇数），则nM是单调递减数列，最大值为111114728T=+=，且1

114344nMn=++.综上所述，1niid=的最大值为1128，最小值为320.【点睛】求解等差数列或等比数列的通项公式，关键是通过基本量的计算求得首项和公差（公比）.求解形如等差数列乘以等比数列，或等差数列除以等比数列的数列的前n项和，使用的方法是错位相减求和法.20.已知函数()eea

xxfxx=−．（1）当1a=时，讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fx−，求a的取值范围；（3）设nN，证明：222111ln(1)1122nnn+++++++．【答案】（1）()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+.（2）12a（3）见解析【解析】【分析】（

1）求出()fx，讨论其符号后可得()fx的单调性.（2）设()ee1axxhxx=−+，求出()hx，先讨论12a时题设中的不等式不成立，再就102a结合放缩法讨论()hx符号，最后就0a结合放缩法讨

论()hx的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12lnttt−对任意的1t恒成立，从而可得()21ln1lnnnnn+−+对任意的*nN恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.小问1详解】当1a=时，()()1exfxx=−，则()exfxx=，当0x时，

()0fx，当0x时，()0fx¢>，故()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+.【小问2详解】设()ee1axxhxx=−+，则()00h=，又()()1eeaxxhxax=+−，设()()1eeaxx

gxax=+−，则()()22eeaxxgxaax=+−，若12a，则()0210ga=−，因为()gx为连续不间断函数，故存在()00,x+，使得()00,xx，总有()0gx，故()gx在()00,x为增函数，故()()00gxg=，故()hx在()0

0,x为增函数，故()()00hxh=，与题设矛盾.若102a，则()()()ln11eeeeaxaxaxxxhxax++=+−=−，下证：对任意0x，总有()ln1xx+成立，证明：设()()ln1Sxxx=+−，故()11011xSxxx−=−=++，故()Sx在()0,+

上为减函数，故()()00SxS=即()ln1xx+成立.由上述不等式有()ln12eeeeee0axaxxaxaxxaxx+++−−=−，故()0hx总成立，即()hx在()0,+上为减函

数，所以()()00hxh=.当0a时，有()eee1100axxaxhxax=−+−+=，所以()hx在()0,+上为减函数，所以()()00hxh=.【综上，12a.【小问3详解】取12a=，则0x，总有12e

e10xxx−+成立，令12ext=，则21,e,2lnxttxt==，故22ln1ttt−即12lnttt−对任意的1t恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn++−+，整理得到：()21ln1lnnnnn+−+，故()222111ln2ln1ln3l

n2ln1ln1122nnnn+++−+−+++−+++()ln1n=+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.获得更

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